Muhammad Zidny Naf an, M.Kom. Gasal 2016/2017

(1)

MKB3383 - Teknik Pengolahan Citra Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi

(Transformasi Fourier)

Muhammad Zidny Naf’an, M.Kom.

(2)

Outline

• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekeunsi

• Fourier Transform 1D • Fourier Transform 2D

(3)

Outline

• Pengolahan Citra di Kawasan Spasial VS Kawasan Frekuensi

(4)

Pengolahan Citra di Kawasan Spasial

VS Kawasan Frekuensi

Image Input Image Processing Image Output

(5)

Pengolahan Citra di Kawasan Spasial

VS Kawasan Frekeunsi

Image Input Frequency Distribution Processing Inverse Transformation Image Output

(6)

Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi

• Diperlukan pasangan transformasi dan transformasi balik (invers)

(7)

Transformasi Fourier

• Ditemukan oleh Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), ahli fisika dari Prancis

• Digunakan untuk memetakan citra dari kawasan spasial ke dalam kawasan frekuensi

• Melihat karakteristik spektrum citra

• Ide dasar: semua fungsi yang bersifat periodis, betapapun kompleks fungsi tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinusoid.

Kuncinya terletak pada komposisi amplitude dan fase sinus setiap frekuensi.

(8)

(9)

Outline

• Fourier Transform 1D

(10)

Fourier Transform 1D

Discrete Fourier Transform 1D

• Terdapat fungsi f(x) yang memiliki N data (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), …, f(N-1))

• Jika dikenakan DFT, maka didapatkan:

(11)

Fourier Transform 1D

Proses perubahan fungsi dari ranah ranah spasial ke ranah frekuensi dilakukan melalui Transformasi Fourier. Sedangkan perubahan fungsi dari ranah frekuensi ke ranah spasial dilakukan

(12)

 Rumus Invers-DFT 1 Dimensi

Rumus FT – 1 Dimensi

   f x j ux dx N u F( ) 1 ( )exp[ 2  ]

 Rumus DFT 1 Dimensi (DFT = Discrete Fourier Transform)



    1 0 ( )exp[ 2 / ] 1 ) ( N x f x j ux N N u F 

 Rumus FT Kontinyu 1 Dimensi





 F u j ux du

x

f ( ) ( )exp[2  ]

 Rumus Invers-FT Kontinyu 1 Dimensi



   1 0 ( )exp[2 / ] ) ( N x F u j ux N x f  j = −1

(13)

13

Transformasi Fourier 1-D

• Nilai u disebut dengan domain frekuensi.

• Masing-masing dari M buah dari F(u) disebut komponen frekuensi dari transformasi.

• Transformasi Fourier seringkali dianalogikan dengan prisma kaca. Prisma kaca adalah suatu alat yang

dapat memisahkan cahaya menjadi berbagai

komponen warna. Masing-masing komponen warna memiliki panjang gelombang yang berbeda.

(14)

Euler Formula’s pada DFT 1D

𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒−𝑖𝜃 = cos 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃

ux

j

ux

j



]

cos

2 

sin

2 

2 exp[









        1 0 1 0 ))] / 2 sin( ) / 2 )(cos( ( 1 ] / 2 exp[ ) ( 1 ) ( N x N x N ux j N ux x f N N ux j x f N u F    Karena: Maka:



    1 0 ( )(cos(2 / ) sin(2 / ))] 1 N x f x ux N j ux N N  

(15)

(16)

Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92) j j F F j j j j j j x j x x f F f f f f N x j N x x f N F f f f f contoh N ux j N ux x f N N ux j x f N u F x N x N x N x 25 . 0 5 . 0 ] 2 [ 4 1 ) 3 ( 25 . 0 ] 1 [ 4 1 ) 2 ( 25 . 0 5 . 0 ) 2 ( 4 1 ) 4 4 3 2 ( 4 1 ) 0 ( 4 ) 0 1 ( 4 ) 0 ( 3 ) 0 1 ( 2 [ 4 1 ))] 4 / 2 sin( ) 4 / 2 )(cos( ( 4 1 ) 1 ( 25 . 3 )] 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( [ 4 1 ))] / 0 2 sin( ) / 0 2 )(cos( ( 1 ) 0 ( 4 ) 3 ( , 4 ) 2 ( , 3 ) 1 ( , 2 ) 0 ( : ))] / 2 sin( ) / 2 )(cos( ( 1 ] / 2 exp[ ) ( 1 ) ( 3 0 1 0 1 0 1 0                                                                

(17)

Contoh Penghitungan Inverse DFT

1 dimensi

Bagaimana dengan f(1), f(2), dan f(3) ?

2 ) 25 . 0 5 . 0 ( ) 25 . 0 ( ) 25 . 0 5 . 0 ( 25 . 3 )] 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( [ ))] / 0 . . . 2 sin( ) / 0 . . . 2 )(cos( ( ) 0 ( 25 . 0 5 . 0 ) 3 ( , 25 . 0 ) 2 ( , 25 . 0 5 . 0 ) 1 ( , 25 . 3 ) 0 ( ))] / 2 sin( ) / 2 )(cos( ( ) ( 1 0 1 0                                  j j F F F F N u j N u u F f j F F j F F N ux j N ux u F x f N x N x    

(18)

Contoh Penghitungan DFT 1 dimensi

(Gonzalez hlm 90-92)

Hasil FT 1D pada slide sebelumnya terdiri dari bilangan real dan imajiner. Maka dapat digambarkan pada tabel berikut:

Real 2 3 4 4 f(x) Real Imajiner 3.25 -0.5 0.25 -0.25 -0.5 -0.25 F(u) DFT

(19)

19

Transformasi Fourier 1-D

• |F(u)| = [R2_{(u) + I}2_(u)]1/2_{disebut magnitude}

atau spektrum dari transformasi Fourier dan :

disebut sudut fase atau spektrum fase dari transformasi.         ) ( ) ( tan ) ( 1 u R u I u 

(20)

Soal Latihan DFT 1D

Misalkan terdapat fungsi f(x) = (2,4,1,5)

Bagaimanakah bentuk Transformasi Fourier-nya?



    1 0 ( )(cos(2 / ) sin(2 / ))] 1 ) ( N x f x ux N j ux N N u F  

(21)

Outline

(22)

22

Transformasi Fourier 2-D

• Fungsi citra input biasanya dikalikan dulu dengan (-1)x+y_{sebelum dilakukan perhitungan transformasi}

Fourier, karena titik pusat dari transformasi Fourier perlu digeser.

Persamaan di atas menetapkan bahwa titik pusat Transformasi Fourier dari fungsi f(x,y)(-1)x+y_[yaitu

F(0,0)] berada pada lokasi u=M/2 dan v=N/2.



f (x, y)(1)x y



 F(u  M / 2, v  N / 2)

(23)

24

Rumus DFT – 2 dimensi

kolom) (jumlah citra lebar N baris) (jumlah citra tinggi M ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( 1 ) , ( : ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( ) , ( : 1 0 1 0 1 0 1 0                     M v N u M y N x M vy N ux j M vy N ux u v F MN x y f InversFT M vy N ux j M vy N ux y x f v u F FT    

Dalam hal ini, citra berukuran MxN (M baris dan N kolom). v bernilai dari 0 sampai dengan M-1

u bernilai dari 0 sampai dengan N-1.

Dalam hal ini, u dan v menyatakan frekuensi,

(24)

Contoh

• Misalkan terdapat citra sebagai berikut:

0 1 1 1 3 )) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 ( ))) 2 1 . 0 2 1 . 0 ( 2 sin( )) 2 1 . 0 2 1 . 0 ( 2 )(cos( 1 , 1 ( )) 2 0 . 0 2 1 . 0 ( 2 sin( )) 2 0 . 0 2 1 . 0 ( 2 )(cos( 0 , 1 ( )) 2 1 . 0 2 0 . 0 ( 2 sin( )) 2 1 . 0 2 0 . 0 ( 2 )(cos( 1 , 0 ( ))) 2 0 . 0 2 0 . 0 ( 2 sin( )) 2 0 . 0 2 0 . 0 ( 2 )(cos( 0 , 0 ( ( ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( ) 0 , 0 ( ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( ) , ( 1 2 0 1 2 0 1 0 1 0                                                    j f j f j f j f M vy N ux j M vy N ux y x f F M vy N ux j M vy N ux y x f v u F y x M y N x

(25)

1 )) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 ( ))) 2 1 . 1 2 1 . 0 ( 2 sin( )) 2 1 . 1 2 1 . 0 ( 2 )(cos( 1 , 1 ( )) 2 0 . 1 2 1 . 0 ( 2 sin( )) 2 0 . 1 2 1 . 0 ( 2 )(cos( 0 , 1 ( )) 2 1 . 1 2 0 . 0 ( 2 sin( )) 2 1 . 1 2 0 . 0 ( 2 )(cos( 1 , 0 ( ))) 2 0 . 1 2 0 . 0 ( 2 sin( )) 2 0 . 1 2 0 . 0 ( 2 )(cos( 0 , 0 ( ( ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( ) 1 , 0 ( ))) ( 2 sin( )) ( 2 )(cos( , ( ) , ( 1 2 0 1 2 0 1 0 1 0                                                       j f j f j f j f M vy N ux j M vy N ux y x f F M vy N ux j M vy N ux y x f v u F y x M y N x 0 1 1 1

(26)

27

Fast Fourier Transform (FFT)

• Merupakan algoritma penghitungan yang

mengurangi kompleksitas FT biasa dari N2_menjadi

N log N saja

• Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret

• InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log₂N (IFFT)

– Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT dan ifft(x) atau ifft2(X) untuk invers FT

(27)

Visualisasi DFT

Spektrum FT

|𝐹 𝑢, 𝑣 | = 𝑅2 _{𝑣, 𝑢 + 𝐼}2_{(𝑣, 𝑢)}

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner Sudut Fase Transformasi

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner

        ) , ( ) , ( tan ) , ( 1 v u R v u I v u  Power Spectrum FT

Dengan R(u,v) menyatakan bagian riil dan I(v,u) menyatakan imajiner ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 2 v u I v u R v u F v u P   

(28)

(29)

• Mengingat nilai dalam spektrum terlalu lebar, penerapan logaritma biasa digunakan hanya untuk kepentingan visualisasi.

• Contoh:

>> S2 = log(1 + abs(F));  >> imshow(S2, []); 

• Penambahan angka 1 dimaksudkan untuk menghindari terjadinya log(0).

(30)

• Adanya sifat pengulangan pada

transformasi Fourier (keadaan yang seperti berulang yang muncul pada setiap pojok dalam kotak frekuensi) • Nilai pada M/2 menuju ke M-1

adalah pengulangan dari titik asal 0 hingga M/2 – 1.

• Berlaku juga pada arah mendatar. • Berdasarkan sifat ini, untuk

kepentingan visualisasi, titik awal (0,0) seringkali diubah agar terletak di tengah-tengah kotak frekuensi

(31)

32

(32)

33

Comparison : Low Frequency

Low Frequency

Small variation between image’s component, major frequency is low.

Shown by the Fourier Transform Result

Original Images

Showing a silhoutte of spaceship (Girty Lue).

(33)

34

Comparison : High Frequency

High Frequency

High variation between image’s component, major frequency is High.

Shown by the Fourier Transform Result

Original Images

Showing image of Freedom and Justice with METEOR unit also the Eternal Spaceship from Gundam SEED.

(34)

Outline

(35)

Filtering pada Domain Frekuensi

• Langkah-langkah filtering pada domain frekuensi adalah:

1. Kalikan citra input dengan (-1)x+y_{untuk memusatkan} transformasi.

2. Hitung F(u,v), DFT dari citra pada langkah (1). 3. Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v).

4. Hitung inverse DFT dari citra pada langkah (3). 5. Gunakan bagian real dari citra pada langkah (4) 6. Kalikan hasil (5) dengan (-1)x+y_.

(36)

37

(37)

38

Filter Penghalusan

• Model filtering pada domain frekuensi adalah : G(u,v) = H(u,v) F(u,v)

dengan F(u,v) adalah transformasi Fourier dari citra yang akan dihaluskan.

• Tujuannya adalah memilih fungsi filter H(u,v) yang

menghasilkan G(u,v) dengan menurunkan komponen frekuensi tinggi dari F(u,v).

(38)

39

Contoh Filtering pada Domain

Frekuensi

• Filter yang didefinisikan sebagai berikut:

disebut filter notch karena filter tersebut

adalah fungsi konstan dengan sebuah lubang (notch) di pusatnya.      otherwise N M v u if v u H 1 ) 2 / , 2 / ( ) , ( 0 ) , (

(39)

40

(40)

Ideal Lowpass Filter (ILPF)

• 𝐻 𝑣, 𝑢 = 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐷 𝑣, 𝑢 ≤ 𝐷0 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐷 𝑣, 𝑢 > 𝐷₀

• Dalam hal ini, D₀ adalah bilangan non-negatif yang biasa disebut radius filter, yang

menentukan ambang frekuensi, dan D(v,u)

adalah jarak antara (v,u) terhadap pusat filter, yang dinyatakan dengan

(41)

(42)

Butterworth low pass filter (BLPF)

• jenis filter lolos-rendah yang digunakan untuk memperbaiki efek bergelombang yang dikenal dengan sebutan ringing,

• 𝐻 𝑣, 𝑢 = _{1+[𝐷(𝑣,𝑢)/𝐷}1

0]2𝑛

(43)

(44)

HIGHPASS DAN LOWPASS FILTERING

PADA DOMAIN FREKUENSI

(45)

46

Filtering pada Domain Frekuensi

• Filter lowpass adalah filter yang mengubah

(menurunkan) komponen frekuensi tinggi, dan

melewatkan (passing) komponen frekuensi rendah. Citra yang difilter menggunakan filter lowpass

memiliki detail yang kurang tajam dibandingkan citra asal.

• Filter highpass adalah filter yang mengubah

(menurunkan) komponen frekuensi rendah, dan melewatkan (passing) kompinen frekuensi tinggi. ” high frequencies. Citra yang difilter menggunakan filter highpass memiliki detail yang lebih tajam

(46)

47

(47)

48

(48)

49

Sample: Monochrome

Low Pass High Pass Gaussian Blur Sharpen More

(49)

50

Sample: Color

Low Pass High Pass Gaussian Blur Sharpen More

(50)

51 Original Image Gaussian Low Pass Enhanced Image

Other Implementation :

Low Pass Filter

“Noised” image Smooth image

(51)

52 Original Image

Gaussian High Pass

Enhanced Image

Other Implementation :

High Pass Filter

Hard to read text Easier to read text

Flare effect (beam) More Flare Effect Reduced Eye Point

(52)

53

Other Implementation :

High Pass Filter

Original Image Hard to read text

Sharpen

Easier to read text

Enhanced Image

Flare effect (beam)

More Flare Effect Exposure of Eye Point

(53)

54

Other Implementation :

High Boost Filtering

Original Image Uns har p M ask Enhanced Image

Unsharp Mask: Generating Sharp Image by substracting blur version of the image itself

Flare effect (beam)

Enhanced Flare Effect Reduction of Eye Point

(54)

55

Other Implementation :

Combination Filtering

Original Image Enhanced Image Multiplied High Pass Low Pass

Slight Flare Effect Reduction of Eye Point

(55)

TUGAS

Terdapat data seperti berikut:

• f(x) = (3, 4, 4, 5)

• Hitunglah transformasi Fourier F(0) hingga F(3).

(56)

Referensi

• Kadir, Abdul dan Adhi Susanto. 2013. Teori Dan Aplikasi Pengolahan Citra. Yogyakarta: Penerbit Andi.

• Slide Pengolahan Citra, Departement Teknik Informatika IT Telkom

• Prof. Aniati Murni A., Pengolahan Citra Digital, Fak. Ilmu Komputer, Universitas Indonesia.

• Rinaldi Munir, Pengolahan Citra Digital • Pengolahan Citra Digital, ITS.

http://share.its.ac.id/pluginfile.php/374/mod_res