PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

(1)

PERSAMAAN DIFERENSIAL

PARSIAL

Partial Differential Equations – PDE

(2)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

2

q 

Acuan

q 

Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

(3)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

3

q 

Suatu fungsi u yang bergantung pada x dan y: u(x,y)

q 

Diferensial u terhadap x di sembarang titik (x,y)

q 

Diferensial u terhadap y di sembarang titik (x,y)

(

) (

)

x

y

x

u

y

x

u

x

u

x

_Δ

−

Δ

+

=

∂

→ Δ

,

lim

0

(

) (

)

y

x

u

y

x

u

y

u

y

_Δ

−

Δ

+

=

∂

→ Δ

,

lim

0

(4)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

4 Contoh arti fisik: u elevasi tanah pada peta situasi. u ditunjukkan oleh garis-garis (kontour) elevasi tanah.

X

Y

buat potongan memanjang di sepanjang garis ini à apa yang akan Sdr lihat?

(5)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

5

1

2

₂ 2 2 2

=

+

∂

+

∂

u

y

u

xy

x

u

y

u

y

u

x

y

x

u

5

8

2 2 2 3

=

+

∂

+

∂

x

y

x

u

x

u

=

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

2 3 3 2 2

6 x

y

u

xu

x

u

=

∂

+

∂

2 2

q  Tingkat (order) PDE adalah tingkat tertinggi suku

derivatif

q  PDE merupakan fungsi linear apabila

q  fungsi tsb linear pada u dan derivatif u, dan q  koefisien persamaan tsb hanya bergantung

pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta

(1)

(2)

(3)

(4)

PDE Order Linear

(1) 2 ya

(2) 3 ya

(3) 3 tidak

(6)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

6 0 2 2 2 2 2 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ _D y u C y x u B x u A

q  PDE yang dibahas pada mk Matek di sini

hanya PDE linear bertingkat dua

q  PDE linear bertingkat dua dan fungsi dua

variabel bebas (x,y) dapat dikelompokkan menjadi: q  eliptik q  parabolik q  hiperbolik B2_{−
4AC} _kategori < 0 eliptik = 0 parabolik > 0 hiperbolik A, B, C : fungsi x dan y

D : fungsi x, y, u, ∂u/∂x, dan

(7)

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

7

B2_{− 4AC Kategori} _Nama _Persamaan

< 0 Eliptik Persamaan Laplace (permanen, 2D spasial) = 0 Parabolik Persamaan konduksi panas

(tak-permanen, 1D spasial) > 0 Hiperbolik Persamaan gelombang

(tak-permanen, 1D spasial)

0

2 2 2 2

=

∂

+

∂

y

T

x

T

t

T

x

T

k

∂

=

∂

2 2 2 2 2 2 2

₁

t

y

c

x

y

∂

=

∂

(8)

PDE Eliptik (Persamaan Laplace)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

8

(9)

Persamaan Laplace

9 ∆z X Y

q  Sebuah plat logam persegi tipis

q  kedua permukaan dilapisi

dengan isolator panas

q  sisi-sisi plat diberi panas

dengan temperatur tertentu

q  transfer panas hanya

dimungkinkan pada arah x dan y

q  Ditinjau pada saat transfer

permanen telah tercapai

(10)

Persamaan Laplace

10 ∆x ∆y q(x)+q(x+∆x) q(y)+q(y+∆y) q(y) X

Y q  Pada steady-state condition, aliran kedalam

sebuah elemen (lihat gambar di samping)

selama periode ∆t haruslah sama dengan aliran yang keluar dari elemen tsb:

( )

(

x x

)

y z t q

(

y y

)

x z t q t z x y q t z y x q Δ Δ Δ Δ + + Δ Δ Δ Δ + = Δ Δ Δ + Δ Δ Δ

q(x) dan q(y) berturut-turut adalah fluks panas

arah x dan arah y, dalam satuan kal/cm2_/s.

(11)

Persamaan Laplace

Y q  Jika semua suku pada persamaan tsb dibagi

dengan ∆z ∆t, maka:

( )

x y q

( )

y x q

(

x x

)

y q

(

y y

)

x q Δ + Δ = +Δ Δ + +Δ Δ

q  Pengelompokan suku dan perkalian dengan ∆x/

∆x atau ∆y/∆y menghasilkan:

( )

(

)

( )

(

)

_Δ _Δ ₌ ₀ Δ Δ + − + Δ Δ Δ Δ + − _y _x y y y q y q y x x x x q x q q(x)

(12)

Persamaan Laplace

Y q  Pembagian dengan ∆x ∆y menghasilkan:

q  Mengambil nilai limit persamaan tsb dan

memperhatikan definisi diferensial parsial, maka diperoleh: 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ − y q x q

( )

(

)

( )

(

)

₌ ₀ Δ Δ + − + Δ Δ + − y y y q y q x x x q x q

(persamaan konservasi energi)

(13)

Persamaan Laplace

13 ∆x ∆y q(x)+q(x+∆x) q(y)+q(y+∆y) q(y) X Y

q  Penyelesaian PDE tsb membutuhkan syarat batas

fluks panas q; padahal syarat batas yang diketahui adalah temperatur T.

q  Oleh karena itu, PDE di atas diubah menjadi PDE

dalam T dengan menerapkan Hukum Fourier untuk konduksi panas.

0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ − y q x q

(Fourier’s law of heat conduction)

i T k i T C k q_i ∂ ∂ ʹ′ − = ∂ ∂ ρ − = q(x)

(14)

Persamaan Laplace

14 ∆x ∆y q(x)+q(x+∆x) q(y)+q(y+∆y) q(y) X Y i T k i T C k q_i ∂ ∂ ʹ′ − = ∂ ∂ ρ − = q(x)

q_i : fluks panas arah i (kal/cm2_/s)

k : koefisien difusi thermal (cm2_/s)

ρ : rapat massa medium (g/cm3₎

C : kapasitas panas medium (kal/g/°C) T : temperatur (°C)

k´ : konduktivitas thermal (kal/s/cm/°C)

q  Persamaan di atas menunjukkan bahwa fluks

panas tegak lurus sumbu i sebanding dengan gradien/slope temperatur pada arah i.

(15)

Persamaan Laplace

15 ∆x ∆y q(x)+q(x+∆x) q(y)+q(y+∆y) q(y) X Y 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y T x T q(x)

q  Dengan memakai Fick’s Law, maka persamaan

konservasi energi dapat dituliskan sbb.

(

x y

)

f y T x T , 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂

q  Jika ada source atau sink:

(Persamaan Laplace)

(16)

Persamaan Laplace

16 ∆x ∆y q(x)+q(x+∆x) q(y)+q(y+∆y) q(y) X Y i H K q_i ∂ ∂ − = q(x)

q_i : debit aliran arah i (m3_/m/s)

K : konduktivitas hidraulik (m2_/s)

H : tinggi energi hidraulik (m)

i : panjang lintasan, panjang aliran (m)

q  Persamaan tsb sama dengan persamaan aliran

melalui medium porus (Hukum Darcy).

0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y H x H

(17)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

17

q 

Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di bidang enjiniring,

hampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk kasus-kasus

yang sederhana.

q 

Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris.

q 

Teknik penyelesaian PDE secara numeris

q  Metode beda hingga (finite difference approximation, FDA) q  Metode elemen hingga (finite element method, FEM)

(18)

Finite Difference Approach – FDA

18

∆x

∆y

X

Y q  Langkah pertama dalam FDA

q  Domain fisik plat persegi dibagi menjadi

sejumlah pias atau grid titik-titik diskrit.

q  PDE Laplace diubah menjadi persamaan beda

hingga di setiap titik hitung (i,j).

q  Di titik hitung interior (simbol bulat hitam):

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 2 1 , , 1 , 2 2 2 , 1 , , 1 2 2 2 2 y T T T y T x T T T x T j i j i j i j i j i j i Δ + − ≈ ∂ ∂ Δ + − ≈ ∂ ∂ − + − + §  diferensi tengah (central difference) §  error = O[(∆x)2_{] &} §  error = O[(∆y)2_]

(19)

Finite Difference Approach – FDA

19

∆x

∆y

X

Y q  Persamaan Laplace dalam bentuk beda hingga:

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1, 2 ,₂ 1, , 1 2 ,₂ , 1 = 0 Δ + − + Δ + − ₋ ₊ ₋ + y T T T x T T T_i _j _i _j _i _j _i _j _i _j _i _j

q  Jika ukuran grid seragam, ∆x = ∆y, maka:

0 4 _, 1 , 1 , , 1 , 1 + − + + + − − = + j i j i j i j i j i T T T T T

(20)

Finite Difference Approach – FDA

20 0 75 4 0 4 1 , 2 2 , 1 1 , 1 1 , 1 0 , 1 2 , 1 1 , 0 1 , 2 − − = + + − = − + + + T T T T T T T T

q  Di titik-titik yang berada di batas domain (simbol

bulat putih), berlaku syarat batas (boundary

conditions) à temperatur diketahui/ditetapkan.

q  BC semacam itu dikenal dengan nama Dirichlet

boundary condition. q  Di titik (1,1): 50°C 75°C 0°C 100°C

q  Di 8 titik interior yang lain pun dapat dituliskan

persamaan beda hingga diskrit semacam di atas.

X Y 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

(21)

Finite Difference Approach – FDA

21

q  Dari 9 titik interior diperoleh sistem persamaan

aljabar linear yang terdiri dari 9 persamaan dengan 9 unknowns. 50°C 75°C 0°C 100°C X Y 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

(22)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

22 150 4 100 4 175 4 50 4 0 4 75 4 50 4 0 4 75 4 ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 ) 3 ) 2 ) 1 3 , 3 3 , 2 2 , 3 3 , 3 3 , 2 3 , 1 2 , 2 3 , 2 3 , 1 2 , 1 3 , 3 2 , 3 2 , 2 1 , 3 3 , 2 2 , 3 2 , 2 2 , 1 1 , 2 3 , 1 2 , 2 2 , 1 1 , 1 2 , 3 1 , 3 1 , 2 2 , 2 1 , 3 1 , 2 1 , 1 2 , 1 1 , 2 1 , 1 − = − + − = + − + − = + − − = + − + = + + − + − = + + − − = + − = + + − − = + + − T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T

(23)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − − − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − 150 100 175 50 0 75 50 0 75 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 3 , 3 3 , 2 3 , 1 2 , 3 2 , 2 2 , 1 1 , 3 1 , 2 1 , 1 T T T T T T T T T

(24)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

24

q 

Sistem persamaan aljabar yang dihasilkan dari penerapan persamaan

beda hingga di semua titik interior

q  diselesaikan dengan salah satu Metode yang telah dibahas pada kuliah sebelum UTS

q  untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengan mudah memakai cara tabulasi spreadsheet

q  untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dalam permasalahan civil engineering, perlu bantuan program komputer

n  MatLab (program aplikasi berbayar)

n  SciLab (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux)

n  Numerical Recipes

(25)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

25

q 

Metode iteratif: Gauss-Seidel iteration method

q  Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercepat

konvergensi q  Kriteria konvergensi 4 1 . 1 . . 1 . 1 . − + − + + + + = i j i j i j i j j i T T T T T ( )

₍

₁

₎

₁ ₂ , 1 , 1 . = λ + −λ < λ < + + n j i n j i n _T _T T j i hitungan dilakukan dengan bantuan tabulasi spreadsheet ( ) ( ) 1% max max ₁ , , 1 , , < − = ε ₊ + n j i n j i n j i j i T T T 4 1 . . 1 . 1 1 . . + + − − + + + = i j i j i j i j j i T T T T T atau

(26)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

26 iterasi, n T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,2 T1,3 T2,3 T3,3 ∆Tmax 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 --- 1 28.1250 10.5469 22.7051 38.6719 18.4570 34.1858 80.1270 74.4690 96.9955 100.0% 2 32.5195 22.3572 28.6011 55.8311 60.8377 71.5700 74.4241 87.3620 67.3517 69.7% 3 41.1859 37.8056 45.4653 71.2290 70.0686 51.5471 87.8846 78.3084 71.2700 40.9% 4 48.4201 42.5799 31.3150 66.3094 54.4950 51.8814 75.9144 73.9756 67.8114 45.2% 5 44.7485 27.6695 32.9241 59.9274 52.7977 50.3842 77.8814 74.9462 69.3432 53.9% 6 38.5996 32.7858 33.4767 60.5401 55.5973 52.9643 77.4916 75.9389 69.9171 15.9% 7 43.8224 33.4432 34.4145 63.6144 56.9367 52.7435 79.2117 76.8051 69.8722 11.9% 8 42.6104 33.5140 33.8893 62.4499 56.0988 52.3259 78.2398 75.6765 69.3148 2.8% 9 42.8062 33.0409 33.8179 62.3681 55.7299 52.1605 78.2718 75.9054 69.6173 1.4% 10 42.5003 32.9976 33.7753 62.2418 55.8746 52.3950 78.2943 75.9671 69.5771 0.7%

(27)

Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace

27 Y 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 50°C 75°C 0°C 100°C 42.50 32.99 33.77 62.24 55.87 52.39 78.29 75.96 69.57 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 T°C T°C i T°C j = 1 j = 2 j = 3 X 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 T°C T°C j T°C i = 3 i = 1 i = 2

(28)

PDE Parabolik

Penyelesaian PDE Parabolik

FDA Skema Eksplisit

FDA Skema Implisit

FDA Skema Crank-Nicolson

Persamaan Diferensial Parsial – PDE

(29)

PDE Parabolik

29

panas dingin

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

X

q  Heat balance di dalam batang

A

( )

x A t q

(

x x

)

A t xA C T q _Δ ₋ ₊_Δ _Δ ₌ _Δ _ρ _Δ

input output storage

( )

(

)

t T C x x x q x q Δ Δ ρ = Δ Δ + −

q  limit persamaan tsb untuk ∆x, ∆t à 0

t T C x q ∂ ∂ ρ = ∂ ∂ −

(30)

PDE Parabolik

30

panas dingin

Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.

X

q  Hukum Fourier untuk konduksi panas

A 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂ x T C k q ∂ ∂ ρ − =

q  Persamaan heat balance menjadi

Persamaan konduksi panas

q  Persamaan di atas merupakan persamaan

difusi

q  transpor polutan

(31)

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit

31 2 2

x

T

k

t

T

∂

=

∂

q 

Temperatur batang merupakan fungsi waktu dan ruang

q  terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama

q  terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua q 

Langkah hitungan pada FDA

q  T pada waktu t+∆t dihitung berdasarkan T pada waktu t

q  T pada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat awal (initial

condition) atau dari hasil hitungan langkah sebelumnya

q  saat menghitung T di suatu titik pada suku derivatif ruang, T yang mana yang dipakai?

§  jika T pada waktu t à dinamai skema eksplisit

(32)

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit

32 i

x

T

k

t

T

titik di 2 2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

=

∂

i n i n i

x

T

k

t

T

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

=

Δ

−

+ 2 2 1 2 1 1 1

2 x

T

k

t

T

in n n i n i n i i

Δ

+

−

=

Δ

−

+ ₋ + 2 1 1 1 1 1 1

2 x

T

k

t

T

in n n i n i n i i

Δ

+

−

=

Δ

−

++ + + + −

k konstan di sepanjang batang

dan di sepanjang waktu

Skema Eksplisit

Skema Implisit

(33)

FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit

33

t

X n n+1 i+1 i−1 i

(

n n

)

i n i n i n i T T T_i x t k T T 1 2 1 2 1 + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + = ₋ +

t

X n n+1 i+1 i−1 i n i n i n i n _T _T x t k T x t k T x t k i ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − ₂ ₋₁+1 1 2 ₂ +1 ₂ ₊+₁1

(34)

FDA: Skema Eksplisit

34

t

X n n+1 8 2

(

n n

)

i n i n i n i T T T_i x t k T T 1 2 1 2 1 + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + = ₋ + Skema Eksplisit 10 6 0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm

q  time step, ∆t = 0.1 s

q  koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s

q  syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂ 100°C T = 5 0 °C 4 1 3 5 0 2 i

(35)

FDA: Skema Eksplisit

35

iterasi waktu (s) temperatur (°C) di titik hitung

n t T₀ T₁ T₂ T₃ T₄ T₅ 0 0 100 0 0 0 0 50 1 0.1 100 2.0875 0 0 1.0438 50 2 0.2 100 4.0878 0.0436 0.0218 2.0439 50 3 0.3 100 6.0056 0.1275 0.0645 3.0028 50 4 0.4 100 7.8450 0.2489 0.1271 3.9225 50 5 0.5 100 9.6102 0.4050 0.2089 4.8052 50

(

₁ 2 ₁

)

1,2,3,4 2 1 = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + = ₊ ₋ + _T _T _T _i x t k T T_in _in _in _in _in

(36)

FDA: Skema Eksplisit

36 0 20 40 60 80 100 120 0 2 4 6 8 10 Temperatur (°C) Jarak (cm) t = 3 s t = 12 s t = 9 s t = 6 s

(37)

FDA: Skema Eksplisit

37

q 

Konvergensi dan stabilitas hitungan

q  Konvergensi berarti bahwa jika ∆x dan ∆t mendekati nol, maka penyelesaian

FDA mendekati penyelesaian eksak.

q  Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitungan tidak

mengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalannya hitungan. q 

Skema eksplisit konvergen dan stabil jika:

2 1 2 ≤ Δ Δ x t k k x t 2 2 1 Δ ≤ Δ

≤ ½ dapat terjadi oskilasi kesalahan hitungan

≤ ¼ tidak terjadi oskilasi kesalahan hitungan

= 1/6 meminimumkan truncation error

2 x t k Δ Δ

(38)

FDA: Skema Eksplisit

38

q 

Konvergensi dan stabilitas hitungan

q  untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan ∆x kecil, namun

q  konsekuensi ∆x kecil adalah ∆t pun harus kecil untuk menjamin konvergensi dan

kestabilan hitungan

q  jika ∆x dikalikan faktor ½, maka ∆t perlu dikalikan faktor ¼ untuk

mempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan

q  skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertambah besar

2 1 2 ≤ Δ Δ x t k

(39)

FDA: Skema Eksplisit

39

t

X n n+1 8 2 Skema Eksplisit 10 6 0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂ 100°C T = 5 0 °C

Hitung dengan skema eksplisit:

2 1 2 > Δ Δ x t k

(40)

FDA: Skema Implisit

40

t

X n n+1 8 2 Skema Implisit 10 6 0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂ 100°C T = 5 0 °C n i n i n i n T T x t k T x t k T x t k _i ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − ₋+ + 2 ₊+11 1 2 1 2 1 1 2 4 1 3 5 0 2 i

(41)

FDA: Skema Implisit

41 n i n i n i n T T x t k T x t k T x t k _i ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − ₋+ + 2 ₊+11 1 2 1 2 1 1 2

q  Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s:

5 0 4 1 4 1 3 0 3 1 4 1 3 1 2 0 2 1 3 1 2 1 1 0 0 1 1 2 1 1 020875 . 0 04175 . 1 020875 . 0 : 4 node 020875 . 0 04175 . 1 020875 . 0 : 3 node 020875 . 0 04175 . 1 020875 . 0 : 2 node 020875 . 0 020875 . 0 04175 . 1 : 1 node T T T T T T T T T T T T T T T T + = + − = − + − = − + − + = − 020875 . 0 2 = Δ Δ x t k 1 2 ₂ =1.05175 Δ Δ + x t k

(42)

FDA: Skema Implisit

42 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 04375 . 1 0 0 0875 . 2 04175 . 1 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 1 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 1 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 1 1 4 1 3 1 2 1 1 T T T T

q  Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

q  Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan

program komputer.

q  Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix

(43)

FDA: Skema Implisit

43 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 04375 . 1 0 0 0875 . 2 04175 . 1 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 1 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 1 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 1 1 4 1 3 1 2 1 1 T T T T

q  Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan

spreadsheet MSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]−1_{RHS}

(44)

FDA: Skema Implisit

44 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 0023 . 1 0209 . 0 0406 . 0 0047 . 2 04375 . 1 0 0 0875 . 2 960309 . 0 0192508 . 0 0003859 . 0 0 0192508 . 0 960309 . 0 0192508 . 0 0003859 . 0 0003859 . 0 0192508 . 0 960309 . 0 0192508 . 0 0 0003859 . 0 0192508 . 0 960309 . 0 1 4 1 3 1 2 1 1 T T T T

q  Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:

[A]−1

(45)

FDA: Skema Implisit

45

{

}

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = 0461 . 2 0209 . 0 0406 . 0 1750 . 4 020875 . 0 020875 . 0 RHS 5 1 4 1 3 1 2 0 1 1 T T T T T T

q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah

q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 9653 . 1 0619 . 0 1206 . 0 0101 . 4 0461 . 2 0209 . 0 0406 . 0 1750 . 4 960309 . 0 0192508 . 0 0003859 . 0 0 0192508 . 0 960309 . 0 0192508 . 0 0003859 . 0 0003859 . 0 0192508 . 0 960309 . 0 0192508 . 0 0 0003859 . 0 0192508 . 0 960309 . 0 2 4 2 3 2 2 2 1 T T T T

(46)

FDA: Skema Implisit

46 Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema implisit tampak lebih cepat daripada hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s). 0 20 40 60 80 100 120 0 2 4 6 8 10 Temp er a tu r (° C) Jarak (cm) t = 3 s implisit eksplisit

(47)

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

q  Persamaan dan teknik

penyelesaiannya straight-forward, penyelesaian dilakukan node per

node

q  Rentan terhadap konvergensi dan

stabilitas hitungan

q  Time step terkendala oleh

konvergensi dan stabilitas hitungan

q  Persamaan dan teknik penyelesaian

lebih “rumit”, penyelesaian dilakukan secara simultan untuk seluruh node

q  Konvergensi dan stabilitas hitungan

lebih mudah dijaga

q  Time step tidak terkendala oleh

konvergensi dan stabilitas hitungan

47

(48)

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

48

t

X

Skema Eksplisit

1)  Saat menghitung T di i, hanya titik-titik hitung (nodes) di dalam segitiga ini yang berpengaruh dalam hitungan. 2)  Saat menghitung T di i, titik-titik hitung

(nodes) di kedua zona ini tidak

diperhitungkan, padahal secara fisik, justru node-node di sini berpengaruh thd T di titik i.

(49)

FDA: Skema Eksplisit dan Implisit

49 2 2

x

T

k

t

T

∂

=

∂

2 1 1 1 1 1 1

2 x

T

k

t

T

in n n i n i n i i

Δ

+

−

=

Δ

−

++ + + + −

Skema Implisit

1st order accurate 2nd order accurate

1)  Skema implisit menjamin konvergensi dan stabilitas hitungan, namun aproximasi suku derivatif waktu dan suku derivatif ruang memiliki akurasi berbeda.

2)  Skema implisit yang memiliki akurasi yang sama pada aproximasi suku derivatif waktu dan ruang adalah Metode Crank-Nicolson.

(50)

FDA: Metode

Crank-Nicolson

50

t

X n n+1 i+1 i−1 i Skema Crank-Nicolson n+½

q  Aproksimasi suku derivatif waktu ditempatkan

pada waktu n+½ t T T t T _il _il Δ − ≈ ∂ ∂ +1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ + − + Δ + − ≈ ∂ ∂ ₊ ₋ ₊+ + ₋+ 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 x T T T x T T T x T _in _in _in _in _in _in

q  Aproksimasi suku derivatif ruang pada waktu n

+½ dianggap sbg nilai rata-rata derivatif pada waktu n dan n+1 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂

(51)

FDA: Metode

Crank-Nicolson

51

t

X n n+1 i+1 i−1 i Skema Crank-Nicolson n+½

q  Bentuk beda hingga persamaan parabola dengan

demikian dapat dituliskan sbb.

n i n i n i n i n i n i T x t k T x t k T x t k T x t k T x t k T x t k 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 + − + + + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂

(52)

FDA: Skema Crank-Nicolson

52

t

X n n+1 8 2 6 10 0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂ 100°C T = 5 0 °C 4 1 3 5 0 2 i Skema Crank-Nicolson

(53)

FDA: Skema Crank-Nicolson

53

0875 . 2 04175 . 2 020875 . 0 : 4 node 0 020875 . 0 04175 . 2 020875 . 0 : 3 node 0 020875 . 0 04175 . 2 020875 . 0 : 2 node 1750 . 4 020875 . 0 04175 . 2 : 1 node 1 4 1 3 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 = + − = − + − = − + − = − T T T T T T T T T T 020875 . 0 2 = Δ Δ x t k 1 2 ₂ =1.05175 Δ Δ + x t k n i n i n i n i n i n i T x t k T x t k T x t k T x t k T x t k T x t k 1 ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ 1 2 1 2 1 1 2 2 1 − 2 1 + + + + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ −

(54)

FDA: Skema Implisit

54 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 0875 . 2 0 0 1750 . 4 04175 . 2 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 2 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 2 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 2 1 4 1 3 1 2 1 1 T T T T

q  Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns

matriks tridiagonal

q  Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan

program komputer.

q  Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix

(55)

FDA: Skema Implisit

55

q  Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan

spreadsheet MSExcel

[A] {T} {RHS}

{T} = [A]−1_{RHS}

Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 0875 . 2 0 0 1750 . 4 04175 . 2 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 2 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 2 020875 . 0 0 0 020875 . 0 04175 . 2 1 4 1 3 1 2 1 1 T T T T

(56)

FDA: Skema Implisit

56 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 0225 . 1 0107 . 0 0210 . 0 0450 . 2 0875 . 2 0 0 0450 . 4 4898271 . 0 0050086 . 0 0000512 . 0 0 0050086 . 0 4898271 . 0 0050086 . 0 0000512 . 0 0000512 . 0 0050086 . 0 4898271 . 0 0050086 . 0 0 0000512 . 0 0050086 . 0 4898271 . 0 1 4 1 3 1 2 1 1 T T T T

q  Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:

[A]−1

(57)

FDA: Skema Crank-Nicolson

57

{

}

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 0901 . 4 0427 . 0 0841 . 0 1797 . 8 RHS

q  Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah

q  Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 0036 . 2 0422 . 0 0826 . 0 0071 . 4 0901 . 4 0427 . 0 0841 . 0 1797 . 8 4898271 . 0 0050086 . 0 0000512 . 0 0 0050086 . 0 4898271 . 0 0050086 . 0 0000512 . 0 0000512 . 0 0050086 . 0 4898271 . 0 0050086 . 0 0 0000512 . 0 0050086 . 0 4898271 . 0 2 4 2 3 2 2 2 1 T T T T

(58)

FDA: Skema Crank-Nicolson

58 Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema Crank-Nicolson tampak mirip dengan hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s). 0 20 40 60 80 100 120 0 2 4 6 8 10 Temp er a tu r (° C) Jarak (cm) t = 3 s implisit Crank-Nicolson eksplisit

(59)

FDA: Skema

Crank-Nicolson

59 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ + − φ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ + − φ = Δ − + − + − + + + + 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ₂ 1 2 x T T T k x T T T k t T T n i n i n i n i n i n i n i n i q 

Skema FDA

q  φ = 0 : skema eksplisit q  φ = 1 : skema implisit q  φ = ½ : skema Crank-Nicolson

FDA

(60)

FDA Persamaan Parabolik

60

q 

Bentuk umum FDA persamaan diferensial parsial parabolik

(

)

(

)

(

)

n i n i n i n i n i n i T x t k T x t k T x t k T x t k T x t k T x t k 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 + − + + + + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Δ Δ φ − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Δ Δ φ − − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Δ Δ φ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ φ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ φ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ φ − q 

Skema FDA

q 

φ = 0 : skema eksplisit

q 

φ = 1 : skema implisit

q 

φ = ½ : skema Crank-Nicolson

(61)

FDA: Persamaan Parabolik

61

t

X n n+1 8 2 6 10 0 4 x (cm)

q 

Konduksi panas di sebuah batang aluminium

pipih panjang

q  panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 1 cm (!!)

T(x=20,t) = 50°C q  nilai awal: T(x,t=0) = 0°C 100°C T = 5 0 °C 8 2 6 10 0 4 _i

q 

Hitung sampai steady-state condition

q  Skema eksplisit q  Skema implisit q  Skema Crank-Nicolson PR/ Tugas 1 2 2 x T k t T ∂ ∂ = ∂ ∂ 5 7 9 3 ∆x = 1 cm

(62)