Modul Praktikum Kalkulus II dengan Menggunakan Matlab

(1)

dengan Menggunakan Matlab

disusun oleh : Arif Muchyidin, S.Si., M.Si.

NIP. 19830806 201101 1 009

TADRIS MATEMATIKA

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH NURJATI CIREBON

2016

(2)

kreativitas dan memperkaya khasanah kematematikaan terutama dalam bidang Kalkulus II khususnya bagi penulis sendiri, mahasiswa dan bagi penerus serta pecinta matematika pada umumnya.

Penulis menyadari bahwa penyusunan Modul Praktikum Kalkulus II ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan masukan baik berupa kritik, saran, maupun koreksi yang membangun. Semoga Modul Praktikum Kalkulus II dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.

Cirebon, 14 Februari 2017 Penyusun,

Arif Muchyidin, S.Si., M.Si.

NIP. 19830806 201101 1 009

(3)

Kata Pengantar i

Daftar Isi ii

Tata tertib Praktikum iii

Pendahuluan 1

Pertemuan Ke – 1 3

Daftar Pustaka 53

(4)

5. Menjaga kebersihan laboratorium

(5)

Matlab PENDAHULUAN

Matlab merupakan sebuah singkatan dari Matrix Laboratory. Matlab pertama kali dikenalkan oleh University of New Mexico dan University of Stanford pada tahun 1970. Matlab biasa digunakan untuk kebutuhan analisis dan komputasi numerik karena Matlab merupakan suatu bahasa pemrograman matematika yang berdasar pada sifat dan betuk dari matriks. Pada awalnya, program ini merupakan interface untuk koleksi rutin-rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan dikembangkan menggunkan bahasa FORTRAN namun sekarang merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan menggunakan bahasa C++ dan assembler (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB). Saat ini, kemampuan dan fitur yang dimiliki oleh Matlab sudah jauh lebih lengkap dengan ditambahkannya toolbox - toolbox yang sangat luar biasa.

Software ini pertama kali digunakan untuk keperluan analisis numerik, aljabar linier dan teori tentang matriks. Selain itu, seiring dengan perkembangannya, Matlab berubah menjadi sebuah environment bahasa pemrograman yang canggih yang berisi fungsi – fungsi untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier, dan fungsi matematika lainnya. MATLAB bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk ditambahkan pada library ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu. Kemampuan pemrograman yang dibutuhkan tidak terlalu sulit bila Anda telah memiliki pengalaman dalam pemrograman bahasa lain seperti C, PASCAL, atau FORTRAN.

Karena kecanggihannya Matlab dapat digunakan untuk hal sebagai berikut : 1. Perhitungan Matematika, baik yang sederhana maupun yang kompleks 2. Komputasi numerik

3. Simulasi dan pemodelan 4. Visualisasi dan analisis data

5. Pembuatan grafik untuk keperluan sains dan teknik 6. Pengembangan aplikasi

(6)

Matlab

(7)

Matlab PERTEMUAN KE – 1

(Mengenal Matlab)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat mengetahui bagian – bagian matlab

2. Mahasiswa dapat melakukan perhitungan – perhitungan matematika sederhana dengan menggunakan matlab

3. Mahasiswa mampu membuat grafik 2 dimensi untuk fungsi diskrit maupun fungsi kontinyu

Dasar Teori

1. Bagian – bagian Matlab

Untuk mulai bekerja dengan Matlab, bukalah program Matlab yang sudah terinstal di laptop atau komputer, maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

Dalam Matlab, menu utama yang dapat digunakan dalam melakukan komputasi matematika adalah Command Window dan menu M-file (dibahas kemudian).

Kedua menu tersebut mempunyai kelebihan dan kekurangan masing – masing.

Oleh karena itu dalam menentukan pilihan menu terlebih dahulu melihat kasus dan tujuan yang akan dicapai, sehingga pemilihan menu disesuaikan dengan tujuan yang akan dicapai atau output yang dihasilkan.

Ketika jendela utama Matlab terbuka, maka pada Command Window akan terlihat command prompt :

>>

(8)

Matlab b. Perkalian

c. Pembagian

Pada dasarnya, untuk operasi sederhana seperti di atas, perintah yang dituliskan hampir sama dengan perintah pada kalkulator atau perintah pada excel. Selain itu, pada Matlab juga dapat melakukan beberapa operasi sekaligus, dimana tiap perintah diberikan tanda koma (,) sebagai pemisahnya. Perhatikan contoh berikut :

(9)

Matlab Selain itu, Matlab juga dapat menerima perintah untuk menyimpan suatu bilangan pada sebuah variabel, sebagai contoh :

Misalkan diketahui 𝑥 = 15, 𝑦 = 0.75 dan 𝑥 =^𝜋₄. Maka tentukanlah : a. −3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦

b. sin 𝑧 c. 𝑦 ∗ cos 𝑧

Maka perintah yang dituliskan pada Matlab adalah sebagai berikut :

Matlab juga dapat digunakan untuk menentukan akar – akar dari polinomial.

Misalkan terdapat polinom 𝑦 = 𝑥² − 𝑥 − 6, maka akar – akarnya adalah sebagai berikut :

Perintah penentuan akar untuk polinom pada Matlab hanya ditulis koefisiennya saja, disusun membentuk sebuah matriks. Perhatikan contoh polinom berikut : Tentukan akar – akar persamaan 𝑦 = 𝑥⁴− 2𝑥²+ 3𝑥 − 2 !

Maka perintah pada Matlab ditulis sebagai berikut :

(10)

Matlab Pertanyaan Pre Praktikum

1. Bagaimanakah cara membuat grafik dari data diskrit?

2. Bagaimanakah cara membuat grafik fungsi yang kontinyu?

Metode Praktikum / Prosedur kerja

Untuk membuat grafik pada Matlab, perintah yang digunakan adalah plot.

Perhatikan contoh berikut :

1. Misalkan terdapat titik 1,5 , 2,8 , 3,11 , 4,15 , 5,18 , 6,17 , 7,14 , 8,12 . Jika diplot dalam Matlab, maka perintah yang digunakan adalah sebagai berikut :

Diperoleh hasil sebagai berikut :

gambar 1. 1 plot titik

Pada gambar 1. 1 merupakan grafik yang diperoleh dari menghubungkan tiap titik yang diketahui. Dari data diketahui terdapat 8 titik dengan masing –

(11)

Matlab masing koordinat seperti yang terlihat dari contoh yang diberikan. Jika tiap titik tersebut dihubungkan dengan garis, maka kenali perintah berikut :

plot(x,y,„string‟)

dengan jenis „string‟ adalah sebagai berikut : Tabel 1. 1 Jenis string

Warna Garis Jenis Garis Jenis Titik

b Biru - utuh . Titik

g Hijau : titik - titik o lingkaran r Merah -. titik - strip x tanda x c biru muda -- putus -

putus + tanda +

m Ungu * tanda *

y Kuning s bujur sangkar

k Hitam d permata

w Putih v segitiga ke

bawah

^ segitiga ke atas

< segitiga ke

kanan

> segitia ke kanan

p segilima

h segienam

(sumber : (Widiarsono, 2005))

Sehingga jika akan membuat garis utuh warna hitam, perintah yang digunakan adalah „k-‟.

Sehingga diperoleh grafik sebagai berikut :

gambar 1. 2 plot titik

(12)

Matlab gambar 1. 3

plot garis utuh dan bintang

Jika memperhatikan gambar 1. 3, hanya plot titik dan garis saja. Untuk menambahkan judul grafik, label sumbu x dan label pada sumbu y, langkah yang paling mudah untuk ditempuh adalah dengan klik insert pada toolbar, maka akan muncul beberapa pilihan, yaitu :

a. pilih X Label untuk memberi label pada sumbu X, b. Y Label untuk memberi label pada sumbu Y, c. Title untuk memberi judul grafik,

d. Legend untuk memberi legenda pada grafik.

Sehingga diperoleh gafik berikut :

(13)

Matlab gambar 1. 14

Menambahkan teks pada grafik

Setelah mengklik Insert, maka akan muncul pilihan, klik X Label untuk memberikan label pada sumbu X, dan seterusnya. Khusus untuk Legend, posisi Legend dapat dipindah sesuai dengan keinginan dengan cara klik kotak Legend kemudian geser ketempat yang diinginkan.

2. Buatlah grafik 𝑦 = 2𝑥³ − 1 pada selang −3 ≤ 𝑥 ≤ 3

(14)

Matlab gambar 1. 5

Grafik Fungsi 𝑦 = 2𝑥²

Pada gambar 1. 5 terlihat grafik 𝑦 = 2𝑥² tidak mulus, lekukan pada tiap titik masih terlihat dengan jelas. Untuk membuat grafik menjadi mulus, maka pada command diberikan inkremen, perhatikan command berikut :

gambar 1. 6

Grafik Fungsi 𝑦 = 2𝑥² dengan inkremen

Jika melihat gambar 1. 5 dan gambar 1. 6 terlihat jelas perbedaannya.

Pemberian nilai inkremen memberikan efek yang sangat signifikan pada grafik

(15)

Matlab yang dihasilkan. Semakin kecil nilai inkremen yang diberikan, maka grafik yang dihasilkan akan semakin mulus.

3. Membuat grafik dalam bentuk koordinat polar Buatlah grafik 𝜌 = 𝑐𝑜𝑠² 3𝜃 pada selang 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 Maka Command yang digunakan adalah sebagai berikut :

Dengan grafik yang diperoleh adalah sebagai berikut :

gambar 1.7 grafik koordinat polar 4. Membuat beberapa grafik dalam satu window

Buatlah grafik 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 = sin 𝑥 − 2 , 𝑦 = sin(𝑥 − 4) pada selang 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 Untuk membuat grafik dari ketiga fungsi di atas, maka command yang digunakan adalan hold on yang berfungsi untuk menahan gambar sebelumnya agar tak hilang atau terhapus karena tertimpa gambar yang baru.

Perhatikan command berikut :

Sehingga diperoleh grafik berikut :

(16)

Matlab gambar 1. 8

Membuat beberapa grafik dalam satu window

Pertanyaan Pasca Praktikum

Buatlah grafik untuk fungsi yang memenuhi persamaan 𝑦₁ = 1 − 𝑥 − 1 ² dan

𝑦₂ = −3 1 − 1 −^𝑥₂

1

2 pada selang −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

(17)

(Pendahuluan Luas)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat mempartisi grafik mejadi beberapa bagian

2. Mahasiswa dapat menentukan jumlah Riemann dari fungsi yang diketahui

3. Mahasiswa dapat membandingkan hasil jumlah Riemann untuk jumlah partisi hingga dan jumlah partisi yang mendekati tak hingga

Dasar Teori

1. Poligon Dalam

Perhatikan daerah yag dibatasi oleh 𝑓 𝑥 = 𝑥², sumbu x, garis 𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = 3. Misalkan luas daerah tersebut adalah K. Jika dihampiri dengan poligon – poligon dalam seperti pada gambar di bawah ini :

Partisikan interval 1,3 atas n bagian, sama lebar, dengan lebar tiap subinterval adalah Δ𝑥 =³⁻¹_𝑛 = ²_𝑛, dan

𝑃: 1 = 𝑥₀ < 𝑥₁ < ⋯ < 𝑥_𝑛−1 < 𝑥_𝑛 = 3 dengan 𝑥_𝑖 = 1 + 𝑖. Δ𝑥 = 1 +^2𝑖_𝑛 Perhatikan interval ke – 𝑖 yaitu 𝑥𝑖−1, 𝑥_𝑖 .

Bentuk persegipanjang dengan lebar Δ𝑥 dan tinggi 𝑓 𝑥_𝑖−1 . Sehingga luas persegipanjang adalah sebagai berikut :

𝐿 ∆𝑇_𝑛 = 𝑓 𝑥_𝑖−1 Δ𝑥.

Jika proses dilakukan untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, maka akan diperoleh luas seluruh poligon yang berada di bawah kurva 𝑓 𝑥 = 𝑥².

Dengan demikian luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut :

(18)

Matlab Dari hasil di atas jelas bahwa lim_𝑛→∞ =²⁶₃ dan 𝐿 𝑇_𝑛 ≤ 𝐾.

2. Poligon Luar

Perhatikan daerah yag dibatasi oleh 𝑓 𝑥 = 𝑥², sumbu x, garis 𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = 3. Misalkan luas daerah tersebut adalah K. Jika dihampiri dengan poligon – poligon luar seperti pada gambar di bawah ini :

Partisikan interval 1,3 atas n bagian, sama lebar, dengan lebar tiap subinterval adalah Δ𝑥 =³⁻¹_𝑛 = ²_𝑛, dan

𝑃: 1 = 𝑥₀ < 𝑥₁ < ⋯ < 𝑥_𝑛−1 < 𝑥_𝑛 = 3 dengan 𝑥_𝑖 = 1 + 𝑖. Δ𝑥 = 1 +^2𝑖_𝑛 Perhatikan interval ke – 𝑖 yaitu 𝑥𝑖−1, 𝑥_𝑖 .

Bentuk persegipanjang dengan lebar Δ𝑥 dan tinggi 𝑓 𝑥_𝑖−1 . Sehingga luas persegipanjang adalah sebagai berikut :

𝐿 ∆𝑅_𝑛 = 𝑓 𝑥_𝑖 Δ𝑥.

Jika proses dilakukan untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, maka akan diperoleh luas seluruh poligon yang berada di bawah kurva 𝑓 𝑥 = 𝑥².

Dengan demikian luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut :

(19)

Matlab Dan lim𝑛→∞𝐿 𝑅_𝑛 =²⁶₃.

Dari hasil di atas menunjukkan bahwa perhitungan luas tidak bergantung pada jenis poligon yag digunakan. Untuk 𝑛 → ∞ keduanya memberikan hasil yag sama.

3. Jumlah Riemann

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada interval tutup 𝑎, 𝑏 dengan partisi atas n bagian (Perhatikan gambar berikut)

(20)

Matlab Partisikan interval 𝑎, 𝑏 atas n bagian (dengan lebar yang tidak perlu sama).

𝑃: 𝑎 = 𝑥₀ < 𝑥₁ < ⋯ < 𝑥_𝑛−1 < 𝑥_𝑛 = 𝑏 dan misalkan ∆𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1.

Pada subinterval 𝑥𝑖−1, 𝑥_𝑖 pilih titik yang mewakili, misalkan 𝑥 _𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Pertanyaan Pre Praktikum

1. Bagaimana cara membuat poligon luar dan poligon dalam?

2. Bagaimana cara menghitung luas daerah dengan menggunakan poligon luar dan poligon dalam dengan menggunakan matlab?

Metode Praktikum / Prosedur kerja a. Bekerja dengan rsum

rsums(f) merupakan salah satu tool yang disediakan oleh matlab. rsum(f) merupakan pendekatan nilai integral dari f(x) yang dapat digunakan secara interaktif dengan mengambil nilai tengah dari jumlah Riemann untuk x dari 0 sampai 1 (Team, 2016). rsums(f) juga menampilkan grafik f(x) dengan menggunakan 10 bentuk persegi panjang/partisi. Banyaknya persegi panjang/partisi yang ditampilkan dapat diubah sesuai dengan keinginan dengan hanya menggeser slider yang ada pada bagian bawah grafik. Tinggi dari tiap persegi panjang merupakan nilai dari fungsi dari titik tengah interval.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut :

(21)

Matlab Hitunglah jumlah Riemann dari 𝑓 𝑥 = 𝑥²

Maka scrip pada Matlab untuk permasalahan di atas adalah sbagai berikut :

dengan grafik adalah sebagai berikut :

Keterangan : 1. Fungsi f(x)

2. Nilai jumlah Riemann 3. Jumlah partisi

4. Tombol slider

Tombol slider digunakan untuk menambah jumlah partisi yang ditampilkan.

Secara otomatis, grafik hanya menampilkan 10 partisi dari tiap fungsi yang dicari. Untuk mengubah banyaknya partisi yang ditampilkan, cara yang ditempuh sangat mudah yakni hanya dengan menggeser slider ke kiri dan ke kanan saja. Perhatikan gambar berikut :

(22)

Matlab Gari grafik terlihat bahwa posisi slider bergeser ke kanan dengan jumlah partisi yang ditampilkan adalah 10 partisi. Karena banyaknya partisi berubah, maka nilai fungsinya juga berubah.

Secara otomatis, interval x yang dihitung dari tiap fungsi adalah dari 0 sampai dengan 1, bagaimana jika interval yang diinginkan adalah dari 0 sampai 10?

Perhatikan contoh berikut :

Hitunglah jumlah Riemann dari 𝑓 𝑥 = 𝑥² pada interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 10.

Jawab :

Untuk menjawab soal di atas, maka scrip Matlab yang digunakan adalah sbagai berikut :

dengan grafik yang diperoleh adalah sebagai berikut :

(23)

Matlab Pertanyaan Pasca Praktikum

Dengan mengikuti prosedur yang telah dijelaskan di atas, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik – grafik berikut :

a. 𝑦 = 𝑥²+ 2; 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 b. 𝑦 = 𝑥³− 1; 𝑥 = 1, 𝑥 = 4

(24)

(25)

(Integral Tentu)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi f dan anti turunannya 2. Mahasiswa mampu membuat scrip menghitung hasil intergral tentu

Dasar Teori Definisi:

catatan : definite integral sering disebut sebagai Integral Riemann.

Untuk menentukan nilai definite integral secara langsung dengan definisi di atas maka kita harus menggunkan jumlah Riemann (jumlah Riemann akan dijelaskan dalam contoh). Hal ini kurang efisien, terkadang dalam perhitungannya menemui kesalahan.

Oleh karena itu, nilai definite integral ditentukan dengan menggunakan teorema dasar integral kalkulus berikut ini :

Sifat- Sifat Umum Definite Integral :

(26)

Matlab Pertanyaan Pre Praktikum

Bagaimanakah cara menghitung integral tentu dengan menggunakan matlab?

Metode Praktikum / Prosedur kerja 1. Menghitung nilai integral tak tentu

Tentukan nilai integral dari 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 Jawab :

Seperti yang telah diketahui bersama bahwa nilai integral dari 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 adalah – cos 𝑥. Jika menggunakan Matlab, scrip yang digunakan adalah sebagai berikut :

(27)

Matlab Untuk melihat perbedaan grafik fungsi sin(x) dan –sin(x), gunakan crip sebagai berikut :

2. Menghitung nilai integral tentu Tentukan hasil dari integral berikut :

sin 𝑥 𝑑𝑥

𝜋

0

Jawab

(28)

Matlab a. 𝑥 + 2𝑥 + 1₀⁴ 𝑑𝑥

b. 𝑥₀¹ ²+ 𝑥²+ 1 ²𝑥 𝑑𝑥 c. 2𝑥 + sin 𝑥 𝑑𝑥₀^𝜋²

(29)

(Aplikasi Integral Tentu – Menghitung Luas)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat mengganbar grafik fungsi yang diberikan 2. Mahasiswa mampu menentukan batas nilai integran

3. Mahasiswa dapat menghitung luas daerah dari fungsi yan diberikan

Dasar Teori

a. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu x Perhatikan gambar berikut :

Sumber : (Darmayasa, 2016)

Untuk daerah yang berada di atas sumbu x, misalkan diketahui fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), dibatasi oleh sumbu x, garis 𝑥 = 𝑎 dan garis 𝑥 = 𝑏, maka luas daerah R adalah sebagai berikut :

𝐿 𝑅 = 𝑦 𝑑𝑥 =

𝑏 𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Untuk daerah yang berada di bawah sumbu x, misalkan diketahui fungsi 𝑦 = 𝑔(𝑥), dibatasi oleh sumbu x, garis 𝑥 = 𝑐 dan garis 𝑥 = 𝑑, maka luas daerah R adalah sebagai berikut :

𝐿 𝑆 = − 𝑦 𝑑𝑥^𝑑

𝑐

= − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥^𝑑

𝑐

(30)

Matlab Sumber : (Darmayasa, 2016)

Misalkan terdapat kurva 𝑦₁ = 𝑓 𝑥 , 𝑦₂ = 𝑔(𝑥) yang dibatasi oleh garis 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏, maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut adalah sebagai berikut :

𝐿 𝑢 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥^𝑏

𝑎

Hal – hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan luas suatu daerah adalah sebagai berikut :

a. Sketsa grafik dari kedua kurva tersebut dalam bidang kartesius

b. Tentukan batas – batas pengintegralan. Batas pengintegralan diperoleh dari absis titik potong kedua kurva

1. Bagaimanakah cara menentukan luas daerah dari kurva yang diberikan?

2. Bagaimanakan cara mencari luas daerah diantara dua kurva yang diberikan?

Metode Praktikum / Prosedur kerja a. Luas Daerah di bawah kurva

1. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥² dengan −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Gambar dan tentukan luas daerahnya.

Jawab :

Scrip untuk menjawab soal tersebut adalah sebagai berikut :

(31)

Matlab Dengan daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut :

Dimana luas daerah yang dibawah kurva 𝑓 𝑥 = 𝑥² dengan −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 adalah 5.333.

2. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥³ untuk 0.5 ≤ 𝑥 ≤ 2. Buatlah daerah yang dimaksud dan tentukan luas daerahnya!

Jawab :

Dengan mengunakan scrip berikut :

Diperoleh daerah yang diarsir adalah sebagi berikut :

(32)

Matlab b. Menentukan luas daerah diantara dua buah kurva

Diketahui 𝑦₁ = 𝑥² dan 𝑦₂ = 2𝑥. Tentukan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut dan hitung luasnya!

Jawab :

Untuk menggambar daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva, scrip yang digunakan adalah sebagai berikut :

dengan daerah yang muncul adalah sebagai berikut :

(33)

Matlab Untuk menentukan luas suatu daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva, hal yang perlu diperhatikan adalah batas integrasi, yang biasanya diperoleh dari

perpotongan dari kedua kurva tersebut. Oleh karena itu, hal yang perlu dicari adalah titik potong dari kedua kurva tersebut dengan cara sebagai berikut :

Dengan menggunakan scrip di atas, diperoleh titik potong adalah 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2 (sama seperti yang terlihat pada gambar di atas).

Setelah batas integrasi sudah diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan luas daerah yang di batasi oleh 𝑦₁ = 𝑥² dan 𝑦₂ = 2𝑥 adalah sebagai berikut :

Jadi luas daerah yang di arsis adalah 1.333 satuan luas.

Tentukan daerah (gambarkan dan arsirlah) dan tentukan luasnya jika diketahui fungsi berikut :

a. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥², yang dibatasi oleh 𝑥 = 1, 𝑥 = 3 dan sumbu x b. 𝑦 = 𝑥²− 5𝑥 + 4, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 dan dibatasi oleh sumbu x c. 𝑦 = − sin 𝑥, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 dan dibatasi oleh sumbu x d. 𝑦 = 𝑥²− 2𝑥 dan 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥²

e. 𝑦 = 5 − 𝑥² dan 𝑦 = 𝑥 − 1 ² f. 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 =¹₂𝑥, dan𝑥 + 𝑦 = 6

(34)

Matlab

(35)

(Volume Benda Putar – Daerah yang diputar Mengelilingi sumbu X)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi asal

2. Mahasiswa mampu menentukan bentuk dari benda putar

3. Mahasiswa dapat menetukan bentuk benda putar yang dihasikan

4. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dari perputaran grafik diputar mengelilingi sumbu x dan garis 𝑦 = 𝑕

Dasar Teori

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), sumbu x, garis 𝑥 = 𝑎 dan garis 𝑥 = 𝑏 diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

𝑉 = 𝜋 𝑦²𝑑𝑥

𝑏

𝑎

(sumber : (Zaelani, Cunayah, & Irawan, 2008))

1. Bagaimanakah cara memutar grafik fungsi mengelilingi sumbu x ? 2. Bagaimanakah cara menghitung volume benda putar yang dihasilkan ?

1. Gambarkan benda yang dihasilkan dari fungsi 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 jika diputar mengelilingi sumbu x

Jawab :

Untuk membuat benda hasil perputaran fungsi di atas, perhatikan scrip berikut:

a. Langkah pertama adalah dengan mendefinisikan fungsi yang dimaksud

b. Tampilkan fungsi asal

(36)

Matlab e. Tampilkan benda hasil rotasi dalam sumbu XY

Sehingga diperoleh tampilan sebagai berikut :

Atau jika sudut pandang aksis diubah, maka akan menghasilkan tampilan grafik yang berbeda pula. Perhatikan contoh berikut, jika benda putar yang diperoleh dilihat dari bagian belakang, maka scrip dan tampilan yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

(37)

Matlab 2. Hitunglah volume benda putar jika diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥³ diputar mengelilingi

sumbu x untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2.

Jawab :

Untuk menampilkan benda yang dihasilkan, silahkan gunakan scrip dan prosedur seperti pada contoh nomor 1. Sedangkan untuk menentukan volumenya, berikut ini adalah scrip dan besar volume dari masalah di atas

(38)

1. Buatlah scrip jika diketahui benda pejal berikut : Hint : fungsi yang ditampilkan adalah 𝑓 𝑥 = cos 𝑥

2. Buatlah sketsa grafik asal, benda putar yang dihasilkan dan tentukan pula volume benda putar tersebut jika diketahui fungsi asal sebagai berikut :

a. 𝑦 = 𝑥², untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, dibatasi oleh sumbu x, dan diputar mengelilingi sumbu x

b. 𝐷 = 𝑥, 𝑦 : −2 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑦 ≤ 4 − 𝑥² , diputar mengelilingi sumbu x

(39)

Matlab

(40)

(41)

(Volume Benda Putar – Daerah yang diputar Mengelilingi sumbu Y)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat menggambar grafik fungsi asal

2. Mahasiswa mampu menentukan bentuk dari benda putar

3. Mahasiswa dapat menetukan bentuk benda putar yang dihasikan

4. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dari perputaran grafik diputar mengelilingi sumbu y dan garis 𝑥 = 𝑙

Dasar Teori

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑔(𝑦), sumbu y, garis 𝑦 = 𝑐 dan garis 𝑦 = 𝑑 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

𝑉 = 𝜋 𝑥^𝑑 ²𝑑𝑦

𝑐

(sumber : (Zaelani et al., 2008)) Pertanyaan Pre Praktikum

1. Bagaimanakah cara menentukan volume benda putar jika kurva diputar mengelilingi sumbu y?

2. Apa yang terjadi jika kurva diputar mengelilingi garis 𝑥 = 𝑙 ?

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥² dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. Jika 𝑓 𝑥 diputar mengelilingi sumbu y, maka tentukanlah gambar benda yang dihasilkan beserta volumenya.

Jawab :

Dari soal diketahui fungsi 𝑦 = 𝑥². Karena fungsi 𝑦 = 𝑥² akan diputar mengelilingi sumbu y, maka fungsi dan interval dari fungsi harus diubah terlebih dahulu, sehingga diperoleh 𝑥 = 𝑦 untuk 0 ≤ 𝑦 ≤ 4.

Untuk memastikan bahwa perubahan fungsi dan interval dari fungsi tersebut sama dengan fungsi yang diketahui, tidak ada salahnya terlebih dahulu dicek kebenarannya dengan memplot grafik fungsi tersebut dengan tahapan dan scrip sebagai berikut : 1. Menampilkan grafik fungsi y= 𝑥² dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 dan 𝑥 = 𝑦 untuk 0 ≤ 𝑦 ≤ 4.

(42)

Matlab 2. Menampilkan bentuk benda dari hasil rotasi terhadap sumbu y

Perhatikan grafik berikut :

Grafik di atas diperoleh dengan scrip sebagai berikut:

(43)

Matlab 3. Menghitung volume benda

Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 1 dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 5. Tentukan bentuk benda putar dan volume yang dihasilkan jika 𝑓 𝑥 diputar mengelilingi sumbu x dan sumbu y !

(44)

(45)

(Volume Benda Putar – Daerah antara dua kurva)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat menentukan daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva

2. Mahasiswa dapat menentukan bentuk benda putar yang dihasilkan dari perputaran dua buah kurva yag diketahui

3. Mahasiswa mampu menentukan volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran dua buah kurva yang diketahui

Dasar Teori

Bentuk dan volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran dua buah kurva tergantung dari sumbu putar yang akan digunakan. Ada 4 jenis sumbu putar yang biasanya digunakan, yaitu sumbu x, sumbu y, garis 𝑥 = 𝑕, dan garis 𝑦 = 𝑙

a. Mengelilingi sumbu x

Daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦₂ = 𝑔(𝑥) dan 𝑦₁ = 𝑓(𝑥), garis 𝑥 = 𝑎, dan garis 𝑥 = 𝑏.

Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka volume yang dihasilkan adalah sebagai berikut :

𝑉 = 𝜋 𝑦^𝑏 ₂²− 𝑦₁² 𝑑𝑥

𝑎

(sumber : (Zaelani et al., 2008))

(46)

Matlab Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu y, maka volume yang dihasilkan

adalah sebagai berikut :

𝑉 = 𝜋 𝑥^𝑏 ₁² − 𝑥₂² 𝑑𝑦

𝑎

(sumber : (Zaelani et al., 2008))

1. Bagaimanakah cara menggambar benda putar yang dibatasi oleh dua buah kurva?

2. Bagaimanakah cara menghitung volume benda putar ? Metode Praktikum / Prosedur kerja

a. Diputar mengelilingi sumbu X

Diketahui 𝐷 = 𝑥, 𝑦 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4,¹₂𝑥 + 1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 2 diputar terhadap sumbu x, tentukan volume benda putar yang terjadi !

Jawab :

Untuk menjawab soal di atas, perhatikan langkah – langkah berikut : 1. Membuat grafik asal

Dari soal diketahui 𝐷 = 𝑥, 𝑦 : 0 ≤ 𝑥 ≤ 4,¹₂𝑥 + 1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 2 , maka diperoleh grafik sebagai berikut:

(47)

Matlab 2. Memutar grafik mengelilingi sumbu x

(48)

Matlab b. Diputar mengelilingi sumbu Y

Misalkan diketahui parabola 𝑦 = 𝑥² dan parabola 𝑦 = 4𝑥² dan garis 𝑦 = 4.

Tentukanlah benda pejal yang dihasilkan berikut volumenya jika parabola terebut diputar mengelilingi sumbu y! (sumber : (Martono, 1999))

Jawab :

Sama halnya dengan menjawab soal pada bagian a di atas, langkah –langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Membuat grafik asal

dri soal diketahui parabola 𝑦 = 𝑥² dan parabola 𝑦 = 4𝑥² dan garis 𝑦 = 4.

Maka diperoleh grafik sebagai berikut :

(49)

Matlab 2. Memutar grafik asal mengelilingi sumbu y

3. Menentukan volume benda pejal yang dihasilkan

(50)

1. Buatlah grafik fungsi asal, benda putar yang dihasilkan (diputar mengelilingi sumbu x dan sumbu y), dan tentukan pula volume yang dihasilkan untuk fungsi berikut :

a. 𝑦 = 𝑥² dan garis 𝑦 = 2𝑥

b. 𝑥 = 𝑦 − 2 ² dan garis 𝑥 + 𝑦 = 4 c. 𝑦 = 𝑥² dan 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥²

d. 𝑦 = 𝑥, untuk 2 ≤ 𝑥 ≤ 4, dan garis 𝑦 = 3

e. Kurva 𝑥 = 2 2 𝑦², lingkaran 𝑥²+ 𝑦² = 9, dan dibatasi oleh sumbu y

2. Jika perputaran kurva pada nomor 1 di atas diubah mengelilingi 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 3, bagaimanakah hasilnya?

(51)

(Panjang Kurva dan Luas Permukaan Benda Putar)

Tujuan Praktikum

1. Mahasiswa dapat membuat kurva asal

2. Mahasiswa mampu menghitung pajang kurva asal 3. Mahasiswa dapat membuat beda putar

4. Mahasiswa mampu menghitung luas permukaan benda putar yang dihasilkan

Dasar Teori

1. Panjang Kurva

Misalkan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) memiliki kurva halus pada interval 𝑎, 𝑏 , panjang busur 𝑓 antara a dan b adalah sebagai berikut :

𝑠 = 1 + 𝑓^𝑏 ^′(𝑥) ²

𝑎 𝑑𝑥

Dengan cara yang sama, untuk kurva yang diberikan oleh 𝑥 = 𝑔(𝑦), panjang busur g antara c dan d adalah sebagai berikut :

𝑠 = 1 + 𝑔^𝑏 ^′(𝑦) ²

𝑎 𝑑𝑦

Contoh :

Tentukan panjang busur dari titik 𝑥₁, 𝑦₁ ke 𝑥₂, 𝑦₂ pada grafik 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, seperti yang ditunjukkan pada grafik berikut :

Jawab :

Dari soal diketahui

(52)

Matlab 2. Luas Permukaan Benda Putar

a. Pemutaran mengelilingi sumbu x

Andaikan 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 adalah persamaan kurva licin pada kuadran pertama (dan kedua) bidang xy. Apabila kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka akan membentuk suatu permukaan. Luas dari bagian ini dapat dihampiri oleh sebuah luas sebuah kerucut terpancung, yaitu

𝐴 = lim

𝑃 →0 2𝜋𝑦_𝑖∆𝑠_𝑖 = 2𝜋𝑦𝑑𝑠

∗∗

∗ 𝑛

𝑖=1

(sumber : (Purcell & Varberg, 1994)) b. Pemutaran mengelilingi sumbu y

Sama halnya dengan pemutaran terhadap sumbu x, luas daerah untuk pemutaran terhadap sumbu y adalah sebagai berikut :

𝐴 = lim

𝑃 →0 2𝜋𝑥_𝑖∆𝑠_𝑖 = 2𝜋𝑥𝑑𝑠

∗∗

∗ 𝑛

𝑖=1

(sumber : (Purcell & Varberg, 1994))

(53)

Matlab Catatan :

𝑑𝑠 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2

𝑑𝑥 = 1 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦

2

𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡

2

+ 𝑑𝑦 𝑑𝑡

2

𝑑𝑡 Pertanyaan Pre Praktikum

1. Bagaimanakah cara menentukan panjang dari sebuah kurva ?

2. Bagaimanakah cara menghitung luas permukaan dari benda pejal yang terbentuk dari perputaran kurva mengelilingi sumbu yang diberikan?

Misalkan diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 4. Tentukan : a. Panjang kurva

b. Luas permukaan benda putar jika kurva diputar mengelilingi sumbu x ! Jawab :

a. Panjang kurva

Untuk menentukan panjang kurva tersebut, terlebih dahulu dibuat kurva yang sesuai dengan fungsi yang diketahui, yaitu 𝑓 𝑥 = 𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, kemudian putar kurva tersebut mengelilingi sumbu x, sehingga diperoleh sebagai berikut :

(54)

Matlab b. Luas permukaan benda putar

Dari gambar di atas diketahui bahwa benda pejal yang dihesilkan berbentuk sebuah kerucut, maka luas permukaan dari kerucut tersebut adalah sebagai berikut :

Tentukan panjang kurva berikut ini! Tetukan pula luas permukaan dari benda yang dihasilkan jika kurva tersebut di putar mengelilingi sumbu x dan sumbu y!

a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 b. Lingkaran 𝑥²+ 𝑦² = 9

c. 𝑦 = 𝑥², untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, dibatasi oleh sumbu x d. 𝑓 𝑥 = 𝑥²+ 1 dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 5

e. 𝑓 𝑥 = 𝑥 dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 4

(55)

Matlab

(56)

(57)

Matlab DAFTAR PUSTAKA

Darmayasa, P. (2016). Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral. Retrieved February 14, 2017, from http://www.konsep-

matematika.com/2016/03/menghitung-luas-daerah-menggunakan-integral.html Martono, K. (1999). Kalkulus. Jakarta: Erlangga.

Purcell, E. J., & Varberg, D. (1994). Kalkulus dan Geometri Analitis (5th ed.). Jakarta:

Erlangga.

Team. (2016). Interactive evaluation of Riemann sums - MATLAB. Retrieved January 4, 2017, from

https://www.mathworks.com/help/symbolic/rsums.html?requestedDomain=ww w.mathworks.com

Widiarsono, T. (2005). TUTORIAL PRAKTIS. Jakarta.

Zaelani, A., Cunayah, C., & Irawan, E. I. (2008). 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung: Yrama Widya.