i
SIMULASI JARINGAN JALAN DI KOTA SEMARANG
BERBASIS ALGORITMA FLOYD-WARSHALL
UNTUK MENANGANI MASALAH LINTASAN
TERPENDEK
skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh Harsono 4111411031
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto:
Jadilah diri sendiri dan jangan menjadi orang lain, walaupun dia terlihat lebih baik dari kita.
Kita akan sukses jika belajar dari kesalahan.
Tidak ada manusia yang terlahir sempurna tapi kerja keras dan doa lah yang akan membuat manusia terlihat sempurna.
Persembahan:
Bapak, Ibu dan Kakak yang tak henti-hentinya memberikan doa, semangat, dan dukungan.
v
PRAKATA
Puji syukur ke hadirat illahi robbi Allah SWT atas segala limpahan rahmat
dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selama
menyusun skripsi ini, penulis telah banyak menerima bantuan, bimbingan, dan
dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis
sampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. Fathur Rohman, M.Hum, Rektor Universitas Negeri Semarang.
2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Negeri Semarang.
3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si, Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri
Semarang.
4. Dra. Kristina Wijayanti, M.Si, Ketua prodi Matematika FMIPA Universitas
Negeri Semarang.
5. Dr. Mulyono, M.Si, Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan
arahan dalam penyusunan skripsi ini.
6. Drs Amin Suyitno, M.Pd, Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan
dan arahan dalam penyusunan skripsi ini.
7. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan bekal ilmu
dalam penyusunan skripsi ini.
8. Teman-teman ”Matematika angkatan 2011” yang saya sayangi.
9. Bapak, Ibu, dan Kakak yang selalu memberi doa, bantuan, dan dukungan
vi
10.Semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini yang tidak
dapat penulis sebutkan satu per satu.
Semoga Allah SWT senantiasa memberikan balasan atas bantuan dan amal
baiknya. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca
demi kebaikan di masa yang akan datang.
Semarang, 17 September 2015
vii
ABSTRAK
Harsono. 2015. Simulasi Jaringan Jalan di Kota Semarang Berbasis Algoritma Floyd-Warshall untuk Menangani Masalah Lintasan Terpendek. Skripsi, jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama Dr. Mulyono, M.Si dan Pembimbing Pendamping Drs. Amin Suyitno, M.Pd.
Kata kunci: Simulasi, algoritma Floyd-Warshall, lintasan terpendek
Jaringan transportasi di kota-kota besar seperti halnya kota Semarang pada umumnya masih mempunyai jaringan yang rumit. Orang akan kebingungan untuk menentukan jalan yang harus dilewati agar sampai tempat tujuan yang belum pernah dikunjunginya dan jalan yang akan dilalui menjadi lebih panjang, sehingga dibutuhkan jalan terpendek untuk sampai ke tempat tujuan. Algoritma Floyd-Warshall merupakan algoritma yang digunakan untuk mencari semua lintasan terpendek antara setiap kemungkinan dua titik yang berbeda. Penelitian ini bertujuan untuk Mengetahui hasil program simulasi jaringan jalan di kota Semarang dengan menggunakan algoritma Floyd-Warshall dengan bahasa pemrograman Visual Basic dan membuktikan bahwa penghitungan manual mempunyai hasil yang sama dengan penghitungan dengan simulasi jaringan jalan di kota Semarang dalam mencari lintasan terpendek pada graf.
viii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
PERNYATAAN ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... iv
PRAKATA ... v
ABSTRAK ... vii
DAFTAR ISI ... viii
DAFTAR TABEL ... xi
DAFTAR GAMBAR ... xii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1Latar Belakang ... 1
1.2Rumusan Masalah ... 5
1.3Batasan Masalah .. ... 6
1.4Tujuan Penelitian ... 7
1.5Manfaat Penelitian ... 7
1.6Sistematika Penulisan ... 8
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 10
2.1Teori Graf ... 10
2.1.1 Definisi Teori Graf ... 10
2.1.2 Terminologi Graf. ... 11
2.1.3 Jenis-jenis Graf ... 11
2.1.4 Representasi Graf ... 14
2.1.5 Keterhubungan pada Graf ... 17
2.2Lintasan Terpendek ... 19
2.3Algoritma Floyd-Warshall ... 26
2.3.1 Algoritma Floyd-Warshall untuk graf berarah ... 26
2.3.2 Algoritma Floyd-Warshall untuk graf tidak berarah ... 27
ix
2.4.1 Definisi Simulasi ... 29
2.4.2 Kelebihan dari simulasi ... 29
2.5 Visual Basic ... 30
BAB III METODE PENELITIAN ... 33
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 38
4.1 Proses Manual Pencarian Lintasan Terpendek Menggunakan Algoritma Floyd-Warshall ... 43
4.1.1 Ubah graf ke dalam bentuk matriks ... 44
4.1.2 Lakukan iterasi untuk k=1 sampai n ... 44
4.1.2.1 Iterasi untuk k=1 ... 44
4.1.2.2 Iterasi untuk k=2 ... 46
4.1.2.3 Iterasi untuk k=3 ... 47
4.1.2.4 Iterasi untuk k=4 ... 49
4.1.2.5 Iterasi untuk k=5 ... 50
4.1.2.6 Iterasi untuk k=6 ... 51
4.1.2.7 Iterasi untuk k=7 ... 52
4.1.2.8 Iterasi untuk k=8 ... 53
4.1.2.9 Iterasi untuk k=9 ... 54
4.1.2.10 Iterasi untuk k=10 ... 55
4.1.2.11 Iterasi untuk k=11 ... 56
4.1.2.12 Iterasi untuk k=12 ... 57
4.1.2.13 Iterasi untuk k=13 ... 58
4.1.2.14 Iterasi untuk k=14 ... 59
4.1.2.15 Iterasi untuk k=15 ... 60
4.1.2.16 Iterasi untuk k=16 ... 61
4.1.2.17 Iterasi untuk k=17 ... 62
4.2 Tahap Perancangan Simulasi dan Pembuatan Simulasi ... 63
4.2.1 Tahap Perancangan Simulasi ... 63
4.2.1.1 Analisis ... 63
4.2.1.2 Rancangan Simulasi ... 63
x
4.2.1.4 Data Flow Diagram (DFD) ... 67
4.2.1.5 Desain tampilan ... 69
4.2.2 Tahap pembuatan program ... 70
4.3 Tahap Implentasi Simulasi ... 71
BAB V PENUTUP ... 73
5.1 Simpulan ... 74
5.2 Saran ... 75
xi
DAFTAR TABEL
Halaman'
xii
DAFTAR GAMBAR
Halaman'
Gambar 2.1 Graf berarah dan berbobot... 12
Gambar 2.2 Graf tidak berarah dan berbobot... 13
Gambar 2.3 Graf berarah dan tidak berbobot... 13
Gambar 2.4 Graf tidak berarah dan tidak berbobot... 14
Gambar 2.5 Representasi Graf ... 15
Gambar 2.6 Contoh Graf ... 19
Gambar 2.7 Graf Berbobot ... 24
Gambar 2.8 Interface Visual Basic 6.0 ... 32
Gambar 2.9 Bagian-bagian New Project ... 32
Gambar 4.1 Representasi Graf W ... 42
Gambar 4.2 Rancangan simulasi ... 65
Gambar 4.3 Flowchart Algoritma Floyd-Warshall ... 66
Gambar 4.4 Data Flow Diagram (DFD)Level 0 ... 67
Gambar 4.5 Data Flow Diagram (DFD)Level 1 ... 68
Gambar 4.6 Desain Tampilan ... 70
Gambar 4.7 Tampilan program ... 71
Gambar 4.8 Representasi graf pada simulasi ... 71
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
1
1.1
Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang menarik
untuk dibahas karena berkaitan dengan permasalahan yang banyak
ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Teori graf banyak digunakan untuk mempermudah menyelesaikan suatu masalah. Dengan merepresentasikan persoalan ke dalam bentuk graf, maka persoalan dapat dijelaskan secara lebih sederhana. Graf merupakan model matematika yang sangat kompleks dan rumit, tapi biasa juga menjadi solusi yang sangat baik
terhadap beberapa kasus tertentu. Banyak sekali aplikasi menggunakan
graf sebagai alat untuk mempresentasikan atau memodelkan persoalan
sehingga persoalan itu dapat diselesaikan dengan baik. Aplikasi-aplikasi
tersebut misalnya menentukan lintasan terpendek (the shortest path
problem), persoalan tukang pos, penjadwalan ujian, penentuan frekuensi
radio mobile, dan masih banyak lagi (Budayasa, 2007:47).
Pencarian lintasan terpendek merupakan suatu masalah yang paling
banyak dibahas dan dipelajari sejak akhir tahun 1950. Pencarian lintasan
terpendek ini telah diterapkan diberbagai bidang untuk mengoptimasi
kinerja suatu sistem, baik untuk meminimalkan biaya atau mempercepat
jalannya suatu proses (Purwananto et al., 2005:94). Masalah lintasan
berupa graf berarah atau graf tidak berarah. Sisi dalam sebuah graf tidak
berarah dapat dianggap memungkinkan perjalanan kedua arah.
Sebaliknya, sisi dalam graf berarah hanya dapat digunakan untuk satu
arah perjalanan. Biasanya dalam menentukan lintasan terpendek dengan
menggunakan graf berbobot. Setiap sisi dalam graf berbobot terdapat
suatu nilai atau bobot (Sushma, 2013:8).
Sebuah struktur graf dikembangkan dengan memberi bobot pada
tiap sisi. Graf berbobot dapat digunakan untuk melambangkan berbagai
konsep. Sebagai contoh jika suatu graf melambangkan jaringan jalan
maka bobotnya bisa berarti panjang jalan, waktu tempuh maupun batas
kecepatan tertinggi jalan tertentu, sehingga untuk menentukan lintasan
terpendek diperlukan graf berbobot.
Kesulitan menentukan lintasan terpendek timbul karena terdapat
banyak jalan yang ada dari suatu daerah ke daerah lain sehingga
memungkinkan memilih jalan alternatif apabila terdapat suatu hambatan
pada jalan terpendek utama. Kebutuhan untuk menemukan lintasan
terpendek dan waktu tempuh tercepat tentunya juga diperhitungkan untuk
menghindari kerugian seperti contoh bagi sebuah industri. Kebutuhan
untuk segera sampai tempat tujuan tepat waktu bahkan diharapkan bisa
lebih cepat sangatlah dibutuhkan mengingat persaingan industri saat ini
yang mementingkan kepuasan pelanggan dan menghindari kerugian
karena kerusakan barang. Hal itu dapat saja terjadi bila terjadi
selain untuk industri lintasan terpendek juga dibutuhkan untuk
menghemat waktu tempuh bagi wisatawan yang ingin bepergian ke
tempat wisata (Ratnasari et al., 2013:29). Dalam mencari lintasan terpendek, semakin banyak titik dan garis pada graf akan semakin rumit (Mardlootillah et al., 2014:57). Salah satu aplikasi pencarian lintasan terpendek yang paling menarik untuk dibahas adalah pada masalah
transportasi (Purwananto et al., 2005:94).
Transportasi merupakan salah satu bagian penting manusia dalam
kehidupan sehari-hari. Dengan transportasi manusia bisa berpindah dari
satu tempat ke tempat lainya dengan lebih mudah. Salah satu sistem
transportasi yang paling menarik tersebut adalah transportasi kota,
misalkan penentuan lintasan perjalanan dari suatu tempat ke tempat
tujuan dalam satu kota. Sistem transportasi perjalanan ini merupakan
model jaringan. Hal ini dapat digambarkan dengan tempat-tempat tertentu
sebagai titik dan jalan yang menghubungkan tempat-tempat tersebut
sebagai garis/sisi.
Jaringan transportasi pada kota besar seperti halnya kota Semarang
pada umumnya masih mempunyai jaringan yang rumit. Orang akan
mengetahui jalan yang harus dilewati untuk sampai ke tempat tujuan yang
biasa dikunjunginya, akan tetapi jika tempat tujuan tersebut belum pernah
dikunjungi rata-rata mereka sering kesulitan untuk menentukan jalan
yang harus dilewati untuk mencapai tempat tersebut. Selama ini orang
transportasi di kota tersebut. Sehingga jalan yang mereka lalui menjadi
lebih jauh dan dapat membutuhkan lebih banyak waktu serta tenaga yang
mereka keluarkan lebih banyak.
Menurut Li, sebagaimana dikutip oleh Xiao-Yan & Yan-Li
(2010:48), bahwa biaya transportasi merupakan komponen yang sangat
signifikan. Biaya yang dikeluarkan oleh negara berkembang untuk
transportasi sebesar 30% dari total biaya ekonomi nasional, sedangkan
negara maju hanya 10%. Artinya, hanya dari biaya transportasi, negara
berkembang memiliki selisih 20% dari negara maju. Selama dapat
menghemat biaya transportasi maka negara berkembang dapat
menghemat 10% dari biaya yang ada. Setiap orang dalam melakukan
perjalanan pasti memilih lintasan terpendek untuk mencapai tempat
tujuannya, karena dapat menghemat waktu, tenaga serta biaya. Ada
banyak algoritma yang dapat digunakan untuk menentukan lintasan
terpendek pada sebuah graf diantaranya algoritma Djikstra, algoritma
Bellman Ford dan algoritma Floyd-Warshall. Dalam penelitian ini
peneliti menggunakan algoritma Floyd-Warshall untuk pencarian lintasan
terpendek.
Masalah pencarian lintasan terpendek pada teori graf berkaitan
dengan masalah pengoptimuman, antara lain meminimumkan biaya dan
efisiensi waktu yang diselesaikan dalam algoritma Floyd Warshall atau
algoritma Djikstra (Syukria et al., 2013:74). Algoritma Floyd-Warshall
lintasan terpendek masing-masing antara tiap kemungkinan pasang
tempat yang berbeda (All-pairs Shortest Path Problems) dan sangat
efektif digunakan dalam menangani masalah lintasan optimum (Saputra,
2011:19). Menurut Bahri, sebagaimana dikutip oleh Syukria et al.
(2013:74), algoritma Floyd-Warshall lebih efisien dibandingkan dengan
algoritma Djikstra untuk menentukan masalah lintasan terpendek karena
dengan melakukan sekali analisis akan didapatkan hasil lintasan
terpendek setiap pasangan sisi.
Berdasarkan uraian tersebut peneliti memutuskan untuk melakukan
penelitian tentang Simulasi jaringan jalan di Kota Semarang berbasis
algoritma Floyd-Warshall untuk menangani masalah lintasan terpendek.
1.2
Rumusan
Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dijelaskan, maka
rumusan masalah yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut.
1. Apakah penghitungan manual mempunyai hasil yang sama dengan
penghitungan dengan simulasi jaringan jalan kota Semarang dalam
mencari lintasan terpendek pada graf?
2. Bagaimana hasil program simulasi jaringan jalan kota Semarang
dengan menggunakan algoritma Floyd-Warshall dengan bahasa
1.3
Batasan Masalah
Batasan masalah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut.
1. Tempat-tempat yang akan menjadi titik dalam penelitian ini dibagi
berdasarkan kecamatan yang ada di kota Semarang.
Tempat-tempat tersebut tidak semua kecamatan yang ada di kota Semarang
hanya diambil tempat-tempat yang mewakili kota Semarang.
Titik-titik tersebut adalah sebagai berikut.
a. Genuk : Terminal Terboyo
RSI Sultan Agung
b. Pedurungan : Terminal Penggaron
RSJ Dr. Amino Gondohutomo
RS Bhayangkara TK III Semarang
c. Tembalang : RSUD Kota Semarang
d. Banyumanik : Terminal Banyumanik
e. Semarang Tengah : RS Telogorejo
f. Semarang Selatan : RS Kariadi
RS Roemani Muhammadiyah
g. Candisari : RS St Elizabeth
h. Semarang Barat : Bandara Ahmad Yani
i. Semarang Utara : Stasiun Tawang
Stasiun Poncol
RSUD Tugurejo Semarang
k. Ngaliyan : RS Permata Medika
2. Simulasi ini menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic dan
tidak sampai pada tahap online.
3. Jalan yang digunakan penelitian ini adalah jalan yang bisa kedua
arah dan program simulasi yang dibuat adalah program simulasi
pencarian lintasan terpendek pada graf tidak berarah.
1.4
Tujuan
Penelitian
Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Membuktikan bahwa penghitungan manual mempunyai hasil yang
sama dengan penghitungan dengan simulasi jaringan jalan kota
Semarang dalam mencari lintasan terpendek pada graf.
2. Mengetahui hasil program simulasi jaringan jalan kota Semarang
dengan menggunakan algoritma Floyd-Warshall dengan bahasa
pemrograman Visual Basic.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1) Bagi Penulis
Mengetahui dan memahami aplikasi teori graf terutama
Algoritma Floyd-Warshall terhadap jaringan jalan di kota
2) Bagi Universitas
Dari hasil penelitian ini dapat menjadi referensi yang
berkaitan dengan teori graf dalam menyelesaikan masalah
menghitung lintasan terpendek.
3) Bagi Masyarakat Umum
Memberikan informasi jalan yang harus dilewati agar
sampai ke tempat tujuan dengan jarak dan biaya yang efisien serta
dapat menghemat waktu perjalanan.
1.6
Sistematika
Penulisan
Secara garis besar sistematika penulisan skripsi ini dibagi menjadi 3
bagian, yaitu: bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir skripsi. Untuk
memberikan gambaran yang jelas tentang skripsi ini dan memudahkan
pembaca dalam menelaah isi skripsi ini maka skripsi ini disusun secara
sistematis yaitu sebagai berikut.
1. Bagian Awal skripsi
Berisi halaman judul, halaman pengesahan, halaman motto dan
persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel, daftar lampiran dan
abstrak.
2. Bagian inti yang terdiri atas lima bab. Kelima bab tersebut adalah
sebagai berikut:
Pada bab pendahuluan ini dikemukakan latar belakang masalah,
rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian
dan sistematika penulisan skripsi.
b. Bab II: Tinjauan Pustaka
Tinjauan pustaka merupakan teori-teori yang mendasari pemecahan
dari permasalahan yang disajikan. Tinjauan pustaka ini terdiri dari:
Teori Graf, Lintasan Terpendek, Algoritma Floyd Warshall, Simulasi
dan Visual Basic.
c. Bab III : Metode Penelitian.
Memaparkan tentang prosedur dan langkah-langkah yang dilakukan
dalam penelitian ini meliputi identifikasi dan perumusan masalah,
studi pustaka, pengumpulan data, perancangan dan pembuatan
simulasi, implementasi simulasi, evaluasi program simulasi dan
penarikan kesimpulan.
d. Bab IV : Hasil Penelitian dan Pembahasan
Dalam bab ini berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian.
e. Bab V : Penutup
Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang
ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri
khususnya.
3. Bagian Akhir Skripsi
Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan
10
2.1
Teori Graf
2.1.1 Definisi Teori Graf
Sebuah graf G berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak
kosong V(G) dari objek-objek yang disebut titik dan himpunan berhingga
(mungkin kosong) E(G) yang elemen-elemennya disebut dengan sisi
sedemikian hingga setiap elemen e dalam E(G) merupakan pasangan tak
berurutan dari titik-titik di V(G). Himpunan V(G) disebut himpunan titik G
dan himpunan E(G) disebut himpunan sisi G (Budayasa, 2007:1).
Banyaknya titik pada graf G dapat dinyatakan dengan n = |V(G)|. Sedangkan
Banyaknya sisi pada graf G dapat dinyatakan dengan m = |E(G)|.
Titik pada graf dapat dilabeli dengan huruf, misalkan v, w, ..., atau
dengan menggunakan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau gabungan keduanya
( . Sedangkan sisi yang menghubungkan titik dengan titik dinyatakan dengan pasangan ( , ), atau dengan lambang , , ... Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik dengan titik ,
2.1.2Terminologi Graf
Ada beberapa terminologi dari teori graf yang digunakan untuk
menjelaskan yang dilihat ketika melihat suatu graf. Graf dapat dilihat dari
komponen-komponen penyusunnya.
1. Derajat (Degree)
Derajat (Degree) suatu titik yang disimbolkan dengan d(v) adalah
jumlah sisi yang berada pada titik tersebut.
2. Gelung (loop)
Gelung (loop) adalah sebuah sisi graf yang menghubungkan sebuah titik
dengan dirinya sendiri.
3. Sisi ganda/sisi rangkap
Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik dan pada suatu graf maka sisi-sisinya disebut sisi ganda/sisi rangkap
2.1.3Jenis-jenis Graf
Berdasarkan keberadaan loop dan sisi ganda, graf digolongkan menjadi
dua jenis:
1. Graf sederhana (simple graph) adalah graf yang tidak mengandung
loop dan sisi ganda.
2. Graf rangkap (multi graph) adalah graf yang mengandung sisi ganda
Menurut arah dan bobotnya, graf dibagi menjadi empat bagian, yaitu:
1. Graf berarah dan berbobot adalah graf yang setiap sisinya mempunyai
anak panah yang menunjukkan arah dan berbobot. Gambar 2.1
menunjukkan graf berarah dan berbobot yang terdiri atas tujuh titik
yaitu titik dan . Titik menunjukkan arah ke titik dan titik . titik menunjukkan kearah titik , dan titik
, dan seterusnya. Bobot antara titik ke adalah 2, titik ke
adalah 4 dan seterusnya.
Gambar 2.1 Graf berarah dan berbobot
2. Graf tidak berarah dan berbobot adalah graf yang setiap sisinya tidak
mempunyai anak panah yang menunjukkan arah tetapi mempunyai
bobot. Gambar 2.2 menunjukkan graf tidak berarah dan berbobot. Graf
terdiri dari tujuh titik yaitu titik dan . Titik tidak menunjukkan arah ke titik atau , namun bobot antara titik
dan titik telah diketahui. Begitu juga dengan titik yang lain. 2
4 6
3
2
3
2
7 5
6
Gambar 2.2 Graf tidak berarah dan berbobot
3. Graf berarah dan tidak berbobot adalah graf yang setiap sisinya
mempunyai anak panah yang tidak berbobot. Gambar 2.3
menunjukkan graf berarah dan tidak berbobot. Graf terdiri dari tujuh
titik yaitu titik dan . Titik menunjukkan arah ke titik atau . Titik menunjukkan kearah titik , dan titik
, dan seterusnya.
Gambar 2.3 Graf berarah dan tidak berbobot
4. Graf tidak berarah dan tidak berbobot adalah graf yang setiap sisinya
tidak mempunyai anak panah dan tidak berbobot. Gambar 2.4
menunjukkan graf tidak berarah dan tidak berbobot. Graf terdiri dari
tujuh titik yaitu titik dan . 2
4 6
3
2
3 2
7 5
6
Gambar 2.4 Graf tidak berarah dan tidak berbobot
Sebuah struktur graf bisa dikembangkan dengan memberi
bobot atau nilai pada tiap sisi di mana merupakan suatu nilai yang
dapat berupa biaya, jarak atau waktu, graf semacam ini disebut graf
berbobot (weighted graph).
2.1.4Representasi Graf
Suatu graf dapat direpresentasikan ke beberapa bentuk. Reprentasi
graf dapat digunakan untuk mengimplementasikan graf tersebut ke dalam
bentuk tertentu, sehingga dapat digunakan pada berbagai kasus berbeda.
Gambar 2.5 merupakan contoh representasi graf.
Gambar 2.5 Representasi Graf
0
Reprentasi graf yang sering digunakan adalah sebagai berikut.
1. Matriks ketetanggaan(Adjacency Matrix)
Suatu matriks digunakan untuk menyatakan hubungan
ketetanggaan setiap titik dalam baris-barisnya. Nomor baris menyatakan
nomor titik ketetanggaan berasal dan nomor kolom menunjukkan nomor
titik ke mana arah ketetanggaan. Elemen matriks [ , ] berharga 1 bila
terdapat sisi dari ke dan berharga 0 bila tidak ada. Keuntungan
representasi dengan matriks ketetanggaan adalah dapat mengakses
elemen matriksnya langsung apakah titik dan bertetangga. Jumlah
baris dan kolom matriks ketetanggaan sama dengan jumlah titik dalam
graf.
Misalkan G adalah sebuah graf dengan n titik. Matriks ketetanggan
dari graf G adalah matriks bujur sangkar (persegi) berordo n, X(G) = , dengan elemen menyatakan banyaknya sisi yang menghubungkan titik ke-i ke titik ke-j. Dengan definisi ini memungkinkan untuk
menyatakan sebuah graf yang memiliki sisi paralel atau loop dengan
matriks ketetanggaan (Sutarno, et al., 2005:83).
(
)
2. Matriks bersisian (Incidenty matrix)
Matriks bersisian menyatakan kebersisian titik dengan sisi.
Misalkan G(V, E) adalah graf dengan n titik dan m buah sisi. Matriks
bersisian G adalah matriks yang berukuran n x m. baris menunjukkan
label titik, sedangkan kolom menunjukkan label sisinya. Bila matriks
tersebut dinamakan A = [ ] maka
[ ] {
0
(
)
A =
2.1.5Keterhubungan pada Graf
1) Jalan (Walk)
Jalan atau walk pada suatu Graf G adalah barisan titik dan sisi
berganti-ganti. , , , , …, , sisi menghubungkan dan dapat hanya ditulis barisan sisi atau barisan titik saja.
,…, atau , ,…, , .Dalam hal ini, disebut titik awal, dan disebut titik akhir, sedangkan titik-titik yang berada
diantara dan adalah titik-titik internalnya.
2) Jalan tertutup
Menurut Budayasa (2007:6), misalkan G adalah sebuah graf. Sebuah
jalan W dengan panjang positif disebut tertutup, jika titik awal dan titik
akhir dari W identik (sama). Sebuah titik G mungkin saja muncul lebih
dari satu kali dalam jalan W, begitu juga dengan sebuah sisi G, boleh
muncul lebih dari satu kali pada jalan W.
3) Jejak (Trail)
Jejak adalah jalan (Walk) yang semua sisi dalam barisan adalah
berbeda atau tanpa sisi berulang.
4) Lintasan (Path)
Lintasan adalah jalan (Walk) dengan semua titik dan sisi dalam barisan
yang berbeda atau jejak dengan titik yang berbeda.
Sirkuit adalah jejak tertutup. Jejak tertutup adalah jejak dengan titik
awal dan titik akhir sama.
6) Sikel (Cycle)
Menurut Budayasa (2007:6), sebuah Cycle adalah adalah jejak tertutup
(closed trail) yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda.
Banyaknya sisi dalam suatu sikel disebut panjang dari sikel tersebut.
Sikel dengan panjang k disebut sikel-k, disimbolkan dengan .
2.2
Lintasan
Terpendek
Lintasan terpendek merupakan salah satu dari masalah yang dapat
diselesaikan dengan graf. Jika diberikan sebuah graf berbobot, masalah lintasan terpendek adalah bagaimana cara mencari sebuah lintasan pada graf
yang dapat meminimalkan jumlah bobot sisi pembentuk lintasan tersebut.
Misalkan u dan v dua titik di graf G, lintasan (u,v) di G dengan panjang
minimum disebut lintasan terpendek (Budayasa, 2007:47). Ada beberapa
macam persoalan lintasan terpendek antara lain:
a. Lintasan terpendek antara dua buah titik tertentu (a pair shortest path)
b. Lintasan terpendek antara semua pasangan titik (all pairs shortest path)
c. Lintasan terpendek dari titik tertentu ke semua titik yang lain.
d. Lintasan terpendek antara dua buah titik yang melalui beberapa titik
tertentu (intermediate shortest path)
Floyd-Warshall. Setiap algoritma penyelesaian persoalan lintasan terpendek memiliki kriteria masing-masing. Dalam penelitian ini peneliti menggunakan Algoritma Floyd-Warshall untuk pencarian lintasan terpendek.
Gambar 2.6 Contoh Graf
Pada Gambar 2.6 misalkan kota merupakan kota awal dan kota
merupakan kota tujuan. Dari kota awal sampai kota tujuan dapat dipilih
beberapa lintasan sebagai berikut.
→ → → → → = 2 + 6 + 3 + 5 + 7 = 23 → → → → → = 2 + 6 + 3 + 6 + 3 = 20 → → → → = 2 + 6 + 3 + 6 = 17 → → → → = 2 + 6 + 2 + 3 = 13 → → → → = 2 + 2 + 6 + 3 = 13 → → → → = 2 + 2 + 5 + 7 = 16 → → → = 2 + 2 + 6 = 10 → → → = 2 + 3 + 7 = 12 → → → → = 4 + 3 + 5 + 7 = 19 → → → → = 4 + 3 + 6 + 3 = 16
2
4 6
3
2
3
2
7 5
6
→ → → = 4 + 3 + 6 = 13 → → → = 4 + 2 + 3 = 9
Berdasarkan data di atas, lintasan terpendek dari ke adalah 9 dengan
melewati dan .
2.3
Algoritma Floyd Warshall
2.3.1 Algoritma Floyd Warshall untuk Graf Berarah
Algoritma yang ditemukan oleh Warshall untuk mencari lintasan
terpendek merupakan algoritma algoritma yang sederhana dan mudah
implementasinya. Masukan Algoritma Warshall adalah matriks hubung graf
berarah berlabel dan keluarannya adalah lintasan terpendek dari semua titik
ke semua titik (Siang, 2004). Dalam usaha untuk mencari lintasan terpendek,
algoritma Floyd-Warshall memulai iterasi dari titik awalnya kemudian
memperpanjang lintasan dengan mengevaluasi titik demi titik hingga
mencapai titik tujuan dengan bobot yang seminimum mungkin.
Menurut Novandi, sebagaimana dikutip oleh Nur & Setiawan,
(2013:21), Algoritma Floyd-Warshall adalah sebuah algoritma analisis graf
untuk mencari bobot minimum dari graf berarah. Dalam pengertian lain
Algoritma Floyd-Warshall adalah suatu metode yang melakukan pemecahan
masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh sebagai suatu
keputusan yang saling terkait. Artinya solusi-solusi tersebut dibentuk dari
dari satu. Algoritma Floyd-Warshall memiliki input graf berbobot (V,E),
yang berupa daftar titik (node/verteks V) dan daftar sisi (edge E). Jumlah
bobot sisi-sisi pada sebuah lintasan adalah bobot sisi tersebut. Sisi pada E
diperbolehkan memiliki bobot negatif, akan tetapi tidak diperbolehkan bagi
graf ini untuk memiliki siklus dengan bobot negatif. Algoritma ini
menghitung bobot terkecil dari semua sisi yang menghubungkan sebuah
pasangan titik dan melakukannya sekaligus untuk semua pasangan titik.
Prinsip yang dipegang oleh algoritma Floyd-Warshall adalah prinsip
optimalitas, yaitu jika solusi total optimal, maka bagian solusi sampai suatu
tahap (misalnya tahap ke-i) juga optimal.
Menurut Siang, sebagaimana dikutip oleh Sani et al. (2013:3),
algoritma Floyd-Warshall untuk mencari lintasan terpendek, Dimisalkan
adalah matriks ketetanggaan awal graf berarah berbobot. adalah matriks
ketetanggaan berbobot terkecil dengan sama dengan lintasan terpendek dari titik ke .
1) 0
2) Untuk =1 hingga , lakukan:
Untuk =1 hingga , lakukan:
Untuk =1 hingga lakukan:
3) Jika W[ ,j] > W[ , ] + [ , ] maka
Tukar [ ,j] dengan [, ] + [ , ]
Algoritma Floyd-Warshall adalah salah satu algoritma dari
pemrograman dinamis, yaitu suatu metode yang melakukan pemecahan
masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh sebagai suatu
keputusan yang saling terkait, artinya solusi-solusi tersebut dibentuk dari
solusi yang berasal dari tahap sebelumnya dan ada kemungkinan lebih dari
satu solusi. Algoritma Floyd-Warshall juga membandingkan semua
kemungkinan lintasan pada graf untuk setiap sisi dari semua titik. Algoritma
Floyd-Warshall menerapkan pemrograman dinamis sehingga lebih menjamin
keberhasilan penemuan solusi optimum untuk kasus penemuan lintasan
terpendek.
Peran pemrograman dinamis yang mencoba untuk memberikan solusi
yang memiliki pemikiran terhadap konsekuensi yang ditimbulkan dari
pengambilan keputusan dari suatu tahap. Prinsip yang dipegang oleh
pemrograman dinamis adalah prinsip optimalitas, yaitu jika solusi total
optimal, maka bagian solusi sampai suatu tahap juga optimal.
Algoritma Floyd-Warshall merupakan salah satu jenis algoritma all pair
shortest, yaitu mencari lintasan terpendek untuk semua pasangan titik yang
ada pada sebuah graf. Input dari algoritma ini berupa graf berbobot dan
berarah. Seperti algoritma bellman Ford, algoritma ini juga dapat menghitung
sisi yang berbobot negatif. Cara kerja algoritma ini dapat digambarkan
2.3.2 Algoritma Floyd Warshall Untuk Graf Tidak Berarah
Algoritma Floyd-Warshall dikembangkan oleh R. W. Floyd sehingga
matriksnya merupakan graf berbobot dan bukan lagi matriks Boolean.
Algoritma Floyd-Warshall dapat digunakan untuk mencari jarak antara
semua titik dalam graf. Algoritma ini sangat efisien dari sudut pandang
penyimpanan data karena dapat diimplementasikan dengan hanya
pengubahan sebuah matriks jarak.
Algoritma Floyd-Warshall memiliki input graf tak berarah dan
berbobot (V,E), yang berupa himpunan titik (titik V) dan himpunan sisi (sisi
E). Bobot sisi e dapat diberi symbol d(i,j).
Diketahui n titik dalam graf tidak berarah adalah v1, v2, v3, ……., vn untuk menentukan lintasan terpendek di antara semua pasangan titik, dengan
langkah sebagai berikut:
Langkah 1: untuk i≠j, jika adalah sisi, ambil d(i,j) sebagai bobot dari
sisi tersebut. Jika tidak ada sisi yang menghubungkan langsung
antara i dan j ditulis d(i,j)= ∞. Untuk i=j, maka ditulis d(i,j)=0. Langkah 2: untuk k=1 sampai n
Untuk i, j =1 sampai n
Ditulis d(i,j) = min{ + d(k,j)}
Nilai akhir dari d(i,j) adalah jarak dari ke .(Goodaire &
Parmeter, 1998:382)
Mula-mula algoritma untuk jarak dari ke adalah panjang dari sisi
ke adalah panjang sisi . Setelah iterasi pertama pada langkah 2 (k=1),
jarak yang diperoleh digantikan dengan panjang dari lintasan . Setelah
iterasi k pada algoritma ini dapat ditentukan jarak terpendek dari ke
pada titik-titik , , ….., . jarak adalah setelah iterasi ke k=n dengan mengambil d(i,j) sebagai lintasan terpendek dari i ke j
Gambar 2.7 merupakan contoh graf berbobot yang akan digunakan dalam
[image:37.595.216.406.392.504.2]penerapan dari algoritma Floyd-Warshall
Gambar 2.7 : Graf Berbobot
Bentuk matriksnya adalah sebagai berikut.
(
)
1 3 9
5
1
�
� �
K=1
d(1,1) {d(1,1), d(1,1) + d(1,1)}= min{0, 0 + 0} = 0 d(1,2) {d(1,2), d(1,1) + d(1,2)} = min{5, 0 + 5} = 5 d(1,3) {d(1,3), d(1,1) + d(1,3)} = min{9, 0 + 9} = 9 d(1,4) {d(1,4), d(1,1) + d(1,4)} = min{∞, 0 + ∞} = ∞ d(2,1) {d(2,1),d(2,1) + d(1,1)} = min{5, 5 + 0} = 5 d(2,2) {d(2,2), d(2,1) + d(1,2)} = min{0, 5 + 5} = 0 d(2,3) {d(2,3), d(2,1) + d(1,3)} = min{3, 5 + 9} = 3 d(2,4) {d(2,4), d(2,1) + d(1,4)} = min{1, 5 + ∞} = 1 d(3,1) {d(3,1), d(3,1) + d(1,3)} = min{9, 9 + 0} = 9 d(3,2) {d(3,2), d(3,1) + d(1,2)} = min{3, 9 + 5} = 3 d(3,3) {d(3,3), d(3,1) + d(1,3)} = min{0, 9 + 9} = 0 d(3,4) {d(3,4), d(3,1) + d(1,4)} = min{1, 9 + ∞} = 1 d(4,1) {d(4,1), d(4,1) + d(1,1)} = min{∞, ∞ + 0} = ∞ d(4,2) {d(4,2), d(4,1) + d(1,2)} = min{1, ∞ + 5} = 1 d(4,3) {d(4,3), d(4,1) + d(1,3)} = min{1, ∞ + 9} = 1 d(4,4) {d(4,4), d(4,1) + d(1,4)} = min{0, ∞ + ∞} = 0
Sehingga diperoleh matriksnya sebagai berikut.
(
)
K = 2
d(1,2) {d(1,2), d(1,2) + d(2,2)} = min{5, 5 + 0} = 5 d(1,3) {d(1,3), d(1,2) + d(2,3)} = min{9, 5 + 3} = 8 d(1,4) {d(1,4), d(1,2) + d(2,4)} = min{∞, 5 + 1} = 6 d(2,1) {d(2,1), d(2,2) + d(2,1)} = min{5, 0 + 5} = 5 d(2,2) {d(2,2), d(2,2) + d(2,2)} = min{0, 0 + 0} = 0 d(2,3) {d(2,3), d(2,2) + d(2,3)} = min{3, 0 + 3} = 3 d(2,4) {d(2,4), d(2,2) + d(2,4)} = min{1, 0 + 1} = 1 d(3,1) {d(3,1), d(3,2) + d(2,3)} = min{9, 3 + 5} = 8 d(3,2) {d(3,2), d(3,2) + d(2,2)} = min{3, 3 + 0} = 3 d(3,3) {d(3,3), d(3,2) + d(2,3)} = min{0, 3 + 3} = 0 d(3,4) {d(3,4), d(3,2) + d(2,4)} = min{1, 3 + 1} = 1 d(4,1) {d(4,1), d(4,2) + d(2,1)} = min{∞, 1 + 5} = 6 d(4,2) {d(4,2), d(4,2) + d(2,2)} = min{1, 1 + 0} = 1 d(4,3) {d(4,3), d(4,2) + d(2,3)} = min{1, 1 + 3} = 1 d(4,4) {d(4,4), d(4,2) + d(2,4)} = min{0, 1 + 1} = 0
Sehingga diperoleh matriksnya sebagai berikut
(
)
K = 3
d(1,4) {d(1,4), d(1,3) + d(3,4)} = min{9, 8 + 1} = 9 d(2,1) {d(2,1), d(2,3) + d(3,1)} = min{5, 3 + 8} = 5 d(2,2) {d(2,2), d(2,3) + d(3,2)} = min{0, 3 + 3}= 0 d(2,3) {d(2,3), d(2,3) + d(3,3)} = min{3, 3 + 0} = 3 d(2,4) {d(2,4), d(2,3) + d(3,4)} = min{1, 3 + 1} = 1 d(3,1) {d(3,1), d(3,3) + d(3,1)} = min{8, 0 +8} = 8 d(3,2) {d(3,2), d(3,3) + d(3,2)} = min{3, 0 + 3} = 3 d(3,3) {d(3,3), d(3,3) + d(3,3)} = min{0, 0 + 0} = 0 d(3,4) {d(3,4), d(3,3) + d(3,4)} = min{1, 0 + 1} = 1 d(4,1) {d(4,1), d(4,3) + d(3,1)} = min{6, 1 + 8} = 6 d(4,2) {d(4,2), d(4,3) + d(3,2)} = min{1, 1 +3} = 1 d(4,3) {d(4,3), d(4,3) + d(3,3)} = min{1, 1 + 0} = 1 d(4,4) {d(4,4), d(4,3) + d(3,4)}= min{0, 1 + 1} = 0 Sehingga diperoleh matriksnya sebagai berikut
(
)
K = 4
d(2,1) {d(2,1), d(2,4) + d(4,1)} = min{5, 1 + 6} = 5 d(2,2) {d(2,2), d(2,4) + d(4,2)} = min{0, 1 + 1} = 0 d(2,3) {d(2,3), d(2,4) + d(4,3)} = min{3, 1 + 1} = 2 d(2,4) {d(2,4) , d(2,4) +d(4,4)} = min{1, 1 + 0} = 1 d(3,1) {d(3,1), d(3,4) + d(4,1)} = min{8, 1 + 6} = 7 d(3,2) {d(3,2), d(3,4) + d(4,2)} = min{3, 1 + 1} = 2 d(3,3) {d(3,3), d(3,4) + d(4,3)} = min{0, 1 + 1} = 0 d(3,4) {d(3,4), d(3,4) + d(4,4)} = min{1, 1 + 0} = 1 d(4,1) {d(4,1), d(4,4) + d(4,1)} = min{6, 0 + 6} = 6 d(4,2) {d(4,2), d(4,4) + d(4,2)} = min{1, 0 + 1} = 1 d(4,3) {d(4,3), d(4,4) + d(4,3)} = min{1, 0 + 1} = 1 d(4,4) {d(4,4), d(4,4) + d(4,4)} = min{0, 0 + 0} = 0 Sehingga diperoleh matriksnya sebagai berikut
(
)
Sehingga diperoleh suatu lintasan terpendek pada setiap titiknya. Dari
matriks di atas dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa jarak dari titik ke
adalah 0, jarak dari titik ke adalah 5, ke adalah 7, ke
2.4
Simulasi
2.4.1 Definisi Simulasi
Simulasi dapat dipandang sebagai suatu model matematis yang
menerangkan perilaku sistem dari waktu ke waktu. Simulasi merupakan
teknik numerik untuk melakukan percobaan pada suatu komputer digital,
di mana didalamnya mengandung sejumlah hubungan matematis yang
logis dan diperlukan untuk menggambarkan struktur dan tingkah laku
sistem dunia nyata yang kompleks pada periode yang cukup panjang.
2.4.2Kelebihan dari simulasi
Beberapa Kelebihan dari simulasi adalah:
1. Tidak semua sistem dapat direpresentasikan dalam model
matematis, simulasi merupakan alternatif yang tepat untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut.
2. Dapat bereksperimen tanpa adanya resiko pada sistem nyata.
Dengan simulasi memungkinkan untuk melakukan percobaan
terhadap sistem tanpa harus menaggung resiko terhadap sistem
yang berjalan.
3. Simulasi dapat mengestimasi kinerja sistem pada kondisi tertentu
dan memberikan alternative desain terbaik sesuai dengan
spesifikasi yang diinginkan.
4. Simulasi memungkinkan untuk melakukan studi jangka panjang
5. Dapat menggunakan input data bervariasi.
2.5
Visual Basic
VB (Visual Basic) merupakan bahasa pemrograman komputer
yang lengkap dan mudah digunakan untuk membuat suatu aplikasi dalam
Microsoft Windows dengan menggunakan metode Grafical User Interface
(GUI). Visual Basic memudahkan pemrograman untuk berinteraksi
langsung dengan elemen-elemen di dalam setiap bentuk pemrograman.
Microsoft Visual Basic berawal dari bahasa pemrograman BASIC
(Beginners All Purpose Symbolic Instruction Code), yaitu sebuah bahasa
pemrograman.Visual Basic dapat digunakan sebagai alat bantu untuk
membuat berbagai macam program komputer. Aplikasi yang dapat
dihasilkan dengan bahasa pemrograman (LPKBM, 2002:3).
Kepopuleran Visual Basic sebenarnya datang dari lingkungan yang
sering disebut Integrated Development Environment atau IDE. IDE
membantu membangun sebuah aplikasi besar, menulis sebuah program,
menjalankan program, dan menghasilkan sebuah executable file.
Executable file yang dihasilkan oleh Visual Basic bersifat independen, dan
karena itu file tersebut dapat dijalankan pada komputer tanpa harus
menginstal Visual Basic.
Visual Basic selain disebut sebagai bahasa pemrograman juga
berbasis windows. Beberapa kemampuan atau manfaat dari visual basic
diantaranya seperti:
1. Untuk membuat program aplikasi berbasis windows
2. Untuk membuat objek-objek pembantu program seperti kontrol
Activex, File, Help, Aplikasi internet dan sebagainya.
3. Menguji program dan menghasilkan program akhir berakhiran EXE
yang bersifat Executable atau dapat langsung dijalankan
Visual Basic 6.0 sebetulnya perkembangan dari versi sebelumnya
dengan beberapa penambahan komponen yang sedang tren saat ini, seperti
kemampuan pemrograman internet dengan Dynamic HyperText Mark
Language (DHTML), dan beberapa penambahan fitur database dan
multimedia yang semakin baik. Sampai saat buku ini ditulis bisa dikatakan
bahwa Visual Basic 6.0 masih merupakan pilih pertama di dalam membuat
program aplikasi yang ada di pasar perangkat lunak nasional. Hal ini
disebabkan oleh kemudahan dalam melakukan proses development dari
Visual Basic dapat dioperasikan melalui tombol Start > Programs >
Microsoft Visual Studio 6.0 > Microsoft Visual Basic 6.0 tunggulah beberapa saat
[image:45.595.195.444.106.357.2]hingga muncul Gambar 2.9.
Gambar 2.9 Bagian-bagian New Project
[image:45.595.236.413.470.640.2]Pilih Standard EXE dan klik tombol Open.
33
Untuk melakukan penelitian harus memperhatikan prosedur dan
langkah-langkah yang akan dilakukan untuk memulai penelitian sehingga dapat terarah
dan terlaksana dengan baik. Dalam hal pelaporan penelitian ini terbagi
menjadi beberapa tahapan sebagai berikut:
3.1
Identifikasi masalah dan Perumusan masalah
Tahap identifikasi masalah adalah tahap menemukan permasalahan
sebelum dilakukannya penelitian. Dengan menemukan permasalahan yang
ditemukan pada objek yang diteliti guna mencari alternatif solusi yang
terkait dengan permasalahan. Identifikasi masalah dilakukan untuk
memperoleh gambaran yang lengkap tentang ruang lingkup masalah dan
langkah yang tepat dalam mencari pemecahanya. Identifikasi masalah
pada penelitian ini adalah mengamati fakta-fakta yang ada di lapangan
yang terdapat beberapa hal yang ingin dikaji. Fakta yang ada di lapangan
diketahui bahwa terdapat permasalahan yang dapat dibahas mengenai
perjalanan masyarakat yang berada di kota-kota besar sering kesulitan
untuk mencari jalan tercepat untuk mencapai tempat tujuan. Akibatnya
mereka sering membuang-buang waktu, tenaga dan biaya agar dapat
untuk memperoleh jalan terpendek harus dilakukan perhitungan yang baik
agar perjalanan yang dilalui dapat dilakukan secara efisien.
Kemudian dibuat perumusan masalah agar permasalahan tersebut
menjadi jelas dan pembahasan tidak terlalu luas. Perumusan masalah ini
dilakukan dengan melihat permasalahan-permasalahan yang ada ketika
melakukan perjalanan. Saat ini kota Semarang memiliki banyak jalan
utama. Dengan adanya banyak jalan yang ada akan dicari lintasan yang
efisien dalam perjalanan.
3.2
Studi pustakaDalam studi pustaka ini digunakan sumber pustaka yang relevan
yang digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam
penelitian. Studi pustaka dengan mengumpulkan sumber pustaka yang
dapat berupa dokumen-dokumen, referensi-referensi, buku-buku, sumber
dari internet, atau sumber-sumber lain yang diperlukan untuk merancang
dan mengimplementasikan aplikasi. Studi pustaka yang dilakukan antara
lain memahami teori dasar yang digunakan, cara menyelesaikan
permasalahan penelitian, metode penelitian dan sebagainya. Pada akhirnya
sumber pustaka itu dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan.
Studi pustaka ini penting untuk dilakukan karena menjadi modal dasar
penyelesaian dalam sebuah penelitian. Studi pustaka juga membantu
dalam persiapan memperkirakan data-data yang dibutuhkan dalam proses
3.3
Pengumpulan Data
Pengumpulan data pada penelitian ini dilakukan dengan cara
observasi menggunakan google map. Peneliti mengadakan observasi
jaringan jalan yang ada di kota Semarang menggunakan google map
dengan tujuan untuk mengetahui jalan-jalan yang ada di kota Semarang.
Observasi ini dilakukan untuk mendapatkan informasi-informasi yang
dibutuhkan untuk melanjutkan penelitian. Pada observasi ini peneliti
menggunakan google map untuk mengetahui panjang suatu jalan yang
dilalui.
3.4
Perancangan dan Pembuatan Program Simulasi
Langkah awal dari tahap ini adalah mencari lintasan terpendek dari
setiap titik ke semua titik dalam graf. Panjang jalan yang diperoleh dari
pengambilan data yang telah dilakukan sebelumnya. Langkah penelitian
yang paling penting dan paling kompleks dalam metodologi penelitian ini
adalah perancangan model simulasi. Hal ini dikarenakan perancangan
model simulasi harus sesuai dengan data yang telah ada dan
mengimplementasikan model simulasi yang diinginkan. Acuan
perancangan model simulasi ini dari analisis kebutuhan. Pada tahap
perancangan simulasi ini akan digunakan program Visual Basic. Tahap
perancangan simulasi bertujuan untuk menghasilkan sebuah bentuk atau
kebutuhan-kebutuhan sistem simulasi yang telah ditentukan dalam tahapan
perancangan simulasi. Setelah dilakukan perancangan simulasi, tahap
berikutnya adalah tahap pembuatan simulasi pencarian lintasan terpendek
pada graf menggunakan algoritma Floyd-Warshall. Pembuatan simulasi ini
mengacu pada tahap perancangan simulasi pada tahap sebelumnya.
3.5
Implementasi SimulasiTahapan implementasi sistem simulasi merupakan tahap pengujian
program. Dalam pengujian program, sistem simulasi akan diuji apakah
sistem simulasi dapat menyelesaikan pencarian lintasan terpendek dari
graf yang direprentasikan.
3.6
Evaluasi Program SimulasiMenguji coba seluruh spesifikasi terstruktur dan sistem secara
keseluruhan. Pada tahap ini, dilakukan uji coba sistem yang telah selesai
disusun. Proses uji coba ini diperlukan untuk memastikan bahwa sistem
yang telah dibuat sudah benar, sesuai dengan karakteristik yang ditetapkan
dan tidak ada kesalahan-kesalahan yang terkandung didalamnya.
3.7
Penarikan kesimpulanBerdasarkan semua penelitian yang telah dilakukan, maka
ditariklah kesimpulan untuk menjawab semua tujuan penelitian yang telah
diberikan terhadap masalah-masalah yang ditemukan sehingga penelitian
74
5.1 Simpulan
Dari pembahasan dan analisis yang telah dilakukan, maka dapat diambil
beberapa simpulan sebagai berikut.
1. Berdasarkan hasil penghitungan manual dari ke diperoleh panjang lintasannya adalah 24,5 dan hasil pengujian program simulasi algoritma
Floyd-Warshall dari ke diperoleh panjang lintasannya adalah 24,5. Berdasarkan hasil penghitungan manual dan hasil pengujian program simulasi
algoritma Floyd-Warshall untuk menangani lintasan terpendek pada suatu
graf ini terbukti mempunyai solusi yang sama.
2. Berdasarkan data jaringan jalan di kota Semarang yang direpresentasikan ke
dalam bentuk graf dan dilakukan simulasi algoritma Floyd-Warshall untuk
menangani masalah pencarian lintasan terpendek. Simulasi ini merupakan
hasil dari perancangan dan pembuatan program dengan bahasa pemrograman
Visual Basic. Simulasi ini dapat menghasilkan lintasan terpendek dan jarak
untuk pencarian dari titik awal ke titik tujuan pada graf yang telah
5.2 Saran
Aplikasi simulasi yang dibuat penulis dapat memudahkan pencarian lintasan
terpendek dan menghindari salah penghitungan khususnya untuk jenis graf yang
memiliki jumlah titik banyak. Penulis mempunyai beberapa saran yang ditujukan
kepada penulis selanjutnya diantaranya:
1. Simulasi ini baru dapat diterapkan pada graf tidak berarah, sehingga perlu
adanya pengembangan lebih lanjut pada graf berarah.
2. Program simulasi ini menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic
sehingga tidak sampai pada tahap online. Untuk penulis selanjutnya semoga
menggunakan bahasa pemrograman yang bisa sampai online.
3. Terdapat data base untuk penyimpanan hasil programnya.
4. Dibutuhkan ketelitian dalam penghitungan manual dengan algoritma
76
Goodaire, E. G dan Parmenter, M. M. 1998. Discrete Mathematics with Graf Theory. Presenticehall, USA
LPKBM MADCOMS Madium . 2002 . Microsoft Visual Basic 6.0. Yogjakarta: Andi OFFSETS.
Mardlootillah, H. I., Suyitno. A & Arini, F. Y. 2014. Simulasi Algoritma Djikstra dalam Menangani Masalah Lintasan Terpendek [ada Graf Menggunakan Visual Basic. UNNES Journal of Mathematics, 3(1): 56-61.
Nur, H.E. & Setiawan, A. 2013. Program Dinamis untuk Penentuan Lintasan Terpendek dengan Pendekatan Algoritma Floyd-Warshall. Dinamika Tehnik. VII(1): 17-25.
Purwananto, Y., Purwitasari, A., & Wibowo A. W. 2005. Implementasi dan Analisis Algoritma Pencarian Rute Terpendek di Kota Surabaya. Jurnal Penelitian dan Pengembangan TELEKOMUNIKASI, 10(2): 94-101.
Ratnasari, A., Ardiani, F. & Nurvita, F. A. 2013. Penentuan Jarak Terpendek dan Jarak Terpendek Alternative Menggunakan Algoritma Djikstra Serta Estimasi Waktu Tempuh. Seminar Nasional Teknologi Informasi & Komunikasi Terapan 2013. Universitas Islam Indonesia.
Sani, A.F., Trastawati, N. K. T., & Dwipayana I. M. E. 2013. Algoritma Floyd Warshall untuk Menentukan Jalur Terpendek Evakuasi Tsunami di Kelurahan Sanur. E-Jurnal Matematika, 2(1): 1-5.
Saputra, R. 2011. Sistem Informasi Geografis Pencarian Rute Optimum Objek Wisata
Kota Yogjakarta dengan Algoritma Floyd-Warshall. Jurnal Matematika, 14(1): 19-24.
Siang, J. 2004. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogjakarta: ANDI.
Sushma, J. P. 2013. Shortest Path Algorithms Techniques. International Journal of Science and Modern Engineering. 1(10):8-12
.
Syukria, A., Johar, R., & Marwan. 2013. Kemampuan Komunikasi Matematis dan Habits of Mind Mahasiswa pada Materi Lintasan Terpendek Menggunakan Algoritma Floyd-Warshall. Jurnal Peluang, 1(2):71-80.
Analisis Manual
K = 1
d(1,1) d(1,1), d(1,1) + d(1,1) 0, 0 + 0} = 0
d(1,2) d(1,2), d(1,1) + d(1,2)} + }
d(1,3) d(1,3), d(1,1) + d(1,3)} 0,9, 0 + 0,9} = 0,9
d(1,4) d(1,4), d(1,1) + d(1,4)} + }
d(1,5) , d(1,1) + d(1,5)} + }
d(1,6) d(1,1) + d(1,6)} + }
d(1,7) d(1,1) + d(1,7)} + }
d(1,8) d(1,1) + d(1,8)} + }
d(1,9) d(1,1) + d(1,9)} + }
d(1,10) d(1,1) + d(1,10)} + }
d(1,11) d(1,1) + d(1,11)} + }
d(1,12) d(1,1) + d(1,12)} + }
d(1,13) d(1,1) + d(1,13)} + }
d(1,14) d(1,14) d(1,1) + d(1,14)} + }
d(1,15) d(1,15), d(1,1) + d(1,15)} + }
d(1,16) d(1,16), d(1,1) + d(1,16)} + }
d(1,17) d(1,1) + d(1,17) } + }
d(2,1) d(2,1), d(2,1) + d(1,1)} + }
d(2,2) d(2,1) + d(1,2)} + }
d(2,4) d(2,4), d(2,1) + d(1,4)} 4,1, + }
d(2,5) d(2,5), d(2,1) + d(1,5)} 5,7, + }
d(2,6) d(2,6), d(2,1) + d(1,6)} + }
d(2,7) d(2,7), d(2,1) + d(1,7)} + }
d(2,8) d(2,8), d(2,1) + d(1,8)} + }
d(2,9) d(2,9), d(2,1) + d(1,9)} + }
d(2,10) d(2,10), d(2,1) + d(1,10)} + }
d(2,11) d(2,11), d(2,1) + d(1,11)} + }
d(2,12) d(2,12), d(2,1) + d(1,12)} + }
d(2,13) d(2,13), d(2,1) + d(1,13)} + }
d(2,14) d(2,14), d(2,1) + d(1,14)} + }
d(2,15) d(2,15), d(2,1) + d(1,15)} + }
d(2,16) d(2,16), d(2,1) + d(1,16)} + }
d(2,17) d(2,17), d(2,1) + d(1,17)} + }
d(3,1) d(3,1), d(3,1) + d(1,1)} 0,9, 0,9 + 0} = 0,9
d(3,2) d(3,1) + d(1,2)} 0,9 + } =
d(3,3) d(3,3), d(3,1) + d(1,3) 0,9 + 0,9} = 0
d(3,4) d(3,4), d(3,1) + d(1,4)} . 0,9 + } =
d(3,5) d(3,5), d(3,1) + d(1,5)} , + }
d(3,6) d(3,6), d(3,1) + d(1,6)} + }
d(3,7) d(3,7), d(3,1) + d(1,7)} 4,9, + }
d(3,8) d(3,8), d(3,1) + d(1,8)} + }
d(3,9) d(3,9), d(3,1) + d(1,9)} + }
d(3,11) d(3,11), d(3,1) + d(1,11)} + }
d(3,12) d(3,12), d(3,1) + d(1,12)} + }
d(3,13) d(3,13), d(3,1) + d(1,13)} + }
d(3,14) d(3,14), d(3,1) + d(1,14)} + }
d(3,15) d(3,15), d(3,1) + d(1,15)} + }
d(3,16) d(3,16), d(3,1) + d(1,16)} + }
d(3,17) d(3,17), d(3,1) + d(1,17)} + }
d(4,1) d(4,1), d(4,1) + d(1,1)} + }
d(4,2) d(4,1) + d(1,2)} + } = 4,1
d(4,3) d(4,3), d(4,1) + d(1,3) + }
d(4,4) d(4,4), d(4,1) + d(1,4)} 0. + }
d(4,5) d(4,5), d(4,1) + d(1,5)} , + }
d(4,6) d(4,6), d(4,1) + d(1,6)} + }
d(4,7) d(4,7), d(4,1) + d(1,7)} , + }
d(4,8) d(4,8), d(4,1) + d(1,8)} + }
d(4,9) d(4,9), d(4,1) + d(1,9)} + }
d(4,10) d(4,10), d(4,1) + d(1,10)} + }
d(4,11) d(4,11), d(4,1) + d(1,11)} + }
d(4,12) d(4,12), d(4,1) + d(1,12)} + }
d(4,13) d(4,13), d(4,1) + d(1,13)} + }
d(4,14) d(4,14), d(4,1) + d(1,14)} + }
d(4,15) d(4,15), d(4,1) + d(1,15)} + }
d(4,16) d(4,16), d(4,1) + d(1,16)} + }
d(5,1) d(5,1), d(5,1) + d(1,1)} + }
d(5,2) d(5,1) + d(1,2)} + }
d(5,3) d(5,3), d(5,1) + d(1,3) + }
d(5,4) d(5,4), d(5,1) + d(1,4)} 2,4. + } = 2,4
d(5,5) d(5,5), d(5,1) + d(1,5)} , + }
d(5,6) d(5,6), d(5,1) + d(1,6)} + }
d(5,7) d(5,7), d(5,1) + d(1,7)} , + }
d(5,8) d(5,8), d(5,1) + d(1,8)} + }
d(5,9) d(5,9), d(5,1) + d(1,9)} + }
d(5,10) d(5,10), d(5,1) + d(1,10)} 8,1, + }
d(5,11) d(5,11), d(5,1) + d(1,11)} + }
d(5,12) d(5,12), d(5,1) + d(1,12)} + }
d(5,13) d(5,13), d(5,1) + d(1,13)} + }
d(5,14) d(5,14), d(5,1) + d(1,14)} + }
d(5,15) d(5,15), d(5,1) + d(1,15)} + }
d(5,16) d(5,16), d(5,1) + d(1,16)} + }
d(5,17) d(5,17), d(5,1) + d(1,17)} + }
d(6,1) d(6,1), d(6,1) + d(1,1)} + }
d(6,2) d(6,1) + d(1,2)} + }
d(6,3) d(6,3), d(6,1) + d(1,3) + }
d(6,4) d(6,4), d(6,1) + d(1,4)} 2,2. + }
d(6,5) d(6,5), d(6,1) + d(1,5)} , + }
d(6,7) d(6,7), d(6,1) + d(1,7)} , + }
d(6,8) d(6,8), d(6,1) + d(1,8)} 2,9, + }
d(6,9) d(6,9), d(6,1) + d(1,9)} + }
d(6,10) d(6,10), 6(4,1) + d(1,10)} + }
d(6,11) d(6,11), d(6,1) + d(1,11)} + }
d(6,12) d(6,12), d(6,1) + d(1,12)} + }
d(6,13) d(6,13), d(6,1) + d(1,13)} + }
d(6,14) d(6,14), d(6,1) + d(1,14)} + }
d(6,15) d(6,15), d(6,1) + d(1,15)} + }
d(6,16) d(6,16), d(6,1) + d(1,16)} + }
d(6,17) d(6,17), d(6,1) + d(1,17)} + }
d(7,1) d(7,1), d(7,1) + d(1,1)} + }
d(7,2) d(7,1) + d(1,2)} + }
d(7,3) d(7,3), d(7,1) + d(1,3) + }
d(7,4) d(7,4), d(7,1) + d(1,4)} . + }
d(7,5) d(7,5), d(7,1) + d(1,5)} , + }
d(7,6) d(7,6), d(7,1) + d(1,6)} + }
d(7,7) d(7,7), d(7,1) + d(1,7)} 0, + }
d(7,8) d(7,8), d(7,1) + d(1,8)} 3,6, + }
d(7,9) d(7,9), d(7,1) + d(1,9)} + }
d(7,10) d(7,10), d(7,1) + d(1,10)} + }
d(7,11) d(7,11), d(7,1) + d(1,11)} + }
d(7,12) d(7,12), d(7,1) + d(1,12)} + }
d(7,14) d(7,14), d(7,1) + d(1,14)} + }
d(7,15) d(7,15), d(7,1) + d(1,15)} + }
d(7,16) d(7,16), d(7,1) + d(1,16)} + }
d(7,17) d(7,17), d(7,1) + d(1,17)} + }
d(8,1) d(8,1), d(8,1) + d(1,1)} + }
d(8,2) d(8,1) + d(1,2)} + }
d(8,3) d(8,3), d(8,1) + d(1,3) + }
d(8,4) d(8,4), d(8,1) + d(1,4)} . + }
d(8,5) d(8,5), d(8,1) + d(1,5)} , + }
d(8,6) d(8,6), d(8,1) + d(1,6)} + }
d(8,7) d(8,7), d(8,1) + d(1,7)} 3,6, + }
d(8,8) d(8,8), d(8,1) + d(1,8)} 0, + }
d(8,9) d(8,9), d(8,1) + d(1,9)} + }
d(8,10) d(8,10), d(8,1) + d(1,10)} + }
d(8,11) d(8,11), d(8,1) + d(1,11)} + }
d(8,12) d(8,12), d(8,1) + d(1,12)} + }
d(8,13) d(8,13), d(8,1) + d(1,13)} 2,7, + }
d(8,14) d(8,14), d(8,1) + d(1,14)} + }
d(8,15) d(8,15), d(8,1) + d(1,15)} + }
d(8,16) d(8,16), d(8,1) + d(1,16)} + }
d(8,17) d(8,17), d(8,1) + d(1,17)} + }
d(9,1) d(9,1), d(9,1) + d(1,1)} + }
d(9,3) d(9,3), d(9,1) + d(1,3) + }
d(9,4) d(9,4), d(9,1) + d(1,4)} . + }
d(9,5) d(9,5), d(9,1) + d(1,5)} , + }
d(9,6) d(9,6), d(9,1) + d(1,6)} + }
d(9,7) d(9,7), d(9,1) + d(1,7)} , + }
d(9,8) d(9,8), d(9,1) + d(1,8)} 1,6, + }
d(9,9) d(9,9), d(9,1) + d(1,9)} + }
d(9,10) d(9,10), d(9,1) + d(1,10)} 1,9, + }
d(9,11) + } + }
d(9,12) + } + }
d(9,13) + } 2,9, + }
d(9,14) + } + }
d(9,15) + } + }
d(9,16) + } + }
d(9,17) + } + }
d(10,1) d(10,1), d(10,1) + d(1,1)} + }
d(10,2) d(10,1) + d(1,2)} + }
d(10,3) d(10,3), d(10,1) + d(1,3) + }
d(10,4) d(10,4), d(10,1) + d(1,4)} . + }
d(10,5) d(10,5), d(10,1) + d(1,5)} , + }
d(10,6) d(10,6), d(10,1) + d(1,6)} + }
d(10,7) d(10,7), d(10,1) + d(1,7)} , + }
d(10,8) d(10,8), d(10,1) + d(1,8)} + }
d(10,10) d(10,10), d(10,1) + d(1,10)} 0, + }
d(10,11) d(10,11), d(10,1) + d(1,11)} + }
d(10,12) d(10,12), d(10,1) + d(1,12)} + }
d(10,13) d(10,13), d(10,1) + d(1,13)} 2,9, + }= 2,9
d(10,14) d(10,14), d(10,1) + d(1,14)} + }
d(10,15) d(10,15), d(10,1) + d(1,15)} + }
d(10,16) d(10,16), d(10,1) + d(1,16)} + }
d(10,17) d(10,17), d(10,1) + d(1,17)} + }
d(11,1) d(11,1), d(11,1) + d(1,1)} + }
d(11,2) d(11,1) + d(1,2)} + }
d(11,3) d(11,3), d(11,1) + d(1,3) + }
d(11,4) d(11,4), d(11,1) + d(1,4)} 0. + }
d(11,5) d(11,5), d(11,1) + d(1,5)} , + }
d(11,6) d(11,6), d(11,1) + d(1,6)} + }
d(11,7) d(11,7), d(11,1) + d(1,7)} , + }
d(11,8) d(11,8), d(11,1) + d(1,8)} + }
d(11,9) d(11,9), d(11,1) + d(1,9)} + }
d(11,10) d(11,10), d(11,1) + d(1,10)} 9,0, + }
d(11,11) d(11,11), d(11,1) + d(1,11)} + }
d(11,12) d(11,12), d(11,1) + d(1,12)} + }
d(11,13) d(11,13), d(11,1) + d(1,13)} + }
d(11,14) d(11,14), d(11,1) + d(1,14)} + }
d(11,15) d(11,15), d(11,1) + d(1,15)} + }
d(11,17) d(11,17), d(11,1) + d(1,17)} + }
d(12,1) d(12,1), d(12,1) + d(1,1)} + }
d(12,2) d(12,1) + d(1,2)} + }
d(12,3) d(12,3), d(12,1) + d(1,3) + }
d(12,4) d(12,4), d(12,1) + d(1,4)} . + }
d(12,5) d(12,5), d(12,1) + d(1,5)} , + }
d(12,6) d(12,6), d(12,1) + d(1,6)} + }
d(12,7) d(12,7), d(12,1) + d(1,7)} 1,9, + }
d(12,8) d(12,8), d(12,1) + d(1,8)} 3,0, + }
d(12,9) d(12,9), d(12,1) + d(1,9)} + }
d(12,10) d(12,10), d(12,1) + d(1,10)} + }
d(12,11) d(12,11), d(12,1) + d(1,11)} + }
d(12,12) d(12,12), d(12,1) + d(1,12)} + }
d(12,13) d(12,13), d(12,1) + d(1,13)} 2,6, + }
d(12,14) d(12,14), d(12,1) + d(1,14)} + }
d(12,15) d(12,15), d(12,1) + d(1,15)} + }
d(12,16) d(12,16), d(12,1) + d(1,16)} + }
d(12,17) d(12,17), d(12,1) + d(1,17)} + }
d(13,1) d(13,1), d(13,1) + d(1,1)} + }
d(13,2) d(13,1) + d(1,2)} + }
d(13,3) d(13,3), d(13,1) + d(1,3) + }
d(13,4) d(13,4), d(13,1) + d(1,4)} . + }
d(13,6) d(13,6), d(13,1) + d(1,6)} + }
d(13,7) d(13,7), d(13,1) + d(1,7)} , + }
d(13,8) d(13,8), d(13,1) + d(1,8)} 2,7, + }
d(13,9) d(13,9), d(13,1) + d(1,9)} + }
d(13,10) d(13,10), d(13,1) + d(1,10)} 2,9, + }
d(13,11) d(13,11), d(13,1) + d(1,11)} + }
d(13,12) d(13,12), d(13,1) + d(1,12)} + }
d(13,13) d(13,13), d(13,1) + d(1,13)} , + }
d(13,14) d(13,14), d(13,1) + d(1,14)} + }
d(13,15) d(13,15), d(13,1) + d(1,15)} + }
d(13,16) d(13,16), d(13,1) + d(1,16)} + }
d(13,17) d(13,17), d(13,1) + d(1,17)} + }
d(14,1) d(14,1), d(14,1) + d(1,1)} + }
d(14,2) d(14,1) + d(1,2)} + }
d(14,3) d(14,3), d(14,1) + d(1,3) + }
d(14,4) d(14,4), d(14,1) + d(1,4)} . + }
d(14,5) d(14,5), d(14,1) + d(1,5)} , + }
d(14,6) d(14,6), d(14,1) + d(1,6)} + }
d(14,7) d(14,7), d(14,1) + d(1,7)} , + }
d(14,8) d(14,8), d(14,1) + d(1,8)} + }
d(14,9) d(14,9), d(14,1) + d(1,9)} + }
d(14,10) d(14,10), d(14,1) + d(1,10)} + }
d(14,11) d(14,11), d(14,1) + d(1,11)} + }
d(14,13) d(14,13), d(14,1) + d(1,13)} 4,1, + }
d(14,14) d(14,14), d(14,1) + d(1,14)} + }
d(14,15) d(14,15), d(14,1) + d(1,15)} 3,5, + }
d(14,16) d(14,16), d(14,1) + d(1,16)} + }
d(14,17) d(14,17), d(14,1) + d(1,17)} + }
d(15,1) d(15,1), d(15,1) + d(1,1)} + }
d(15,2) d(15,1) + d(1,2)} + }
d(15,3) d(15,3), d(15,1) + d(1,3) + }
d(15,4) d(15,4), d(15,1) + d(1,4)} . + }
