... And of course, miracle of miracles some concept in mathematics turn out provide the fundamental structures that govern the physical universe!
- Chen Nin Yang (1922-. . .)
1.1 Latar Belakang Masalah
Alam semesta adalah kanvas besar dengan gambar yang begitu indah namun belum dapat dimengerti seutuhnya. Layaknya seperti karya seni, alam semesta menyimpan keindahan, keharmonisan, dan keteraturan (kesetangkup-an) yang bersifat subyektif bagi manusia-manusia pencarinya. Keindahan ini berbeda tahap pemahamannya. Ada yang mendapatkannya pada tahap lahiri-ah dan ada pula pada tlahiri-ahap batinilahiri-ah. Untuk memlahiri-ahami keindlahiri-ahan yang dirasa ini, telah banyak cara yang dikembangkan oleh manusia sejak awal permulaan di dunia ini. Cara-cara tersebut adalah mitologi, filsafat dan sekarang adalah fisika. Fisika dipilih karena memberikan gambaran yang paling baik tentang alam semesata pada masa sekarang.
Setiap cara memiliki bahasa yang unik. Bahasa untuk fisika adalah ma-tematika. Pada awalnya realitas alam berupa hukum-hukum alam, keterkaitan besaran-besaran fisis dimodelkan dengan persamaan matematis. Tiap-tiap per-samaan matematis ini mewakili makna dan proses fisis tertentu. Namun lambat laun, disadari bahwa dalam rangka memahami kesetangkupan alam, persamaan matematis tersebut tidak dapat mewakili lagi. Ada realitas lebih tinggi yang mengatur alam seperti yang terlihat dalam persamaan matematis tersebut. Re-alitas ini disebut sebagai reRe-alitas ide.
Pada tahap ini, matematika beralihragam kegunaannya dalam fisika. Ka-rena sifat internalisme fisika yang diwarisi dari Aristoteles, fisika tetap harus menginjak "bumi"nya yaitu realitas indrawi. Sementara itu keteraturan, kehar-monisan dan keindahan alam atau yang biasa disebut kesetangkupan alam jauh lebih kompleks dari realitas indrawi, oleh karenanya fisikawan dipaksa untuk mencari alternatif untuk memahami hal ini. Peluang tersebut diberikan oleh bahasa fisika itu sendiri, yaitu matematika. Matematika mewarisi eksternalisme
Plato, yakni pemahaman bahwa eksistensi/keberadaan sesuatu ada pada alam ide bukan pada alam indrawi. Hal ini menyebabkan matematika lebih "bebas" berkembang daripada fisika. Tanpa disadari hampir lebih seabad matematika telah beralihagam dari sekedar bahasa menjadi tujuan fisika itu sendiri. Kon-sistensi dan realitas matematis telah menjadi model yang mewakili realitas fisis. Sehingga fisika dipahami sebagai upaya memilih atau membangun struktur ma-tematik yang cocok untuk menggambarkan pola-pola keteraturan gejala alamiah (Rosyid, 2014).
Tentu saja perubahan cara pandang ini tidak dengan tujuan sebarang. Pengembangan fisika dengan model matematis yang lebih kompleks memberikan kelebihan kedua belah pihak. Fisika dapat "membedah" rahasia terdalam alam semesta dan matematika dapat terus berkembang ke arah yang lebih tinggi. Kenyataan mengajarkan bahwa semakin sempurna sebuah teori dalam fisika, semakin canggih matematika yang dibutuhkan untuk menjadi kerangka bagi teori itu (Rosyid, 2014).
Contoh nyata bagi alihragam ini adalah perumusan teori relativitas umum Einstein dan mekanika kuantum. Teori relativitas umum Einstein adalah hasil penggeometrian konsep ruangwaktu menggunakan geometri diferensial. Semen-tara mekanika kuantum lahir dari tafsiran probabilistik bagi fungsi gelombang Schrödinger yang menuju ke arah konsep ruang Hilbert pada matematika. Sena-da dengan hal ini, hampir semua cabang fisika telah Sena-dan akan di"matematika" kan. Hal ini membangkitkan kepercayaan di antara fisikawan bahwa dapat di-bangun Teori Penyatuan Agung (Grand Unified Theory) yaitu menyatukan semua interaksi fundamental di alam yang diwujudkan dalam model matematika mutakhir.
Salah satu kandidat dalam membangun teori penyatuan agung tersebut adalah melalui teori tera. Kata "tera"1 secara umum berarti "perubahan pan-jang" atau "perubahan peneraan (kalibrasi)". Teori tera secara umum yang dipahami oleh para fisikawan adalah teori tentang medan yang mensyaratk-an Lagrmensyaratk-angmensyaratk-annya invarimensyaratk-an terhadap alihragam lokal. Ymensyaratk-ang dialihragam adalah besaran-besaran fisis tertentu yang menyebabkan Lagrangiannya invarian. Pa-da tahap ini Pa-dapat dikatakan bahwa "peneraan besaran fisis tiPa-dak mengubah Lagrangan sistem". Inilah alasan digunakannya kata "tera" pada teori tera. Besaran fisis tersebut adalah potensial. Istilah "potensial" di sini pada mulanya
memang merujuk pada istilah teori elektromagnetik, namun dewasa ini istilah potensial pada teori tera diperluas pada medan yang lain seperti gravitasi, inte-raksi lemah, dan inteinte-raksi kuat (Schumm, 2004).
Perangkat matematika yang digunakan adalah teori tentang keragam-an2 yang nanti akan dikembangkan menjadi konsep untingan serat. Terdapat
bermacam-macam jenis untingan serat dan yang terkait dengan teori tera adalah untingan serat utama (principal fiber bundle) dan untingan sekawan (as-sociated bundle) yang berupa untingan vektor. Untingan serat utama dibangun dari keragaman dasar yang dikaitkan dengan grup Lie tertentu.
Prinsip dasar teori tera adalah menggambarkan empat gaya fundamen-tal dengan menggunakan konsep kelengkungan yang terkait dengan untingan serat utama dan untingan sekawan (Zeidler, 2011). Untuk menghitung keleng-kungan/gaya/interaksi ini, teori tera menggunakan konsep turunan pada poten-sial tera (yang juga disebut koneksi). Koneksi ini akan menyebakan adanya pergeseran paralel (parallel transport ) antar titik-titik pada untingan serat utama dan untingan sekawan berupa lintasan/kurva yang menghubungkan titik tersebut sehingga dapat dikatakan kelengkungan bergantung pada lintasan per-geseran paralel. Oleh karena itu, dapat dikatakan ide dasar teori tera adalah memindahkan informasi fisis melalui kurva (Zeidler, 2011).
Selain itu, pemilihan potensial secara lokal pada umumnya berbeda ben-tuknya di setiap lingkungan keragaman dasar yang dipilih, namun bersikap/ ber-kelakuan sama pada ranah global. Ranah global di sini adalah pada untingang utama dan untingan sekawan. Kebebasan pemilihan penulisan potensial pada ranah lokal disebut "kebebasan peneraan" (freedom of gauge) (Schumm, 2004) yang menjadi salah satu alasan penggunaan istilah tera seperti yang dijelask-an sebelumnya. Alihragam dijelask-antar pemilihdijelask-an tera ydijelask-ang mungkin disebut sebagai alihragam tera (gauge transformation). Alihragam tera ini akan membentuk grup Lie atau grup kesetangkupan (symmetric group). Setiap grup Lie terkait dengan aljabar Lie yang akan menjadi pembangkit (generator ) bagi grup Lie tersebut. Grup Lie inilah yang akan membentuk untingan serat utama seperti yang dijelaskan sebelumnya.
Teori tera memiliki banyak "wajah" dalam menggambarkan interaksi fun-damental di alam. Untuk interaksi gravitasi, teori relativitas umum yang tidak lain adalah kelengkungan pada keragaman ruangwaktu empat dimensi. Untuk
interaksi elegtromagnetik ada teori elektromagnetik yang tidak lain adalah ke-lengkungan pada untingan serat di atas keragaman ruangwaktu empat dimensi dengan grup kesetangkupan U (1). Interaksi lemah dan interaksi kuat diwa-kili oleh kelengkungan pada untingan serat utama khusus di atas keragaman ruangwaktu empat dimensi dengan grup kesetangkupan SU (2) dan SU (3). Ke-dua grup ini adalah grup Lie tak-Abelan. Pembahasan teori tera untuk kasus grup tak Abelan dilakukan oleh C.N. Yang dan R. Mills sehingga disebut teori Yang-Mills. Adapula teori Model Standar yang membahas semua interaksi selain gravitasi adalah teori tera yang berbentuk kelengkungan pada untingan serat utama khusus dengan grup kesetangkupan U (1) × SU (2) × SU (3). Bahkan teori dawai (String Theory) yang diyakini menjadi kandidat teori penyatuan agung pada prinsipnya juga teori tera. Dari bahasan ini dapat dikatakan secara sederhana bahwa, teori tera adalah "teori di atas teori", dan teori tera adalah fisika itu sendiri.
Pemahaman konsep-konsep dasar teori tera seperti untingan serat, ko-neksi, pergeseran paralel, turunan kovarian dan kelengkungan menjadi bahasan utama pada skripsi ini. Pemahaman ini terkait gambaran lokal, alihragam gam-baran lokal, dan gamgam-baran global.
1.2 Perumusan Masalah
Dalam uraian yang telah diberikan pada latar belakang, dapat dirumusk-an beberapa permasalahdirumusk-an berikut ini:
1. Bagaimana perumusan untingan serat yang mewakili interaksi fundamen-tal pada teori tera?
2. Apakah koneksi itu dan bagaimana gambaran global dan lokal bagi koneksi (potensial tera) serta Alihragamnya?
3. Apakah pergeseran paralel dan bagaimana perumusannya? 4. Apakah turunan kovarian dan bagaimana perumusannya?
5. Apakah kelengkungan dan bagaimana gambaran global dan lokal bagi ke-lengkungan (kuat medan tera) serta alihragamnya?
1.3 Batasan Masalah
Untuk mempertegas pembahasan dalam kajian yang hendak dilakukan, permasalahan dibatasi pada hal-hal berikut ini
1. Bahasan tidak meninjau efek topologi aljabaris pada konsep-konsep teori tera yang disebutkan pada perumusan masalah.
2. Wakilan lokal yang disajikan dalam bentuk anggota aljabar Lie adalah matriks kecuali dijelaskan lain.
3. Ruang vektor dan keragaman berdimensi berhingga kecuali dijelaskan lain.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarakan perumusan masalah, tujuan yang ingin dicapai dari peng-kajian ini adalah:
1. Memperoleh perumusan matematis untingan serat yang mewakili interaksi fundamental pada teori tera.
2. Mengetahui arti koneksi serta perumusannya di ranah global, lokal serta alihragamnya.
3. Mengetahui arti pergeseran paralel dan perumusannya. 4. Mengetahui arti turunan kovarian dan perumusannya.
5. Mengetahui arti kelengkungan serta perumusannya di ranah global, lokal, serta alihragamnya.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian (pengkajian) ini adalah:
1. mengantarkan pemahaman yang lebih mendalam tentang watak teori tera, 2. menambah perbendaharaan pemahaman ilmu fundamental dalam fisika, 3. memberi inspirasi bagi penelitian berikutnya untuk mengaplikasikan teori
1.6 Tinjauan Pustaka
Teori tera adalah teori yang telah berkembang hampir satu setengah abad. Ada banyak literatur tentang teori tera. Yang akan disebutkan dalam tinjauan pustaka ini adalah tinjauan secara historis tentang teori tera hingga saat penelitian (pengkajian) ini.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) menemukan bahwa kelengkungan pada permukaan dua dimensi adalah sifat intrinsik dari permukaan itu. Hal ini berarti kelengkungan Gaussian dari permukaan bisa ditentukan dengan menggunakan ukuran pada permukaan itu (contohnya di bumi) tanpa menggunakan ruang tiga dimensi yang menyelubunginya. Pernyataan ini disebut dengan teorema egre-gium Gauss. Bernhard Riemann (1826-1866) memperumum teorema egreegre-gium Gauss pada ruang berdimensi sebarang dan bersifat lengkung. Riemann pada tahun 1854 memperkenalkan istilah mannigfaltigkeit3 yang dikenal dengan
ke-ragaman pertama kali untuk merujuk pada sifat geometri ruang topologis yang dibangunnya. Sepuluh tahun kemudian, Maxwell menyelesaikan formulasinya tentang elektrodinamika klasik pada tahun 1864 yang merupakan contoh paling awal teori tera. Tapi hal ini tidak diketahui sampai abad ke 20.
Albert Einstein (1879-1955) tahun 1915 mencetuskan ide relativitas umum tentang gravitasi sebagai kelengkungan ruangwaktu yang berhasil dibuktikan se-cara matematis oleh David Hilbert berupa persamaan medan Einstein dengan mempostulatkan invarian aksi terhadap alihragam koordinat umum. Kemudi-an HermKemudi-ann Weyl pada tahun 1918 pertama kali memperluas ide relativitas umum untuk menggabungkan gravitasi dengan elektromagnetika. Weyl mem-postulatkan Eichinvarianz yang berarti invarian tera (saat itu dipahami "skala") sekaligus memperkenalkan pertama kali istilah tera. Setahun kemudian tahun 1919, Theodor Kaluza menulis paper tentang ide penggabungan gravitasi dan elektromagnetik dari sisi matematika dengan memperluas ruangwaktu menjadi lima dimensi. Ide Kaluza dikembangkan oleh Oskar Klein melalui tulisannya tahun 1926 yang membuktikan bahwa potensial elektromagnetik beralihragam seperti alihragam tera terhadap suatu grup abelan. Hasil kerja ini disebut teori Kaluza-Klein.
Setelah perkembangan mekanika kuantum, Weyl (1929), Fladmir Fock
3Istilah mannigfaltikeit pertama diperkenalkan oleh filsuf Jerman Immanuel Kant dalam Crituque of Pure Reason terbit 1781 yang merujuk pada himpunan semua persepsi ruang dan waktu
(1929), dan Fritz London (1927) bekerja secara terpisah mengoreksi "tera" de-ngan mengganti faktor skala dede-ngan bilade-ngan kompleks sehingga menyebabkan alihragam skala menjadi perubahan fase, yang tidak lain adalah kesetangkupan tera (grup abelan) U (1). Teori inilah yang terkenal dengan istilah teori tera dipopulerkan oleh Wolfgang Pauli pada tahun 1940-an.
Usaha untuk lebih dalam memahami teori tera dilakukan Oskar Klein ta-hun 1938 untuk membahas interaksi kuat dengan menggunakn prinsip tera yang disusun oleh Weyl dan mengembangkan teori Kaluza-Klein nya dengan menam-bah satu dimensi ekstra. Tapi teorinya gagal karena bukti-bukti eksperimen in-teraksi kuat. Keharusan untuk menghilangkan kebingungan pada fisika partikel yang berkembang, menyebabkan Chen Ning Yang dan Robert Mills memperke-nalkan teori tera tak abelan pada tahun 1954 untuk menjelaskan interaksi kuat yang kemudian dikenal sebagai Teori Yang-Mills. Teori Yang-Mills berbeda da-ri teoda-ri tera sebelumnya yang dibangun dada-ri sisi matematika dan fisika secara terpisah. Yang mengakui memahami secara penuh matematika modern dibalik teorinya pada tahun 1975 melalui matematikawan Jim Simon.
Ide pada teori Yang-Mills menemukan penerapannya pada teori medan kuantum untuk interaksi lemah dan penggabungannya dengan teori elektomag-netik sehingga disebut elektro-lemah. Keberhasilan teori Yang-Mills berikut-nya adalah menjelaskan interaksi kuat yang dalam fisika disebut sebagai Teori Kuantum Kromodinamik. Penemuan ini memantik pengembangan teori mo-del standar untuk menggabungkan interaksi elektromagnetik, lemah, kuat yang dikembangkan oleh Richard P. Feynmann, Murray Gell-Mann, Schwinger, Glla-show, Abdus Salam, dan Weinberg.
Kekinian perumusan matematik teori tera menyangkut konsep holonomi, kohomologi, eksotika struktur diferensial dan lain-lain. Perkembangan ini dimu-lai tahun 1970 oleh Sir Michael Atiyah ketika mempelajari matematika dibalik solusi klasik persamaan Yang-Mills. Pada tahun 1983 murid Sir Michael Atiyah, Simon Donalson mengembangkan usaha ini untuk menunjukkan klasifikasi dife-rensiabel dari keragaman licin 4 dimensi sangat berbeda dari klasifikasi mereka terhadap homeomorfisme. Michael Freedman menggunakan hasil Simon Donal-son untuk menunjukkan eksotika R4 yang berarti struktur diferensiabel eksotis
dari ruang Euclidan dimensi empat. Hal ini membawa pada pengembangan te-ori tera pada hal yang lebih fundamental, yakni dari stuktur topologi aljabaris. Pada tahun 1994,Edward Witten dan Nathan Sieberg menemukan teknik teori
tera berdasar supersimetri yang dapat digunakan untuk menghitung sebarang topologi invarian. Kontribusi matematis ini membuka daerah serta peluang baru pada pengembangan teori tera.
Dua buku penting yang membahas perkembangan teori tera hingga ta-hap ini adalah buku Marathe yang berjudul Mathematical Foundations of Gauge Theories terbit tahun 1992 dan buku David Bleecker Gauge Theory and Varia-tional Principle terbit tahun 1981. Sedangkan pionir terdepan dalam pengem-bangan matematika teori tera adalah Michael Freedman melalui eksotika yang dikembangkannya.
1.7 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan cara kajian teoritis. Lebih khususnya menerapkan konsep matematika modern. Objek-objek dalam teori himpunan, aljabar dan geometri digunakan dalam penelitian ini. Keterkaitan objek mate-matis tersebut dibicarakan sebagai fondasi teori tera. Lebih khusus pada kajian ini dibahas pada untingan serat, koneksi, pergeseran paralel, turunan kovarian dan kelengkungan. Untuk membahas kesemua itu diperlukan perumuman kon-sep ruang melalui konkon-sep keragaman. Kemudian pada keragaman ini dibangun kalkulus sebagai gambaran "nyata" dari sistem yang dibicarakan. Setelah itu di-bahas keragaman khusus yang disebut grup Lie dengan aljabar Lie yang terkait. Kemudian keragaman diabstraksi menjadi untingan serat, khusunya untingan serat utama yang dibangun dari grup Lie yang bersesuaian. Kemudian diba-ngun forma-1 bernilai aljabar Lie sebagai koneksi. Koneksi digunakan untuk mendefinisikan vektor singgung horizontal yang kemudian dihubungkan dengan kurva horizontal untuk mendefinisikan pergeseran paralel. Dari pergeseran pa-ralel dibangun turunan kovarian sebarang tampang lintang untuk selanjutnya dibangun kelengkungan.
Berkaitan dengan konsep matematis yang akan dilibatkan dalam menja-wab permasalahan di muka, penulis berikan pada bab awal. Akan tetapi dalam bahasan ini, konsep tentang ruang vektor, teori himpunan, logika, jenis-jenis pe-metaan tidak dibicarakan. Pembaca diasumsikan sudah memiliki pemahaman tentang konsep-konsep tersebut. Jika selama pembahasan disebutkan tentang ruang vektor, maka yang dimaksud adalah ruang vektor berlapangan riil kecuali disebutkan berbeda. Forma pada bahasan keragaman dan seterusnya jika tidak
disebutkan, maka sifatnya adalah antisetangkup. Dan kurva yang dimaksud jika tidak disebutkan adalah kurva licin.
1.8 Sistematika Penulisan
Skripsi ini tersusun atas tujuh bab. Kandungan atau isi dari masing-masing bab diuraikan sebagai berikut.
1. Bab I Pendahuluan. Bab ini berisi informasi umum tentang penelitian (ka-jian) yang dilakukan. Bab I meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan.
2. Bab II Geometri Diferensial. Bab ini membahas piranti matematika mo-dern paling awal untuk membahas konsep untingan serat utama dan konek-si pada bab berikutnya. Esenkonek-si konsep keragaman adalah perluasan konsep "ruang" dengan sebarang "bentuk" (datar atau lengkung). Bab ini dapat dikatakan terbagi menjadi 3 bagian besar. Bagian pertama membahas cara "membuat" keragaman melalui konsep topologi dan atlas maksimal. Bagian kedua membahas cara membangun kalkulus pada keragaman de-ngan mentransfer konsep aljabar eksterior (linear) pada keragaman. Hasil penting bagian kedua ini adalah konsep gradien, divergensi, dan curl pa-da sebarang keragaman. Bagian ketiga membahas keragaman dengan sifat khusus, yaitu memiliki struktur grup yang disebut grup Lie. Bahasan yang penting dari bagian ketiga adalah pemahaman bahwa anggota aljabar Lie adalah pembangkit medan vektor pada suatu keragaman, sifat invarian kiri/kanan dari medan vektor,grup Lie matriks, serta forma invarian kiri yang menghasilkan persamaan Cartan.
3. Bab III Untingan Serat dengan Koneksi. Bab ini merupakan salah satu tujuan penulisan skripsi ini. Pada bab ini, dibahas formalisme untingan serat sebagai perumuman konsep keragaman pada bab II. Untingan se-rat terkait dengan grup struktur tertentu. Yang memiliki grup struktur GL(n, R) disebut untingan vektor dan yang memiliki grup struktur grup Lie disebut untingan serat utama. Bahasan difokuskan pada untingan se-rat utama sebagai model matematis dunia global interaksi fundamental fisika, lebih khusus terkait penguraian lokal, serta pembentukan untingan
sekawan dari untingan serat utama. Sementara itu, konsep koneksi se-bagai pengejawantahan potensial tera dibahas menggunakan tiga definisi, masing-masing berkaitan dengan sifat global dan lokalnya serta alihragam-nya.
4. Bab IV Kelengkungan. Tiga hal penting yang dikaji pada bab ini adalah pergeseran paralel, turunan kovarian, dan kelengkungan. Fondasi konsep ini menggunakan konsep kurva horizontal hasil angkat horizontal untuk kurva di keragaman dasar. Melalui kurva horizontal ini dapat dibangun pergeseran paralel yang pada dasarnya menghubungkan vektor singgung di satu titik dengan vektor singgung pada titik lain di keragaman. Ke-mudian memperkenalkan turunan kovarian sebagai konsep turunan suatu tampang lintang pada vektor singgung tertentu yang diperluas untuk ka-sus turunan kovarian terhadap medan vektor. Terakhir, memperkenalkan konsep turunan kovarian eksterior yang terkait dengan bahasan pada bab II untuk mendefinisikan kelengkungan.
5. Bab V Terapan: Koneksi dan Kelengkungan dalam Keragaman Semi-Riemannan. Bab ini berisi penerapan sederhana konsep teori tera yai-tu koneksi dan kelengkungan. Dipilih keragaman semi-Riemannan agar dapat mencakupi keragaman Lorentz berdimensi empat yang mewakili ru-ang waktu tempat teori relativitas dibru-angun. Koneksi pada keragaman semi-Riemannan adalah keragaman linear
6. Bab VI Penutup. Bab ini berisi simpulan dan saran yang penulis berikan sebagai hasil penulisan skripsi ini serta untuk pengembangan penelitian berikutnya.
7. Lampiran Teori Grup dan Aljabar Eksterior. Pada lampiran ini dijelaskan konsep dasar untuk memahami bahasan pada pengkajian ini. Bagian teori grup disajikan sebagai fondasi dasar untuk grup Lie dan aljaba Lie pada pada pengkajian ini. Konsep yang penting dalam bagian bahasan teori grup adalah pembagian aksi grup, konsep orbit, dan koset. Bagian aljabar ekterior membicarakan piranti matematis aplikatif untuk menggambarkan "kalkulus" pada keragaman di bab II dan di bab-bab selanjutnya. Bahasan yang penting meliputi konsep tensor, perkalian wedge dan metrik.
