5fbff bab 2 relasi

BAB 2

RELASI

Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta, dan Diah di Jakarta, maka kita dapat menuliskannya sebagai sebuah himpunan R = {(Edi, Bandung), (Tini, Surabaya), (Ali, Jakarta), (Diah, Jakarta)}

R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pair). Disini pada pasangan terurut (Diah, Jakarta), Diah merupakan komponen pertama dan Jakarta merupakan komponen kedua dari dari pasangan terurut tersebut. Himpunan R di atas merupakan sebuah relasi, yang dapat kita bentuk antara himpunan A dan B. kita dapat juga menuliskan R = {(x,y) l x bertempat tinggal di y, x ϵ B}.

Dengan pendefinisian relasi “x bertempat tinggal di y” di atas jelas bagi kita bahwa penulisan (Diah, Jakarta) tidak boleh dibalik menjadi (Jakarta, Diah) yang kalau dibaca “Jakarta bertempat tinggal di Diah”. Itulah sebabnya pasangan tersebut dinamakan

pasangan terurut, (a,b) ≠ (b,a).

1. Produk Cartesian

Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian :

(a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b;

(a1, a2, …, an) n-tuple dari elemen-elemen a1, …, an;

A x B = {(a, b) : a Є A, b Є B} hasil kali himpuan A dan B;

A1, x A2x … x An atau ∏ hasil kali himpunan-himpunan A1, A2, …, An

A2 = A x A dan An= A x A x … x A (n faktor)

 Urutan elemen-elemen di (a, b) menimbulkan suatu perbedaan; dalam hal ini a adalah elemen pertama dan b adalah elemen kedua. Maka (a, b) ≠ (b, a), bila tidak demikian maka a = b. Sebaliknya (a, b) dan (b, a) mewakili himpunan yang sama.

 Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) sama jika dan hanya jika a = c dan b = d

 n-tuple (a1, a2, … , an) dan (b1, b2, …, bn) sama jika dan hanya jika a1 = b1, a2 =

b2, …, an = bn

 Perwakilan dari R2 = R x R sebagai titik-titik dalam bidang

Setiap titik p dalam bidang mewakili sebuah pasangan terurut (a, b) dari bilangan real dan sebaliknya. Garis vertikal melalui P bertemu dengan sumbu x di a dan garis horisontalnya bertemu sumbu y di b. R2 seringkali disebut sebagai bidang cartesian.

y

x

b

a

p(a,b)

Contoh :

1. Tentukan x dan y jika (3x, x – 2y) = (6, -8) 3x = 6 → x = 2; x – 2y = -8 → y = 5

2. Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}. Tentukan a. A x B dan b. B x A a. A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

b. B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

Latihan soal :

1. Tentukan x, y dan z jika (2x, x + y, x – y -2z) = (4, -1, 3) 2. Anggap A = {1, 2}. Tentukan a. A2 dan b. A3

3. Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}. Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini sama dengan A x B

a. E = {{1, a}, {1, b}, {2, a}, {2, b}} b. F = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)} c. G = {(1, a), (1, b), (2, a), (b, 2)} d. {(1, b), (2, a), (1, a), (2, b)}

4. Misalkan A = {pria, wanita} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Tentukan : a. A x B dan b. B x A

5. Misalkan Y = {0, 1} dan Z = {1, 0}. Tentukan : a. Y x Z b. Z x Y c. apakah yang dapat kamu catat dari hasil Y x Z dan Z x Y?

Untuk setiap pasangan terurut (a, b) dalam A x B, terdapat n(A) pilihan untuk a dan n(B) pilihan untuk b. Maka ada n(A).n(B) pasangan terurut. Sehingga n(A xB) = n(A).n(B). Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa jika A1, A2, …, Am

adalah himpunan berhingga maka :

n(A1 x A2 x … x Am) = n(A1) n(A2) … n(Am)

Contoh :

Penyelesaian : Elemen- elemen dari A x B X C terdiri dari 12 triple terurut.

Latihan soal :

1. Setiap pelemparan sebuah uang logam akan menghasilkan muka atau belakang. Misalkan C = {H, T} menyatakan himpunan yang dihasilkan. Tentukan C3, n(C3) dan sebutkan wakil dari C3.

2. Misalkan S = {a, b, c}, T = {b, c, d}, dan W = {a, d}. Bentuklah diagram pohon S x T x W kemudian tentukanlah S x T x W.

3. Diberikan himpunan A = {1, 2}, B = {a, b, c}, C = {c, d}. Tentukan a) (A x B) ∩(A x C) dan b) A x (B∩C)

4. Misalkan A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {2, 3}. Tentukan a) (A x B)U(A x C) dan b) A x (B U C)

2.

Penyajian Lain

Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :

1. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)}

2. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pencirian, P = {(x,y) : x berusia y, dimana x Є M dan y Є N}

3.Diagram panah,

M N p

Ami Budi Candra Dita

4. Diagram koordinat atau grafik relasi,

5. Bentuk graf berarah (digraf)

Buatlah diagram panah dan tentukan matriks M yang mewakili R

2. Misalkan T adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4, 5} ke B = {merah, putih, biru, hijau} didefinisikan oleh T = {(1, merah), (2, biru), (3, biru), (4, hijau)} a. Gambarlah diagram panah relasi T

b. Tentukan domain dan range dari T c. Tentukan matriks M yang mewakili T

3. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6} dan misalkan R adalah relasi pada A yang

didefinisikan “x membagi y”, dituliskan dengan xIy.

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6),(3, 3), (3, 6), (6, 6)} a. Gambarlah graph berarah R

b. Tentukan matriks M dari relasi R

4. Misalkan R adalah relasi pada A = {1, 2, 3, 4, 5} yang diterangkan oleh graph berarah berikut :

a. Tulislah R sebagai himpunan pasangan terurut

b. Tentukan setiap subset dari A berikut : E = {a : a R 2}, F = {a : a R 3}, G = {a : 2 R a}, dan H = {a : 3 R a}

5. Gambar berikut menunjukkan grafik dari relasi S yang didefinisikan persamaan y = x2.

a. Tentukan domain dan range dari S

b. Tentukan persamaan yang menunjukkan relasi invers S-1 c. Gambarkan grafik dari S-1

1 2 3

y

3.

Relasi Invers

 Sebuah relasi biner (relasi) dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu subset R dari A x B. Misalkan a Є A dan b Є B, ditulis :

a R b atau a R b berarti (a, b) Є R atau (a, b)∉ R

 Domain dari R adalah subset dari A terdiri dari elemen-elemen pertama dari pasangan terurut R, dan range dari R adalah subset dari B terdiri dari elemen-elemen yang kedua.

 Invers dari R dinotasikan R-1 adalah relasi dari B ke A yang terdiri dari pasangan terurut yang berkebalikan dengan R; yaitu :

R-1 = {(b, a): (a, b) Є R}

Dengan kata lain b R-1 a jika dan hanya jika a R b

Contoh :

1. Tentukan manakah dari pernyataan berikut yang merupakan relasi dari A = {a, b, c} ke B = {1, 2}

a. R1 = {(a, 1), (a, 2), (c, 2)}

b. R2 = {(a, 2), (b, 1)}

c. R3 = {(c, 1), (c, 2),(c, 3)}

d. R4 = {(b, 2)}

e. R5 = Ø

f. R6 = A x B

Penyelesaian :

Semua merupakan relasi dari A ke B karena semuanya adalah subset dari A x B. R5 = Ø disebut relasi kosong dari A ke B, dan R6 = A x B disebut relasi

semesta dari A ke B

2. Tentukan invers dari setiap relasi pada soal no 1 diatas.

Tukarkan urutan pasangan terurut pada setiap relasi untuk mendapatkan Rk-1

a. R1 = {(1, a), (2, a), (2, c)}

b. R2 = {(2, a), (1, b)}

c. R3 = {(1, c), (2, c),(3, c)}

d. R4 = {(2, b)}

e. R5 = Ø

f. R6 = B x A

3. Tentukan jumlah relasi dari A = (a, b, c} ke B = {1, 2}

Terdapat 3*2 = 6 elemen dengan demikian m = 64 relasi dari Ax B.

Latihan soal :

1. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} didefinisikan oleh “x lebih kecil dari y”, maka R adalah relasi <. Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut. 2. Tuliskan invers R-1 dari relasi R pada soal 1. Dapatkah R-1 diterangkan dengan

kata-kata?

3. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {x, y, z} didefinisikan oleh R = {(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}

a. Tentukan domain dan range dari R b. Tentukan relasi invers R-1 dari R

4. Misalkan R adalah relasi “terletak di” dari himpunan kota-kota (X) ke himpunan

negara (Y). Nyatakan setiap pernyataan berikut dengan kata-kata dan tentukan apakah pernyataannya benar atau salah :

b. (moskow, Itali) Є R d. (London, Inggris) Є R

5. Misalkan A = {1, 2, 3} dan misalkan R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 3)} adalah sebuah relasi dari A (yaitu sebuah relasi dari A ke A). Tentukan apakah setiap pernyataan berikut benar atau salah :

a. 1 R 1 b. 1 R 2 c. 2 R 3 d. 2 R 1 e. 3 R 2 f. 3 R 1

4.

Komposisi Relasi

Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan, dan misalkan R adalah sebuah relasi dari A ke B dan misalkan S adalah relasi dari B ke C. Jadi, R adalah subset dari A x B dan S adalah subset dari B x C. Maka R dan S akan memberikan suatu relasi dari A ke C yang dinyatakan dengan R ο S dan didefinisiskan :

a(R ο S)c jika untuk sembarang bЄ B kita dapatkan a R b dan b S c

Dengan begitu,

R ο S = {(a, c) : ada bЄ B dimana (a, b) Є R dan (b, c) Є S}

Misalkan A, B, C, dan D adalah himpunan. Anggap sebuah R adalah relasi dari A ke B, S adalah relasi dari B ke C dan T adalah relasi dari C ke D. Maka :

(Rο S)ο T = R ο (S ο T) (hukum assosiatif)

Contoh :

1. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} dan C = {x, y, z}. Perhatikan relasi R dari A ke B dan S dari B ke C berikut : R = {(1, b), (2, a), (2, c)} dan S = {(a, y), (b, x), (c, y), (c, z)}

A B C

R = {(1, a), (2, d), (3, a), (3, b), (3, d)} dan S = {(b, x), (b, z), (c, y), (d, z)}. Tentukan relasi komposisi R ο S

2. Gunakan matriks untuk menentukan komposisi R ο S dari relasi R dan S pada

soal diatas

3. Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} dan C = {w, x, y, z}. Perhatikan relasi dari R dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan :

R = {(a, 3), (b, 3), (c, 1), (c, 3), (d, 2)} dan S = {(1, x), (2, y), (2, z)}. a) Gambarkan diagram panah untuk R dan S

b) Tentukan relasi komposisi R ο S

5. Sifat Relasi

Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan A, maka : 1. R adalah Refleksif jika a R a untuk setiap a di A

2. R adalah Simetris jika a R b maka b R a

3. R adalah Antisimetris jika a R b dan b R a maka a = b 4. R adalah Transitif jika a R b dan b R c maka a R c

Suatu himpunan A adalah :

1. Tidak refleksif jika ada a Є A sedemikian sehingga (a, a) bukan anggota R

2. Tidak simetris jika ada (a, b) di R sedemikian sehingga (b,a) bukan anggota R 3. Tidak transitif jika ada (a, b) dan (b, c) di R sedemikian sehingga (a, c) bukan

anggota R

4. Tidak antisimetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) dan (b, a) anggota R

Contoh :

1. Perhatikan 5 relasi dari himpunan A = {1, 2, 3} berikut, tentukan yang merupakan relasi refleksif, simetris, transitif, dan antisimetris :

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} Ø = relasi kosong

T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} Penyelesaian :

 R tidak refleksif karena 2 Є A tetapi (2, 2) ∉ R. T tidak refleksif karena (3, 3) ∉ T dan Ø tidak refleksif. Hanya S dan A x A yang refleksif.

 R tidak simetris karena (1, 2) Є R tetapi (2, 1) ∉ R, dengan cara yang sama T tidak simetris. S, Ø dan A x A yang simetris.

 T tidak transitif karena (1, 2) dan (2, 3) anggota T, tetapi (1, 3) bukan anggota T. Keempat relasi yang lain adalah transitif.

 S tidak antisimetris karena 1 ≠ 2, dan (1, 2) dan (2, 1) anggota S. Dengan

cara yang sama A x A tidak antisimetris. Ketiga relasi yang lain adalah antisimetris.

2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan oleh : R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 2),(4, 2), (4, 4)}. Tunjukkan bahwa R :

a) Tidak refleksif b) Tidak transitif c) Tidak simetris d) Tidak antisimetris Penyelesaian :

a) R tidak refleksif karena 3 Є A tetapi 3 R 3, yaitu (3, 3) ∉ R

b) R tidak transitif karena 4 R 2 dan 2 R 3 tetapi 4 R 3, yaitu (4, 2) Є R dan (2, 3) Є R tetapi (4, 3) ∉ R

c) R tidak simetris karena 4 R 2 tetapi 2 R 4, yaitu (4, 2) Є R tetapi (2, 4) ∉ R d) R tidak antisimetris karena 2 R 3 dan 3 R 2 tetapi 2 ≠ 3

Latihan soal :

1. Berikan contoh dari relasi R pada A = {1, 2, 3} mempunyai sifat : a. R kedua-duanya simetris dan antisimetris

b. R tidak kedua-duanya, simetris maupun antisimetris c. R transitif tetapi R U R-1 tidak transitif

S = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} T = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}

Tentukan yang mana relasi refleksif, simetris, antisimetris dan transitif?

3. Tiap pernyataan berikut mendefinisikan suatu relasi pada himpunan bilangan positif N

R : x lebih besar dari y S : x + y = 10 T : x + 4y = 10 Tentukan manakah relasi yang refleksif, simetri, transitif, antisimetris.

4. Misalkan P(X) adalah kumpulan semua subset dari himpunan X dengan paling sedikit terdiri dari 3 elemen. Setiap pernyataan berikut mendefinisikan sebuah relasi pada P(X)

R : A ⊆ B S : A saling asing dengan B T : A U B = X

Tentukan manakah relasi di atas yang refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif.

6. Partisi

Sebuah partisi dari S adalah suatu koleksi P ={Ai} dari subset-subset S yang tidak

kosong sedemikian hingga :

(i) Setiap elemen a dalam S anggota dari salah satu Ai

(ii) Himpunan-himpunan dari P adalah saling asing, yaitu jika Ai ≠ Aj maka Ai∩Aj=Ø

Subset-subset dalam sebuah partisi disebut sel. Gambar berikut adalah diagram venn dari suatu partisi dari himpunan titik-titik dalam 5 sel.

A1 A2 A3

Contoh :

1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tunjukkan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari S :

a. P1 = {(1, 2, 3), (1, 4, 5, 6)} c. P3 = {(1, 3, 5), (2, 4), (6)}

b. P2 = {(1, 2), (3, 5, 6)} d. P4 = {(1, 3, 5), (2, 4, 6, 7))

Penyelesaian :

a. Bukan, karena 1 Є S anggota dari 2 sel

b. Bukan, karena 4 Є S bukan anggota sel manapun c. P3 adalah sebuah partisi dari S

d. Bukan, karena (2, 4, 6, 7) bukan subset dari S

2. Misalkan S = (merah, biru, hijau, kuning). Tunjukkan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari S :

a. P1 = {(merah), (biru, hijau)}

b. P2 = {(merah, biru, hijau, kuning)}

c. P3 = { Ø, (merah, biru), (hijau, kuning)}

Penyelesaian :

a. Bukan, karena kuning bukan anggota sel manapun

b. P2 adalah partisi dari S yang hanya memiliki satu elemen yaitu S sendiri

c. Bukan, karena Ø tidak bisa menjadi anggota sebuah partisi

Latihan soal :

1. Misalkan S = {1, 2, ..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari S.

a. {(1, 3, 5), (2, 6), (5, 7, 9)} b. {(1, 3, 9), (2, 4, 6, 8), (5, 7, 9)} c. {(1, 3, 5), (2, 4, 6, 8), (7,9)} d. {(S)}

a. {(1, 3, 6), (2, 8), (5, 7, 9)} b. {(1, 5, 7), (2, 4, 8, 9), (3, 5, 6)} c. {(2, 4, 5, 8), (1, 9), (3, 6, 7)}

d. {(1, 2, 7), (3, 5), (4, 6, 8, 9), (3, 5)} 3. Tentukan semua partisi dari S = {1, 2, 3} 4. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}

5. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari himpunan bilangan bulat positif N :

a. {(n : b > 5), (n : x < 5)} b. {(n : x > 5), (0), (n : x < 0)} c. {(n : x2 > 11), (n : x2 < 11)}

7. Relasi Ekuivalen

Sebuah relasi R pada suatu himpunan A disebut relasi ekuivalen jika refleksif, simetris dan transitif (persamaan biasa adalah bentuk relasi ekuivalen)

Contoh :

1. Misalkan L adalah himpunan garis dalam bidang euclid, sedangkan R adalah relasi pada L yang didefinisikan oleh sejajar dengan (II). Tunjukkan bahwa R adalah relasi ekuivalen.

Penyelesaian :

Karena a = a untuk sembarang garis di L maka R adalah refleksif. Jika a II b dan b II c maka a II c; sehingga R adalah transitif, maka R adalah sebuah relasi ekuivalen.

2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan N yang didefinisikan oleh = {(a, b) : a + b genap}. Apakah R adalah relasi ekuivalen?

Ya. Untuk a Є N, a + a adalah genap; dan jika a + b genap maka b + a genap. Sehingga refleksif dan simetris. a R b jika dan hanya jika keduanya a dan b mempunyai jenis yang sama yaitu a dan b genap atau a dan b ganjil

3. Misalkan R = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}. Apakah R adalah suatu relasi ekuivalen pada

A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3} ? Penyelesaian :

R adalah simetris dan transitif; tetapi R tidak ekuivalen pada A karena 2 R 2 sehingga R tidak refleksif pada A. Sebaliknya, R refleksif pada B sehingga R adalah relasi ekuivalen pada B

Latihan Soal :

1. Misalkan S = {1, 2, 3}. Tuliskan relasi ekuivalen dari R pada S.

2. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}. Apakah R adalah suatu relasi ekuivalen pada A = {1, 2, 3, 4}.

3. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Apakah R adalah suatu relasi ekuivalen pada

A = {1, 2}

8. Relasi N-Ary

Hubungan antara elemen-elemen pada dua himpunan bahkan lebih sering kali terjadi. Sebagai contoh hubungan yang melibatkan nama mahasiswa, jurusan dan IPK. Contoh lain adalah nama kantor, alamat serta nomor telepon.

Disini kita akan mempelajari hubungan pada dua himpunan atau lebih. Relasi ini sering disebut dengan Relasi n-ary yang sering direpresentasikan dengan database. Relasi ini membantu kita saat melakukan query data pada database.

A1, Aa .. An adalah himpunan. Sebuah relasi n-ary adalah himpunan bagian A1 ×Aa ×

.. × An. HimpunanA1, Aa .. An disebut domain dan n disebut derajat.

Contoh :

1. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 14, 15} dan R adalah relasi 4-ary pada A yang didefinisikan dengan : R = {(x, y, z, t): 4x + 3y + z2 = t}. Tuliskan R sebagai himpunan dengan 4-tuple

Penyelesaian :

Kita hanya mempunyai x = 1, 2, 3. Maka :

R = {(1, 1, 1, 8), (1, 1, 2, 11), (1, 2, 1, 11), (1, 2, 2, 14), (1, 3, 1, 14), (2, 1, 1, 12), (2, 1, 2, 15), (2, 2, 1, 15)}

2. Misalkan :

NIM = {13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021,13598025} Nama = {Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan}

MatKul = {Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer} Nilai = {A, B, C, D, E}

Relasi MHS terdiri dari 4-tuple (NIM, Nama, MatKul, Nilai):

MHS  NIM  Nama  MatKul  Nilai

Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah

MHS = {(13598011, Amir, Matematika Diskrit, A), (13598011, Amir, Arsitektur Komputer, B), (13598014, Santi, Arsitektur Komputer, D), (13598015, Irwan, Algoritma, C),

(13598015, Irwan, Struktur Data C),

(13598015, Irwan, Arsitektur Komputer, B), (13598019, Ahmad, Algoritma, E),

(13598021, Cecep, Algoritma, A),

(13598025, Hamdan, Algoritma, A, B), (13598025, Hamdan, Struktur Data, C), (13598025, Hamdan, Ars. Komputer, B)}

Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk Tabel: