65 BAB IV PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dipaparkan tentang penerapan model nonlinear untuk optimasi biaya produksi pada home industry susu kedelai Pak Ahmadi menggunakan pendekatan pengali lagrange dan pemrograman kuadratik. A. Penerapan Model Nonlinear di Home Industry Susu Kedelai Pak
Ahmadi
Pada sub bab ini akan dibahas bagaimana pembentukan model nonlinear untuk optimasi biaya produksi di Susu Kedelai Pak Ahmadi dan selanjutnya akan dibahas langkah penyelesaian model menggunakan pendekatan pengali
lagrange dan pemrograman kuadratik. Pada penyelesaian akhir pendekatan
pengali lagrange akan menggunakan multiplier , sedangkan pada pemrograman kuadratik menggunakan metode wolfe. Adapun alur dalam penelitian disajikan dalam Gambar 4.1 berikut :
Penyelesaian linear
Gambar 4.1 Bagan Alir Proses Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Nonlinear
Produksi Home Industry Susu Kedelai Pak ahmadi
Pembentukan Model Solusi Optimal Pengali Lagrange WinQSB 2.0 Solusi Optimal Pemrograman Kuadratik
66
Selanjutnya, solusi optimal dari pemrograman kuadratik yang telah diperoleh pada Gambar 2.2 dianalisa menggunakan dualitas dengan langkah seperti Gambar 4.2 dibawah ini:
Gambar 4.2 Proses Penyelesaian Solusi Optimal Metode Pemrograman Kuadratik
1. Pembentukan Model
Pada home industry Susu Kedelai Pak Ahmadi setiap harinya memproduksi 100 bungkus susu dengan varian rasa. Terdapat 3 varian rasa yang diproduksi, yaitu rasa original, strawberry, dan coklat. Berdasarkan ketiga rasa tersebut, rasa original menjadi produk yang paling banyak diminati sehingga jumlah produksinya paling banyak diantara rasa
strawberry, dan coklat. Selain memproduksi 100 bungkus setiap harinya,
Solusi Metode Pemrograman Kuadratik
Pembentukan Masalah dual
Penyelesaian Masalah Dual
Solusi Masalah dual
Cek kembali simpleks pada masalah primal dan dual
Solusi primal merupakan solusi optimal metode
67
home industry Susu Kedelai Pak Ahmadi juga membuka pemesanan,
sehingga jumlah produksi yang dibuat setiap bulan tidak selalu tetap.
Pada penelitian ini akan dibuat model untuk meminimumkan biaya produksi bulanan yang harus dikeluarkan Pak Ahmadi agar keuntungan yang didapat bisa optimal dan tidak terjadi kerugian. Biaya produksi total dalam permasalahan ini adalah biaya pembelian bahan baku, biaya perawatan mesin produksi, biaya listrik, biaya transportasi dalam penjualan, dan biaya tambahan lainnya. Adapun yang dimaksud biaya tambahan yaitu biaya yang dikeluarkan saat terjadi pemesanan dalam jumlah besar.
Jumlah produksi tetap tiap bulan untuk varian rasa original sebanyak 1200 bungkus, sedangkan varian rasa strawberry dan coklat masing-masing sebanyak 900 bungkus. Tabel 4.1 dan Tabel 4.2 adalah tabel data jumlah produksi pemesanan, dan biaya produksi bulanan Susu Kedelai Pak Ahmadi.
Tabel 4.1 Jumlah Pemesanan Susu Kedelai Pak Ahmadi Periode Februari 2016-Januari 2017
Bulan Jenis Produk (dengan satuan bungkus) original Strawberry Coklat
Februari 2016 90 121 88 Maret 2016 15 20 30 April 2016 7 87 8 Mei 2016 1 0 1 Juni 2016 0 99 22 Juli 2016 1 13 7 Agustus 2016 9 87 6 September 2016 69 101 50 Oktober 2016 55 87 65 November 2016 31 72 46 Desember 2016 80 50 82 Januari 2017 99 105 70
68
Jumlah pemesanan susu kedelai merupakan jumlah produksi di luar produksi tetap.
Tabel 4.2 Data Biaya Produksi Susu Kedelai Pak Ahmadi Periode Februari 2016-Januari 2017
Bulan Jenis Produk
original Strawberry Coklat Februari 2016 Rp 932.100 Rp 731.883 Rp 717.924 Maret 2016 Rp 871.050 Rp 675.360 Rp 679.440 April 2016 Rp 867.290 Rp 702.696 Rp 670.464 Mei 2016 Rp 876.480 Rp 676.200 Rp 676.618 Juni 2016 Rp 900.000 Rp 737.562 Rp 703.836 Juli 2016 Rp 950.942 Rp 738.240 Rp 735.360 Agustus 2016 Rp 957.696 Rp 775.734 Rp 736.692 September 2016 Rp 972.570 Rp 768.468 Rp 744.600 Oktober 2016 Rp 914.950 Rp 722.436 Rp 713.020 November 2016 Rp 890.880 Rp 706.296 Rp 695.428 Desember 2016 Rp 914.400 Rp 697.100 Rp 710.476 Januari 2017 Rp 923.520 Rp 720.090 Rp 705.460
Tabel 4.2 merupakan data biaya produksi total (tetap dan pemesanan) selama periode Februari 2016-Januari 2017. Adanya pemesanan mengakibatkan biaya produksi menjadi tidak tetap sehingga Pak Ahmadi kesulitan dalam menentukan jumlah produksi minimal untuk setiap varian rasa. Oleh karena itu, diharapkan Pak Ahmadi dapat memperkirakan biaya produksi minimal yang dikeluarkan setiap bulannya. Dalam hal ini diasumsikan beberapa hal, yaitu :
1. Produksi tetap setiap bulan selalu habis terjual.
2. Pola jumlah pemesanan tidak terlalu beda secara signifikan. 3. Tidak ada perubahan biaya produksi.
69
Selanjutnya, untuk meminimumkan biaya produksi Susu Kedelai Pak Ahmadi untuk 3 varian rasa, maka dibentuk variabel keputusan yang akan digunakan yaitu :
= banyak produksi susu kedelai rasa original dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi susu kedelai rasa strawberry dalam satu bulan (satuan bungkus).
= banyak produksi susu kedelai rasa coklat dalam satu bulan (satuan bungkus).
Langkah dalam membentuk model matematika untuk permasalahan Susu Kedelai Pak Ahmadi adalah sebagai berikut :
a. Membentuk Fungsi Tujuan
Data biaya produksi yang dikeluarkan setiap bulannya tidak tetap, maka fungsi tujuan dari permasalahan ini merupakan fungsi berbentuk nonlinear. Biaya produksi total yang dikeluarkan merupakan jumlahan dari biaya produksi untuk masing-masing varian rasa, maka fungsi tujuan dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari biaya produksi untuk setiap varian rasa. Pada permasalahan Susu Kedelai Pak Ahmadi ini menggunakan data biaya produksi bulan Februari 2016 sampai bulan Januari 2017. Fungsi tujuan dibentuk dengan menjadikan jumlah produksi total (produksi tetap dan pemesanan) setiap varian rasa sebagai nilai , dan biaya poduksi setiap varian rasa sebagai nilai ( ) Pada permasalahan ini dipilih bentuk kurva dari nilai dan ( )
70
mengikuti bentuk fungsi kuadrat, sehingga biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi setiap varian susu kedelai dapat ditentukan dengan bantuan software Geogebra.
Berikut merupakan biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi setiap varian susu kedelai dengan bantuan software Geogebra.
1) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Input data jumlah produksi total dan biaya produksi Susu
Kedelai Pak Ahmadi dengan bantuan menu spreadsheet pada view Geogebra kemudian diolah dengan menggunakan menu command
Fitpoly didapatkan Gambar 4.3 sebagai berikut :
Gambar 4.3 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan Gambar 4.3 maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu meminimumkan
71
2) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Input data jumlah produksi total dan biaya produksi Susu
Kedelai Pak Ahmadi dengan bantuan menu spreadsheet pada view Geogebra kemudian diolah dengan menggunakan menu command
Fitpoly didapatkan Gambar 4.4 sebagai berikut :
Gambar 4.4 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan Gambar 4.4 maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu meminimumkan
( ) (4.2) 3) Biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi
Input data jumlah produksi total dan biaya produksi Susu
Kedelai Pak Ahmadi dengan bantuan menu spreadsheet pada view Geogebra kemudian diolah dengan menggunakan menu command
72
Gambar 4.5 Tampilan hasil fitpoly untuk
Berdasarkan Gambar 4.5 maka biaya yang dikeluarkan untuk memproduksi yaitu meminimumkan
( ) (4.3) Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah mengoptimalkan biaya produksi total yang dibentuk dari penjumlahan biaya produksi setiap varian rasa, sehingga berdasarkan Persamaan (4.1)-(4.3) diperoleh fungsi tujuan yaitu meminimumkan :
( ) ( ) ( ) ( )
(4.4) Persamaan (4.4) dapat disederhanakan menjadi :
( ) (4.5)
73 b. Membentuk Fungsi Kendala
Berdasarkan informasi dari Pak Ahmadi, kapasitas maksimal produksi untuk susu kedelai rasa original ( ) adalah 1300 bungkus, sedangkan untuk susu kedelai rasa strawberry ( ) dan coklat ( ) masing-masing sebanyak 960 bungkus.
Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah meminimumkan biaya produksi, maka jumlah produksi yang diharapkan merupakan jumlah produksi yang paling maksimal. Fungsi kendala ( ) dari permasalahan ini dapat dirumuskan sebagai berikut :
(4.6a)
(4.6b)
(4.6c)
(4.6d)
Jadi, model matematika untuk permasalahan susu kedelai Pak Ahmadi adalah model nonlinear dengan fungsi tujuannya sesuai dengan Persamaan (4.5) dan fungsi kendala sesuai dengan Persamaan (4.6). Selanjutnya, akan dilihat apakah Persamaan (4.5) dan (4.6) dapat diselesaikan menggunakan metode pengali lagrange dan pemrograman kuadratik, yaitu dengan melihat turunan parsialnya. Diperoleh turunan parsial kedua dari Persamaan (4.5) adalah sebagai berikut
( )
74 ( )
( )
dan turunan pertama dari Persamaan (4.6) adalah sebagai berikut ( ) ( ) ( ) Terlihat bahwa ( ) ( )
maka berdasarkan Tabel 2.1
fungsi ( ) merupakan fungsi konveks ketat, sedangkan ( ) ( )
maka menurut Definisi 2.9 merupakan fungsi konveks. Fungsi ( ) konveks dan ( ) konveks maka dapat diselesaikan menggunakan metode pengali lagrange (Winston, 2003: 685) serta digunakan syarat Karush Kuhn Tucker sebagai syarat perlu dan syarat cukup untuk mencapai nilai optimal (Mokhtar S Bazaraa, 2006:123). Sehingga, Persamaan (4.5) dapat diselesaikan menggunakan pengali lagrange dan pemrograman kuadratik metode wolfe.
75
2. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Pengali Lagrange dengan multiplier
Berdasarkan Persamaan (2.26) maka fungsi lagrange yang terbentuk adalah
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (4.7)
dengan ( ) merupakan Persamaan (4.5).
Berdasarkan Persamaan (2.27) akan dibentuk turunan pertama disamakan dengan nol
atau (4.8) atau (4.9) atau (4.10) atau (4.11) atau (4.12) atau
76
(4.13)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.11) ke Persamaan (4.8), Persamaan (4.12) ke Persamaan (4.9), dan Persamaan (4.13) ke Persamaan (4.10) diperoleh dengan , dengan , dengan . sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Fungsi ( ) merupakan fungsi konveks ketat maka satu-satunya solusi ini merupakan minimum global (Hillier dan Lieberman, 2008: 478). Jadi biaya produksi minimum selama satu bulan yang didapat melalui pendekatan pengali lagrange sebesar Rp dengan jumlah produksi susu kedelai selama satu bulan yaitu jumlah produksi susu kedelai rasa original ( ) sebanyak 1300 bungkus susu kedelai rasa
strawberry ( ) sebanyak 960 bungkus, dan susu kedelai rasa coklat ( )
77
3. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Pendekatan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe
Persamaan (4.5) dan Persamaan (4.6) belum memenuhi bentuk umum pemrograman kuadratik seperti yang tertulis pada Persamaan (2.38) dan Persamaan (2.39). Oleh karena itu, dari Persamaan (4.5) perlu diidentifikasi bentuk matriks dari dan . Berdasarkan Persamaan (4.5), maka diperoleh :
[ ], [ ] [ ] [ ] maka [ ], , sehingga ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Bentuk fungsi kendala dari (4.6) disesuaikan dengan (2.39) sehingga :
78
Tampak bahwa Persamaan (4.5) dan (4.6) memenuhi bentuk Persamaan (2.38) dan (2.39), sehingga Persamaan (4.5) dapat diselesaikan menggunakan pemrograman kuadratik.
Langkah-langkah penyelesaian model dengan pendekatan pemrograman kuadratik metode wolfe adalah sebagai berikut :
a. Menentukan Kondisi Kuhn Tucker
Berdasarkan Teorema 2.8, maka Persamaan (4.5) dapat ditentukan syarat Kuhn Tuckernya yaitu :
1) (4.14a) (4.14b) (4.14c) 2) [ ( )] (4.15a) [ ( )] (4.15b) [ ( )] (4.15c) 3) ( ) (4.16a) ( ) (4.16b) ( ) (4.16c) 4) (4.17) 5) (4.18)
79
Pada Persamaan (4.15a)-(4.15c) diasumsikan bahwa , maka [ ( )] . Berdasarkan Sifat 2.1 maka [ ( )] harus negatif, sehingga akibat dari Persamaan (4.15a)-(4.15c) diperoleh
( ) (4.19a)
( ) (4.19b)
( ) (4.19c)
Bentuk kanonik pada fungsi kendala ( ) adalah ( ) sehingga bentuk kanonik Persamaan (4.19a)-(4.19c) adalah sebagai berikut :
(4.20a)
(4.20b)
(4.20c)
Setelah mengidentifikasi syarat Kuhn Tucker, maka kondisi Kuhn Tucker untuk Persamaan (4.5)-(4.6) yaitu :
(4.14a) (4.14b) (4.14c) (4.20a) (4.20b) (4.20c)
80
b. Mengidentifikasi complementary slackness sesuai Sifat 2.1
Berdasarkan Persamaan (4.15) dan (4.20), (4.14) dan (4.16), dan Sifat 2.1, maka kondisi complementary slackness untuk Persamaan (4.5) adalah :
c. Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang tidak memiliki variabel basis.
Persamaan (4.14a)-(4.14c) dan (4.20a)-(4.20c) tidak ada yang memiliki basis sehingga ditambahkan variabel buatan sehingga menjadi : (4.21a) (4.21b) (4.21c) (4.21d) (4.21e) (4.21f)
Semua variabel non negatif.
d. Menentukan fungsi tujuan baru linear.
Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk permasalahan susu kedelai Pak Ahmadi adalah
81 Meminimumkan (4.22) Dengan kendala : (4.21a) (4.21b) (4.21c) (4.21d) (4.21e) (4.21f)
Semua variabel non negatif.
e. Melakukan proses iterasi simpleks metode wolfe.
Setelah membuat tabel simpleks dengan 18 variabel dan 6 kendala maka selanjutnya melakukan perhitungan simpleks. Perhitungan iterasi simpleks menggunakan software WinQSB dengan sub menu
Linear and Integer Programming. Input data dan hasil penyelesaian
akhir dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 3. Berikut adalah hasil akhir dari perhitungan WinQSB 2.0
82
Hasil perhitungan simpleks seperti Gambar 4.6 menunjukkan bahwa Sifat 2.1 dan syarat basis terpenuhi. Hal ini menunjukkan bahwa metode wolfe terpenuhi, yaitu :
f. Mensubstitusikan hasil akhir dari tabel optimal ke fungsi tujuan nonlinear.
Berdasarkan tabel optimal yang terdapat pada Lampiran 3, diperoleh hasil
dengan , dengan , dengan dengan nilai minimum .
Berdasarkan Teorema 2.5, maka solusi dari fungsi linear yang baru merupakan penyelesaian bagi fungsi nonlinear, sehingga nilai yang telah diperoleh kemudian disubstitusikan ke Persamaan (4.5), diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
83
Fungsi ( ) dan ( ) merupakan fungsi konveks dan memenuhi kondisi Karush Kuhn-Tucker maka menurut Rao (2009: 98) nilai ( ) merupakan minimum global. Jadi, solusi yang didapat melalui pendekatan pemrograman kuadratik untuk jumlah produksi susu kedelai selama satu bulan yaitu jumlah produksi susu kedelai rasa original ( ) sebanyak 1300 bungkus susu kedelai rasa strawberry ( ) sebanyak 960 bungkus, dan susu kedelai rasa coklat ( ) sebanyak 960 bungkus dengan total biaya produksi minimum selama satu bulan sebesar Rp .
4. Dualitas Pada Fungsi Linear Pemrograman Kuadratik
Pada subbab ini, akan dicari dualitas dari pemrograman linear yang diperoleh dari pemrograman kuadratik. Persamaan (4.22) dan (4.21) disebut sebagai masalah primal.
Meminimumkan (4.22) Dengan kendala : (4.21a) (4.21b) (4.21c) (4.21d) (4.21e) (4.21f)
84
Bentuk kendala Persamaan (4.21a)-(4.21f) adalah sebagai berikut
(4.23a) (4.23b) (4.23c) (4.23d) (4.23e) (4.23f)
Bentuk kanonik Persamaan (4.23a)-(4.23b) adalah sebagai berikut
(4.24a) (4.24b) (4.24c) (4.24d) (4.24e) (4.24f)
Ruas kanan Persamaan (4.24a)-(4.24c) tidak boleh negatif sehingga
(4.25a) (4.25b) (4.25c) (4.25d) (4.25e) (4.25f)
Persamaan (4.25) tidak ada yang memiliki variabel basis sehingga ditambahkan variabel buatan
85 (4.26a) (4.26b) (4.26c) (4.26d) (4.26e) (4.26f)
Sehingga bentuk primal dari fungsi tujuan baru yang linear adalah sebagai berikut Meminimumkan (4.22) Dengan kendala : (4.21a) (4.21b) (4.21c) (4.21d) (4.21e) (4.21f)
Semua variabel non negatif.
Bentuk dual dari masalah primal tersebut yaitu : Memaksimumkan
86 Dengan kendala : (4.24a) (4.24b) (4.24c) dengan (4.25)
Penyelesaian Persamaan (4.23) dan (4.24) diselesaikan dengan bantuan
software WinQSB2.0. Input data dan hasil akhir dapat dilihat pada
Lampiran 5. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :
Semua nilai disubstitusikan ke Persamaan (4.22) sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Hasil dari masalah dual sama dengan hasil dari masalah primal, sehingga berdasarkan Teorema 2.5 dipastikan bahwa solusi yang diperoleh merupakan solusi yang paling optimal untuk meminimumkan fungsi tujuan linear pada metode ini.
