PERBANDINGAN ALGORITMA DIJKSTRA DAN FLOYD-WARSHALL DALAM PEMILIHAN RUTE TERPENDEK JALAN

(1)

PERBANDINGAN ALGORITMA DIJKSTRA DAN FLOYD-WARSHALL DALAM

PEMILIHAN RUTE TERPENDEK JALAN

Yusandy Aswad¹ dan Sondang Sitanggang²

¹Departemen Teknik Sipil, Universitas Sumatera Utara, Jl. Perpustakaan No.1, Kampus USU Medan Emai : yusandyaswad@gmail.com

²Sondang Sitanggang, Jl. Perpustakaan No.1, Kampus USU Medan Email: thanggank_sion@yahoo.com

ABSTRAK

Pencarian rute terpendek merupakan satu masalah yang banyak dibahas dalam transportasi, misalnya seorang pengguna jalan ingin melakukan perjalanan dari suatu tempat asal ke tempat tujuan, dimana dalam melakukan perjalanan tersebut pengguna tentu akan menggunakan rute terpendek dari beberapa rute yang menghubungkan asal dengan tujuannya. Dapat dilihat bahwa, penentuan rute terpendek memegang peranan penting karena dapat mengefisiensikan jarak, waktu dan biaya yang dibutuhkan untuk mencapai suatu daerah tujuan tertentu.

Saat ini banyak sekali algortima yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan penentuan lintasan terpendek (shortest path problem) dari rute jalan. Ada dua algortima yang cukup terkenal yang bisa digunakaan untuk menyelesaikan persoalan lintasan terpendek, yaitu Algoritma Dijkstra dan Floyd-Warshall. Beberapa analisa pun menunjukkan keuntungan dan kelemahan dari kedua algoritma tersebut.

Hal-hal yang dibandingkan dari kedua algoritma adalah dari segi jenis masalah, spesifikasi penyelesaian masalah, kompleksitas, dan waktu algoritma sehingga akan didapat hal-hal yang menjadi kelebihan serta kelemahan dari keduanya. Sebagai contoh aplikasi Algoritma Dijkstra dan Floyd-Warshall maka rute yang akan dicoba dengan menggunakannya tersebut adalah Jalan Sei Padang menuju Lapangan Merdeka. Dari hasil analisis dengan parameter waktu tempuh didapat rute yang berbeda dari kedua algoritma dimana dengan metode algoritma Floyd-Warshall didapat rute yang paling pendek waktu tempuhnya yaitu rute III Jl. Sei Padang – Jl. KH. Wahid Hasyim – Jl. Gajah Mada – Jl. S. Parman - Jl. Kapt. Maulana Lubis – Jl. Raden Saleh - Lap. Merdeka. Dimana jumlah waktu tempuhnya sebesar 933 detik atau sama dengan 15 menit 33 detik.

Kata kunci : Algoritma Dijkstra, Floyd-Warshall, waktu tempuh, shortest path.

PENDAHULUAN

1.

Sebagai daerah yang memiliki perkembangan yang begitu pesat dalam kegiatan ekonomi, sosial, budaya dan kegiatan lainnya. Maka hal yang wajar apabila aktivitas penduduk kota Medan relatif tinggi seiring dengan kebutuhan perjalanannya. Kebutuhan akan perjalanan ini menuntut adanya pemilihan rute terpendek dari suatu daerah ke daerah lainnya sehingga dapat mengefisiensikan jarak, waktu, dan biaya yang dibutuhkan untuk mencapai daerah tujuan tersebut.

Dalam melakukan aktivitas perjalanannya, setiap pelaku perjalanan akan mencoba mencari rute terbaik yang meminimkan biaya perjalanannya. Selain untuk mengefisiensikan jarak, waktu, dan biaya yang dibutuhkan untuk menuju suatu tempat tujuan tertentu ataupun sebaliknya bagi pengguna/pelaku perjalanan, juga dapat mengurangi dampak kemacetan dengan pendistribusian/sebaran pergerakan perjalanan mengingat bahwa dewasa ini jaringan jalan di kota Medan mengalami permasalahan transportasi yang sangat kritis seperti kemacetan lalu lintas yang disebabkan oleh tingginya tingkat urbanisasi, pertumbuhan ekonomi, kepemilikan kenderaan, serta berbaurnya peranan fungsi jalan arteri, kolektor, dan lokal sehingga jaringan jalan tidak dapat berfungsi secara efisien. ketidaklancaran arus lalu lintas ini menimbulkan biaya tambahan, tundaan, kemacetan dan bertambahnya polusi udara dan suara.

Tujuan dari studi ini adalah melakukan review pada teori rute terpendek algoritma Dijkstra dan algoritma Floyd-Warshall dengan aplikasi penggunaan di lapangan sekaligus menganalisis kelebihan dan kelemahan dari kedua algoritma.

(2)

b. Biaya perjalanan c. Kenyamanan d. Tingkat pelayanan

Rute terbaik bagi pemakai jalan dapat diartikan sebagai rute tercepat dan termurah. Menurut (Hutchinson, 1974) menyatakan bahwa hambatan perjalanan adalah sebagai faktor utama yang berpengaruh dalam pemilihan rute. Makin tinggi hambatan di suatu jalan maka semakin sedikit lalu lintas yang menggunakan jalan tersebut dan sebaliknya.

METODE ALGORITMA

3. Algoritma dijkstra

Dinamai menurut penemunya, Edsger Dijkstra, adalah sebuah algoritma rakus (greedy algorithm) dalam memecahkan permasalahan jarak terpendek (shortest path problem) untuk sebuah graf berarah (directed graph) dengan bobot-bobot sisi (edge weights) yang bernilai tak-negatif.

Elemen-elemen algoritma Dijkstra adalah: 1. Himpunan kandidat, C

Himpunan ini berisi elemen-elemen yang memiliki peluang untuk membentuk solusi. Pada solusi lintasan terpendek himpunan kandidat ini adalah himpunan simpul pada lintasan tersebut.

2. Himpunan solusi, S

Himpunan ini berisi solusi dari permasalahan yang diselesaikan dan elemennya terdiri dari elemen dalam kandidat namun tidak semuanya atau dengan kata lain himpunan solusi ini adalah bagian dari himpunan kandidat.

3. Fungsi seleksi

Fungsi seleksi adalah fungsi yang akan memilih setiap kandidat yang akan memungkinkan akan menghasilkan solusi optimal pada setiap langkahnya.

4. Fungsi kelayakan

Fungsi kelayakan akan memeriksa apakah suatu kandidat yang terpilih (terseleksi) melanggar congstraint atau tidak. Apabila kandidat melanggar constraint maka kandidat tidak akan dimaksudkan kedalam himpunan solusi. 5. Fungsi Objektif

Fungsi objektif akan memaksimalkan atau meminimalkan nilai solusi. Tujuannya adalah memilih satu saja solusi terbaik dari masing-masing anggota himpunan solusi.

Algoritma Floyd-Warshall,

Algoritma Floyd-Warshall adalah sebuah algoritma analisis graf untuk mencari bobot minimum dari graf berarah. Dalam satu kali eksekusi algoritma, akan didapatkan jarak sebagai jumlah bobot dari lintasan terpendek antar setiap pasang simpul tanpa memperhitungkan informasi mengenai simpul-simpul yang dilaluinya. Algoritma ini yang juga dikenal dengan nama Roy-Floyd.

Dalam pengertian lain Algoritma Floyd-Warshall adalah suatu metode yang melakukan pemecahan masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh sebagai suatu keputusan yang saling terkait. Artinya solusi-solusi tersebut dibentuk dari solusi yang berasal dari tahap sebelumnya dan ada kemungkinan solusi lebih dari satu.

(Novandi.R.A.D., 2007) Algoritma Floyd-Warshall ini akan memilih satu jalur terpendek dan teraman dari beberapa

alternatif jalur yang telah dihasilkan dari proses kalkulasi. (Sukrisno A.T dan Rachman A., 2007)

Karakteristik Algoritma Floyd-Warshall

Beberapa karakteristik yang dimiliki oleh algoritma Floyd-Warshall antara lain:

1. Persoalan dibagi atas beberap tahap, yang setiap tahapnya hanya akan diambil satu keputusan.

2. Masing-masing tahap terdiri atas sejumlah status yang saling berhubungan dengan status tersebut. Status yang dimaksud di sini adalah berbagai kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.

3. Ketika masuk ke suatu tahap, hasil keputusan akan transformasi.

4. Bobot pada suatu tahap akan meningkat secara teratur seiring bertambahnya jumlah tahapan.

5. Bobot yang ada pada suatu tahap tergantung dari bobot tahapan yang telah berjalan dan bobot pada tahap itu sendiri.

6. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan pada tahap sebelumnya.

7. Terdapat hubungan rekursif yang menyatakan bahwa keputusan terbaik dalam setiap status pada tahap k akan memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.

(3)

Transport

ANALISA WAKTU PERJALANAN

4.

Waktu tempuh perjalanan yang diperoleh dari hasil survei sebelumnya di lapangan dari Jl. Sei Padang sebagai asal dan Pusat Kota Medan atau Kawasan Lapangan Merdeka sebagai tujuan, dikompilasi dalam bentuk tabulasi berdasarkan segmen/ruas setiap rute jaringan jalan yang disurvei. Dari hasil survey yang telah dilakukan sebelumnya diperoleh lima (5) rute yang umumnya ditempuh oleh pengguna jalan raya dalam melakukan perjalanannya dari Jl. Sei Padang ke Pusat Kota Medan, dan beberapa rute lain dengan intensitas/jumlah pengguna lebih sedikit dari lima (5) rute tersebut (dapat dilihat pada Gambar 4.1 s/d 4.5). lima (5) jenis rute tersebut antara lain :

1. Rute I : Jl. Sei Padang – Jl. Patimura – Jl. Hassanuddin- Jl. Mojopahit – Jl. Gajah Mada – Jl. S. Parman – Jl. Kapt. Maulana Lubis – Jl. Raden Saleh - Lap. Merdeka .

2. Rute II : Jl. Sei Padang – Jl. Iskandar Muda – Jl. Gajah Mada – Jl. S. Parman – Jl. Kapt. Maulana Lubis - Jl. Raden Saleh – Lap. Merdeka.

3. Rute III : Jl. Sei Padang – Jl. KH. Wahid Hasyim – Jl. Gajah Mada – Jl. S. Parman - Jl. Kapt. Maulana Lubis – Jl. Raden Saleh - Lap. Merdeka.

4. Rute IV : Jl. Sei Padang - Jl. Patimura – Jl. Sudirman – Jl. Diponogoro – Jl. Pengadilan – Jl. Raden Saleh – Lap. Merdeka.

5. Rute V : Jl. Sei Padang - Jl. Patimura – Jl. Monginsidi – Jl. DR. Cipto - Jl Sudirman - Jl. Diponogoro – Jl. Pengadilan – Jl. Raden Saleh – Lap. Merdeka.

Waktu perjalanan yang diperoleh dari hasil survei lalu lintas di lapangan meliputi waktu perjalanan pada saat jam sibuk (onpeak).

Tabel 4.1 waktu Perjalanan Rata-Rata Rute I

Tabel 4.2 Waktu Perjalanan Rata-Rata Rute II

Tabel 4.3 Waktu Perjalanan Rata-Rata Rute III

1 Jl. Sei Padang 50 39 25 Traffic Light

2 Jl. Pattimura 1430 393 50 Traffic Light

3 Jl. Hassanuddin 100 31 -

-4 Jl. Mojopahit 200 22 -

-5 Jl. Gajah Mada 90 28 -

-6 Jl. S. Parman 1000 193 30 Sekolah

7 Jl. Maulana Lbs 320 180 40 Traffic Light

8 Jl. Raden Saleh 500 116 18 Traffic Light

Jenis Hambatan No. Nama Segmen

Panjang Lintas Tempuh (meter) Lalu lintas Tempuh (detik) Jumlah Waktu Hambatan (detik)

2 Jl. Iskandar Muda 1460 330 75 Traffic Light & Pasar

3 Jl. Gajah Mada 650 110 18 sekolah

4 Jl. S. Parman 1000 193 30 sekolah

5 Jl. Maulana Lubis 320 180 40 Traffic Light

3980 969 207

No. Nama Segmen

Panjang Lintas Tempuh (meter) Lalu lintas Tempuh (detik) Jumlah Waktu

Hambatan (detik) Jenis Hambatan

Jumlah

1 Jl. Sei Padang - - - Traffic Light

2 Jl. K.W. Hasyim 1590 240 55 Traffic Light & Pasar

3 Jl. Gajah Mada 1100 204 58 sekolah

4 Jl. S. Parman 1000 193 30 sekolah

5 Jl. Maulana Lubis 320 180 40 Traffic Light

No. Nama Segmen

Panjang Lintas Tempuh (meter) Lalu lintas Tempuh (detik) Jumlah Waktu

(4)

Tabel 4.4 Waktu Perjalanan Rata-Rata Rute IV

Jl. Pat imura JL. Sei PadangA Jl. P atim ura B ( Daerah Asal ) ( Daerah Tujuan ) F D 140 dtk 126 dtk 146 dtk 121 dtk 169 dtk 53 dtk 96 dtk 113 dtk 153 dtk 97 dtk 116 dtk 180 dtk 193 dtk 94 dtk 82 dtk 165 dtk 22 dtk 28 dtk c E G H J I O N M L K T T T T U P Q S R

Gambar rute jalan dari simpang sei padang ke Lapangan Merdeka

3 Jl. Sudirman 760 222 - Traffic Light

4 Jl. Diponogoro 1200 362 106 Traffic Light

5 Jl. Pengadilan 400 97 28 Traffic Light

3640 1064 227

Jenis Hambatan

Jumlah No. Nama Segmen

Panjang Lintas Tempuh (meter) Lalu lintas Tempuh (detik) Jumlah Waktu Hambatan (detik)

3 Jl. Mongonsidi 560 146 20 Traffic Light

4 Jl. Dr. Cipto 700 121 32 Sekolah & Traffic Light

5 Jl. Sudirman 220 53 -

-6 Jl. Diponegoro 1200 362 106 Traffic Light

7 Jl. Pengadilan 400 97 28 Traffic Light

No. Nama Segmen Panjang Lintas Tempuh (meter)

Lalu lintas Tempuh

(detik)

Jumlah Waktu

Hambatan (detik) Jenis Hambatan

(5)

Transport

Analisis pencarian rute terpendek berdasarkan waktu tempuh

Ø Metode Dijkstra

Node A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

Status 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bobot - - 100 - - - 39 - - -

-Prodecessor - - A - - - A - - -

Tabel 4.2 Hasil Iterasi ke-1

Status 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bobot - - 100 - - - 39 165 103 - - -

-Prodecessor - - A - - - A I I - - -

Status 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bobot - - 100 240 - - - - 39 165 103 - - -

-Prodecessor - - A C - - - - A I I - - -

Status 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bobot - - 100 240 415 - - - 39 165 103 267 - - - 249

Prodecessor - - A C J - - - A I I K - - - K

Status 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bobot - - 100 240 334 - - - 39 165 103 267 - - - 249

Prodecessor - - A C D - - - A I I K - - - K

Status 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 - - - 39 165 103 267 - - - 370 - - - - 249

Prodecessor - - A C D - - - A I I K - - - U - - - - K

Status 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 - - - 39 165 103 267 431 - - 436 - - - - 249

Prodecessor - - A C D - - - A I I K L - - L - - - - K

Status 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 - - - 39 165 103 267 431 - 416 370 - - - - 249

Prodecessor - - A C D - - - A I I K L - E U - - - - K

Status 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 - - - 39 165 103 267 431 - 416 370 423 - - - 249

Prodecessor - - A C D - - - A I I K L - E U P - - - K

Status 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bobot - - 100 240 - - - - 39 165 103 267 - - - 249

Prodecessor - - A C - - - - A I I K - - - K

(6)

Hasil Aplikasi:

Dari aplikasi algoritma Dijkstra dalam penentuan rute terpendek jaringan jalan dari Sei Padang ka Pusat Kota Medan berdasarkan waktu tempuh, diperoleh rute V sebagai terpendek yaitu : Jl. Sei Padang - Jl. Patimura – Jl.

Monginsidi – Jl. DR. Cipto - Jl Sudirman - Jl. Diponogoro – Jl. Pengadilan – Jl. Raden Saleh – Lap. Merdeka.

Dimana jumlah waktu tempuhnya sebesar 998 detik atau sama dengan 16 menit 38 detik.

Status 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 - - 39 165 103 267 431 - 416 370 423 - - - 249

Prodecessor - - A C D O - - A I I K L - E U P - - - K

Status 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 - - 39 165 103 267 431 - 416 370 423 - 519 - 249

Prodecessor - - A C D O - - A I I K L - E U P - Q - K

Status 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 - - 39 165 103 267 431 462 416 370 423 - 519 - 249

Prodecessor - - A C D O - - A I I K L M E U P - Q - K

Status 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 705 - 39 165 103 267 431 462 416 370 423 - 519 - 249

Prodecessor - - A C D O F - A I I K L M E U P - Q - K

Status 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 705 - 39 165 103 267 431 462 484 370 423 - 519 - 249

Prodecessor - - A C D O F - A I I K L M N U P - Q - K

Status 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 705 - 39 165 103 267 431 462 484 370 423 632 519 - 249

Prodecessor - - A C D O F - A I I K L M N U P S Q - K

Status 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 705 - 39 165 103 267 431 462 484 370 423 632 519 785 249

Prodecessor - - A C D O F - A I I K L M N U P S Q R K

Status 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Bobot - - 100 240 334 444 705 885 39 165 103 267 431 462 484 370 423 632 519 785 249

Prodecessor - - A C D O F G A I I K L M N U P S Q R K

Status 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Bobot - - 100 240 334 444 705 882 39 165 103 267 431 462 484 370 423 632 519 785 249

Prodecessor - - A C D O F T A I I K L M N U P S Q R K

Status 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Bobot - 998 100 240 334 444 705 882 39 165 103 267 431 462 484 370 423 632 519 785 249

Prodecessor - H A C D O F T A I I K L M N U P S Q R K

(7)

Transport Ø Metode Floyd-Warshall ` Hasil Aplikasi:

Dari aplikasi algoritma Floyd-Warshall dalam penentuan rute terpendek jaringan jalan dari Sei Padang ka Pusat Kota Medan berdasarkan waktu tempuhnya, diperoleh rute III sebagai rute terpendek, yaitu : Jl. Sei Padang – Jl.

KH. Wahid Hasyim – Jl. Gajah Mada – Jl. S. Parman - Jl. Kapt. Maulana Lubis – Jl. Raden Saleh - Lap. Merdeka.

Dimana jumlah waktu tempuhnya sebesar 933 detik.

PERBANDINGAN ALGORITMA DIJKSTRA DENGAN FLOYD-WARSHALL

5.

1. Algoritma Dijkstra yang menerapkan strategi greedy, yaitu pada setiap langkah, ambil sisi yang berbobot minimum yang menghubungkan sebuah

simpul yang sudah terpilih dengan sebuah simpul lain yang belum terpilih. Lintasan dari simpul asal ke simpul yang baru haruslah merupakan lintasan yang terpendek diantara semua lintasannya ke simpul-simpul yang

(8)

2. Algoritma Floyd-Warshall yang menerapkan pemrograman dinamis lebih menjamin keberhasilan penemuan solusi optimum untuk kasus penentuan lintasan terpendek.

3. Berdasarkan masalah yang dapat diselesaikan Algoritma Dijkstra untuk masalah Single Source Shortest Path, Algoritma Floyd-Warshall untuk masalah All Pairs Shortest Path.

4. Keputusan yang diambil pada tiap tahap pada Algoritma Dijkstra hanya berdasarkan pada informasi yang terbatas sehingga nilai optimum yang diperoleh pada saat itu tidak memikirkan konsekuensi yang akan terjadi kedepannya, sementara Algoritma Floyd-Warshall melakukan pemecahan masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh sebagai suatu keputusan yang saling terkait. Artinya solusi-solusi tersebut dibentuk dari solusi yang berasal dari tahap sebelumnya dan ada kemungkinan solusi lebih dari satu.

5. Dari waktu penyelesaian masalah algoritma Dijkstra mampu meyelesaikan masalah lebih cepat bila dibandingkan dengan algoritma Floyd-Warshall.

6. Dari segi kerumitan algoritma Dijkstra jauh lebih sederhana dibandingkan dengan algoritma Floyd-Warshall. Untuk lebih jelasnya kelebihan Dijkstra dan Floyd-Warshall dapat dilihat dalam tabel berikut:

Tabel 5 Perbandingan Algoritma Dijkstra dan Floyd-Warshall

Perbandingan Algoritma

Faktor Pembanding Dijkstra Floyd-Warshall

Jenis single all-pairs

Kerumitan Cukup Sederhana Rumit

Kecepatan Sangat cepat cepat

Solusi Solusi tidak selalu terbaik Solusi terbaik

Konsekuensi Tidak memikirkan konsekuensi Memikirkan konsekuensi

7. Dari table perbandingan kedua algoritma tersebut disimpulkan algoritma Floyd-Warshall merupakan algoritma terbaik.

DAFTAR PUSTAKA

Ching (1905). Arsitektur bentuk dalam ruang dan susunannya. Penerbit Institute Teknologi Bandung

Handaka, M. S. (2010), Perbandingan Algoritma Dijkstra (Greedy) dan Floyd-Warshall (Dynamic Programing)

Dalam Pengaplikasian Lintasan Terpendek pada Link-State Routing Protocol. Teknik Informatika Bandung.

Bandung

http:/www.informatika.org/rinaldi/STMK/makalah2010/makalahstma2010-040.pdf. Tanggal akses : 08 Januari

14.00

Kamayudi, Apri. (2008), Study dan Implementasi Algoritma Dijkstra, Bellman Ford dan Floyd-Warshall Dalam

Menangani Masalah Terpendek Dalam Graf. Teknik Informatika Bandung. Bandung

http://www.scribd.com/38876049/study-dan-implementasi-algoritma-dijkstra.pdf Tanggal akses : 08 Januari 14.00

Khisty, C Jotin and Lall, B. Kent, (2006), Dasar-dasar Rekayasa Transportasi. Jilid I. Penerbit Erlangga. Jakarta Khisty, C Jotin and Lall, B. Kent, (2006), Dasar-dasar Rekayasa Transportasi. Jilid II. Penerbit Erlangga. Jakarta Miro, Fidel (2002), Perencanaan Transportasi. Penerbit Erlangga. Jakarta

Munawar, Ahmad. (1995), Dasar-dasar Teknik Transportasi. Penerbit Beta Offset. Yogyakarta Morlok (1991). Perencanaan Transportasi. Penerbit Erlangga. Jakarta

Novandi, R. A. D. (2007), Perbandingan Algoritma Dijkstra dengan Algoritma Floyd-Warshall Dalam Penentuan

Lintasan Terpendek. Teknik Informatika Bandung. Bandung

http://www.informatika.org/rinaldi/STMK/2006-2007/makalah-2007/makalahSTMK2007-021.pdf. Tanggal akses :

08 Januari 14.00

Ognem (1984). Kemacetan dan Kecelakaan dan Gangguan Lalulintas. Jurnal

Pradhana. A, Bayu. (2009). Studi dan Implementasi Persoalan Lintasan Terpendek Suatu Graf dengan Algoritma

Dijkstra dan Bellamn-Ford. Teknik Informatika Bandung. Bandung

Rachmah. N. F. (2008). Aplikasi Algoritma Dijkstra Dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf. Teknik Informatika

Bandung. Bandung

http://www.informatika.org/rinaldi/matdis/2007-2008makalah/makalahIF1253-708.pdf. Tanggal akses : 08 Januari

14.00

Sitanggang, Meijer. (2011). Pemilhan Rute Terpendek dengan Menggunakan Metode GIS dan Floyd-Warshall. Tugas Akhir. Departemen Teknik Sipil USU