South East Asian Conference on Mathematics and Its Applications 2010 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
SEACMA 2010
PEMBUATAN MODEL MATEMATIKA UNTUK MENJELASKAN
DINAMIKA POPULASI RUSA TIMOR SEBAGAI BAHAN PAKAN
UTAMA POPULASI KOMODO DI PULAU GILI MOTANG
Rudianto Artiono
Jurusan Matematika, Universitas Negeri Surabaya
Jl. Raya Ketintang Surabaya, Kampus UNESA Ketintang, Surabaya 60231 – Indonesia e-mail : rudianto_82@yahoo.com
Abstrak. Komodo merupakan salah satu satwa langka asli Indonesia. Sebaran dari populasi ini hanya dapat ditemukan di lima pulau di bagian tenggara Indonesia yaitu pulau Komodo, pulau Padar, pulau Rinca, pulau Gili Motang, dan pulau Flores. Sementara rusa timor merupakan bahan pakan utama dari populasi komodo. Jika dibandingkan dengan pulau-pulau lainnya, pulau-pulau Gili Motang merupakan pulau-pulau dengan kepadatan populasi rusa timor yang paling rendah. Pada makalah ini akan dibahas tentang bagaimana memperoleh model matematika yang dapat digunakan untuk menjelaskan dinamika populasi rusa timor sebagai bahan pakan utama populasi komodo di pulau Gili Motang. Selanjutnya model ini akan dijadikan referensi untuk melihat keberadaan populasi komodo di pulau Gili Motang pada tahun-tahun mendatang.
Kata Kunci: pemodelan matematika, dinamika populasi
1.
Pendahuluan
Komodo merupakan salah satu satwa langka asli Indonesia, yang sebarannya hanya dapat ditemukan di lima pulau di bagian tenggara Indonesia yaitu pulau Komodo, pulau Padar, pulau Rinca, pulau Gili Motang, dan pulau Flores. Sebagai salah satu satwa langka, keberadaan populasi komodo menjadi perhatian khusus bagi pemerintah untuk tetap menjaga kelestarian dari satwa ini. Sejak tahun 1980, pemerintah telah meresmikan kawasan Taman Nasional Komodo sebagai tempat konservasi satwa komodo. Kawasan ini didirikan dengan tujuan untuk melindungi keberadaan satwa komodo dan habitatnya.
Salah satu tindakan nyata yang dilakukan oleh pemerintah untuk tetap melestarikan komodo di kawasan Taman Nasional Komodo ini adalah dengan cara memperhatikan keberadaan bahan pakan utama dari satwa ini yaitu rusa timor, babi hutan dan kerbau air. Pemerintah mengharapkan bahwa dengan adanya pelestarian bahan pakan utama dari satwa komodo, akan dapat mendukung keberadaan dari populasi komodo.
Gambar 1. Peta Taman Nasional Komodo
Salah satu pulau yang terletak di bagian selatan kawasan Taman Nasional Komodo yaitu pulau Gili Motang mempunyai karakteristik yang berbeda dibandingkan dengan pulau-pulau lainnya yang berada di kawasan Taman Nasional Komodo. Pulau dengan luas 10,3 km2 ini, memiliki kepadatan
al. 2005b-submitted). Imigrasi bahan pakan utama lainnya ke pulau ini diduga tidak ada karena adanya isolasi kekuatan arus laut yang membatasi pulau ini dari pulau lainnya.
Dengan karakteristik yang demikian, dikhawatirkan akan mengakibatkan penurunan jumlah populasi komodo yang selanjutnya akan dapat menyebabkan kepunahan dari populasi komodo di pulau Gili Motang. Berikut ini adalah data yang diperoleh dari petugas Taman Nasional Komodo tentang jumlah populasi rusa timor pada tahun 2003 dan 2004 yang ada di pulau Gili motang:
Tahun Jumlah Populasi Rusa
2003 52 ekor
2004 30 ekor
Tabel 1. Kepadatan Populasi Rusa Timor di Pulau Gili Motang
sedangkan data tentang jumlah populasi komodo di pulau Gili Motang pada tahun 2003 dan 2004 adalah sebagai berikut:
Tahun Jumlah Populasi Komodo
2003 95 ekor
2004 64 ekor
Tabel 2. Kepadatan Populasi Komodo di Pulau Gili Motang
dari tabel 1 dan tabel 2, dapat dilihat bahwa ketika terjadi penurunan jumlah populasi rusa timor dari 52 ekor menjadi 30 ekor, mengakibatkan penurunan jumlah populasi komodo dari 95 ekor menjadi 64 ekor. Hal ini menunjukkan bahwa keberadaan populasi komodo di pulau Gili Motang sangat bergantung terhadap keberadaan populasi rusa timor.
Keberlangsungan hidup populasi komodo ditentukan oleh keberadaan populasi rusa timor yang ada di pulau Gili Motang. Jika populasi rusa timor selamanya dapat tersedia melimpah di pulau ini maka diharapkan populasi komodo juga akan tetap bertahan hidup selamanya sedangkan jika populasi rusa timur mengalami penurunan maka sedikit demi sedikit populasi komodo juga akan mengalami penurunan jumlah populasi.
Selanjutnya, untuk mengetahui apakah keberadaan populasi rusa timor di pulau Gili Motang pada tahun-tahun mendatang akan tetap tersedia dan untuk mengetahui apakah keberadaannya di pulau ini akan dapat terus mendukung keberadaan populasi komodo, maka perlu dibuat model matematika yang dapat menjelaskan tentang dinamika populasi rusa timor.
Pada makalah ini akan dibahas tentang pembuatan model matematika tentang dinamika populasi rusa timor yang disertai pula dengan analisis titik kritis dari model yang dihasilkan. Dari model yang tersebut akan dilakukan analisis untuk menjelaskan dinamika populasi rusa timor yang ada di pulau Gili Motang. Hasil analisis ini dideskripsikan untuk menjelaskan model matematika yang diperoleh ke dalam pembahasan secara nyata hubungan antara rumus-rumus matematika dengan kejadian sesunguhnya di alam.
2.
Pembahasan
2.1 Skema Proses Rusa Timor dan Komodo
Dalam pembuatan model matematika yang berkaitan dengan dinamika populasi, terlebih dahulu diperlukan skema proses dari keberlangsungan populasi tersebut. Penyusunan skema proses dari populasi rusa timor dan populasi komodo yang ada di pulau Gili Motang, memperhatikan karakteristik untuk masing-masing populasi dan kaitanya dengan populasi yang lain. Hal ini untuk mengetahui fase-fase apa saja yang akan dilalui oleh populasi tersebut dari awal hingga akhir kehidupannya. Dalam perkembangan tiap fase, yang harus diperhatikan adalah hal-hal apa saja yang dapat mempertahankan populasi tersebut tetap hidup dan hal-hal apa saja yang dapat menyebabkan kematian dari populasi tersebut.
Komodo Dewasa
KD (t)
Rusa Anakan
RA (t)
Rusa Dewasa
RD (t)
e
f
g h i iRARDjSedangkan populasi komodo di pulau Gili Motang merupakan populasi yang bertindak sebagai predator. Populasi ini berkembang biak dengan cara bertelur. Setiap kali bertelur, seekor komodo betina dewasa dapat menghasilkan 15-30 butir dan mengalami masa inkubasi selama kurang lebih 8-9 bulan. Telur merupakan fase paling rawan dalam kehidupan populasi komodo. Pada fase ini, telur komodo sering dijadikan bahan pakan oleh burung, hal ini dikarenakan telur komodo hanya diawasi oleh induknya pada awal-awal bulan keluar dari tubuh induk komodo. Telur komodo yang berhasil menetas, selanjutnya memasuki fase sebagai komodo anakan. Kehidupan komodo anakan berada di atas pohon sehingga pakan utama dari komodo anakan adalah burung dan hewan-hewan kecil yang ada di atas pohon. Kematian komodo anakan disebabkan oleh kematian alami dan pemangsaan oleh komodo dewasa (terjadi kanibalisme oleh komodo dewasa). Komodo anakan yang berhasil melewati fase anakan selanjutnya berkembang menjadi komodo dewasa. Fase ini merupakan fase bagi komodo untuk berkembang biak dan mempertahankan hidupnya. Pakan utama bagi komodo dewasa di pulau Gili Motang adalah rusa timor. Sehingga kebutuhan pakan komodo dewasa sangat bergantung pada keberadaan rusa timor. Sedangkan kematian populasi komodo disebabkan oleh kematian alami (sakit atau usia) dan ketersediaan populasi rusa timor sebagai bahan pakan utama. Sesama komodo dewasa tidak terjadi persaingan dalam memperebutkan bahan pakan, hal ini dikarenakan pada populasi komodo berlaku aturan bagi komodo yang paling dewasa yang lebih dulu mendapatkan pakan.
Selanjutnya untuk menyusun skema proses dari siklus populasi komodo dan populasi rusa timor di pulau Gili Motang, diperlukan asumsi-asumsi yang berguna untuk penyederhanaan model matematika. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk menyusun skema proses dari populasi komodo dan populasi rusa timor adalah sebagi berikut:
1. Komodo anakan tidak memangsa rusa timor
2. Komodo dewasa tidak memebedakan antara rusa anakan dengan rusa dewasa 3. Tidak terjadi persaingan antara komodo dewasa dalam memperoleh mangsanya. 4. Kematian alami komodo dewasa hanya disebabkan oleh ketersediaan pangan 5. Komodo tidak dapat melakukan migrasi keluar pulau.
6. Terjadi persaingan antara rusa timor untuk memperoleh pangan 7. Tidak ada campur tangan manusia
Dari asumsi dan karakteristik masing-masing populasi tersebut, selanjutnya dapat dibuat skema proses seperti pada gambar berikut ini:
Gambar 2: Skema Proses populasi Komodo dan populasi Rusa
Dari skema proses yang telah dibuat, selanjutnya akan disusun model matematika untuk dinamika populasi komodo dan dinamika populasi rusa timor. Masing-masing kompartemen akan menjadi suatu persamaan diferensial yang menyatakan perubahan banyaknya populasi persatuan waktu.
A.2 Model Matematika Populasi Rusa Timor dan Populasi Komodo
Model matematika untuk dinamika populasi komodo di pulau Gili Motang adalah sebagai berikut:
d K
D(
t
)
dt
=
γ K
D−(
φ
−
c R
A−
d R
D)
K
Dd R
A(
t
)
dt
=
ε R
A−
e
R
A2
d R
D(
t
)
dt
=
μ R
A−
h
R
D2
−
i
R
AR
D−
j
K
DR
D−
τ R
DKeterangan:
d K
D(
t
)
dt
= Perubahan banyaknya populasi komodo dewasa persatuan waktud R
A(
t
)
dt
= Perubahan banyaknya populasi rusa timor anakan persatuan waktud R
D(
t
)
dt
= Perubahan banyaknya populasi rusa timor dewasa persatuan waktuγ
= Rata-rata kelahiran komodo dewasac = Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa anakan d = Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa dewasa e = Proporsi persaingan antara rusa anakan dengan rusa anakan
(carrying capacity)
f = Proporsi persaingan antara rusa dewasa dengan rusa anakan g = Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa anakan h = Proporsi persaingan antara rusa dewasa dengan rusa dewasa
(carrying capacity)
i = Proporsi persaingan antara rusa anakan dengan rusa dewasa j = Proporsi pemangsaan komodo dewasa terhadap rusa dewasa
φ
= Rata-rata kematian natural komodo dewasaε
= Rata-rata kelahiran populasi rusa anakanθ
= Rata-rata kematian natural rusa anakanμ
= Rata-rata perpindahan rusa anakan menjadi rusa dewasaτ
= Rata-rata kematian natural rusaTabel 3: Parameter Model
Dari model yang telah ada, selanjutnya akan dianalisis di masing-masing titik kritisnya dengan memperhatikan kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi di alam
Analisis Titik Kritis Pada Model
Berikut ini akan dibahas kestabilan dari titik-titik kritis untuk 3 keadaan yang mungkin terjadi di pulau Gili Motang.
1. Keadaan jika tidak terdapat populasi komodo
d R
A(
t
)
dt
=
ε R
A−
e
R
A2
−
f
R
DR
A−
θ R
A−
μ R
Ad R
D(
t
)
dt
=
μ R
A−
h
R
D2
−
i
R
AR
D−
τ R
DPada model ini diperoleh 3 titik kritis yaitu ketika tidak terdapat populasi rusa sama sekali (virgin area), ketika terdapat populasi rusa dewasa tetapi tidak ditemukan populasi rusa anakan, dan ketika terdapat populasi rusa anakan dan rusa dewasa secara bersama (koeksistensi). Dari matriks Jacobi yang diperoleh yaitu
dapat dilakukan analisis kestabilan dan analisis kemungkinan terjadinya di alam.
a .
Pada titik kritis 1 yaitu
(
R
A=
0,
R
D=
0
)
stabil jika
ε
Kondisi ini dapat terjadi di pualu gili motang yaitu ketika rasio pertumbuhan atau regenerasi hidup rusa anakan kurang dari 1 atau rata-rata kelahiran rusa anakan kurang dari rata-rata kematian rusa anakan dan rata-rata perpindahan rusa anakan menjadi rusa dewasa. Ketika populasi rusa anakan mengalami kepunahan maka akan mengakibatkan pula kepunahan pada populasi rusa dewasa. Hal ini pada akhirnya akan mengakibatkan terjadinya kepunahan populasi rusa timor. Kondisi yang mungkin terjadi di alam adalah stabil artinya jika telah terjadi kepunahan pada populasi rusa timor maka tidak akan ditemukan lagi populasi rusa timor di alam.
b .
Pada titik kritis 2 yaitu
(
R
A=
0,
R
D=
−
τ
h
)
R
Dada jika
τ
h
<
0
Kondisi ini tidak dapat terjadi di alam karena tidak akan ditemukan rasio antara rata-rata kematian rusa dewasa dengan proporsi persaingan antara rusa dewasa yang kurang dari 0. Rata-rata kematian rusa dewasa selalu lebih besar atau sama dengan 0 artinya pasti terjadi kematian rusa dewasa (
τ
>
0
) atau tidak terjadi kematian (τ
=
0
) dan persaingan antara rusa dewasa juga selalu lebih besar atau sama dengan 0 artinya pasti akan terjadi persaingan (h
>
0
) atau tidak terjadi persaingan (h
=
0
).c .
Pada titik kritis 3 yaitu
(
koeksistensi antara rusa anakan dengan rusa dewasa
)
R
A=
ε
−
f R
D−
θ
−
μ
e
ada jika
R
Dada
.
R
Dada jika
μ
(
θ
+
μ
−
ε
)
eh
−
if
>
0,
ε
θ
+
μ
>
1,
eh
<
if
Kondisi ini dapat terjadi di pualu Gili Motang yaitu ketika rasio pertumbuhan atau regenerasi hidup rusa anakan lebih dari 1 artinya rata-rata kelahiran rusa anakan lebih dari rata-rata kematian rusa anakan dan rata-rata perpindahan rusa anakan menjadi rusa dewasa, persaingan yang terjadi antara sesama populasi (rusa anakan dengan rusa anakan dan rusa dewasa dengan rusa dewasa) kurang dari persaingan yang terjadi antara populasi yang berbeda (rusa anakan dengan rusa dewasa dan rusa dewasa dengan rusa anakan).
2. Keadaan jika tidak terdapat populasi rusa timor
d K
D(
t
)
dt
=
γ K
D−
φ K
DPada model ini hanya diperoleh 1 titik kritis yaitu ketika tidak terdapat populasi komodo sama sekali (virgin area). Dari matriks Jacobi yang diperoleh yaitu
dapat dilakukan analisis kestabilan dan analisis kemungkinan terjadinya di alam sebagai berikut
Pada titik kritis
(
K
D=
0
)
stabil jika
γ
φ
<
1
Kondisi ini dapat terjadi di pulau Gili Motang yaitu ketika populasi komodo punah yaitu rasio pertumbuhan atau regenerasi hidup komodo kurang dari 1 artinya rata-rata jumlah komodo anakan yang berubah menjadi komodo dewasa kurang dari rata-rata jumlah kematian komodo dewasa. Kondisi ini mengakibatkan terjadinya kepunahan populasi komodo. Kondisi yang mungkin terjadi di alam adalah stabil artinya jika telah terjadi kepunahan pada populasi komodo maka tidak akan ditemukan lagi populasi komodo di alam.
Jika rasio pertumbuhan atau regenerasi hidup komodo lebih dari 1 artinya rata-rata jumlah komodo anakan yang berubah menjadi komodo dewasa lebih dari rata-rata jumlah kematian komodo dewasa maka akan diperoleh jumlah populasi komodo yang melimpah di alam (blow up).
3. Keadaan jika terdapat populasi komodo dan populasi rusa timor
d K
D(
t
)
d R
A(
t
)
Pada model ini diperoleh 5 titik kritis yaitu ketika tidak terdapat populasi rusa dan populasi komodo sama sekali (virgin area), ketika tidak terdapat populasi komodo dewasa dan populasi rusa anakan tetapi terdapat populasi rusa dewasa, ketika tidak terdapat populasi komodo dewasa tetapi terdapat populasi rusa anakan dan rusa dewasa, ketika tidak terdapat populasi rusa anakan tetapi terdapat populasi komodo dewasa dan rusa dewasa, dan ketika terdapat populasi komodo dan populasi rusa secara bersama (koeksistensi). Dari matriks Jacobi yang diperoleh yaitu
[
γ
−
c R
A−
d R
D−
φ
−
K
Dc
−
K
Dd
−
R
Ag
−
2
e R
A+
ε
−
μ
−
R
Df
−
g K
D−
θ
−
R
Af
−
j R
Dμ
−
i R
d−
2
h R
D−
i R
A−
j K
d−
τ
]
dapat dilakukan analisis kestabilan dan analisis kemungkinan terjadinya di alam sebagai berikut:
a .
Pada titik kritis 1 yaitu
(
K
D=
0,
R
A=
0,
R
D=
0
)
pertumbuhan komodo kurang dari 1 dan rasio pertumbuhan atau regenerasi rusa juga kurang dari 1. Hal ini mengakibatkan populasi rusa anakan akan mengalami kepunahan yang akan mengakibatkan kepunahan pada populasi rusa dewasa. Demikian pula akan terjadi kepunahan pada populasi komodo dewasa. Hal ini yang pada akhirnya akan mengakibatkan terjadinya kepunahan populasi rusa timor dan populasi komodo. Kondisi yang mungkin terjadi di alam adalah stabil artinya jika telah terjadi kepunahan pada populasi rusa timor dan populasi komodo maka tidak akan ditemukan lagi populasi rusa timor dan populasi komodo di alam.b .
Pada titik kritis 2 yaitu
(
K
D=
0,
R
A=
0,
R
D=
−
τ
h
)
syarat
R
Dada jika
τ
h
<
0
Kondisi ini tidak dapat terjadi di alam karena di alam tidak pernah ditemukan rasio antara rata-rata kematian rusa dewasa dengan proporsi persaingan antara rusa dewasa yang kurang dari 0.
c .
Pada titik kritis 3 yaitu
(
K
D=
0, koeksistensi rusa anakan dan rusa dewasa
)
R
A=
ε
−
f R
D−
θ
−
μ
d. Pada titik kritis 4 yaitu
Kondisi ini mungkin terjadi di alam yaitu ketika rata-rata kematian komodo dewasa lebih besar daripada rata-rata kelahiran komodo, ini mengakibatkan populasi rusa dewasa dapat tetap bertahan hidup dan ketika rasio antara rata-rata kematian rusa dewasa dengan proporsi persaingan antara sesama rusa dewasa lebih besar daripada rasio kelahiran komodo dewasa dengan proporsi pemangsaan rusa dewasa oleh komodo dewasa ini berarti bahwa komodo dewasa sangat bergantung pada keberadaan populasi rusa dewasa. Kondisi yang terjadi adalah tidak stabil artinya jika populasi rusa dewasa mengalami kepunahan dikarenakan tidak tersedia populasi rusa anakan maka akan mengakibatkan kepunahan populasi komodo dewasa.
e. Pada titik kritis 5 yaitu koeksistensi antara rusa anakan, rusa dewasa dan komodo dewasa.
a da jika
γ
Kondisi ini dapat terjadi di alam yaitu ketika rasio pertumbuhan atau regenerasi komodo dewasa lebih dari satu artinya rata-rata kelahiran komodo dewasa lebih besar daripada rata-rata kematian komodo dewasa dan ketika rasio pertumbuhan atau regeneras populasi rusa anakan dan rusa dewasa juga lebih dari satu. Ketika populasi rusa anakan dan populasi rusa dewasa tersedia melimpah di alam maka populasi komodo juga akan mengalami peningkatan jumlah. Populasi rusa sebagai bahan pakan bagi komodo akan dapat mendukung keberlangsungan hidup dari populasi komodo. Kondisi yang mungkin terjadi di alam adalah stabil artinya jika populasi rusa yang tersedia di alam mencukupi maka jumlah populasi komodo akan dapat tetap bertahan hidup.
3. Penutup
Dari hasil penelitian ini, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Model matematika yang dapat menjelaskan dinamika populasi rusa timor sebagai bahan pakan utama populasi komodo adalah sebagai berikut:
d K
D(
t
)
2. Dari analisi model matematika yang telah diperoleh tersebut dapat dijelaskan beberapa hal antara lain: a) Penurunan jumlah populasi rusa sangat berpengaruh terhadap populasi komodo dewasa, hal ini disebabkan karena populasi komodo dewasa sangat bergantung terhadap keberadaan populasi rusa timor. Jika populasi rusa mengalami kepunhan maka akan diikuti pula oleh kepunahan populasi komodo, b) Ketersediaan rusa sebagai bahan pakan populasi komodo diharapkan melimpah atau tetap tersedia di alam sehingga komodo dewasa dapat tetap tersedia di alam, c) Ketersediaan bahan pakan bagi rusa diharapkan juga tersedia melimpah di alam, hal ini untuk memberikan daya dukung bagi keberlangsungan hidup populasi rusa anakan dan populasi rusa dewasa.
Selanjutnya untuk mempertahankan keberadaan populasi komodo dan populasi rusa timor,maka diberikan saran dari hasil penelitian ini sebagai berikut:
1. Perlunya campur tangan manusia untuk menyediakan pakan bagi populasi komodo sehingga komodo tidak memangsa rusa timor secara liar.
3. Menyediakan makanan alternatif bagi komodo dewasa seperti babi hutan dan kerbau air di Pulau Gili Motang.
4. Penangkaran rusa timor, babi hutan dan kerbau air sebagai bahan pakan yang dapat mendukung keberlangsungan hidup populasi komodo di Pulau Gili Motang.
Daftar Pustaka
Baiduri. 2002. Persamaan Diferensial dan Matematika Model, UMM Press
Barnes, Belinda and Fulford, Glenn R. 2002. Mathematical Modelling With Case Studies A Differential Equation Approach Using Maple, Taylor & Francis
Butcher, J. C. 2003. Numerical Methods For Ordinary Differential Equations, England: John Willey & Sons Ltd Erdmann,A.M., (2004), A Natural History Guide to Komodo National Park, The Nature Conservancy
Indonesia Coastal and Marine Program, 56, lihat:
http://www.komodonationalpark.org/downloads/NatHist1_screen.pdf, 15 April 2008
Jessop, T. S., Forsyth, D., Purwandana D., Imansyah J., Opat D.,McDonald-Madden C.2005b-submitted.
Monitoring the ungulata prey of Komodo dragons (Varanus komodoensis) using faecal counts. Wildlife Research.
Jessop,T.S., Madsen,T., Purwandana,D.,Imansyah,J.M., Rudiharto,H., Ciofi,C. (2005), Bukti terhadap keterbatasan energetik yang mempengaruhi populasi Komodo di pulau kecil, 5, lihat:
http://www.komodonationalpark.org/downloads/keterbatasan_energetik.pdf, 15 April 2008
