LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi/Ingkaran Pernyataan Tunggal
p ~p
(dibaca negasi/ingkaran dari p) B S S B ) ( ~ , ~(), ~(), ~() ) ( ~ p p ) (~ ~ ) (
~ dibaca negasi/ingkaran dari semua/setiap equivalen/sama dengan ada/beberapa
) (
~ dibaca negasi/ingkaran dari ada/beberapa equivalen/sama dengan semua/setiap B. Nilai Kebenaran
a. Konjungsi (p q dibaca p dan q)
p q p q B B S S B S B S B S S S Kesimpulan: ada yang S, berarti bernilai S b. Disjungsi (p q dibaca p atau q)
p q p q B B S S B S B S B B B S
Kesimpulan: ada yang B, berarti bernilai B c. Implikasi (p → q dibaca jika p maka q)
p q p→q B B S S B S B S B S B B
Kesimpulan: sama dengan yang belakang, kecuali S → S B d. Biimplikasi (p q dibaca p jika dan hanya jika q)
p q p q B B S S B S B S B S S B Kesimpulan: keduanya sama berarti bernilai B
C. Negasi/Ingkaran Pernyataan Majemuk q p q p ) ~ ~ ( ~ ~ (p q)~ p~q q p q p ) ~ ( ~ ) ~ ( ) ~ ( ) ( ~ pq p q q p D. Kesetaraan/Equivalen q p q p ~ p q q p ~ ~
E. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Konvers dari p q adalah q p Invers dari p q adalah ~ p~q Kontraposisi dari p q adalah ~q~ p F. Metode Penarikan Kesimpulan
1). Modus Ponens Premis 1 : p q Premis 2 : p Kesimpulan : q 2). Modus Tolens Premis 1 : p q Premis 2 : ~q Kesimpulan : ~p 3). Silogisme Premis 1 : p q Premis 2 : q r Kesimpulan : p r Contoh:
1. Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup memerlukan air dan oksigen” adalah ...
A. Semua makhluk hidup tidak memerlukan air ataupun oksigen. B. Ada makhluk hidup memerlukan air dan oksigen.
C. Ada makhluk hidup tidak memerlukan air atau tidak perlu oksigen. (kunci) D. Semua makhluk hidup tidak perlu air dan oksigen.
E. Ada makhluk hidup memerlukan air tetapi tidak perlu oksigen. Pembahasan: q p q p ) ~ ~ ( ~
Berdasarkan hal di atas, maka ingkaran dari “Semua makhluk hidup memerlukan air dan OKSIGEN” adalah “Ada makhluk hidup tidak memerlukan air atau TIDAK PERLU OKSIGEN”. Kunci: C
2. Pernyataan yang setara dengan “Jika aspirasi rakyat didengar maka demonstrasi massa tidak terjadi” adalah ...
A. Jika aspirasi rakyat tidak didengar maka demonstrasi massa terjadi. B. Jika aspirasi rakyat didengar maka demonstrasi massa terjadi. C. Aspirasi rakyat didengar tetapi demonstrasi massa tidak terjadi.
D. Jika demonstrasi massa terjadi maka aspirasi rakyat tidak didengar. (kunci) E. Jika demonstrasi massa tidak terjadi maka aspirasi rakyat didengar.
Pembahasan: p q q
p ~ ~
Berdasarkan hal di atas, maka pernyataan “Jika aspirasi rakyat didengar maka demonstrasi massa tidak terjadi” setara dengan “Jika demonstrasi massa terjadi maka aspirasi rakyat tidak didengar”. Kunci: D
3. Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.
Premis 2 : Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman. Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah ...
A. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman. (kunci)
B. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
C. Jika masyarakat membuang sampah tidak pada tempatnya maka lingkungan tidak akan bersih.
D. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan tidak bersih. E. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya tetapi lingkungan tidak bersih. Pembahasan:
Premis 1 : p q : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.
Premis 2 : q r : Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.
Kesimpulan:p r: Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
Kunci: A Pembahasan tipe soal UN:
1. Negasi dari pernyataan “Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan.” adalah ...
A. Matematika mengasyikkan atau membosankan. B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan.
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan. (kunci) D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan.
E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan.
Pembahasan: ~ (p q)~ p~q. Negasi/ingkaran dari “tidak mengasyikkan” adalah “mengasyikkan”. Negasi dari “atau” adalah “dan”. Negasi dari “membosankan” adalah “tidak membosankan”. Sehingga yang benar adalah C.
2. Ingkaran dari pernyataan “Lilin merupakan benda cair dan kertas merupakan benda padat.” adalah ...
A. Lilin bukan merupakan benda cair dan kertas bukan merupakan benda padat.
B. Lilin bukan merupakan benda cair atau kertas bukan merupakan benda padat. (kunci)
C. Lilin bukan merupakan benda cair atau kertas merupakan benda padat. D. Lilin merupakan benda cair dan kertas bukan merupakan benda padat. E. Lilin merupakan benda cair dan kertas merupakan benda padat.
Pembahasan: ~(pq)~ p~q. Ingkaran/negasi dari “merupakan” adalah “bukan merupakan”. Ingkaran dari “dan” adalah “atau”. sehingga yang benar adalah B
3. Ingkaran dari pernyataan “Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita maju pesat.” adalah ...
A. Jika semua orang tidak gemar matematika maka IPTEK negara kita mundur.
B. Jika semua orang tidak gemar matematika maka IPTEK negara kita tidak maju pesat.
C. Jika beberapa orang tidak gemar matematika maka IPTEK negara kita tidak maju pesat.
D. Beberapa orang gemar matematika dan IPTEK negara kita tidak maju pesat.
E. Semua orang gemar matematika tetapi IPTEK negara kita tidak maju pesat. (kunci)
Pembahasan: ~(pq) p~q
“dan” dapat diganti “tetapi”, sehingga yang benar adalah E 4. Perhatikan tabel berikut!
p q B B B S S B S S
Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (p q) ~p, pada tabel di atas adalah .... A. S B S B B. S S S B C. S S B B D. S B B B (kunci) E. B B B B Pembahasan: P q (p q) ~p (p q) ~p B B B S S B S S S B S B S B B S S S B B ada yang S, berarti S negasi dari p sama dengan yang belakang, kecuali S → S B
Berarti nilainya S B B B, yaitu D
5. Jika pernyataan p bernilai salah dan ~q bernilai salah, maka pernyataan majemuk berikut yang bernilai benar adalah ....
A. ~p ~q B. (~p q) p C. (p q) p D. p (~p ~q) (kunci) E. ~p (~p ~q) Pembahasan:
p bernilai S, maka ~ p bernilai B ~ q bernilai S, maka q bernilai B Pilihan:
B. (~p q) p (B B) S B S S C. (p q) p (S B) S B S S
D. p (~p ~q) S (B S) S S B (kunci) E. ~p (~p ~q) B (B S) B S S
Jadi kunci: D
6. Pernyataan yang setara/equivalen dengan “Jika saya belajar maka saya bisa” adalah ... A. Jika saya tidak belajar maka saya tidak bisa.
B. Jika saya tidak belajar maka saya bisa. C. Jika saya belajar maka saya tidak bisa.
D. Jika saya tidak bisa maka saya tidak belajar. (kunci) E. Jika saya bisa maka saya belajar.
Pembahasan: q p q p ~ p q q p ~ ~ Sehingga:
Jika saya belajar maka saya bisa setara “Saya tidak belajar atau saya bisa” atau “Jika saya tidak bisa maka saya tidak belajar”. Karena yang ada “Jika saya tidak bisa maka saya tidak belajar”. Jadi kunci: D
7. Invers dari pernyataan “Jika sungai dalam maka banyak ikan.” adalah ... A. Jika sungai banyak ikan maka dalam.
B. Jika sungai banyak ikan maka tidak dalam.
C. Jika sungai tidak dalam maka tidak banyak ikan. (KUNCI) D. Jika sungai tidak banyak ikan maka dalam.
E. Jika sungai tidak banyak ikan maka tidak dalam. Pembahasan:
A. Jika sungai banyak ikan maka dalam. (konvers)
B. Jika sungai banyak ikan maka tidak dalam. (tidak beraturan)
C. Jika sungai tidak dalam maka tidak banyak ikan. (invers = KUNCI) D. Jika sungai tidak banyak ikan maka dalam. (tidak beraturan)
E. Jika sungai tidak banyak ikan maka tidak dalam. (kontraposisi) 8. Diketahui:
Premis 1 : Jika saya belajar maka saya lulus. Premis 2 : Saya belajar.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah ... A. Jika saya lulus maka saya belajar.
B. Jika saya tidak lulus maka saya tidak belajar. C. Saya belajar tetapi tidak lulus.
D. Saya lulus. (kunci) E. Saya tidak lulus.
Pembahasan:
Premis 1 : p q : Jika saya belajar maka saya lulus. Premis 2 : p : Saya belajar.
Simpulan : q : Saya lulus.
9. Diketahui:
Premis 1 : Jika Budi membayar pajak maka ia warga yang baik. Premis 2 : Budi bukan warga yang baik.
Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah ... A. Budi tidak membayar pajak. (kunci)
B. Budi membayar pajak.
C. Budi membayar pajak dan ia bukan warga yang baik. D. Budi tidak membayar pajak dan ia bukan warga yang baik. E. Budi bukan warga yang baik maka ia tidak membayar pajak. Pembahasan:
Premis 1 : p q : Jika Budi membayar pajak maka ia warga yang baik. Premis 2 : ~q : Budi bukan warga yang baik.
Simpulan : ~p : Budi bukan membayar pajak Budi tidak membayar pajak.
Jadi, menggunakan modus Tollens sehingga kunci: A 10. Diketahui:
Premis 1 : Jika harga turun, maka permintaan naik. Premis 2 : Jika permintaan naik, maka penjualan naik. Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah ... A. Jika harga turun, maka penjualan naik. (kunci) B. Jika harga turun, maka penjualan turun.
C. Jika harga naik, maka penjualan turun. D. Jika penjualan naik, maka harga turun. E. Jika permintaan turun, maka harga turun. Pembahasan:
Premis 1 : p q : Jika harga turun, maka permintaan naik. Premis 2 : q r : Jika permintaan naik, maka penjualan naik. Simpulan : p r : Jika harga turun, maka penjualan naik. Jadi, menggunakan modus silogisme sehingga kunci: A
11. Diketahui:
Premis 1 : ~ p q Premis 2 : q r Premis 3 : p
Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah ... A. p q B. p r C. p D. q E. r (kunci) Pembahasan: Premis 1 : ~ p q p → q Premis 2 : q r q → r Premis 3 : p p Simpulan : r
Jadi, kita cari equivalennya dulu supaya menjadi pernyataan implikasi, kemudian kita gunakan modus silogisme dan modus Ponens sehingga kunci: E.
