PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI BANDUNG

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)

MATEMATIKA FISIKA II

JURDIK FISIKA FPMIPA UPI

BANDUNG

PDP: Persamaan yang pada suku-sukunya mengandung bentuk turunan (diferensial) parsial yaitu turunan terhadap lebih dari satu variabel bebas.

Dalam persoalan fisika banyak sekali di jumpai bahwa perubahan nilai suatu

besaran dipengaruhi oleh beberapa faktor (variabel) besas, baik variabel ruang

maupun waktu, beberapa contoh fisika

yang terumuskan dalam PDP adalah:

Persamaan Laplace :

1 ,

2 2

dt U du

= α

∇ α

²

Persamaan Difusi : = Difusivitas

2

= 0

∇ U

U adalah Skalar

2

, U dt

= α

∇ α

Persamaan Difusi : = Difusivitas

Persamaan Gelombang : ₂

2 2

2

1

t u U v

∂

= ∂

∇

v = Kecepatan Gelombang

Kompetensi yang ingin dicapai adalah mampu mencari solusi umum dan khusus PDP terkait persoalan fisika yang ditinjau

persoalan fisika yang ditinjau

Kasus Fisika :

Persamaan Laplace

Kasus Fisika : Distribusi keadaan mantap

temperatur dalam ruang yang dibatasi oleh pelat temperatur dalam ruang yang dibatasi oleh pelat semi tak hingga.

Pelat semi tak hingga

∞

y T=0^oC

T=0^oC

• T=?

T=100 10 x

0 T=0^oC

Pelat semi tak hingga

∞

= y

y T=0^oC

T=0^oC

• T=?

T=100^oC 10 x 0

T=0^oC

2

= 0

∇ T

0

2

2 + ∂ =

∂ T T

Karena T tergantung pada x dan y tapi tidak bergantung pada z maka persamaan Laplacenya:

T(x,y)

0 PDP

2

2 =

+ ∂

∂x y

Untuk mencari solusi umum dari PDP ini dimisalkan T(x,y) = P(x) Q(y), Dengan demikian PDP dapat

dituliskan sebagai :

PDP

) 0 ) (

) ( ) (

(

) 0 ( ) ( )

( ) (

2 2

2 2

∂ =

∂ +

∂ = + ∂

∂

∂

y x Q

x P y P

Q

y

y Q x P x

y Q x P

) 0 ) (

) ( ) (

( =

∂ + ∂

∂

∂

y y x Q

x P x y P

Q

atau

y y Q y

Q x

x P x

P ∂

− ∂

∂ =

∂ ( )

) ( 1 (

)

(

1

Ruas kiri fungsi x saja, sedangkan ruas kanan fungsi y Saja. Kedua ruas akan sama jika keduanya merupakan konstanta yang sama, misalkan: – k².

Sehingga:

)

2

( )

( 1 )

( )

(

1 k

y y Q y

Q x

x P x

P = −

∂

− ∂

∂

∂

)

2

(

1 P x k

−

∂ =

^dP(x) _{+ k} ²_{P(x) = 0}

atau

)

( k

x x

P = −

∂

^{dx + k P(x) = 0} ) 2

( )

(

1 k

y y Q y

Q =

∂

∂

( )

₂

( ) 0

=

− k Q y dy

y

dQ

Solusi I

P(x) = A cos kx + B sin kx Solusi II

Q(y)= Ce^ky + De^-ky Q(y)= Ce + De Dengan demikian, T(x,y) = P(x)Q(y)

T(x,y) = (A cos kx + B sin kx)( Ce^ky +De^-ky)

Ini solusi umum dari PDP terkait kasus fisika yang ditinjau

Dari solusi umum ini selanjutnya dapat dicari solusi khusus, dengan cara meninjau syarat- syarat batas (Sb) yang diberikan pada kasus fisika yang ditinjau:

Sb I : T(x,

∞

) = 0

^o

C

Sb II : T(0,y) = 0

^o

C

Sb III : T(10,y) = 0

^o

C

Sb IV : T(x,0) = 100

^o

C

Terapkan syarat batas I :

T(x,∞∞∞∞) = ( A cos kx + B sin kx) (Ce^∞∞∞∞+De^{-∞∞∞∞}) = 0

C= 0, D tidak sama dengan 0 T(x,y) = ( A cos kx + B sin kx) (De^-ky)

Terapkan Syarat batas II :

T(0,y) = (A cos 0 + B sin 0) ( De^–ky) =0

A=0, B tidak sama dengan 0 T(x,y) =(B sin kx )(D e^-ky)

Atau

T(x,y) = BD sin kx e^-ky

π

k = n

T(10,y) = BD sin 10k ke^-ky = 0 Sin 10k = 0 atau 10k = nππππ Terapkan syarat batas III:

atau

10

π

k = n

10

0

sin 10

) ,

(

y n

n

x e BD n

y x T

π

⁻ π

∞

∑

=

=

atau

Sehingga :

C x e

BD n x

T ^o

n

10 100 sin

) 0 , (

0

0 =

=

∑

^∞

=

π −

∑

^∞

=

=

0 0

sin 10 100

n

x BD n

C π

∑

^∞

= sin )

( n x

b x

f π

Terapkan syarat batas IV :

∑

=

=

0

sin )

(

n

n L

x b n

x

f π

L dx x x n

L f b

L

n ⁼

∫

0

sin )

2 (

π

( ^{cos 1} )

200

cos 10 20 10

sin 10 10 100

2

10

0 10

0

−

−

=

=

 

 



 −

=

=

=

= ∫

π π

π π

π

n n b

BD

x n b n

BD

x dx b n

BD

n n n

Deret Fourier Sinus (Fungsi ganjil)

 

= 

⁼

=

ganjil n n

genap n

BD

^,

400

, 0

π

10 1

400 sin 10

) , (

y n

n

x e n y n

x T

π

π

π

∞ −

∑

=

=

Inilah Solusi Khusus dari persoalan yang kita tinjau

sehingga

Atau jika kita cek pada T(5,5) :

n e y e

y x T

y y

1 sin 400 sin

) ,

(

¹⁰

3

10

  

 

 + +

=

^{− −}

L

π

π

π

π

C e

e T

e e

y x T

42

o

, 2 26

sin 3 3

1 sin 2

127 )

5 , 5 (

sin 10 3

sin 10 )

, (

2 3 2

10 10

 =







 



 + +

=

 

 



 + +

=

−

−

L

L

π

π

π

π

π

Pelat segi empat

T=0^oC y

T=0^oC

10 T=0^oC

• T=?

T=100^oC 10 x 0

T=0^oC 10

Pelat segiempat

y

T=0^oC 10

T=0^oC

• T=?

T=100^oC 10 x 0

T=0^oC 10

T(x,y) = (A cos kx + B sin kx)( Ce

^ky

+De

^-ky

)

Sama seperti sebelumnya kita mulai dari solusi umum

T(x,y) = (A cos kx + B sin kx)( Ce +De )

Dari solusi umum ini selanjutnya dapat dicari solusi khusus, dengan cara meninjau syarat- syarat batas (Sb) yang diberikan pada kasus fisika yang ditinjau:

Sb I : T(x,10) = 0

^o

C

Sb II : T(0,y) = 0

^o

C

Sb III : T(10,y) = 0

^o

C

Sb IV : T(x,0) = 100

^o

C

T(x,y) = (A cos kx + B sin kx)( De^-ky )

Untuk kasus seperti ini, kita harus mengeliminasi suku e^ky, karena pelat kita tingginya tidak tak hingga, sehingga :

Kemudian lakukan modifikasi bentuk suku e^-ky Kemudian lakukan modifikasi bentuk suku e^-ky dengan bentuk lain sedemikian rupa sehingga memenuhi syarat batas I : T(x,10) = 0⁰C.

Bentuk yang dimaksud adalah kombinasi linier :

ky ky

ky

ae be

e

⁻

=

⁻

+

yang nilainya 0 ketika y = 10.

Salah satu pilihan yang tepat adalah :

k

k

b e

e

a

^{10 10}

2 1 2

1

₋

−

=

=

sehingga

ky k

ky k

ky

e e e e

e

^{10 10}

2 1 2

1

_{− −}

−

= −

(

^y

)

^k

(

^y

)

k

ky

e e

e

⁻

=

¹⁰⁻

−

^{− 10−}

2

1 2

1

(

^y

)

^k

(

^y

)

k

ky

e e

e

⁻

=

¹⁰⁻

−

^{− 10−}

2

1 2

1

Pada y = 10, nilainya sama dengan nol, seperti persoalan kita.

2 2

( ) ( ) 0

2 1 2

1 2

1 2

1

_{10 10 10 10}

=

−

=

−

^{− −}

− k

k

e

e

Dengan demikian :

( ) ( ^{x y A kx B kx} ) ^{C k} ( ^y )

T , = cos + sin sinh 10 −

Terapkan Sb II, seperti sebelumnya, didapat : Terapkan Sb II, seperti sebelumnya, didapat :

0 ,

0 ≠

= B

A

( ) ^{x y B C kx k} ( ^y )

T , = sin sinh 10 −

Sehingga :

( ) ( ^{x , y = A cos 0 + B sin 0} ) ^{C sinh k} ( ^{10 − y} ) ^{= 0}

T

π

k = n

Sin 10k = 0 atau 10k = nππππ Terapkan syarat batas III:

atau

( ^{10 , y} ) ^{= B C sin 10 k sinh k} ( ^{10 − y} ) ^{= 0}

T

10

π

k = n

( ^y )

n x

BC n y

x T

n

−

= ∑

^∞

=

10 10 10 sinh

sin )

, (

0

π π

atau

Sehingga :

( )

^C

n x

BC n x

T ^o

n

100 0

10 10 10 sinh

sin )

0 , (

0

=

−

=

∑

^∞

=

π π

Terapkan syarat batas IV :

∑

^∞

=

=

0 sinh sin 10

100

n

x n n

BC

π π

∑

^∞

=

=

0

sin )

(

n

n L

x b n

x

f

π

L dx x x n

L f b

L

n ⁼

∫

0

sin )

2 (

π

( ^{cos 1} )

200

cos 10 20 10

sin 10 10 100

2

10

0 10

0

−

−

=

 

 



 −

=

= ∫

π π

π π

π

n n b

x n b n

x dx b n

n n n

Deret Fourier Sinus (Fungsi ganjil)

 

= 

=

⁼

=

ganjil n n

genap n

b

n

n

BC

^,

400

, 0

sinh π

^π

sehingga



 

= 

=

⁼

=

ganjil n n

n

genap n

n

n BC b

sinh , 400

,

sinh

0

π

π

π

( ^y )

n x

n n

y n x

T = ∑

^∞

¹⁰ −

sinh 10 sin 10

sinh ) 400

,

( π π

π π

Dengan demikian :

( ^y )

n y n

x T

ganjil n

−

= ∑

=

10 10 10 sinh

sinh sin )

, (

,

1

π π

Solusi khusus untuk persoalan keadaan mantap temperatur dalam plat segiempat

Persamaan Difusi : Difusi Kalor

T U U

∂

= ∂

∇² 1₂

α

Kasus Fisika : Difusi kalor pada batang logam, berarti T = suhu

T=0 T=100

x

t=0

l

T=0

x

t>0

0 0 l

T=0

Difusi kalor terjadi dari tempat yang temperaturnya lebih tinggi ke tempat yang temperaturnya lebih rendah. Jika dibatasi arah difusi hanya ke sb x saja, maka temperatur di setiap titik pada batang logam akan setiap titik pada batang logam akan bergantung pada posisi x dan waktu t.

dt dT dx

T d

2 2

2

1

= α

Dalam kasus ini u = T (temperatur) dan T=f(x,t) dengan demikian persamaan difusi menjadi :

dt dx

²

α

²

Misalkan:

T(x,t) = P(x) S(t)

Maka persamaan difusi menjadi:

atau

kedua ruas akan sama jika merupakan suatu kedua ruas akan sama jika merupakan suatu konstanta yang sama –k², jadi :

Solusi *

P(x) = (A cos kx + B Sin kx)

Solusi **

t

Ce

k

t

S ( ) =

^{− 2α 2}

Sehingga

) kx)(Ce

sin B

kx cos

(A t)

T(x, = +

^{-k2α 2t}

t

Ce

k

t

S ( ) =

^{− 2α 2}

Solusi umum persamaan difusi

Syarat awal: (pada t = 0)

Syarat awal dan syarat batas :

x x

T

SA l

) 100 0

, (

: =

l

Syarat Batas : t > 0 SB I : T(0,t) = 0^oC SB II : T(l,t) = 0^oC

Terapkan SB I diperoleh :

Terapkan SB II diperoleh:

0 sin

) ,

( x t = BC k e

^{− 2k2t}

=

T l

^α

l

π

k = n

π

n

k l =

^atau

∑

^{∞ −  }

=

2 2

sin )

, (

n t

x e BC n

x

T

^l

l l

α π

π

Dengan demikian :

∑

n=1

l

Terapkan Syarat Awal :

∑

^∞

=

=

=

1

0

100

sin )

0 , (

n

x x

BC n x

T l

l l

π

∑

^∞

=

=

1

100 sin

n

x BC n

x

l l

π

Atau :

∑

^∞

=

=

=

↓

1 1

sin )

(

n

n n

x b n

x

f l

l l

π

0

0

100 sin 2

sin ) 2 (

n

x dx n

BC x

x dx x n

f b

BC

=

=

=

∫

∫

l

l

l l

l

l l

π

π

( )

² ₀ ^{( )}

2 2

0 0

sin )

1 ( 200 cos

200 sin

M

n

x n n

x n x n

BC

x dx x n

BC

 =

 





 



 



 

 −

 −



 



 



 



 −

=

= ∫

l l

l l

l l

l

l l

l l

l

π π

π π

π

n t

n

n

n x e

M t

x T

2 2

1

)

(

sin )

, (



 



− 

∞

∑

=

=

^l

l

α π

π

n 1=

l

Persamaan Gelombang

2 2 2

2

1

t u u v

∂

= ∂

∇

v = kecepatan Gelombang

Sebuah dawai yang panjangnya h diikat kedua ujungnya Sebuah dawai yang panjangnya h diikat kedua ujungnya sehingga setiap sudut tetap karena disimpangkan padabagian tengahnya sejauh h seperti pada gambar.Jika kemudian pada t > 0 dawai dilepaskan maka dawaitersebut akan bergetar, akibatnya akan membentuk gelombang dalam hal ini u = y yang merupakan simpangan dan y bergantung pada posisi x dan waktu t, Y = f (x,t)

Kasus Fisika

y(x,0)

t=0  Kondisi Awal

l/2 l

x h

Sebuah dawai yang panjangnya h diikat kedua ujungnya. sehingga setiap sudut tetap karena disimpangkan pada bagian tengahnya sejauh h seperti pada gambar di atas.

Jika kemudian pada t > 0 dawai dilepaskan maka dawai tersebut akan bergetar, akibatnya maka dawai tersebut akan bergetar, akibatnya akan membentuk gelombang dalam hal ini u = y yang merupakan simpangan.

Nilainya y bergantung pada posisi (x) dan waktu t.

Y = f (x,t)

Misalkan : y(x,t) = M(x) N(t)

Persamaan gelombang menjadi:

2 2 2

2

2

1

dt y d v

dx y

d =

2

2

M ( x ) N ( t ) 1 d M ( x ) N ( t )

d =

PDP

2 2

) ( )

( 1

) ( )

(

dt

t N x

M d

v dx

t N x

M

d =

( )

2 2 2

2

2

( )

) 1 (

)

( dt

t N x d

v M dx

x M t d

N =

Ruas kiri dan kanan dikali dengan

) ( )

( 1

t N x M

2 2

2 2

2

2

( )

) ( 1 1

) ( )

(

1 k

dt t N d

t N v

dx x M d

x

M = = −

Didapat :

2 2

2

( )

) (

1 k

dx x M d

x

M = −

2 2

2 2

) ( )

( 1

1 k

dt t N d t

v N = −

0 )

) (

(

₂

2

2

= k M x =

dx x M d

0 )

) (

(

_{2 2}

2

2

+ k v N t =

dt

t

N

d

kvt D

kvt C

t N

kx B

kx A

x M

sin cos

) (

sin cos

) (

+

=

+

=

Didapat solusi untuk masing-masing :

kvt D

kvt C

t

N ( ) = cos + sin

[ ^{A kx B kx} ][ ^{C kvt D kvt} ]

t x

y ( , ) = cos + sin cos + sin

Solusi umum persamaan getaran dawai

Syarat batas dan awal :

0 :   =

dt I dy SA

Sb I : y(0,t) = 0 Sb II : y(l, t ) = 0

Solusi khusus



_t=0

dt

 

=  ^{+ < <}

<

<

− + 0 ; 0 2

2

; 2 2 2

) 0 , (

l

l l l x

hx

x l h

x hx

y

SA II = y (x,0) = seperti pada gambar

Terapkan sb I:

y (0, t) = ( A cos 0 + B sin 0 ) ( C cos kvt + D sin kvt )=0 A = 0, B ≠ 0

y (x, t) = (B sin kx) (C cos kvt + D sin kvt )=0 Terapkan sb II:

y(l,t) = (B sin kl)(C cos kvt + D sin kvt)=0 Terapkan sb II:

l l

π π

k n

n k

=

=

( )









= +

 

 



= 

n n

x n

kvt D

kvt x C

B n t

x

y l

π π

π

π cos sin 0

sin )

, (

 

 



 +

 

 



=  n vt

D n vt

x C B n

t x

y l l l

π π

π cos sin

sin )

,

(

Terapkan SA I :

 =

 − +

=

=



 



 − +

= sin sin cos 0

nv nv

x n dy

n vt D nv

n vt C nv

x B n

dt dy

l l

l l

l

π π

π

π π

π π

π

∑

^∞

=

=

=

=

≠

=



 



 − +

=

1 0

cos sin

) , (

0 ,

0

0 0

cos 0

sin sin

n t

vt n x

BC n t

x y

D C

D nv C nv

x B n

dt dy

l l

l l

l

π π

π π

π

Terapkan SA II:

∑

^∞

=

<

<

<

<

+



−

 

=

=

1

0 2 2 ;

; 2 2 2

0 cos sin

) 0 , (

n

hx x

x hx h

x BC n

x y

l l

l l

l

l

π

=

 

∑

^∞

<

<

n x

x

BC

l hx

0 2 2 ,

sin

l

π

 

 



 



 



 − + +

 

 



= 

=

=

 =



∫

∫

∑

∑

∞

=

< =

<

+

−

x dx h n

dx hx x n hx

b L BC

x b n

x f

BC

L

L L

n n

n

n l

x l h

hx

2 / 2

/

0 1

1 2

, 2 2 2

sin 2 2

2 sin 2

sin )

(

sin

l l

l l

l

l

l l

π π

π

) (x M

b BC

b BC

b BC

n n

=

=

=

=

=

=

L L

∑

^∞

=

=

1

cos sin

) ( )

, (

n

vt n

x x n

M t

x

y l l

π π

) (x M

b

BC =

_n

=

Pada Dawai Piano

t=0  Diberikan kecepatan awal dengan  cara piano tuts ditekan

y(x,0) v(x,0)

l

x

l/2 l x

h

0 0

SB I: y (0,t) = 0 SB II: y (l,t) = 0 SA I : y (x,0) = 0

SA II : v (x,0) = lihat gambar

Terapkan SB I dan SB II didapat :

[ ^{A kx B kx} ][ ^{C kvt D kvt} ]

t x

y ( , ) = cos + sin cos + sin

Mulai dari solusi umum :



 n n

x

n π π π

Terapkan SA I:

 

 

+

= vt

l D n

l vt C n

l x B n

t x

y π π π

sin cos

sin )

, (

[ ^{cos 0 sin 0} ] ⁰

sin )

0 ,

( = C + D =

l x B n

x

y π

0 ,

0 ≠

= D

C

Sehingga :

Terapkan SA II :

l vt n

l x D n

B t

x y

n

π π sin

sin )

, (

1

∑

^∞

=

=

Terapkan SA II :

∑

^∞

=

=

1

cos cos sin

n

l

vt n

x n v

BD n dt

dy π π π

l

l

{ } ^∑

∑

∞

=

∞

= =

=

=

=

0 1

sin

0 cos sin

t n

x n v

BD n

x n v

BD n dt

dy

l l

l l

L L

L L

π π

π π

∑

∑

∞

=

=

=

1 1

sin )

(

n

n n

x b n

x

f l

l l

π

 

 



 



 



 − + +

= ∫ ∫

l

l l

l l

l

/2

2 /

0

sin 2 2

2 sin

2 hx h n vdx

vdx hx n

b

_n

π π

v b

BD n π =

_n

l

l

) (n R v b

BD = n

_n

=

π

l

l vt n

l x n n

R t

x y

n

π π sin

sin )

( )

, (

1

∑

^∞

=

=

Solusi khusus