PEMBANGKIT VARIABEL RANDOM

(1)

BAB II BAB II

LANDASAN TEORI LANDASAN TEORI

2.1

2.1 Definisi Definisi Program Program Yang Yang DigunakanDigunakan

Dalam mempelajari simulasi, sesuatu yang dibuthkan adalah kemampuan dalam Dalam mempelajari simulasi, sesuatu yang dibuthkan adalah kemampuan dalam membangkitkan bilangan random, dimana apabila merandom sebuah data, maka yang membangkitkan bilangan random, dimana apabila merandom sebuah data, maka yang keluar adalah data berdistribusi uniform (0,1). Dalam pembahasan di bawah ini, akan keluar adalah data berdistribusi uniform (0,1). Dalam pembahasan di bawah ini, akan dijelaskan mengenai bagaimana membangkitkan data variable random.

dijelaskan mengenai bagaimana membangkitkan data variable random. P

Pemembabangngkikitatan n BiBilalangngan an AAcacak- k- PsePseududororanandodom m NumbNumbeer r GeGeneneraratitionon Ps

Pseueudo= do= sesemu mu seseolaolah-oh-olalah h apapa a yayang ng didirarandondomkmkan an beberdrdisistrtribuibusi si uniuniforform m (0(0,1,1)) Satu hal yang paling sering digunakan dalam pseudorandom generation yaitu dimulai Satu hal yang paling sering digunakan dalam pseudorandom generation yaitu dimulai dengan X0, sehingga nantinya akan didapatkan Xn, dimana Xn=aXn-1 modulo m

dengan X0, sehingga nantinya akan didapatkan Xn, dimana Xn=aXn-1 modulo m Misalnya: a=2, m=5 , X0 = 3

Misalnya: a=2, m=5 , X0 = 3

X1= 2(1) modulo 5 =1 Xn=aXn-1 modulo m X1= 2(1) modulo 5 =1 Xn=aXn-1 modulo m X2= 2(3) modulo 5 =2 u = Xn/m ~U (0,1) X2= 2(3) modulo 5 =2 u = Xn/m ~U (0,1) X3= 2(2) modulo 5 =4 X~U (a,b)

X3= 2(2) modulo 5 =4 X~U (a,b) X4= 2(4) modulo 5 =3

X4= 2(4) modulo 5 =3 Note:

Note: modulo amodulo adalah sisdalah sisa hasil a hasil bagi suabagi suatu bilatu bilangan dengangan dengan suatu niln suatu nilai (dalamai (dalam kasus ini menggunakan nilai m)

kasus ini menggunakan nilai m)

Misalkan ada suatu digit angka sebagai berikut: Misalkan ada suatu digit angka sebagai berikut:

I = 1 I = 1 II = 3 II = 3

Modul Modul II II

Dinar Resita Cesilvrenia ( 0932010027 ) Dinar Resita Cesilvrenia ( 0932010027 ) Senin I / Meja

(2)

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial Cancel Anytime.

(3)

Start Free Trial Cancel Anytime. III = 7 III = 7 .. .. .. III … I = … III … I = … un

unttuk uk memengngetetahahui ui bibilalangngan an dedengngan an 32 32 didigigit, t, mamaka ka dadapapat t didikeketatahuhui i dedengnganan:: 2k-1 dengan k=1,2,..

2k-1 dengan k=1,2,..

Sehingga didapatkan III … I(hingga 32 ) =232-1=4294967295 Sehingga didapatkan III … I(hingga 32 ) =232-1=4294967295 Contoh pembangkitan data variable Random:

Contoh pembangkitan data variable Random: 1. Distribusi Uniform

1. Distribusi Uniform Se

Secacara ra rarandndom om dididadapapatktkan an U~U~U U (0(0,1,1). ). ApApababilila a didibeberi ri babatatasasan n (a(a,b,b), ), mamakaka m

meenngghhaassiillkkaan n ppeemmbbaannggkkiit t vaarriiaabv beel l rraannddoom m sseebbaaggaai i bbeerriikkuutt:: X = U(b-a)+a dengan a=batas atas dan b= batas bawah

X = U(b-a)+a dengan a=batas atas dan b= batas bawah 2. Distribusi Exponensial

2. Distribusi Exponensial Dapat diketahui bahwa, Dapat diketahui bahwa, f(x)= (1/β)e-x/ β

f(x)= (1/β)e-x/ β

F(x)= 1- e-x/ β, dengan β=1, maka menjadi F(x)= 1- e-x F(x)= 1- e-x/ β, dengan β=1, maka menjadi F(x)= 1- e-x Apabil

Apabila a U adalah U adalah suatu bilangan random dari suatu bilangan random dari data berdistridata berdistribusi uniform(0,1busi uniform(0,1), ), makamaka pemba

pembangkit varngkit variabel raiabel randomnya ndomnya adalah seadalah sebagai berbagai berikut:ikut: U = 1-e-x

U = 1-e-x U-1 =- e-x U-1 =- e-x

(4)

(5)

Start Free Trial Cancel Anytime. -x = ln U -x = ln U x =- ln U x =- ln U 2.1.1

2.1.1 FunFungsi Pemgsi Pembangbangkit Varkit Variabeiabel Randl Random berom berbagbagai Distrai Distribusi denibusi dengan Pgan Pascaascall Ber

Berikut ikut DafDaftar tar DisDistritribusbusi i yang yang akaakan n dibdiberierikan kan fungfungsi si pempembangbangkit kit varvariabeiabell randomnya : randomnya : 1. Distribusi uniform 1. Distribusi uniform 2. Distribusi Eksponensial 2. Distribusi Eksponensial 3. Distribusi Normal 3. Distribusi Normal 4. Distribusi Lognormal 4. Distribusi Lognormal 5. Distribuso Weibull 5. Distribuso Weibull 6. Distribusi t-student 6. Distribusi t-student 7. Distribusi fisher 7. Distribusi fisher

1) Fungsi Distribusi Uniform 1) Fungsi Distribusi Uniform

Function Uniform (a,b : double) : double; Function Uniform (a,b : double) : double; Var u : double; Var u : double; Begin Begin u := random; u := random; Uniform := (b-a) * u + a; Uniform := (b-a) * u + a; End; End;

(6)

(7)

Function Eksponensial (beta : double) : double; Function Eksponensial (beta : double) : double; Var u : double; Var u : double; Begin Begin u := random; u := random;

Eksponensial := -beta * ln(u); Eksponensial := -beta * ln(u); End;

End;

3) Fungsi Distribusi Normal 3) Fungsi Distribusi Normal

Procedure Normal (mean,variance : double ; Var z1,z2 : double); Procedure Normal (mean,variance : double ; Var z1,z2 : double); Var u1,u2,v1,v2,w,y,x1,x2 : double;

Var u1,u2,v1,v2,w,y,x1,x2 : double; Begin Begin Repeat Repeat u1 := random; u1 := random; u2 := random; u2 := random; v1 := 2 * u1 – 1; v1 := 2 * u1 – 1; v2 := 2 * u2 – 1; v2 := 2 * u2 – 1; w := sqr(v1) + sqr(v2); w := sqr(v1) + sqr(v2); if w <= 1 then if w <= 1 then begin begin y := sqrt ((-2*ln(w))/w); y := sqrt ((-2*ln(w))/w); x1 := v1 * y; x1 := v1 * y; x2 := v2 * y; x2 := v2 * y;

(8)

(9)

Start Free Trial Cancel Anytime. end end Until w <= 1; Until w <= 1; End; End;

4) Procedure Distribusi Lognormal 4) Procedure Distribusi Lognormal

proce

procedure lognordure lognormal (memal (mean,varr : an,varr : double;double; Var zln1,zln2 : double);

Var zln1,zln2 : double); Var y1, y2 : double; Var y1, y2 : double; begin

begin Normal

Normal (mean,va(mean,varr,y1,y2)rr,y1,y2);; zln1 := exp(y1); zln1 := exp(y1); zln2 := exp(y2); zln2 := exp(y2); end; end;

5) Fungsi Distribusi Weibull 5) Fungsi Distribusi Weibull

Function Weibull (alfa,beta: double) : double; Function Weibull (alfa,beta: double) : double; Var u,z : double;

Var u,z : double; Begin Begin u := random; u := random; z := -ln(u); z := -ln(u);

Weibull := beta * exp (ln(z)/alfa); Weibull := beta * exp (ln(z)/alfa); End;

(10)

(11)

function tdistribution(m:integer):double; function tdistribution(m:integer):double; Label r2;

Label r2;

Var v,x,r,s,c,a,f,g,mm : real; Var v,x,r,s,c,a,f,g,mm : real; begin begin mm:=0; mm:=0; if m < 1 then if m < 1 then begin begin

writeln('impermissible degrees of freedom.'); writeln('impermissible degrees of freedom.'); halt; halt; end; end; if (m mm) then if (m mm) then begin begin s:=m; s:=m; c:=-0.25*(s+1); c:=-0.25*(s+1); a:=4/power((1+1/s),c); a:=4/power((1+1/s),c); f:=16/a; f:=16/a; if m>1 then if m>1 then begin begin g:=s-1; g:=s-1; g:=power(((s+1)/g),c)*sqrt((s+s)/g); g:=power(((s+1)/g),c)*sqrt((s+s)/g); end else end else

(12)

(13)

Start Free Trial Cancel Anytime. end; end; r2:repeat r2:repeat r:=random; r:=random; until r > 0.0; until r > 0.0; x:=(2*random-1)*g/r; x:=(2*random-1)*g/r; v:=x*x; v:=x*x; if (v>(5-a*r)) then if (v>(5-a*r)) then begin begin

if ((m>=3) and (r*(v+3)>f)) then goto r2; if ((m>=3) and (r*(v+3)>f)) then goto r2; if (r>power((1+v/s),c)) then goto r2; if (r>power((1+v/s),c)) then goto r2; end; end; tdistribution :=x; tdistribution :=x; end; end; begin begin tipe11[1]:=0.2; tipe11[1]:=0.2; tipe11[1]:=0.3; tipe11[1]:=0.3;

(14)

(15)

Ada lima metode pembangkitan variabel random yaitu Transformasi Invers, Ada lima metode pembangkitan variabel random yaitu Transformasi Invers, Metode Konvolusi, Metode Komposisi, Metode Acceptance-Rejection, dan Adaptive Metode Konvolusi, Metode Komposisi, Metode Acceptance-Rejection, dan Adaptive Acc

Accepteptanceance-Re-Rejectjection. ion. UnsUnsur ur dasadasar r yang yang dibudibutuhktuhkan an tiatiap p metmetode ode pempembangbangkitkitanan te

tersrsebuebut t adaadalalah h bilbilangangan an rarandondom m yayang ng memememenuhnuhi i sisifafat t IIIIDUDU~(~(0,0,1). 1). PePentintingnngnyaya dist

distriburibusi si U~U~(0,1(0,1) ) ini ini berberasaasal l dari dari kenykenyataaataan n bahwbahwa a varvariabeiabel-val-variariabel bel ranrandom dom dardarii semua distribusi (weibull, exponensial, dll)

semua distribusi (weibull, exponensial, dll) dan dan realisrealisasi asi bermacabermacam-macam-macam m proseprosess ra

randondom m bisbisa a di di dapdapatatkan kan dedengangan n mementrntrasasforformamasisikankan, , memengkngkonvonvololususikaikan n dadann mengkom

mengkomposisiposisikan kan variabevariabel l random IIDU~(0random IIDU~(0,1) ,1) menjadi variabel menjadi variabel distrdistribusi ibusi lain yanglain yang diinginkan / Transformasi Invers.

diinginkan / Transformasi Invers. Metod

Metode e transfotransformasi invers adalah rmasi invers adalah metode pembangkimetode pembangkit t variabel random palingvariabel random paling sederhana. Namun, hanya berlaku untuk variabel random yang mempunyai bentuk sederhana. Namun, hanya berlaku untuk variabel random yang mempunyai bentuk distribusi kumulatif (CDF).

distribusi kumulatif (CDF). Contoh :

Contoh :

Jika X~Eksponensial (λ)maka tentukan variavel random pembangkit variabel Jika X~Eksponensial (λ)maka tentukan variavel random pembangkit variabel randomnya dengan menggunakan metode transformasi invers.

randomnya dengan menggunakan metode transformasi invers. Jawab

(16)

(17)

Distribusi ini mempunyai CDF close form, yaitu Distribusi ini mempunyai CDF close form, yaitu

Sehingga pembangkitan variabel randomnya adalah Sehingga pembangkitan variabel randomnya adalah

(18)

(19)

Pseudrom number disebut juga dengan random semu. Disebut dengan random Pseudrom number disebut juga dengan random semu. Disebut dengan random sem

semu u dikdikarearenakanakan n walwalaupuaupun n datdata a sudsudah ah diradirandom ndom akaakan n tettetapi api terterdapadapat t nilnilai ai yangyang berula

berulang secara tng secara teratureratur.. Contoh : Contoh : a = 2, m = 5, xo = 3 a = 2, m = 5, xo = 3 x1 = 2(3) modulo 5 = 1 x1 = 2(3) modulo 5 = 1 x2 = 2(1) modulo 5 = 2 x2 = 2(1) modulo 5 = 2 x3 = 2(2) modulo 5 = 4 x3 = 2(2) modulo 5 = 4 x4 = 2(4) modulo 5 = 4 x4 = 2(4) modulo 5 = 4 ata

atau u secsecara ara rumrumus us dapdapat at dirdirumuumuskan xn skan xn = = axn-axn-1. 1. PerPersamsamaan aan ini digunakini digunakan an untuuntuk k menduga variabel random dari distribusi uniform (0,1)

menduga variabel random dari distribusi uniform (0,1) 2.1.4

2.1.4 Taksiran VarianTaksiran Varian

Berikut ini adalah salah satu contoh untuk mengetahui apakah varian suatu Berikut ini adalah salah satu contoh untuk mengetahui apakah varian suatu sampel bias terhadap populasinya.

sampel bias terhadap populasinya. Algoritma untuk melakukanya adalah Algoritma untuk melakukanya adalah 1. mulai

(20)

(21)

5. Hitung bias S1 dan S2 dan bandingkan 5. Hitung bias S1 dan S2 dan bandingkan 6. selesai

6. selesai

sebagai catatan S1 merupakan varian populasi dan S2 merupakan varian sampel. sebagai catatan S1 merupakan varian populasi dan S2 merupakan varian sampel. 2.1.5

2.1.5 Mencari Phi Menggunakan PascalMencari Phi Menggunakan Pascal

Kita juga dapat menggunakan persamaan lingkaran X2+Y2=1 untuk mencari Kita juga dapat menggunakan persamaan lingkaran X2+Y2=1 untuk mencari lu

luas as lliningkgkararanan. . DDimimanana a titititik k x x ~ ~ U(U(00,1,1) ) dadan n y y ~ ~ UU(0(0,1,1). ). SeSehihingngga ga dedengnganan membangkitkan data untuk distribuís binomial kita bisa memperoleh nilai dari phi. membangkitkan data untuk distribuís binomial kita bisa memperoleh nilai dari phi. Algoritma untuk program ini hádala

Algoritma untuk program ini hádala 1. mulai 1. mulai 2. i = 0 2. i = 0 3. i = i+1 3. i = i+1 4. bangkitkan 10000 titik 4. bangkitkan 10000 titik x ~ U(0,1) x ~ U(0,1) y ~ U(0,1) y ~ U(0,1) 5. phi= 4* m/n 5. phi= 4* m/n

6. jika i < 1000 pergi ke langkah 3 6. jika i < 1000 pergi ke langkah 3

(22)

(23)

Dengan algoritma d atas dapat dibuat syntag sebagai berikut Dengan algoritma d atas dapat dibuat syntag sebagai berikut

untuk runing 2 kali diperoleh sebagai berikut untuk runing 2 kali diperoleh sebagai berikut

(24)

(25)

(26)

(27)

Berikut ini adalah syntag program pascal Berikut ini adalah syntag program pascal

(28)

(29)

hasil yang diperoleh hasil yang diperoleh

(30)

(31)

Dapat di gambarkan sebagai berikut Dapat di gambarkan sebagai berikut

Karena statistik digunakan untuk mengestimasi parameter maka harus memenuhu Karena statistik digunakan untuk mengestimasi parameter maka harus memenuhu kriteria

kriteria a. Tak bias a. Tak bias

(32)

(33)

E(x(bar)) = (15+15+20+20+25+25)/6 = 20 E(x(bar)) = (15+15+20+20+25+25)/6 = 20

Karena nilai E(x(bar)) = μ maka estimator/penduga rata-rata sampel yang digunakan Karena nilai E(x(bar)) = μ maka estimator/penduga rata-rata sampel yang digunakan

(34)

(35)

2.2

2.2 Teori PTeori Pogram ogram Yang Yang DibuatDibuat Si

(36)

(37)

dipero

diperoleh leh dapatddapatdinyatakainyatakan n dengan dengan rata-rrata-rata, ata, kadangkadkadangkadang ang ditunjuditunjukkan kkan pulapula pola pe

pola penyimpanyimpangannya.ngannya. b.

b. Model DModel Determeterministik inistik Pa

Pada da momodedel l inini i titidak dak didipeperhrhatatikaikan n unsunsurure e rarandondom, m, sesehinhingggga a pepememecahcahanan masalahnya lebih sederhana.

masalahnya lebih sederhana. 2.

2. BBererdadasasarkrkan an peperurubabahahan n ststatate te tererhahadadap p wawaktktu :u : a)

(38)

(39)

berula

berulang-ulang, dng-ulang, dan pemian pemilihan langlihan langkahnya bekahnya bebas, sampbas, sampai dipeai diperoleh hasroleh hasil yang lil yang lebihebih baik, te

baik, tetapi betapi belum tentlum tentu optimu optimal.al. Langkah – langkah dalam simulasi : Langkah – langkah dalam simulasi : 1.

1. FoFormrmululasasi Mi Masasalalahah

•

• Masalah Masalah : gabungan atara : gabungan atara yang seharusnya dan yang seharusnya dan yang terjadi (kenyataan)yang terjadi (kenyataan)

•

• Perumusan masalah Perumusan masalah : : padat, jelpadat, jelas dan as dan memungkinkan pengumpulan memungkinkan pengumpulan datadata

2.

(40)

(41)

o

o Umum Umum : : fortran, pasfortran, pascal, basic, cal, basic, dlldll o

o Khusus Khusus : : GPSS, GPSS, SIMAN, SIMAN, DINAMO, DINAMO, dlldll

•

• Program khusus simulasi : ProModel, Simul8, Arena, dsbProgram khusus simulasi : ProModel, Simul8, Arena, dsb

6.

6. UjUji vali valididasi asi dahdahn ven verirififikaskasii

•

• UUji ji vavalilidadasisi : : apapakakaah h hahassil il sisimmululasasi i sesesusuai ai dedengngan an ssysystetem m nynyatata a ??

•

• UjUji i veverirififikakasisi : : apapakakah ah pepentntererjejemamahahan n momodedel l susudadah h bebenanar r ??

7

(42)

(43)

1)

1) MiMixexed ld liniinier er CoCongrngruenuentitial al GeGenenerarator tor (L(LCGCG)) C ≠ 0

(44)

(45)

Bilangan random yang baik adalah : Bilangan random yang baik adalah :

1)Berasal dari satu sumber distribusi uniform U (0,1) 1)Berasal dari satu sumber distribusi uniform U (0,1)

(46)

(47)

Pascal mempunyai dua statement untuk membaca data yaitu statement Read dan Pascal mempunyai dua statement untuk membaca data yaitu statement Read dan Rea

(48)

(49)

Pengajuan waktu dalam simulasi : Pengajuan waktu dalam simulasi :

1.

(50)

(51)

Ti

Timiming ng eveventent : : prproceocedurdure e (s(sububprprogograram m pepengngajajuan uan clclockock), ), bibias as teterdirdiri ri dardarii bebera

(52)

(53)

(54)