6
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Konsep
Menurut Rosser (Dahar, 1996) konsep adalah suatu abstraksi yang mewakili satu kelas objek, kejadian, kegiatan atau hubungan, yang mempunyai atribut-atribut yang sama. Woodruff (Amin, 1987) menjelaskan pengertian konsep menjadi 3 yaitu: 1) Konsep dapat didefinisikan sebagai suatu gagasan/ide yang relatif sempurna dan bermakna, 2) Konsep merupakan suatu pengertian tentang suatu objek, 3) Konsep adalah produk subjektif yang berasal dari cara seseorang membuat pengertian terhadap objek-objek atau benda-benda melalui pengalamannya (setelah melakukan persepsi terhadap objek/benda).
Hudoyo (2004) mengartikan konsep sebagai gagasan atau pemahaman dasar seseorang dimana seseorang dapat mengelompokkan benda, peristiwa, atau simbol berdasarkan sifat-sifat atau ciri khas yang dimiliki dan dapat diberi nama. Menurut Wayan (2000), mendefinisikan konsep sebagai suatu ide atau gagasan yang digeneralisasi dari pengalaman manusia dengan beberapa peristiwa benda dan fakta. Sedangkan menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2008) konsep adalah gambaran mental suatu objek, proses, atau apapun yang berada diluar bahasa yang dulu digunakan oleh akal budi untuk memahami masalah lainnya. Menurut Berg (1991) Konsep adalah benda-benda, kajadian-kejadian, situasi-situasi, atau cirri-ciri yang memiliki ciri-ciri khas dan yang terwakili dalam setiap budaya oleh suatu tanda atau simbol.
Dengan melihat pengertian konsep, maka dapat disimpulkan bahwa konsep adalah gagasan atau pemahaman dasar seseorang dimana seseorang dapat mengelompokkan benda, peristiwa, atau simbol berdasarkan sifat-sifat atau ciri khas yang dimiliki dan dapat diberi nama.
7 B. Konsepsi
Tafsiran perorangan terhadap banyak konsep berbeda-beda. Misalnya penafsiran konsep “ibu” atau “cinta” atau “keadilan” berbeda untuk setiap orang. Tafsiran perorangan mengenai suatu konsep ini disebut konsepsi. Walaupun dalam matematika kebanyakan konsep mempunyai arti yang jelas, yang sudah disepakati oleh para tokoh matematika, tetapi konsepsi siswa/mahasiswa berbeda-beda. Tafsiran siswa/mahasiswa (konsepsi siswa/mahasiswa) mengenai konsep integral berbeda dari tafsiran dosen atau buku.
Pengertian konsepsi dikemukakan oleh Berg (1991) dalam Dewi (2011) adalah pengertian atau penafsiran seseorang terhadap suatu konsep tertentu dalam kerangka pengetahuan yang sudah ada dalam pikirannya dan setiap konsep baru didapatkan dan diproses dengan konsep-konsep yang telah dimiliki. Menurut Handjojo (2004) konsepsi adalah konsep yang dimiliki seseorang melalui penalaran, intuisi, budaya, pengalaman hidup atau yang lain. Terdapat banyak konsepsi-konsepsi dalam matematika antara lain: konsepsi jajargenjang yaitu segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Dengan melihat pengertian konsepsi di atas maka dapat disimpulkan bahwa konsepsi merupakan seseorang terhadap suatu konsep tertentu yang sudah ada dalam pikirannya.
C. Pemahaman dan Kesalahan Konsep 1. Proses Pemahaman Konsep
Pemahaman konsep merupakan salah satu aspek dari tiga aspek yang didalam penilaian matematika. Penilaian pada aspek konsep bertujuan untuk mengetahui sejauh mana siswa mampu menerima dan mamahami konsep matematika yang telah diterima oleh siswa.
8
Menurut Sudjana (1990:24) pemahaman konsep adalah tingkat kemampuan yang mengharapkan siswa/mahasiswa mampu memahami arti dari konsep, situasi, serta fakta yang diketahuinya. Dalam hal ini siswa tidak hanya hafal secara verbalitas, tetapi memahami konsep dari masalah atau fakta yang ditanyakan. Menurut Jatmiko (Dewi, 2011) Kemampuan ini dapat dibagi menjadi 3 tipe pemahaman, yaitu:
a. Menerapkan sesuatu dengan kata-kata sendiri.
b. Mengenali sesuatu dengan menggunakan kata-kata yang berbeda dengan yang ada dibuku.
c. Menginterprestasikan atau menarik kesimpulan yang benar dan ilmiah. Pemahaman konsep dapat diaplikasikan dalam sebuah soal, misalkan tuliskan kembali perkalian 3 X 4 dalam penjumlahan berulang!
Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa pemahaman konsep adalah suatu proses untuk memahami dan menanamkannya pada memori otak kita tentang suatu pengertian dan makna yang sedang disimpankan.
2. Kesalahan Terhadap Konsep dan Faktor-faktor yang Mempengaruhi Terjadinya Kesalahan
Sriati (1994:8-9) dalam penelitiannya menemukan beberapa jenis kesalahan yang dilakukan yaitu :
1. Kesalahan strategi, yaitu kesalahan yang terjadi jika mahasiswa memilih jalan yang tidak tepat yang mengarahkan ke jalan buntu.
2. Kesalahan terjemahan, yaitu kesalahan dalam mengubah informasi ke ungkapan matematik atau kesalahan memberi makna suatu ungkapan matematika.
3. Kesalahan sistematik, yaitu kesalahan yang berkenaan dengan pilihan yang salah atas teknik ekstrapolasi.
9
4. Kesalahan konsep, yaitu kesalahan dalam memahami gagasan abstrak. 5. Kesalahan tanda, yaitu kesalahan dalam memberikan atau menuliskan
tanda operasi matematika.
6. Kesalahan tanpa pola, yaitu kesalahan dimana mahasiswa dalam mengerjakan soal secara sembarangan.
7. Kesalahan hitung, yaitu kesalahan dalam melakukan operasi hitung dalam matematika, seperti menjumlah, mengurangkan, mengalikan, dan membagi.
Lerner (Mulyono, 1999) mengemukakan berbagai kesalahan umum yang dilakukan oleh anak dalam mengerjakan tugas-tugas matematika, yaitu kurangnya pengetahuan tentang simbol, kurangnya pemahaman tentang nilai tempat, penggunaan proses yang keliru, kesalahan perhitungan, dan tulisan yang tidak dapat dibaca sehingga mahasiswa melakukan kekeliruan karena tidak mampu lagi membaca tulisannya sendiri.
Adapun beberapa faktor yang menjadi penyebab kesalahan dalam menyelesaikan masalah dapat diuraikan seperti berikut:
a. Faktor penyebab letak kesalahan b. Faktor Penyebab Jenis Kesalahan
c. Faktor–faktor penyebab jenis kesalahan konsep
d. Faktor–faktor penyebab jenis kesalahan operasi yang dimiliki e. Faktor–faktor penyebab jenis kesalahan prinsip
Hidayat (2004) Banyak faktor yang menjadi penyebabkan kesalahan dalam menyelesaikan soal matematika. Faktor-faktor tersebut bisa jadi berasal dari objek dasar matematika yang belum sepenuhnya dikuasai. Menurut Soejadi (2000:13) ada empat objek dasar yang dipelajari dalam matematika meliputi:
10 a. Fakta (abstrak)
Fakta berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol-simbol tertentu.
b. Konsep
Adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasi sekumpulan objek. Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapkan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi, orang dapat membuat ilustrasi atau gambaran atau lambing dari konsep yang didefinisikan. Sehingga semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu.
c. Operasi (abstrak)
Adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Seringkali operasi juga disebut dengan “skill”, bila yang ditekakan adalah keterampilannya.
d. Prinsip (abstrak)
Adalah objek matematika yang komplek, dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi maupun operasi. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika.
Jadi dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa ada banyak faktor yang mempengaruhi proses dan hasil belajar, yang juga berpengaruh terhadap bentuk kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam menyelesaikan soal matematika.
3. Jenis Tipe-tipe Kesalahan
Matematika tersusun secara hirarki maka kurangnya penguasaan materi terhadap suatu pokok bahasan akan mempengaruhi penguasaan pada pokok bahasan selanjutnya. Apapun kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa, hal ini
11
perlu dilakukan agar dapat ditentukan tindak lanjut terhadap kesalahan yang ada.
Menurut Subanji dan Mulyono dalam Pramudya (2011) tentang jenis-jenis kesalahan yang dilakukan dalam menyelesaikan soal-soal matematika antara lain:
1. Kesalahan interprestasi bahasa
Mahasiswa sering melakukan kesalahan dalam menyatakan bahasa sehari-hari dalam bahasa matematika. Hal tersebut dikarenakan banyaknya simbol-simbol, grafik dan tabel sehingga membuat mahasiswa melakukan kesalahan dalam menginterprestasikan simbol-simbol, grafik, tabel kedalam bahasa matematika.
2. Kesalahan teknis
Mahasiswa sering melakukan kesalahan-kesalahan perhitungan atau komputasi dalam mengerjakan soal-soal.
3. Kesalahan konsep
Seringkali mahasiswa melakukan kesalahan dalam menentukan atau menerapkan rumus untuk menjawab suatu masalah. Mahasiswa melakukan kesalahan penggunaan teorema atau rumus yang tidak sesuai dengan kondisi prasyarat yang tidak sesuai dengan kondisi prasyarat berlakunya rumus tersebut atau tidak menuliskan teorema. Sedangkan penelitian (Pramudya, 2011) tipe-tipe kesalahan menurut Newman (Clement, 1980) kesalahan-kesalahan dapat dikelompokkan sebagai berikut:
1. Kesalahan karena kecerobohan atau kurang cermat
Mahasiswa dalam menggunakan kaidah atau aturan sudah benar, tetapi melakukan kesalahan dalam perhitungan.
12 2. Kesalahan dalam keterampilan proses
Dalam menyelesaikan soal matematika sering dijumpai kesalahan dalam proses penyelesaian.
3. Kesalahan dalam memahami soal
Mahasiswa sebenarnya sudah dapat memahami soal, tetapi belum menangkap informasi yang terkandung dalam pernyataan, sehingga mahasiswa tidak dapat memproses lebih lanjut solusi permasalahan. 4. Kesalahan dalam penggunaan notasi
Dalam hal ini mahasiswa melakukan kesalahan dalam penggunaan notasi yang benar.
5. Kesalahan konsep
Sering kali mahasiswa melakukan kesalahan dalam menentukan atau menerapkan rumus untuk menjawab suatu masalah. Mahasiswa melakukan kesalahan penggunaan teorema atau rumus yang tidak sesuai dengan kondisi prasyarat berlakunya rumus tersebut atau tidak menulis teorema.
Menurut Watson dalam Dewi (2011) terdapat 8 kategori kesalahan yang dilakukan siswa/mahasiswa dalam mengerjakan soal, yaitu:
1. Data tidak tepat (inappropriate data/ id)
Dalam kasus ini siswa/mahasiswa berusaha mengoperasi pada level yang tepat pada suatu masalah, tetapi memilih sebuah informasi atau data yang tidak tepat.
2. Prosedur tidak tepat (inappropriate procedure/ ip)
Pada kasus ini siswa/mahasiswa berusaha mengoperasikan pada level yang tepat pada suatu masalah, tetapi dia menggunakan prosedur atau cara yang tidak tepat.
13 3. Data hilang (omitted data/ od)
Gejala data hilang yaitu kehilangan satu data atau lebih dari respon siswa/mahasiswa. Dengan demikian penyelesaian menjadi tidak benar. Mungkin respon mahasiswa tidak menemukan informasi yang tepat, namun mahasiswa masih berusaha mengoperasi pada level yang tepat. 4. Kesimpulan hilang (omitted conclusion/ oc)
Gejala kesimpulan hilang adalah siswa/mahasiswa menunjukkan alasan pada level yang tepat kemudian gagal menyimpulkan.
5. Konflik level respon (respon level conflict/ rlc)
Gejala yang terkait dengan respon kesimpulan hilang adalah konflik level respon. Pada situasi ini siswa/mahasiswa menunjukkan suatu kompetisi operasi pada level tertentu dan kemudian menurunkan operasi yang lebih rendah, biasanya untuk kesimpulan.
6. Manipulasi tidak langsung (undirected manipulation/ um)
Alasan tidak urut tetapi kesimpulan didapat dan secara umum semua data digunakan. Suatu jawaban benar diperoleh dengan menggunakan alasan-alasan yang sederhana dan penuangan tidak logis atau acak. Gejala diamati sebagai manipulasi tidak langsung.
7. Masalah hirarkhi keterampilan (skills hierarchy problem/ shp)
Banyak pertanyaan matematika memerlukan beberapa keterampilan untuk dapat menyelesaikan seperti keterampilan yang melibatkan kemampuan menggunakan ide aljabar dan keterampilan memanipulasi numerik. Jika keterampilan siswa/mahasiswa dalam aljabar atau memanipulas numerik tidak muncul, terjadi masalah hirarki keterampilan. Ekspresi masalah hirarki keterampilan ditunjukkan antara lain siswa/mahasiswa tidak dapat menyelesaikan permasalahan karena kurang atau tidak nampaknya kemampuan keterampilan.
14
8. Selain ketujuh kategori di atas (above other/ ao)
Kesalahan siswa/mahasiswa yang tidak termasuk pada ketujuh kategori diatas dikelompokkan dalam kategori ini. Kesalahan yang termasuk dalam kategori ini diantaranya pengopian data yang salah dan tidak merespon.
Tabel 1
Indikator Tipe-tipe Kesalahan Menurut Klasifikasi Watson
Jenis Tipe-tipe Kesalahan Indikator
1. Data tidak tepat (inappropriate data/ id)
a. Siswa/Mahasiswa berusaha mengoperasi pada level yang tepat pada suatu masalah, tetapi memilih sebuah informasi atau data yang tidak tepat.
2. Prosedur tidak tepat (inappropriate
procedure/ ip)
a. Siswa/Mahasiswa berusaha mengoperasikan pada level yang tepat pada suatu masalah, tetapi dia menggunakan prosedur atau cara yang tidak tepat 3. Data hilang (omitted
data/ od)
a. Gejala data hilang yaitu kehilangan satu data atau lebih dari respon Siswa/Mahasiswa, sehingga penyelesaian menjadi tidak benar.
b. Respon Siswa/Mahasiswa tidak menemukan informasi yang tepat, namun siswa/mahasiswa masih berusaha mengoperasi pada level yang tepat.
4. Kesimpulan hilang (omitted conclusion/ oc)
a. Siswa/Mahasiswa menunjukkan alasan pada level yang tepat kemudian gagal menyimpulkan.
5. Konflik level respon (respon level conflict/ rlc)
a. Siswa/Mahasiswa menunjukkan suatu kompetisi operasi pada level tertentu dan kemudian menurunkan operasi yang lebih rendah, biasanya untuk kesimpulan.
6. Manipulasi tidak langsung (undirected manipulation/ um)
a. Siswa/Mahasiswa menggunakan alasan tidak urut tetapi kesimpulan didapat dan secara umum semua data digunakan.
b. Jawaban siswa/mahasiswa yang benar diperoleh dengan menggunakkan alasan-alasan yang sederhana dan penuangan tidak logis atau acak. 7. Masalah hirarkhi
keterampilan (skills hierarchy problem/ shp)
a. Keterampilan Siswa/Mahasiswa dalam aljabar atau memanipulas numeric tidak muncul, sehingga terjadi masalah hirarki keterampilan.
b. Siswa/Mahasiswa tidak dapat menyelesaikan permasalahan karena kurang atau tidak nampaknya kemampuan keterampilan.
15
8. Selain ketujuh kategori di atas (above other/ ao)
a. Kesalahan Siswa/Mahasiswa dalam kategori ini diantaranya pengopian data yang salah dan tidak merespon.
Dalam penelitian ini peneliti menggunakan tipe-tipe kesalahan seperti yang diungkapkan Slamet (2004) dalam penelitiannya, terdapat 4 jenis kesalahan yang dilakukan mahasiswa:
1. Kesalahan dalam pemindahan ruas,
2. Kesalahan memanipulasi bentuk-bentuk pecahan, 3. Kesalahan memanipulasi bentuk pangkat,
4. Kesalahan memanipulasi bentuk trigonometri.
Tabel 2
Indikator Tipe Kesalahan Menurut Slamet
Jenis Tipe-tipe Kesalahan Indikator
1. Kesalahan dalam pemindahan ruas.
a. Apabila suatu besaran dipindahkan dari ruas kanan ke ruas kiri ( atau sebaliknya) maka tanda dari besaran tersebut berubah dari positif menjadi negatif (sebaliknya).
b. Dalam menggunakan identitas trigonometri mahasiswa melakukan kesalahan dalam pemindahan ruas.
2. Kesalahan manipulasi bentuk-bentuk pecahan.
a. Mahasiswa kurang menguasai operasi pecahan (penjumlahan, perkalian, pembagian pada pecahan).
3. Kesalahan manipulasi bentuk pangkat, akar atau logaritma.
a. Mahasiswa kurang menguasai operasi hitung. b. Mahasiswa lupa rumus (
) dalam mengkuadratkan, sehingga akar yag dikuadratkan akarnya hilang.
c. Mahasiswa kurang menguasai perpangkat di atas 2.
d. Mahasiswa kurang menguasai cara
memfaktoran persamaan kuadrat. 4. Kesalahan manipulasi bentuk
Trigonometri.
a. Mahasiswa kurang menguasai bentuk-bentuk/sifat-sifat trigonometri.
b. Kesalahan mahasiswa dalam memahami bentuk-bentuk phytagoras.
16
4. Kesalahan-Kesalahan dalam Memanipulasi Bentuk Aljabar
Rekomendasi National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) 2000 (carpenter, et al. 2005) mengusulkan aljabar harus diajarkan diseluruh kelas di awal sekolah dasar. Hal tersebut terjadi juga di Indonesia yaitu dengan masuknya aspek bilangan sebagai salah satu ruang lingkup mata pelajaran matematika pada satuan pendidikan SD/MI. Dalam belajar aljabar beberapa peneliti mengatakan bahwa siswa mengalami banyak kesulitan. Seperti yang dikatakan Analucia, 2003 (Saputro, 2012) berkaitan dengan penalaran aljabar siswa lemah pada 1) keterbatasan dalam menginterprestasikan tanda sama dengan (Booth, 1984, 1988; Kieran, 1985; Vergnaud, 1985), 2) kesalahan tentang arti huruf untuk variabel (Kieren, 1985; Kuchemann, 1981; Vergnaud, 1985), 3) menolak untuk menerima ekspresi seperti “3a+7” sebagai jawaban dari masalah (sfard dan Linchevski, 1994), 4) kesulitan dalam menyelesaikan persamaan dengan variabel pada kedua sisi tanda sama dengan (Filloy dan Rojano, 1989; Herscovics dan Linchevski, 1994). Subramaniam dan Beneejee (2004:122) membenarkan pernyataan itu. Dia mengatakan banyak siswa kesulitan di dalam pelajaran aljabar, mungkin karena mereka mempunyai pemahaman yang lemah dari dua konsep penting yaitu variabel dan ekspresi aljabar.
Linchevski dan Livneh (Subramaniam dan Benerjee, 2004:121) menambahkan bahwa siswa yang membuat kesalahan dalam memanipulasi ekspresi aljabar mengulangi beberapa kesalahan ketika berhadapan dengan ekspresi aritmatika. Chiklin dan Lesgold (Subramaniam dan Benerjee, 2004:121) juga mengatakan banyak siswa yang memiliki kelemahan sense dari struktur ekspresi aritmatika dan tidak dapat menilai kesetaraan ekspresi seperti 685 – 492 + 947 dan 947 – 492 + 685 tanpa bantuan perhitungan.
Hal serupa juga terjadi pada siswa-siswi Indonesia. Dari hasil pengkajian tehadap kesulitan yang dihadapi oleh guru matematika dan siswa SMP pada 5
17
propinsi yag diselenggarakan oleh PPPG Matematika tahun 2002 menunjukan bahwa hampir semua propinsi menghadapi kendala berupa pemahaman yang rendah dari siswa tentang konsep-konsep yang berkaitan dengan operasi bentuk aljabar dan skill yang rendah dalam menyelesaikan operasi bentuk aljabar (Wardhani, 2004). Wardhani (2004) menambahkan bahwa hal itu diperkut oleh hasil analisis terhadap uji kemampuan dasar matematika siswa SMP yang diselenggarakan oleh PPPG matematika berturut-turut tahun 2001, 2002, dan 2003 pada hampir semua propinsi di Indonesia. Hasil analisis itu antara lain menunjukkan bahwa masih banyak siswa yang sulit membedakan antara suku sejenis dan tidak sejenis, makna koefisien, sehingga tidak mampu menyelesaikan operasi bentuk aljabar dengan baik.
Manipulasi aljabar terhadap integral seringkali diperlukan sebelum menggunakan teknik integral tertentu. Beberapa teknik manipulasi aljabar : 1) melengkapi kuadrat, 2) Menambahkan “0”, 3) Mengalikan “1”, 4) Subtitusi rasional (Dep. Metematika-IPB, 2012).
D. Miskonsepsi
Miskonsepsi yang terjadi pada seseorang sulit diperbaiki apabila miskonsepsi tersebut dapat membantu seseorang dalam memecahkan permasalahannya. Novak (1984) menyatakan bahwa miskonsepsi merupakan suatu interpretasi konsep-konsep dalam suatu pernyataan yang tidak diterima. Sedangkan Breg (1991) mengungkapkan jika konsepsi bertentangan dengan konsep para ahli, maka hal tersebut dinamakan miskonsepsi. Miskonsepsi menunjukkan pada suatu konsep yang tidak sesuai dengan pengertian yang diterima para pakar dalam bidang itu.
Miskonsepsi adalah pengertian yang tidak akurat akan konsep, penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah, kekacauan konsep-konsep yang berbeda dan hubungan hierarkis konsep-konsep yang tidak
18
benar (Suparno, 1998). Sementara itu, Brown (1989) menyatakan bahwa miskonsepsi merupakan penjelasan yang salah dan suatu gagasan yang tidak sesuai dengan pengertian ilmiah yang diterima para ahli. Secara rinci, miskonsepsi dapat merupakan pengertian yang tidak akurat tentang konsep, penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah tentang penerapan konsep, pemaknaan konsep yang berbeda, kekacauan konsep-konsep yang berbeda, dan hubungan hirarkis konsep-konsep-konsep-konsep yang tidak benar.
Berdasarkan uraian dan pengertian di atas miskonsepsi yang menjadi dasar penelitian ini adalah miskonsepsi menurut Suparno (1998) yang mengartikan miskonsepsi sebagai pengertian yang tidak akurat akan konsep, penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah, kekacauan konsep-konsep yang berbeda dan hubungan hierarkis konsep-konsep yang tidak benar.
E. Konsep Integral 1. Pengertian Integral
Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai kebalikan operasi pendiferensial, yaitu sebagai bentuk yang paling umum dari anti turunan. Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi dari yang diketahui? Menentukan fungsi dari , berarti menentukan antiturunan dari . Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.
Jika adalah fungsi umum yang bersifat
merupakan antiturunan atau integral dari . Pengintegralan fungsi tehadap dinotasikan sebagai berikut: , dengan:
Notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
19 Fungsi integral umum yang bersifat Konstanta pengintegralan
Berdasarkan pengertian di atas integral dibagi atas 2 bagian yaitu integral tak tentu adalah integral yang mana nilai dari fungsi tidak disebutkan sehingga dapat menghasilkan nilai dari fungsi tersebut yang banyak dan integral tertentu adalah integral yang mana nilai dari fungsi telah ditentukan, sehingga nilai dari fungsi integral tersebut terbatas pada nilai yang telah ditetapkan tersebut. Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan soal integral tak tentu secara umum menurut Stewart (2003):
a. Menganalisis soal terlebih dahulu
b. Menentukan teknik pengintegralan apa yang akan digunakan misalkan, i. Menggunakan Teknik Subtitusi Integral
Untuk menyelesaikan soal tipe subtitusi integral pertama memisalkan fungsi yang kalau diturunkan menjadi fungsi lainnya misalkan menjadi fungsi , kemudian menurunkan fungsi menggunakan notasi Leibniz , lalu menyatakan bentuk turunan ke bentuk dan Subtitusikan pemisalan tadi ke integral semula.
ii. Menggunakan Teknik Integral Parsial
Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik subtitusi ganda. Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsi transenden (logaritma, eksponensial, trigonometri beserta inversnya). Jika dan adalah 2 buah fungsi yang dideferensialbel maka:
, jika diintegralkan menjadi:
20
iii. Menggunakan Teknik Dekomposis Integral Parsial (Teknik Rumus Reduksi)
Dalam integral tak tentu, terdapat banyak kasus yang penyelesaiannya menggunakan metode integral parsial lebih dari satu kali misalkan
Setelah metode parsial integral digunakan pertama kali, kita harus menghitung integral yang kedua dengan metode yang sama tetapi pangkat dari x yang lebih kecil. Jadi disini pangkat dari x direduksi agar semakin kecil, sehingga masalah dapat diselesaikan. Bentuk umumnya:
iv. Menggunakan Integral Subtitusi Trigonometri
Untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar kuadrat diperlukan subtitusi trigonometri agar bentuk akarnya hilang. Setelah peubahnya diganti dengan fungsi-fungsi trigonometri yang sesuai, maka bentuknya menjadi integral fungsi trigonometri yang kemudian aka diselesaikan dengan rumus reduksi atau rumus sebelumnya:
(Aturan Sinus) Jika fungsi yang akan diintegralkan
memuat bentuk gunakan
pengganti yang akan menghasilkan .
(Aturan Tangen) Jika fungsi yang akan diintegralkan
memuat bentuk gunakan
pengganti yang akan menghasilkan .
21
(Aturan Secan) Jika fungsi yang akan diintegralkan
memuat bentuk
gunakan pengganti:
dengan
yang akan menghasilkan .
2. Tinjauan Materi Integral
Peta konsep merupakan alat yang digunakan untuk menggunakan skema pemikiran maupun kerangka pemikiran seseorang akan suatu hal. Menurut Novak dan Gowin (1984) peta konsep adalah suatu bagan skematik untuk menggambarkan suatu pengertian konseptual seseorang dalam suatu rangkaian pernyataan. Peta konsep menggambarkan hubungan antara konsep-konsep dan terdiri atas kumpulan konsep-konsep-konsep-konsep serta pernyataan-pernyataan. Adapun materi yang diberikan pada mahasiswa pendidikan matematika untuk pokok bahasan Integral dapat ditunjukan dengan peta materi dibawah ini.
22 Pengggunaan Integral Tentu: Luas, Volume, Pusat Massa, Kerja, Tekanan Zat Cair Limit Turunan Anti Turunan Integral Tak Tentu Limit Jumlah Integral
Tentu Integral Tak
Wajar Sifat-sifat Integral Tak Tentu Teknik Pengintegralan, Metode Subtitusi, Parsial, Integral Fungsi
Rasional Invers Trigo-nometri, Fungsi Hiperbolik dan Inversnya Teorema Dasar Kalkulus Fungsi ln x dan Fingsi Turunan dan Limit Sifat-sifat Integral Tentu Hampiran Integral Tentu Galat Hampiran Integral Tentu
Penggunaan Integral Tentu Dalam Penyelesaian Pers.
Diferensial
Penggunaan Persamaan Diferensial dalam Masalah
Nyata
Konsep Teorema/Metode
Bagan 1
Peta Konsep Materi Integral menurut Martono
F. Penelitian yang Relevan
Untuk mendukung penelitian ini, ada beberapa penelitian yang telah dilakukan terkait terhadap analisis kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam memanipulasi bentuk aljabar pada soal-soal integral adalah:
Penelitian yang dilakukan oleh Dewi (2011) menyatakan masih terdapat kesalahan pada siswa kelas X SMK Negeri 2 Salatiga dalam menyelesaikan
soal-23
soal aljabar pokok bahasan operasi hitung bilangan berpangkat dan bilangan dalam bentuk akar (bilangan irasional). Berdasarkan tes diagnostik yng dilakukan ditemukan kesalahan-kesalahan pada pokok bahasan tersebut. Prosentase tipe kesalahan 1) kesalahan konsep pada kelas B sebesar 31,41% dan kelas A sebesar 38,68%, 2) kesalahan menggunakan data pada kelas B sebesar 10,05% dan kelas A sebesar 10,64%, 3) kesalahan teknis pada kelas B sebesar 53,52% dan kelas A sebesar 42,17%, 4) kesalahan penarikan kesimpulan pada kelas B sebesar 5,02% dan kelas A sebesar 8,51%.
Penelitian dari Slamet (2004) menyatakan masih banyak mahasiswa Jurusan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Surakarta yang mengalami kesalahan dalam memanipulasi bentuk aljabar. Berdasarkan tes diagnostik yang dilakukan ditemukan kesalahan-kesalahan pada pokok bahasan tersebut. Prosentase tipe kesalahan yang dilakukan mahasiswa: 1) kesalahan dalam pemindahan ruas, 3 kasus sebanyak 18 % 2) kesalahan memanipulasi bentuk-bentuk pecahan, 25 kasus sebanyak 30% 3) kesalahan memanipulasi bentuk pangkat, 29 kasus sebanyak 30% 4) kesalahan memanipulasi bentuk trigonometri, 10 kasus sebanyak 22%.
G. Kerangka Berpikir
Salah satu cara untuk mengetahui kesalahan yang dilakukan mahasiswa adalah dengan melakukan analisis terhadap hasil pekerjaan yaitu dengan menggunakan instrumen berupa tes diagostik untuk mengetahui kelemahan mahasiswa sehingga berdasarkan kelemahan-kelemahan tersebut dapat dilakukan pemberian perlakuan yang tepat. Dari hasil itu akan diperoleh jawaban penyebab kesalahan dan jalan keluarnya sehingga mahasiswa tidak lagi mengulangi kesalahannya.
Penelitian ini mengambil materi tentang integral. Berdasarkan informasi dari mahasiswa, banyak dari mereka yang mengalami kesulitan dalam
24
menyelesaikan soal. Dalam mempelajari materi integral banyak konsep yang harus dikuasai oleh mahasiswa. Kebanyakan mahasiswa mengeluhkan sulitnya menguasai konsep integral pada khususnya. sehingga adanya kesalahan-kesalahan yang terjadi.
Sementara itu, dosen yang mengajar materi tersebut mengatakan telah melakukan upaya untuk membantu mahasiswa dalam memahami materi integral ini dengan mengadakan kelas tambahan (kelas asistensi), dan memberikan tugas rumah, tetapi masih saja hasil yang diperoleh mahasiswa masih rendah dalam menyelesaikan soal integral pada hal materi integral ini sebagai mata kuliah prasyarat untuk mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial. Oleh karena ini peneliti ingin melakukan penelitian dengan ingin melihat teknik-teknik integrasi untuk semua fungsi yang digunakan mahasiswa.
Bagan 2 Kerangka Berpikir
Kurikulum
Dosen Menjelaskan Materi Pembelajaran Konvensional
Dosen Memberikan Tes
Hasil Tes Mahasiswa Rendah
