PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA CONTINGENT BERDASARKAN HUKUM MAKEHAM REPOSITORY OLEH NURFAIZI NIM

(1)

PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA CONTINGENT BERDASARKAN

HUKUM MAKEHAM

REPOSITORY

OLEH

NURFAIZI NIM. 1603111279

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2020

(2)

PREMI ASURANSI JIWA BERJANGKA CONTINGENT BERDASARKAN

HUKUM MAKEHAM

Nurfaizi

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

[email protected]

ABSTRACT

This article formulates premium of contingent term life insurance based on Make- ham’s law for two persons at the age x and y years old. Contingent life insurance is an insurance whose payment are based on the sequence of the deceased insured. In determining the order in which death is delayed, the compound contingent function is used. In this article, term life annuity m times of payment, net single premium of contingent term life insurance, and premium of contingent term life insurance are obtained based on Makeham’s law of mortality. Thus it is obtained that annual premium of contingent term life insurance with m times of payment in a year is greater than annual premium of contingent term life insurance without m times of payment.

Keywords: Makeham’s law, contingent term life insurance, compound contingent function, premium, term life annuity

ABSTRAK

Artikel ini merumuskan premi asuransi jiwa berjangka contingent menggunakan hukum Makeham untuk dua orang peserta asuransi yang berusia x dan y tahun.

Asuransi jiwa contingent merupakan suatu asuransi dimana pembayaran uang per- tanggungannya berdasarkan urutan meninggal. Dalam menentukan urutan mening- gal digunakan fungsi compound contingent. Di dalam artikel ini, anuitas hidup awal berjangka m kali pembayaran, premi tunggal asuransi jiwa berjangka conti- ngent dan premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent diperoleh berdasarkan hukum mortalita Makeham. Dengan demikian diperoleh premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent dengan m kali pembayaran dalam setahun lebih besar dari premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent tanpa m kali pembayaran.

Kata kunci: Hukum Makeham, asuransi jiwa berjangka contingent, compound contingent function, premi, anuitas hidup berjangka

(3)

1. PENDAHULUAN

Manusia tidak pernah lepas dari berbagai risiko. Seperti risiko kematian, risiko kecelakaan, risiko hari tua, dan lain-lain. Untuk melindungi masa depan dalam menghadapi risiko tersebut ada beberapa upaya yang dapat dilakukan untuk memberi perlindungan, salah satunya yaitu dengan cara mengikuti program asuransi. Asuransi merupakan suatu metode untuk mengurangi risiko dengan jalan memindahkan dan mengkombinasikan ketidakpastian akan adanya kerugian keuangan (finansial) [3, h.2].

Berdasarkan masa proteksi yang dilakukan, asuransi terbagi atas asuransi jiwa berjangka, asuransi dwiguna dan asuransi jiwa seumur hidup. Asuransi jiwa berjangka adalah suatu jenis asuransi yang memberikan uang pertanggungan apabila terjadi risiko kematian dari peserta asuransi selama kontrak asuransi berlangsung [8, h.82].

Berdasarkan jumlah tertanggungnya asuransi jiwa terbagi atas dua, yaitu asuransi jiwa tunggal (perorangan) dengan jumlah tertanggungnya hanya satu orang dan asuransi jiwa gabungan dengan jumlah tertanggungnya lebih dari satu orang.

Salah satu bagian asuransi jiwa adalah asuransi jiwa contingent. Asuransi jiwa contingent merupakan asuransi bersama (gabungan) dimana pembayaran uang san- tunan dikaitkan dengan urutan seseorang meninggal dunia pertama atau meninggal dunia kedua, sesuai dengan urutan meninggal [4, h.151].

Pada artikel ini dirumuskan premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent.

Premi tahunan merupakan serangkaian pembayaran yang dilakukan oleh pemegang polis kepada perusahaan asuransi sebagai imbalan pengalihan risiko yang diberikan oleh perusahaan. Besarnya premi tahunan didapatkan dengan menentukan terlebih dahulu nilai tunai anuitas dan premi tunggal menggunakan compound contingent function. Selain anuitas, premi juga dipengaruhi oleh tingkat diskon. Tingkat diskon yang digunakan adalah tingkat diskon nominal yang mana terjadi m kali pembayaran dalam setahun. Selanjutnya, dalam menentukan peluang hidup dan peluang meninggal peserta asuransi digunakan hukum Makeham [7, 12].

2. FUNGSI SURVIVAL DAN HUKUM MAKEHAM

Fungsi survival dapat diartikan sebagai fungsi kehidupan yang dinotasikan dengan S(x), yaitu peluang peserta asuransi jiwa yang berusia x tahun tetap hidup hingga tahun berikutnya. Jika X merupakan variabel random kontinu yang menyatakan lamanya hidup peserta asuransi, maka fungsi survival dapat dinyatakan sebagai berikut [2, h.52]:

S(x) = P(X > x).

Definisi 1 [1, h.64]. Fungsi distribusi kumulatif F (x) dari variabel random kontinu X dengan fungsi kepadatan peluang f (x) adalah

F (x) = P(X ≤ x) =

∫ _x

−∞

f (t) dt dengan − ∞ < x < ∞.

(4)

Berdasarkan Definisi 1 diperoleh hubungan fungsi survival dengan fungsi dis- tribusi kumulatif sebagai berikut:

S(x) = 1− F (x).

Pada tahun 1860, W.M. Makeham mengemukakan hukum mortalita yang merupakan penyempurnaan dari hukum mortalita Gompertz sebagai berikut [7, 12]:

µ_x = A + Bc^x, dengan B > 0, A≥ −B, c > 1, x > 0. (1) Berdasarkan persamaan (1) percepatan mortalita dari seseorang berusia x + s tahun dinyatakan dengan

µx+s= A + Bc^x+s. (2)

Konstanta A merupakan risiko yang disebabkan oleh faktor lain selain usia, B mewakili tingkat kematian secara umum dan konstanta c merupakan pertumbuhan spesifik tingkat kematian. Konstanta B dan c dapat diperoleh dari hukum Gompertz yaitu [13]

g = e^−e

−ab

dan c = e¹^b, (3)

dimana konstanta a dan b yang memenuhi σ = π

√6b dan µ = a− bγ.

Konstanta g, a, dan b merupakan konstanta distribusi Gompertz dengan rata-rata µ dan standar deviasi σ dan konstanta γ bernilai konstan yaitu 0,5772156649 [13].

Peluang hidup dari peserta asuransi jiwa yang berusia x tahun dalam jangka waktu t tahun dinotasikan dengan _tp_x [5, h.27] yaitu

tp_x = e⁻^∫⁰^t^µ^x+s^ds. (4)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (4) diperoleh peluang hidup peserta asuransi jiwa berusia x tahun sampai jangka waktu t tahun berdasar- kan hukum Makeham

tp_x= e^−At−^Bcx^{ln c}^(c^t⁻¹⁾. (5)

Dengan memisalkan −A = ln k dan −B/ ln c = ln g, persamaan (5) dinyatakan se- bagai berikut:

tp_x = k^tg^c^x^(c^t⁻¹⁾. (6)

Peluang hidup peserta asuransi yang berusia x tahun bertahan hidup sampai t/m

(5)

tahun berikutnya berdasarkan hukum Makeham adalah

t

mp_x = k^m^tg^c^x^(c

t

m−1). (7)

Peluang hidup asuransi jiwa joint life dinotasikan dengan_tp_xy [10] dinyatakan dalam bentuk

tp_xy = _tp_{x t}p_y. (8)

Dengan mensubstitusikan persamaan (6) untuk usia x dan y tahun ke dalam per- samaan (8) diperoleh peluang hidup peserta asuransi jiwa joint life berdasarkan hukum Makeham

tpxy = k^2tg^(c^x^+c^y^)(c^t⁻¹⁾. (9) Dengan cara yang sama dengan persamaan (9), berdasarkan persamaan (7) untuk usia x dan y tahun diperoleh peluang hidup status gabungan bertahan hidup sampai t/m tahun berikutnya adalah

t

mp_xy = k^2t^mg^(c^x^+c^y^)(c

t

m−1). (10)

3. ANUITAS HIDUP BERJANGKA BERDASARKAN HUKUM MAKEHAM

Nilai suatu anuitas dipengaruhi oleh faktor diskon yang dinotasikan dengan v, yaitu nilai sekarang untuk pembayaran sebesar 1 satuan yang dibayarkan 1 tahun kemu- dian. Faktor diskon dipengaruhi oleh tingkat bunga yang dinotasikan dengan i.

Hubungan antara tingkat bunga dan faktor diskon berdasarkan [8, h.2] adalah v = 1

(1 + i). (11)

Serta hubungan tingkat diskon tahunan dengan tingkat diskon nominal dinyatakan [11, h.24] sebagai berikut:

d^(m) = m(1− v^m¹). (12)

Nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk seseorang yang berusia x tahun dinotasikan ¨a_x:¯_n_|, n merupakan jangka waktu tertentu dirumuskan sebagai berikut:

¨

a_x:¯_n_|= (1− vⁿ)

1− v ^tp_x. (13)

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (13) diperoleh nilai anuitas hidup awal berjangka peserta asuransi jiwa berusia x tahun

(6)

dengan jangka waktu n tahun berdasarkan hukum Makeham yaitu

¨

a_x:¯_n_|= (1− vⁿ)

d k^tg^c^x^(c^t⁻¹⁾, (14) dengan d = 1− v merupakan tingkat diskon.

Nilai tunai anuitas hidup awal berjangka dari peserta asuransi jiwa yang berusia x tahun, jangka waktu selama n tahun dengan m kali pembayaran dalam setahun berdasarkan hukum Makeham adalah

¨

a^(m)_x:¯_n_|= (1− vⁿ)

d^(m) k^m^t g^c^x^(c

t

m−1). (15)

Selanjutnya, nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk seseorang yang beru- sia x dan y tahun dirumuskan sebagai berikut:

¨

axy:¯n|= (1− vⁿ)

1− v ^tpxy. (16)

Dengan mensubstitusikan persamaan (9) ke dalam persamaan (16) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka, untuk peserta asuransi jiwa yang berusia x dan y tahun berdasarkan hukum Makeham sebagai berikut:

¨

a_xy:¯_n_|= (1− vⁿ)

d k^2tg^(c^x^+c^y^)(c^t⁻¹⁾. (17) Berdasarkan persamaan (10) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka dari peserta asuransi jiwa yang berusia x dan y tahun, jangka waktu selama n tahun dengan m kali pembayaran dalam setahun berdasarkan hukum Makeham adalah

¨

a^(m)_xy:¯_n_|= (1− vⁿ)

d^(m) k^2t^mg^(c^x^+c^y^)(c

t

m−1). (18)

4. PREMI TAHUNAN ASURANSI JIWA BERJANGKA CONTINGENT BERDASARKAN HUKUM MAKEHAM

Asuransi jiwa contingent menggunakan fungsi compound contingent, yaitu suatu fungsi yang dipengaruhi oleh urutan meninggal. Jika y meninggal dalam [t, t + 1], nilai kemungkinan x meninggal pada urutan pertama [9, h.64] dinyatakan dengan

t|qxy¹ =

∫ _t+1

t

sp_xy µ_x+s ds.

Apabila seseorang berusia x tahun meninggal pada urutan terakhir dalam jangka waktu t tahun, maka di notasikan dengan _t|qxy² dinyatakan dalam [6, h.610] sebagai

(7)

berikut:

t|qxy² =

∫ _t+1

t

sq_{y s}p_x µ_x+s ds.

Futami [8, h.82] menjelaskan bahwa premi tunggal asuransi jiwa berjangka un- tuk seseorang yang berusia x dan y tahun, jangka waktu pertanggungan n tahun dan uang pertanggungan sebesar R, dibayarkan pada akhir tahun polis dinotasikan dengan A¹_xy:¯_n_| dirumuskan sebagai berikut:

A¹_xy:¯_n_|= v (1− vⁿ) 1− v ^t|qxy¹ .

Besarnya premi tunggal asuransi jiwa berjangka contingent dari peserta yang berusia x dan y tahun, peserta yang berusia x tahun meninggal pada urutan pertama selama jangka waktu n tahun berdasarkan hukum Makeham adalah

A¹_xy:¯_n_|= v 1− vⁿ 1− v

( A

µ_xy(s) +Bc^x µ_xy

)(

k^2tg^(c^x^+c^y^)(c^t⁻¹⁾− k^2(t+1)g^(c^x^+c^y^)(c^t+1⁻¹⁾ )

. (19) Selama jangka waktu n tahun terjadi m kali pembayaran dalam setahun, untuk peserta asuransi yang berusia x dan y tahun, apabila peserta asuransi yang berusia x tahun meninggal pada urutan pertama, maka premi tunggal asuransi jiwa berjangka contingent berdasarkan hukum Makeham dengan m kali pembayaran adalah

A^1(m)_xy:¯_n_|= v^m¹ 1− vⁿ 1− v^m¹

( A

µ_xy(s) +Bc^x µ_xy

)(

k^2tg^(c^x^+c^y^)(c^t⁻¹⁾− k^2(t+1)g^(c^x^+c^y^)(c^t+1⁻¹⁾ )

. (20)

Apabila pada asuransi jiwa contingent dalam jangka waktu n tahun seseorang berusia x tahun meninggal dunia pada urutan terakhir, maka akan dibayarkan uang pertanggungan sebesar 1 satuan yang dibayarkan di akhir polis menggunakan _t|qxy²

dengan premi tunggalnya [9, h.95] adalah

A²_xy:¯_n_|= v (1− vⁿ) 1− v ^t|qxy² .

Besarnya premi tunggal asuransi jiwa berjangka contingent dari peserta yang berusia x dan y tahun, peserta yang berusia x tahun meninggal pada urutan terakhir selama jangka waktu n tahun berdasarkan hukum Makeham adalah

A²_xy:¯_n_|= v 1− vⁿ 1− v

( A

µ_x(s) +Bc^x µ_x

)(

k^tg^c^x^(c^t⁻¹⁾− k^(t+1)g^c^x^(c^t+1⁻¹⁾ )

−t|qxy¹ . (21)

Selama jangka waktu n tahun dengan m kali pebayaran, apabila peserta asuransi yang berusia x dan y tahun kemudian peserta yang berusia x tahun meninggal pada urutan terakhir, maka premi tunggal asuransi jiwa berjangka dengan m kali

(8)

pembayaran adalah A^2(m)_xy:¯_n_|= v^m¹ 1− vⁿ

1− v^m¹

( A

µ_x(s) +Bc^x µ_x

)(

k^tg^c^x^(c^t⁻¹⁾− k^(t+1)g^c^x^(c^t+1⁻¹⁾ )

−t|qxy¹ . (22)

Selanjutnya, premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent untuk peserta yang berusia x dan y tahun, apabila diantara x dan y tahun terjadi kematian maka kontrak berhenti, pembayaran dilakukan selama keduanya masih hidup dan dibayarkan uang pertanggungan sebesar 1 satuan pembayaran, akan dibayarkan segera dinyatakan dengan P_xy:¯¹ _n| [9, h.95] adalah

P_xy:¯¹ _n_| = A¹_xy:¯_n_|

¨

a_xy:¯_n|. (23)

Dengan mensubstitusikan persamaan (17) dan persamaan (19) ke dalam persamaan (23) diperoleh premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent, untuk x meninggal pada urutan pertama berdasarkan hukum Makeham sebagai berikut:

P_xy:¯¹ _n_| =

v ¹₁^−v_−vⁿ (

A

µxy(s) +^Bc_µ ^x

xy

)

k^2tg^(c^x^+c^y^)(c^t⁻¹⁾− k^2(t+1)g^(c^x^+c^y^)(c^t+1⁻¹⁾

1−vⁿ

d k^2tg^(c^x^+c^y^)(c^t⁻¹⁾ . (24)

Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent dengan frekuensi pembayaran terjadi m kali dalam setahun adalah

P_xy:¯^1(m)_n_| = A^1(m)_xy:¯_n_|

¨

a^(m)_xy:¯_n_|. (25)

Dengan mensubstitusikan persamaan (18) dan persamaan (20) ke dalam persamaan (25), diperoleh premi tahunan bersih asuransi jiwa berjangka contingent berdasarkan hukum Makeham dengan m kali pembayaran dalam setahun adalah

P_xy:¯^1(m)_n| =

v^m¹ ¹^−vⁿ

1−v^m¹

(

A

µxy(s)+ ^Bc_µ ^x

xy

)

k^2tg^(c^x^+c^y^)(c^t⁻¹⁾− k^2(t+1)g^(c^x^+c^y^)(c^t+1⁻¹⁾

1−vⁿ

d^(m) k^2t^mg^(c^x^+c^y^)(c^m^t ⁻¹⁾

. (26)

Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent dari peserta yang berusia x dan y tahun, untuk kasus kontrak selesai pada waktu x meninggal dunia, pem- bayaran dilakukan selama diantara x dan y masih hidup. dibayarkan uang per- tanggungan sebesar 1 satuan pembayaran, yang akan dibayarkan segera dinyatakan dengan

P_xy:¯² _n_| = A²_xy:¯_n_|

¨

a_x:¯_n_| . (27)

Dengan mensubstitusikan persamaan (14) dan persamaan (21) ke dalam persamaan

(9)

(27), diperoleh premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent untuk x meninggal pada urutan terakhir berdasarkan hukum Makeham sebagai berikut:

P_xy:¯² _n_|=

v ¹₁^−v_−vⁿ (

A

µx(s)+ ^Bc_µ^x

x

)

k^tg^c^x^(c^t⁻¹⁾− k^(t+1)g^c^x^(c^t+1⁻¹⁾−t|qxy¹ 1−vⁿ

d k^tg^c^x^(c^t⁻¹⁾ . (28)

Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent dengan frekuensi pembayaran terjadi m kali pembayaran dalam setahun adalah

P_xy:¯^2(m)_n_| = A^2(m)_xy:¯_n|

¨ a^(m)_x:¯_n_|

. (29)

Dengan mensubstitusikan persamaan (15) dan persamaan (22) ke dalam persamaan (29) maka diperoleh premi tahunan bersih asuransi jiwa berjangka contingent ber- dasarkan hukum Makeham dengan m kali pembayaran dalam setahun adalah

P_xy:¯^2(m)_n_| =

v^m¹ ¹^−vⁿ

1−v^m¹

(

A

µx(s)+ ^Bc_µ^x

x

)(

k^tg^c^x^(c^t⁻¹⁾− k^(t+1)g^c^x^(c^t+1⁻¹⁾ )

−t|q¹xy 1−vⁿ

d^(m) k^m^t g^c^x^(c^m^t ⁻¹⁾

. (30)

Contoh 1 Sepasang suami dan isteri yang berusia 37 tahun dan 35 tahun ingin mengikuti program asuransi jiwa berjangka contingent dengan jangka waktu selama 25 tahun dan uang pertanggung sebesar Rp50.000.000 akan diterima oleh ahli waris dengan bunga 0, 05 dengan premi dibayarkan selama 4 kali dalam setahun dan kon- stanta Makeham adalah 0, 0015, akan ditentukan:

(a) Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent jika suami meninggal per- tama berdasarkan hukum Makeham.

(b) Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent jika suami meninggal ter- akhir berdasarkan hukum Makeham.

(c) Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent jika suami meninggal per- tama berdasarkan hukum Makeham dengan m kali pembayaran dalam se- tahun.

(d) Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent jika suami meninggal ter- akhir berdasarkan hukum Makeham dengan m kali pembayaran dalam se- tahun.

Dari persoalan di atas diketahui x = 37, y = 35, n = 25, m = 4, i = 0, 05, A = 0, 0015, dan R = Rp50.000.000. Berdasarkan persamaan (3) dengan menggunakan program Microsoft Excel dan Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 2011 pria dan wanita diperoleh nilai

g = 0, 9392055 dan c = 1, 040283.

(10)

Dengan ln g = −B/ ln c diperoleh B = 0, 002477026 dan konstanta Makeham A = 0, 0015 dengan ln k = −A diperoleh nilai k = 0, 9985011.

Selanjutnya dengan tingkat bunga 0, 05, dari persamaan (11) diperoleh besarnya faktor diskon sebagai berikut:

v = 0, 9523810 dan d = 0, 0476190.

Terjadi pembayaran sebanyak 4 kali dalam setahun, dari persamaan (12) diperoleh tingkat diskon nominal sebagai berikut:

d^(m) = 0, 0484938104.

Perhitungan persoalan di atas diperoleh hasil sebagai berikut:

(a) Berdasarkan persamaan (24) diperoleh P_{37,35: ¯}¹ ₂₅_|= Rp1.313.138.

(b) Berdasarkan persamaan (28) diperoleh P_{37,35: ¯}² ₂₅_|= Rp505.160, 5.

(c) Berdasarkan persamaan (26) diperoleh P_{37,35: ¯}¹⁽⁴⁾ ₂₅_|= Rp2.480.720.

(d) Berdasarkan persamaan (30) diperoleh P_{37,35: ¯}²⁽⁴⁾ ₂₅_|= Rp1.394.048.

Dalam bentuk grafik pada Gambar 1 merupakan perhitungan premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent, berdasarkan hukum Makeham dan masa per- tanggungan selama 25 tahun, dengan rentang usia 5 tahun sebelum dan sesudah dari usia peserta asuransi jiwa berjangka pada contoh soal.

(i) (ii)

Gambar 1: Premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent berdasarkan hukum Makeham. (i) Suami meninggal pertama, dan (ii) Suami meninggal terakhir

Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 1, bagian (i) merupakan penyelesaian dari persoalan (a) dan (c), untuk kasus jika suami meninggal pada urutan pertama, maka premi tahunan yang dibayar 4 kali pembayaran dalam setahun, lebih besar dan memiliki kenaikan yang signifikan dari premi tahunan sekali pembayaran dalam setahun. Sedangkan bagian (ii) merupakan penyelesaian dari persoalan (b) dan (d), untuk kasus jika suami meninggal pada urutan terakhir, maka premi tahunan yang

(11)

dibayar 4 kali pembayaran dalam setahun, juga lebih besar dan memiliki kenaikan yang signifikan dari premi tahunan sekali pembayaran dalam setahun.

5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa nilai tunai anuitas hidup berjangka bergantung pada peluang hidup peserta asuransi, peluang hidup yang diperoleh dari tabel mortalita lebih besar dibandingkan peluang hidup yang diperoleh menggunakan hukum Makeham. Hal ini dikarenakan adanya konstanta A pada hukum Makeham yang menyatakan risiko dari faktor lain selain usia.

Selanjutnya perhitungan premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent ber- dasarkan hukum Makeham, nilainya lebih kecil dibandingkan dengan premi tahunan asuransi jiwa berjangka contingent berdasarkan hukum Makeham dengan m kali pembayaran dalam setahun. Nilai premi tahunan untuk kasus x meninggal pada urutan pertama lebih besar dari pada nilai premi tahunan untuk kasus x meninggal pada urutan terakhir.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan sangat berterima kasih kepada Dra.

Hasriati, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. Bantuan dari beliau telah mengantarkan penulis hingga penyelesaian artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2^nd Ed., Duxburry Press, Belmont, 1991.

[2] N. L. Bowers, H. U. Geerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, dan C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Schaumburg, 1997.

[3] H. Darmawi, Manajemen Asuransi, Bumi Aksara, Jakarta, 2004.

[4] P. S. David, Fundamental of Actuarial Mathematics, 2^nd Ed., Wiley, Toronto, 2011.

[5] D. C. M. Dickson, M. R. Hardy, dan H. R. Waters, Actuarial Mathematics for Life Contingent Risk, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.

[6] M. B. Finan, A Reading of the Theory of Life Contingency Models, Lecture Notes, Arkansas Tech University, Russellville, 2011.

[7] F. Flici, Life annuities calculation in Algeria: Continuous time approach, Ap- plied Economic for Development, 3 (2015), 85-100.

(12)

[8] T. Futami, Matematika Asuransi Jiwa Bagian I, Terj. dari Seimei Hoken Sug- aku, Jokan (92 Revision), Oleh G. Herliyanto, Penerbit Incoporatared Founda- tion Oriental Life Insurance Cultural Development Center, Tokyo, 1993.

[9] T. Futami, Matematika Asuransi Jiwa Bagian II, Terj. dari Seimei Hoken Sug- aku, Jokan (92 Revision), Oleh G. Herliyanto, Penerbit Incoporatared Founda- tion Oriental Life Insurance Cultural Development Center, Tokyo, 1994.

[10] F. Handoyo, Riaman, N. Gusriani, S. Supian, dan Subiyanto, Joint life term in- surance reserves use the retrospective methode based on De Moivre’s law, World Scientific News, 2 (2019), 315-327.

[11] S. G. Kellison, The Theory of Interest, 3^rd Ed., McGraw-Hill, New York, 2009.

[12] D. A. Putra, N. Fitriani, dan Mahmudi, Fit of the 2011 Indonesian mortality table to Gompertz’s and Makeham’s law using maximum likelihood, Department of Mathematics, 1 (2019), 1-9.

[13] W. J. Willemse, dan H. Koppelaar, Knowledge elicitation of Gompertz’ law of mortality, Scandinavian Actuarial Journal, 2 (2000), 168-179.