PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

Komisi Penguji

PERSATUAN AKTUARIS

INDONESIA

UJIAN PROFESI AKTUARIS

2013

MATA UJIAN : A70 – Pemodelan dan Teori Risiko

TANGGAL : 25 Juni 2013 JAM : 13.30  16.30 WIB LAMA UJIAN : 180 Menit

PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

Komisi Penguji

TATA TERTIB UJIAN

1. Setiap Kandidat harus berada di ruang ujian selambat-lambatnya 15 (lima belas) menit sebelum ujian dimulai.

2. Kandidat yang datang 1 (satu) jam setelah berlangsungnya ujian dilarang memasuki ruang ujian dan mengikuti ujian.

3. Kandidat dilarang meninggalkan ruang ujian selama 1 (satu) jam pertama berlangsungnya ujian.

4. Setiap kandidat harus menempati bangku yang telah ditentukan oleh Komisi Penguji. 5. Buku-buku, diktat, dan segala jenis catatan harus diletakkan di tempat yang sudah

ditentukan oleh Pengawas, kecuali alat tulis yang diperlukan untuk mengerjakan ujian dan kalkulator.

6. Setiap kandidat hanya berhak memperoleh satu set bahan ujian. Kerusakan lembar jawaban oleh kandidat, tidak akan diganti. Dalam memberikan jawaban, lembar jawaban harus dijaga agar tidak kotor karena coretan. Lembar jawaban pilihan ganda tidak boleh diberi komentar selain pilihan jawaban yang benar.

7. Kandidat dilarang berbicara dengan/atau melihat pekerjaan kandidat lain atau berkomunikasi langsung ataupun tidak langsung dengan kandidat lainnya selama ujian berlangsung.

8. Kandidat dilarang menanyakan makna pertanyaan kepada Pengawas ujian.

9. Kandidat yang terpaksa harus meninggalkan ruang ujian untuk keperluan mendesak (misalnya ke toilet) harus meminta izin kepada Pengawas ujian dan setiap kali izin keluar diberikan hanya untuk 1 (satu) orang. Setiap kandidat yang keluar tanpa izin dari pengawas maka lembar jawaban akan diambil oleh pengawas dan dianggap telah selesai mengerjakan ujian.

10. Alat komunikasi (telepon seluler, pager, dan lain-lain) harus dimatikan selama ujian berlangsung.

11. Pengawas akan mencatat semua jenis pelanggaran atas tata tertib ujian yang akan menjadi pertimbangan diskualifikasi.

12. Kandidat yang telah selesai mengerjakan soal ujian, harus menyerahkan lembar jawaban langsung kepada Pengawas ujian dan tidak meninggalkan lembar jawaban tersebut di meja ujian.

13. Kandidat yang telah menyerahkan lembar jawaban harus meninggalkan ruang ujian.

PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

Komisi Penguji

PETUNJUK MENGERJAKAN SOAL

Ujian Pilihan Ganda

1. Setiap soal akan mempunyai 5 (lima) pilihan jawaban di mana hanya 1 (satu) jawaban yang benar.

2. Setiap soal mempunyai bobot nilai yang sama dengan tidak ada pengurangan nilai untuk jawaban yang salah.

3. Berilah tanda silang pada jawaban yang Saudara anggap benar di lembar jawaban. Jika Saudara telah menentukan jawaban dan kemudian ingin merubahnya dengan yang lain, maka coretlah jawaban yang salah dan silang jawaban yang benar.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang sediakan dan tanda

tangani lembar jawaban tersebut tanpa menuliskan nama Saudara.

Ujian Soal Esay

1. Setiap soal dapat mempunyai lebih dari 1 (satu) pertanyaan, Setiap soal mempunyai bobot yang sama kecuali terdapat keterangan pada soal.

2. Tuliskan jawaban Saudara pada Buku Jawaban Soal dengan jelas, rapi dan terstruktur sehingga akan mempermudah pemeriksaan hasil ujian.

3. Saudara bisa mulai dengan soal yang anda anggap mudah dan tuliskan nomor jawaban soal dengan soal dengan jelas.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang disediakan dan

tanda tangani Buku Ujian tanpa menuliskan nama Saudara.

KETENTUAN DAN PROSEDUR KEBERATAN SOAL UJIAN PAI

1. Peserta dapat memberikan sanggahan soal, jawaban atau keluhan kepada Komisi Ujian

dan Kurikulum selambat-lambatnya 10 hari setelah akhir periode ujian.

2. Semua pengajuan keberatan soal dialamatkan ke

sanggahan.soal@aktuaris.org.

3. Pengajuan keberatan soal setelah tanggal tersebut (Poin No 1) tidak akan diterima dan

1. Diketahui data klaim sebagai berikut : Kelas A : 3 ; 4 ; 6 ; 10

Kelas B : 4 ; 5 ; 8

Data tersebut cocok (fitted) dengan distribusi invers eksponensial dengan parameter  yang tergantung pada kendala :

 untuk Kelas B adalah lebih besar 2 dari  untuk Kelas A

Dengan menggunakan maksimum likelihood, maka nilai dari  untuk Kelas A sama dengan ….. A. 1,87 B. 2,11 C. 3,57 D. 4,24 E. 5,20

2. Dalam polis pertanggungan Cacat Tetap Total, berikut adalah distribusi dari pengamatan waktu kejadian Cacat Tetap Total :

Tahun Kejadian Cacat Banyaknya Tertanggung (0,1] (1,2] (2,3] (3,) 65 20 12 3

Waktu kejadian Cacat Tetap Total berdistribusi uniform dalam setiap tahun

Jika nilai waktu kejadian Cacat Tetap Total adalah X, maka nilai dari Var(X  3) sama dengan ... A. 0,58 B. 0,68 C. 0,78 D. 0,88 E. 0,98

3. Untuk keluarga estimator Ya , diketahui sebagai berikut : bias(Ya) = 4 – a dan Var(Ya) = a2 + a + 1

Untuk nilai a yang meminimalkan MSE(Ya), dimana MSE = Mean Square Error, maka nilai dari MSE(Ya) sama dengan …..

A. 101₂ B. 105₈ C. 103₄

Informasi berikut ini adalah khusus untuk pertanyaan No. 4 dan 5 :

 Frekuensi klaim berdistribusi binomial dengan parameter m = 3 dan q = 0,2

 Besarnya klaim berdistribusi :

Besar Klaim Probabilitas 0 1 2 3 0,20 0,50 0,20 0,10

4. Dari informasi di atas, jika diketahui penutupan reasuransinya menggunakan aggregate

deductible sebesar 6. Maka expected aggregate amount yang dibayarkan oleh

reasuradur sama dengan ... A. 3,00  10-4

B. 3,12  10-4 C. 3,24  10-4 D. 3,36  10-4 E. 3,48  10-4

5. Dari informasi di atas, jika S variabel acak aggregate klaim, maka nilai dari E(S  2,4) sama dengan ... A. 6,25  10-1 B. 6,37  10-1 C. 6,50  10-1 D. 6,64  10-1 E. 6,83  10-1

6. Untuk suatu pertanggungan asuransi, besarnya klaim memiliki fungsi probabilitas densitas sebagai berikut :

𝑓 𝑥 = 30 𝑥 𝜃 3 _{𝜃 − 𝑥} 𝜃 2₁ 𝑥 0 < 𝑥 < 𝜃 Diketahui 3(tiga) pengalaman klaim sebagai berikut : 90 ; 90 dan 20

Dengan menggunakan maksimum likelihood, maka nilai estimasi  sama dengan ….. A. 44,88

7. Hasil pengamatan atas besar klaim sebagai berikut :

100 ; 200 ; 500 ; 800 ; 1.000 ; 1.300 ; 2.000 ; 2.000 Misalkan p = Pr(X < 1000  X > 500), dimana p diestimasi secara empiris. Maka nilai variansi dari estimator p tersebut sama dengan …..

A. 13,67  10-3 B. 31,25  10-3 C. 32,00  10-3 D. 40,00  10-3 E. 48,00  10-3

8. Terdapat 2 tipe pemegang polis, dengan distribusi besar klaim sebagai berikut :

Besar Klaim 0 5 10 20

Probabilitas klaim – tipe 1 Probabilitas klaim – tipe 2

0,40 0,40 0,40 0 0,20 0,40 0 0,20

Seorang pemegang polis dipilih secara acak dan diperoleh klaim sebesar 10. Nilai harapan untuk klaim berikutnya dari pemegang polis yang terpilih tersebut adalah 5,6. Maka besarnya probabilitas prior bahwa pemegang polis tersebut adalah tipe 1 sama dengan ... A. 1/2 B. 5/8 C. 2/3 D. 3/4 E. 4/5

9. Perusahaan Anda baru saja memiliki sistem pricing dan valuasi baru. Anda ingin membuat kode untuk setiap produk-produk perusahaan yang berjumlah 283, kemudian akan diinput ke sistem baru tersebut. Anda menugaskan project ini kepada 3 orang anggota tim Anda. Pada 4 hari pertama, masing-masing anggota tim telah mengkode produk sebanyak :

Hari Alan Boni Charles Senin Selasa Rabu Kamis 10 8 7 11 11 12 9 10 9 10 10 8

Pada hari Jumat, Anda pulang lebih awal. Anda tahu bahwa Alan mengkode paling sedikit 8 produk, Boni paling sedikit 10 produk dan Charles paling sedikit 6 produk. Diasumsikan setiap hari kerja adalah sama lama durasinya dan semua plan sama tingkat kesulitannya dalam proses pengkodeannya.

Jika diberikan salah satu dari anggota tim Anda, mengkode paling sedikit 9 produk pada hari Senin berikutnya, maka banyaknya produk yang diharapkan telah dikode oleh anggota tersebut sama dengan ...

A. 9₁₅7 B. 92₃ C. 101₃ D. 10₁₅7 E. 102₃

10. Frekuensi klaim berdistribusi negatif Binomial dengan parameter r = 2 dan  = 5. Besarnya klaim berdistribusi invers eksponensial dengan parameter  = 10. Misalkan N adalah banyaknya klaim yang besarnya lebih kecil dari 20. Maka nilai coefficient of

variation dari N sama dengan …..

A. 0,40 B. 0,60 C. 0,64 D. 0,66 E. 0,82

11. Frekuensi klaim bulanan dalam suatu pertanggungan asuransi berdistribusi Poisson dengan mean . Distribusi prior untuk  adalah gamma dengan parameter  dan  . Tertanggung yang dipilih secara acak, diamati selama n bulan dan tidak mengajukan klaim apapun. Maka nilai n terkecil sedemikian sehingga banyaknya klaim yang diharapkan dari tertanggung ini sama dengan setengah dari nilai harapan banyaknya klaim dari populasi adalah …..

A.  B. 1 / C.  D.  /

12. Diketahui pengalaman dari 80 klaim yang pertanggungannya tanpa deductible atau limit sebagai berikut :

Besar Klaim Frekuensi

(0 , 1.000] (1.000 , 2.000] (2.000 , 5.000] (5.000 , 20.000] 30 18 22 10

Diasumsikan besar klaim berdistribusi uniform untuk setiap interval.

Frekuensi klaim tahunan berdistribusi binomial dengan parameter m = 2 dan q =0,1. Jika deductible sebesar 500 diberlakukan, maka persentase penurunan aggregate klaim tahunan sama dengan ...

A. 14,86% B. 15,72% C. 16,35% D. 17,18% E. 18,21%

13. Diketahui untuk variabel acak klaim X sebagai berikut :

Besar Klaim Frekuensi

(0 , 100] (100 , 500] (500 , 1.000] 22 x 25

Diasumsikan besar klaim berdistribusi uniform pada setiap batas atas interval. Jika diketahui bahwa E(X  600) = 323, maka nilai x sama dengan ...

A. 20 B. 23 C. 26 D. 29 E. 32

14. Untuk membangkitkan hasil kerja yang bagus, perusahaan XYZ memberlakukan sistem bonus berdasarkan pendapatan. Besarnya bonus sebagai berikut :

Pendapatan Bonus 10 Juta 11 Juta 12 Juta 0 10.000 15.000

Dengan interpolasi linier diantara setiap nilai di atas, maksimum bonus adalah 15.000 dan minimum bonus adalah 0. Jika pendapatan berdistribusi single parameter Pareto dengan parameter  = 1 dan  = 9 Juta, maka nilai harapan dari bonus tersebut sama

dengan ... A. 11.300 B. 11.500 C. 11.800 D. 12.000 E. 12.500

15. Diketahui variabel acak X berdistribusi Pareto dengan parameter  = 5 dan  = 10.000.

Maka nilai dari koefisien variasi untuk (X – 30.000)+ sama dengan ... A. 52,25

B. 53,35 C. 54,45 D. 55,55 E. 56,65

16. Diketahui hasil pengamatan sebagai berikut :

5 ; 7 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 14 ; 19 ; 25 ; 40

Metode densitas kernel digunakan untuk membuat smooth distribusi empiris. Jika digunakan kernel uniform dengan bandwith 4, maka nilai dari median dari distribusi yang diperoleh sama dengan …..

A. 11,60 B. 11,80 C. 12,00 D. 12,20 E. 12,40

17. Pengamatan atas frekuensi klaim dari 4 pemegang polis sebagai berikut : Pemegang Polis Tahun ke-1 Tahun ke-2

A B C D 7 2 0 2 5 2 2 4

Untuk setiap pemegang polis, frekuensi klaim tahunan berdistribusi Poisson.

Menggunakan metode empiris Bayes semiparametric untuk mengestimasi klaim masa depan. Maka banyaknya klaim yang diharapkan dari pemegang polis A pada tahun ke-3 sama dengan ….. A. 4,58 B. 4,82 C. 5,04 D. 5,23 E. 5,43

18. Besar klaim X dari suatu pertanggungan asuransi, memiliki fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut :

𝐹 𝑥 = 𝑥

10.000 0 < 𝑥 < 10.000

Pertanggungan asuransi tersebut memiliki franschise deductible sebesar 1.000. Maka rasio dari pembayaran tahunan yang diharapkan dengan pembayaran klaim tahunan untuk pertanggungan asuransi tersebut sama dengan …..

A. 0,76 B. 0,80 C. 0,93 D. 0,97 E. 0,99

19. Suatu variabel acak X memiliki fungsi probabilitas densitas sebagai berikut 𝑓 𝑥 =2𝑥

𝜃2 , 0 < 𝑥 < 𝜃

Sampel x1 , x2 , ... , xn diambil dari populasi. Maka bias dari max(x1 , x2 , ... , xn) sebagai

estimator dari θ , sama dengan ….. A.  / n

B.  / (n + 1)

C.  / (2n)

D.  / (2n + 1)

E.  / (2n + 2)

20. Suatu pertanggungan asuransi memiliki deductible sebesar 5. Berikut ini adalah pengamatan atas besar klaim (sudah termasuk deductiblenya) :

10 ; 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 32

Data tersebut cocok (fitted) dengan distribusi invers ekponensial dengan parameter θ = 10. Maka nilai statistik Kolmogorov-Smirnov-nya sama dengan …..

A. 26,82  10-2 B. 26,89  10-2 C. 31,01  10-2 D. 32,63  10-2 E. 36,82  10-2

21. Besar klaim berdistribusi mixture Pareto dengan parameter  = 2 dan  = 1.000 berbobot 0,75 dan Pareto dengan parameter  = 0,5 dan  = 1.000 berbobot 0,25. Maka nilai dari expected payment per payment pada polis dengan limit 2.000 sama dengan ….. A. 836 B. 866 C. 900 D. 921 E. 1121

22. Dalam suatu studi mortalita, diawal pengamatan terdapat 200 orang. Tidak terdapat new

entrants. Berikut ini data pengamatan waktu meninggal dunia :

Waktu Banyaknya orang yang meninggal 2 5 10 15 20 1 2 1 2 3

Pada waktu 7 terdapat beberapa orang yang keluar dari studi bukan karena meninggal dunia. Jika Kaplan-Meier product limit estimator S(20) = 0,953564. Maka banyaknya orang yang keluar dari studi pada waktu 7 sama dengan …..

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13

23. Untuk variabel acak X, diberikan informasi sebagai berikut : d E(X  d) e(d) Pr(X > d) 20 50 15 200 180 0,9

Maka nilai batas bawah terbesar dari kemungkinan nilai E(X  50) sama dengan ….. A. 32

B. 33 C. 34 D. 35 E. 36

24. Diketahui sampel dari X yang terdiri dari 3 pengamatan sebagai berikut : 100 ; 400 ; 600

Batas nilai harapan 400, E(X  400), diestimasi secara empiris sebesar 300. Maka nilai

bootstrap approximation MSE (Mean Square Error) dari estimator empiris E(X  400) sama dengan ….. A. 4445 B. 5556 C. 6667 D. 7778 E. 8889

25. Diketahui informasi sebagai berikut :

 Besar klaim berdistribusi invers gamma dengan parameter  = 3 dan .

 Nilai  bervariasi untuk setiap tertanggung dan memiliki fungsi probabilitas densitas sebagai berikut :

𝑓 𝜃 =𝑒 −𝜃/10

10

Diamati klaim sebesar 20. Maka nilai harapan dari klaim berikutnya dari tertanggung yang sama adalah …..

A. 20/3 B.  C. /3

D.  E. /3

26. Diberikan informasi data besar klaim dari suatu pertanggungan asuransi :

Range Frekuensi Klaim 0 – 1.000 1000 – 2.000 di atas 2.000 25 15 10

Data tersebut cocok (fitted) dengan distribusi Weibull dengan menggunakan maksimum

likelihood. Maka nilai dari parameter  sama dengan ….. A. 0,82

B. 1,02 C. 1,22 D. 1,42 E. 1,62

27. Diberikan data besar klaim X sebagai berikut : x E(X  x) 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000  400 700 900 1.000 1.100 2.500

Suatu pertanggungan asuransi dengan deductible 2.000. Maka nilai loss elimination

ratio setelah inflasi sebesar 100% jika deductible tidak dibayarkan sama dengan …..

A. 0,08 B. 0,14 C. 0,16 D. 0,20 E. 0,40

28. Variabel acak diskrit X berdistribusi binomial dengan parameter m = 2 dan q. Maka range dari nilai q dimana 1 adalah persentil ke-70 dari X adalah ...

A. 0,10  q  0,45 B. 0,16  q  0,55

29. Misalkan suatu proses discrete-time dengan surplus awal sama dengan 1 dan premi tahunan yang tetap sebesar 2½ , dan diketahui losses sebagai berikut :

Pr (St = 1) = 55% dan Pr (St = 5) = 45%

Jika diasumsikan tidak ada cash flows lainnya. Maka nilai dari finite-horizon ruin

probability 𝜓 1, 2 sama dengan …..

A. 10% B. 30% C. 50% D. 70% E. 90%

30. Diketahui total klaim yang dibayarkan dalam setahun dengan nilai probabilitasnya sebagai berikut :

Pr (Sk = 3k) = 20% untuk setiap k = 1, 2, 3, 4, dan 5

Besar premi tahunan sebesar 1½ ditagih pada setiap awal tahun. Tingkat bunga 4% dihasilkan atas semua dana yang ada pada setiap awal tahun, dan klaim akan dibayarkan pada setiap akhir tahun. Maka nilai dari finite-horizon ruin probability 𝜓 2 , 1 sama dengan ….. A. 100% B. 80% C. 60% D. 40% E. 20%

PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

LAMPIRAN TABEL & FORMULA

MATA UJIAN