Matematika

(1)

610.12.005 Matematika

Diferensial/Turunan dan Aplikasinya

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

D3 Analis Kimia FMIPA

Universitas Islam Indonesia

(2)

Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk

menghitung laju perubahan.

(3)

Definisi Turunan

Diberikan fungsi f dan a ∈ D

_f

. Turunan fungsi f di a, dinyatakan dengan f

⁰

(a), dan didefinisikan dengan

f

⁰

(a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

asalkan limit ini ada.

(4)

Diferensial/Turunan

Pendahuluan Turunan Teknik Diferensiasi

Contoh 1

a.

Tentukan turunan fungsi f (x) = x

²

− 3x di x = 1.

f (1) = lim

h→0

h

= lim

h→0

(1 + h)

²

− 3(1 + h) − (1

²

− 3 · 1) h

= lim

h→0

h

²

− h h

= lim

h→0

(h − 1) = −1

(5)

Diferensial/Turunan

Contoh 1

a.

Tentukan turunan fungsi f (x) = x

²

− 3x di x = 1.

Solusi:

= lim

h→0

(1 + h)

²

− 3(1 + h) − (1

²

− 3 · 1) h

= lim

h→0

h

²

− h h

= lim

h→0

(h − 1) = −1

(6)

a.

Tentukan turunan fungsi f (x) = x

²

− 3x di x = 1.

Solusi:

f

⁰

(1) = lim

h→0

f (1 + h) − f (1) h

= lim

h→0

(1 + h)

²

− 3(1 + h) − (1

²

− 3 · 1) h

= lim

h→0

h

²

− h

h

(7)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan f

⁰

(2) jika diketahui f (x) = |x − 2|.

f

⁰

(2) = lim

h→0

f (2 + h) − f (2) h

= lim

h→0

|2 + h − 2| − |2 − 2|

h = lim

h→0

|h| h Tapi karena

lim

h→0⁺

|h|

h = lim

h→0⁺

h h = 1 lim

h→0⁻

|h|

h = lim

h→0⁻

−h h = −1 maka f

⁰

(2) = lim

h→0

|h|

h

tidak ada.

(8)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan f

⁰

(2) jika diketahui f (x) = |x − 2|.

Solusi:

h→0

h

h→0

h

Tapi karena

lim

h→0⁺

|h|

h = lim

h→0⁺

h h = 1 lim

h→0⁻

|h|

h = lim

h→0⁻

−h h = −1 maka f

⁰

(2) = lim

h→0

|h|

h

tidak ada.

(9)

b.

Tentukan f

⁰

(2) jika diketahui f (x) = |x − 2|.

Solusi:

f

⁰

(2) = lim

h→0

f (2 + h) − f (2) h

= lim

h→0

|2 + h − 2| − |2 − 2|

h = lim

h→0

|h|

h Tapi karena

lim

h→0⁺

|h|

h = lim

h→0⁺

h h = 1 lim

h→0⁻

|h|

h = lim

h→0⁻

−h

h = −1

(10)

Perubahan Laju Sesaat

Perubahan laju sesaat dari f (x) terhadap x pada saat x = c

diberikan oleh f

⁰

(c)

(11)

Diferensial/Turunan

Contoh 2

Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan

s = f (t) = √

5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik.

v = lim

h→0

f (3 + h) − f (3) h

= lim

h→0

p5(3 + h) + 1 − p5(3) + 1 h

= lim

h→0

√ 16 + 5h − 4

h

(12)

Diferensial/Turunan

Contoh 2

Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan

s = f (t) = √

5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik.

Solusi:

h→0

h

= lim

h→0

√ 16 + 5h − 4

h

(13)

Contoh 2

Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s, jaraknya dari pusat (dalam cm) setelah t detik, diberikan

s = f (t) = √

5t + 1. Tentukan laju sesaat partikel tersebut setelah 3 detik.

Solusi:

v = lim

h→0

f (3 + h) − f (3) h

= lim

h→0

p5(3 + h) + 1 − p5(3) + 1 h

= lim

√ 16 + 5h − 4

(14)

Untuk mendapatkan solusi limit di atas, kalikan persamaan terakhir dengan sekawannya.

v = lim

h→0

√

16 + 5h − 4

h ·

√ 16 + 5h + 4

= lim

h→0

16 + 5h − 16 h( √

16 + 5h + 4)

= lim

h→0

√ 5

16 + 5h + 4

= 5

8

(15)

Signifikansi Tanda Turunan f

⁰

(x)

Signifikansi Tanda Turunan f

⁰

(x)

Jika fungsi f dapat diturunkan pada x = c, maka f naik pada x = c jika f

⁰

(c) > 0 dan

f turun pada x = c jika f

⁰

(c) < 0

(16)

(17)

Turunan dan Kontinuitas

Jika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a.

Catatan!

Tidak berlaku sebaliknya. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa sebuah

fungsi kontinu f tidak akan dapat diturunkan di x = a jika f

⁰

(x)

bernilai tak hingga pada x = a atau jika fungsi f memiliki titik

yang runcing/tajam pada P (a, f (a)), yaitu titik di mana kurva

berubah arah secara tajam.

(18)

Kurva dari empat fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di

x = 0

(19)

Latihan 1

1.

Tentukan f

⁰

(x) jika f (x) =

^x+1_x+2

, dengan x 6= −2

2.

Tentukan f

⁰

(x) beserta domainnya apabila f (x) = √

x + 1

3.

Tentukan f

⁰

(−3) jika f (x) =

_2−x¹

(20)

4.

(Perilaku Hewan) Sebuah eksperiman menunjukkan bahwa ketika seekor kutu terbang, ketinggiannya (dalam meter) setelah t detik diberikan oleh fungsi

H(t) = 4.4t − 4.9t

²

a. Tentukan H⁰(t). Pada laju berapa H(t) berubah setelah 1 detik? Apakah naik atau turun?

b. Pada t berapa nilai H⁰(t) = 0?

(21)

5.

(Cardiology) A study conducted on a patient undergoing cardiac catheterization indicated that the diameter of the aorta was approximately D millimeters (mm) when the aortic pressure was p (mm of mercury), where

D(p) = −0.0009p

²

+ 0.13p + 17.81 for 50 ≤ p ≤ 120.

a. Find the average rate of change of the aortic diameter D as p changes from p = 60 to p = 61.

b. Use calculus to find the instantaneous rate of change of diameter D with respect to aortic pressure p when p = 60. Is the pressure increasing or decreasing when p = 60?

c. For what value of p is the instantaneous rate of change of D

(22)

Fungsi Konstan

Jika f (x) fungsi konstan, maka f

⁰

(x) = 0 Fungsi Identitas

Jika f (x) = x, maka f

⁰

(x) = 1 Fungsi Pangkat

Jika f (x) = x

ⁿ

, maka f

⁰

(x) = nx

ⁿ⁻¹

(23)

Sifat-sifat Turunan

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan dan k sebarang konstan real, maka

1 d

dx

(f (x) ± g(x)) =

_dx^d

f (x) ±

_dx^d

g(x)

2 d

dx

(kf (x)) = k

_dx^d

f (x)

3 d

dx

(f (x) · g(x)) = f (x) ·

_dx^d

g(x) + g(x) ·

_dx^d

f (x)

4 d

dx

f (x) g(x)

=

^g(x)·

d

dxf (x)−f (x)·_dx^dg(x)

(g(x))²

asalkan g(x) 6= 0

(24)

Diferensial/Turunan

Contoh 3

a.

Tentukan turunan dari f (x) = 3x

²

− 6x + 7

f (x) =

dx (3x − 6x + 7)

= d

dx (3x

²

) − d

dx (6x) + d dx 7

= 3 d

dx (x

²

) − 6 d

dx (x) + 0

= 3(2x) − 6(1) = 6x − 6

(25)

Diferensial/Turunan

Contoh 3

a.

Tentukan turunan dari f (x) = 3x

²

− 6x + 7 Solusi:

= d

dx (3x

²

) − d

dx (6x) + d dx 7

= 3 d

dx (x

²

) − 6 d

dx (x) + 0

= 3(2x) − 6(1) = 6x − 6

(26)

a.

Tentukan turunan dari f (x) = 3x

²

− 6x + 7 Solusi:

f

⁰

(x) = d

dx (3x

²

− 6x + 7)

= d

dx (3x

²

) − d

dx (6x) + d dx 7

= 3 d

dx (x

²

) − 6 d

dx (x) + 0

(27)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan f

⁰

(x) dari f (x) = (3x

³

+ 2x + 1)(4x

¹¹

+ 5x)

f

⁰

(x) = d dx f (x)

= (3x

³

+ 2x + 1) · d

dx (4x

¹¹

+ 5x) + (4x

¹¹

+ 5x) · d

dx (3x

³

+ 2x + 1)

= (3x

³

+ 2x + 1)(44x

¹⁰

+ 5) + (4x

¹¹

+ 5x)(9x

²

+ 2)

(28)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan f

⁰

(x) dari f (x) = (3x

³

+ 2x + 1)(4x

¹¹

+ 5x) Solusi:

dx + (4x

¹¹

+ 5x) · d

dx (3x

³

+ 2x + 1)

= (3x

³

+ 2x + 1)(44x

¹⁰

+ 5) + (4x

¹¹

+ 5x)(9x

²

+ 2)

(29)

b.

Tentukan f

⁰

(x) dari f (x) = (3x

³

+ 2x + 1)(4x

¹¹

+ 5x) Solusi:

f

⁰

(x) = d dx f (x)

= (3x

³

+ 2x + 1) · d

dx (4x

¹¹

+ 5x) + (4x

¹¹

+ 5x) · d

dx (3x

³

+ 2x + 1)

= (3x

³

+ 2x + 1)(44x

¹⁰

+ 5) + (4x

¹¹

+ 5x)(9x

²

+ 2)

(30)

Diferensial/Turunan

c.

Tentukan f

⁰

(x) dari f (x) =

^x²_2x⁻¹

f (x) =

^dx ^dx

(2x)

²

= 2x(2x) − (x

²

− 1)(2) 4x

²

= 4x

²

− 2x

²

+ 2 4x

²

= 2x

²

+ 2 4x

²

= x

²

+ 1

2x

²

(31)

Diferensial/Turunan

c.

Tentukan f

⁰

(x) dari f (x) =

^x²_2x⁻¹

Solusi:

(2x)

= 2x(2x) − (x

²

− 1)(2) 4x

²

= 4x

²

− 2x

²

+ 2 4x

²

= 2x

²

+ 2 4x

²

= x

²

+ 1

2x

²

(32)

c.

Tentukan f

⁰

(x) dari f (x) =

^x_2x⁻¹

Solusi:

f

⁰

(x) = 2x ·

_dx^d

(x

²

− 1) − (x

²

− 1) ·

_dx^d

(2x) (2x)

²

= 2x(2x) − (x

²

− 1)(2) 4x

²

= 4x

²

− 2x

²

+ 2 4x

²

= 2x

²

+ 2

4x

²

(33)

Turunan Fungsi Trigonometri

1 d

dx

(sin x) = cos x

2 d

dx

(cos x) = −sin x

3 d

dx

(tan x) = sec

²

x

4 d

dx

(sec x) = sec x tan x

5 d

dx

(cot x) = −csc

²

x

6 d

dx

(csc x) = −csc x cot x

(34)

Diferensial/Turunan

Contoh 4

a.

Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x.

dx (3 sin x − 2 cos x) = 3

dx (sin x) − 2

dx (cos x)

= 3 cos x + 2 sin x

(35)

Diferensial/Turunan

Contoh 4

a.

Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x.

Solusi:

= 3 cos x + 2 sin x

(36)

a.

Tentukan turunan dari 3 sin x − 2 cos x.

Solusi:

d

dx (3 sin x − 2 cos x) = 3 d

dx (sin x) − 2 d

dx (cos x)

= 3 cos x + 2 sin x

(37)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan turunan dari x

²

sin x.

d

dx (x

²

sin x) = x

²

d

dx (sin x) + sin x d dx (x

²

)

= x

²

cos x + 2x sin x

(38)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan turunan dari x

²

sin x.

Solusi:

(39)

b.

Tentukan turunan dari x

²

sin x.

Solusi:

d

dx (x

²

sin x) = x

²

d

dx (sin x) + sin x d dx (x

²

)

= x

²

cos x + 2x sin x

(40)

Diferensial/Turunan

c.

Tentukan turunan dari

^{1+sin x}_{cos x}

dx cos x =

^dx ^dx

cos

²

x

= cos

²

x + sin x + sin

²

x cos

²

x

= 1 + sin x

cos

²

x

(41)

Diferensial/Turunan

c.

Tentukan turunan dari

^{1+sin x}_{cos x}

Solusi:

dx cos x cos x

= cos

²

x + sin x + sin

²

x cos

²

x

= 1 + sin x

cos

²

x

(42)

c.

Tentukan turunan dari

^{1+sin x}_{cos x}

Solusi:

d dx

1 + sin x cos x

= cos x

_dx^d

(1 + sin x) − (1 + sin x)

_dx^d

(cos x) cos

²

x

= cos

²

x + sin x + sin

²

x cos

²

x

= 1 + sin x

cos

²

x

(43)

Diferensial/Turunan

d.

Tentukan turunan dari x

ⁿ

tan x

d

dx (x

ⁿ

tan x) = x

ⁿ

d

dx (tan x) + tan x d dx (x

ⁿ

)

= x

ⁿ

sec

²

x + nx

ⁿ⁻¹

tan x

(44)

Diferensial/Turunan

d.

Tentukan turunan dari x

ⁿ

tan x

Solusi:

(45)

d.

Tentukan turunan dari x

ⁿ

tan x Solusi:

d

dx (x

ⁿ

tan x) = x

ⁿ

d

dx (tan x) + tan x d dx (x

ⁿ

)

= x

ⁿ

sec

²

x + nx

ⁿ⁻¹

tan x

(46)

Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, maka fungsi komposisi f ◦ g juga dapat mempunyai turunan dan:

(f ◦ g)

⁰

(x) = f

⁰

(g(x)) · g

⁰

(x)

Jika y = f (u) dan u = g(x) maka dengan menggunakan notasi Leibnitz, rumus di atas dapat dinyatakan sebagai

dy dx = dy

du · du

dx

(47)

Diferensial/Turunan

Contoh 5

a.

Tentukan turunan F (x) = √ x

⁴

+ 4

g(x) = x

⁴

+ 4 dan f (x) = √ x Karena g

⁰

(x) = 4x

³

dan f

⁰

(x) =

₂^√¹_x

, maka

F

⁰

(x) = f

⁰

(g(x)) · g

⁰

(x) = 1

2pg(x) · 4x

³

= 2x

³

√

x

⁴

+ 4

(48)

Diferensial/Turunan

Contoh 5

a.

Tentukan turunan F (x) = √ x

⁴

+ 4 Solusi:

Karena g

⁰

(x) = 4x

³

dan f

⁰

(x) =

₂^√¹_x

, maka

F

⁰

(x) = f

⁰

(g(x)) · g

⁰

(x) = 1

2pg(x) · 4x

³

= 2x

³

√

x

⁴

+ 4

(49)

Contoh 5

a.

Tentukan turunan F (x) = √ x

⁴

+ 4 Solusi:

Fungsi F dapat dinyatakan sebagai f (g(x)) dengan g(x) = x

⁴

+ 4 dan f (x) = √

x Karena g

⁰

(x) = 4x

³

dan f

⁰

(x) =

₂^√¹_x

, maka

F

⁰

(x) = f

⁰

(g(x)) · g

⁰

(x) = 1

2pg(x) · 4x

³

= 2x

³

√

x

⁴

+ 4

(50)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan turunan dari y = sin 2x

dx = (cos 2x)

dx 2x

= 2 cos 2x

(51)

Diferensial/Turunan

b.

Tentukan turunan dari y = sin 2x Solusi:

= 2 cos 2x

(52)

b.

Tentukan turunan dari y = sin 2x Solusi:

dy

dx = (cos 2x) d dx 2x

= 2 cos 2x

(53)

c.

Tentukan turunan dari

^x²^(1−x)_1+x ³ d.

Tentukan turunan dari

_(2x−1)¹ 3

(54)

Sebuah larutan dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut

dengan laju 8 cm

³

per menit. Jika ketinggian wadah adalah 12 cm

dan jari-jari permukaan wadah adalah 6 cm, seberapa cepat

ketinggian larutan meningkat ketika larutan dituangkan setinggi 4

cm?

(55)

Diferensial/Turunan

Solusi:

sehingga r =

₂

, maka

V = 1 3 π h

2

h

= πh

³

12

(56)

Solusi:

Volume wadah adalah V =

¹₃

πr

²

h, kita mempunyai

_h^r

=

₁₂⁶

sehingga r =

^h₂

, maka

V = 1 3 π h

2

h

= πh

³

12

(57)

Dengan menggunakan Aturan Rantai, dV

dt = dV dh

dh dt

= 3πh

²

12 dh dt

= πh

²

4 dh dt

Diketahui laju larutan

^dV_dt