LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

LOGIKA MATEMATIKA

Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

LOGIKA

Pendahuluan

 Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses

berpikir. Proses ini dikenal dengan bernalar. Dalam bernalar, kita memiliki argumen untuk sampai pada suatu kesimpulan.

 Kaidah-kaidah dalam logika akan mempermudah untuk menilai apakah suatu argumen sampai pada suatu

kesimpulan adalah sah/valid atau tidak.

 Pada bab ini akan dibahas beberapa terminologi dan operasi dasar yang akan digunakan dalam logika

matematika serta beberapa cara pengambilan keputusan yang sah.

Proposisi

 Dalam mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang dimiliki, seseorang akan menggunakan kalimat-

kalimat dalam bahasa yang dipahami pendengarnya.

 Perhatikan contoh kalimat-kalimat berikut : 1. Manado terletak di Sumatera Utara.

2. Unsrit adalah perguruan tinggi swasta.

3. Peter adalah pria yang tinggi.

Proposisi ….

 Dalam mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang dimiliki, seseorang akan menggunakan kalimat-

kalimat dalam bahasa yang dipahami pendengarnya.

 Perhatikan contoh kalimat-kalimat berikut : 1. Manado terletak di Sumatera Utara.

2. Unsrit adalah perguruan tinggi swasta.

3. Peter adalah pria yang tinggi.

Proposisi ….

 Contoh 1 adalah kalimat yang bernilai benar

 Contoh 2 bernilai salah

 Contoh 3 bisa benar dan juga bisa salah.

 Dalam logika matematika, harus menggunakan kalimat yang jelas nilai kebenarannya (apakah benar atau salah).

Proposisi ….

Definisi 2.1

Proposisi adalah suatu pernyataan yang

mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran yaitu

benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya.

Proposisi ….

 Untuk penyederhanaan, dalam logika matematika

suatu proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, …, dst, dan digunakan notasi “:”

untuk menyatakan apa yang dimaksud dengan lambang tersebut.

 Sebagai contoh,

p : Saya belajar Teknologi Informasi.

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran

 Jika ada dua proposisi p dan q, dapat dibentuk proposisi baru dengan menggunakan kata-kata perangkai sebagai penghubung proposisi p dan q.

 Proposisi yang dibentuk dari beberapa proposisi dengan menggunakan kata-kata perangkai

sebagai penghubung disebut proposisi majemuk.

 Ada 5 perangkai dasar untuk membentuk proposisi majemuk dalam bentuk Tabel Kebenaran.

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

1. Perangkai ingkaran (negasi)

 Misalkan p suatu proposisi. Ingkaran/negasi p, dilambangkan –p (dibaca tidak p) adalah suatu proposisi yang salah jika p benar, atau sebaliknya.

 Dalam bentuk Tabel Kebenaran :

 Angka 1 menyatakan proposisi bernilai benar dan 0 bernilai salah.

p -p

1 0

0 1

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

Contoh 2.2

Buatlah ingkaran dari proposisi “bilangan 6 habis dibagi 3” dan nilai kebenarannya.

Jawab

p : bilangan 6 habis dibagi 3

nilai kebenarannya 1 (benar) -p : bilangan 6 tidak habis dibagi 3 nilai kebenarannya 0 (salah)

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

2. Perangkai dan (konjungsi)

 Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p dan q”

(konjungsi p dan q), dilambangkan p  q, bernilai benar hanya jika kedua proposisi p dan q bernilai benar.

p q p  q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

Contoh 2.3

Lambangkan proposisi berikut “Meskipun hari ini hujan, Pak Robby berangkat juga mengajar”.

Jawab

p : Hari ini hujan

q : Pak Robby berangkat mengajar

sehingga lambang proposisi tersebut adalah p  q

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

3. Perangkai atau (disjungsi)

 Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p dan q”

(konjungsi p dan q), dilambangkan p  q, bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu proposisi

penyusunnya bernilai benar.

_{p q p  q}

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

Contoh 2.4

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut, “8 habis dibagi 2 atau 7 bilangan genap”

Jawab

p : 8 habis dibagi 2 , bernilai benar q : 7 bilangan genap , bernilai salah

sehingga proposisi tersebut adalah p  q, bernilai benar.

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

4. Perangkai jika … maka … (implikasi)

 Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “jika p maka q”

disebut proposisi bersyarat, dilambangkan p  q, bernilai salah hanya jika p benar dan q salah.

 p disebut premis/hipotesis/anteseden sedangkan q disebut konsekuen/ kesimpulan.

p q p  q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

Contoh 2.5

Buatlah proposisi implikasi dari proposisi-proposisi berikut, dan tentukan nilai kebenarannya.

p : segitiga ABC sama sisi q : segitiga ABC sama kaki Jawab

p  q : jika segitiga ABC sama sisi maka segitiga ABC sama kaki, bernilai benar, karena semua segitiga sama sisi pasti sama kaki.

q  p : jika segitiga ABC sama kaki maka segitiga ABC sama sisi, bernilai salah, karena tidak semua segitiga sama kaki adalah sama sisi.

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

 Jika proposisi bersyarat p  q diajukan sebagai proposisi yang benar dan terdapat hubungan antara premis dan

konsekuen maka proposisi p  q dapat juga diucapkan : p berimplikasi q

p syarat cukup bagi q q syarat perlu bagi p

p hanya jika q

 p syarat cukup bagi q artinya jika p terjadi akan berakibat q juga terjadi. Tetapi untuk terjadinya q dapat disebabkan oleh proposisi selain p.

 q syarat perlu bagi p artinya jika q tidak terjadi akan

berakibat p juga tidak terjadi, sehingga terjadinya q mutlak diperlukan untuk terjadinya p.

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

Definisi 2.2

Misalkan diberikan proposisi bersyarat p  q, maka proposisi:

1. q  p disebut konvers dari p  q 2. -p  -q disebut invers dari p  q

3. -q  -p disebut kontrapositif dari p  q

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

 Konvers dan invers mempunyai nilai kebenaran yang sama, demikian untuk implikasi dan kontrapositif

 Proposisi yang mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut ekuivalen logik/setara logik.

p q -p -q p  q -q  -p q  p -p  -q

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 1 1

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

5. Perangkai … jika dan hanya jika … (biimplikasi) Misalkan p dan q proposisi. Proposisi “p jika dan

hanya jika q” disebut proposisi dwisyarat,

dilambangkan p  q, bernilai benar hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.

_{p q p  q}

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Perangkai Dasar & Tabel Kebenaran ….

Contoh 2.6

Lambangkan proposisi berikut:

“Segiempat ABCD adalah bujursangkar jika dan hanya jika semua sudutnya 90^o dan semua sisinya sama panjang”

Jawab

p : segiempat ABCD adalah bujursangkar q : semua sudut segiempat ABCD adalah 90^o r : semua sisi segiempat ABCD sama panjang proposisinya menjadi p  ( q  r )

Proposisi Kompleks

 Proposisi yang dibentuk oleh beberapa perangkai dasar akan membentuk proposisi yang lebih

kompleks atau majemuk.

 Untuk menganalisa nilai kebenarannya akan digunakan tabel kebenaran untuk semua

kemungkinan proposisi penyusunnya.

Proposisi Kompleks ….

Contoh 2.7

Tentukan tabel kebenaran untuk porposisi Jawab

(( p  q)  r)  ( ( p  r))

p q r p q p  r (p  q)  r -(p  r)

1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1

((p    q) r) ( (p r))

Proposisi Kompleks ….

 Berdasarkan nilai kebenaran dari suatu proposisi majemuk, maka dapat dibedakan atas 3 bentuk.

Definisi 2.3

1. Tautologi adalah suatu proposisi yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran

proposisi peyusunnya.

2. Kontradiksi adalah suatu proposisi yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran

proposisi peyusunnya.

3. Kontingensi adalah suatu proposisi yang bukan tautologi dan kontradiksi

Proposisi Kompleks ….

Contoh 2.8

Soal contoh 2.7 adalah tautologi karena semua nilai kebenarannya adalah benar.

Kesetaraan Dua Proposisi

Definisi 2.4 (Kesetaraan Logik)

Dua proposisi dikatakan setara logik/equivalent logic bila kedua proposisi tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua pasangan proposisi

penyusunnya

Kesetaraan Dua Proposisi ….

 Jika proposisi a dan b setara logik, dapat dinotasikan :

a  b

a  b

a = b

Kesetaraan Dua Proposisi ….

Dalil-dalil Kesetaraan

1. Dalil Identitas a. p  0 = p b. p  1 = 1 c. p  0 = 0 d. p  1 = p 2. Dalil Idempoten a. p  p = p b. p  p = p

Kesetaraan Dua Proposisi ….

3. Dalil Komplemen a. p  - p = 1 b. p  - p = 0

4. Dalil Komutatif

a. p  q = q  p b. p  q = q  p

Kesetaraan Dua Proposisi ….

5. Dalil Asosiatif

a. (p  q)  r = p  (q  r) b. (p  q)  r = p  (q  r)

6. Dalil Distributif

a. p  (q  r) = (p  q)  (p  r) b. p  (q  r) = (p  q)  (p  r)

Kesetaraan Dua Proposisi ….

7. Dalil Ingkaran Ganda - ( - p ) = p

8. Dalil de Morgan

a. -(p  q) = -p  -q b. -(p  q) = -p  -q

9. Dalil Penghapusan a. (p  q)  p = p b. (p  q)  q = q

Kesetaraan Dua Proposisi ….

 Kesetaraan lain yang digunakan : a. p  q = -q  -p

b. p  q = -p  q c. -(p  q) = p  -q

d. p  q = (p  q)  (q  p) = (-p  q)  (-q  p)

Kesetaraan Dua Proposisi ….

Contoh 2.9

Buktikan kesetaraan proposisi berikut dengan dalil- dalil kesetaraan.

(p  q)  -p = -p  q Jawab

(p  q)  -p = (p  -p)  (q  -p) (dalil distributif) = 0  (q  -p) (dalil komplemen) = (q  -p) (dalil identitas) = -p  q (dalil komutatif)

Logika Predikat

 Seringkali kita harus memeriksa argumen yang

berisi proposisi-proposisi yang berkenaan dengan kumpulan objek.

 Misalkan, memeriksa kebenaran dari proposisi

“Semua bilangan asli yang habis dibagi 4 adalah habis dibagi 2”.

 Pada proposisi ini mengandung suatu pernyataan yang berkenaan dengan himpunan bilangan asli.

Definisi 2.5

Suatu predikat (proposisi terbuka) adalah suatu

pernyataan yang melibatkan peubah yang nilainya tidak ditentukan.

Logika Predikat ….

 Misalnya :

Predikat : P(x) : bilangan bulat x habis dibagi 3 dan 4.

Proposisi : P(24) : 24 habis dibagi 3 dan 4.

 Peubah dalam predikat hanya bisa diganti oleh nilai yang merupakan anggota semesta

pembicaraan.

Logika Predikat ….

Definisi 2.6

Himpunan nilai-nilai yang mungkin menggantikan peubah dalam suatu predikat disebut sebagai

semesta bagi peubah tersebut.

Logika Predikat ….

 Untuk menyatakan nilai-nilai apa saja yang akan

menjadi peubah dalam suatu predikat, digunakan kata:

 semua, setiap, selalu, dll, disebut suku pengkuatifikasi umum,

disimbolkan 

 ada, terdapat, beberapa, minimal satu, dll, disebut suku pengkuatifikasi khusus,

disimbolkan 

 Misalkan _x [P(x)] = untuk setiap x berlaku P(x) _x [P(x)] = ada x sehingga P(x)

P(x) bisa berupa proposisi tunggal atau majemuk.

Logika Predikat ….

Contoh 2.10

Nyatakan dalam lambang logika predikat dari proposisi : a. Untuk semua bilangan bulat, jika habis dibagi 4 maka habis dibagi 2

b. Ada bilangan asli yang habis dibagi 3 dan 4.

Jawab

a. P(x) : x habis dibagi 4 Q(x) : x habis dibagi 2

_xZ [P(x)  Q(x)]

b. P(x) : x habis dibagi 3 Q(x) : x habis dibagi 4

_xN [P(x)  Q(x)]

Logika Predikat ….

Contoh 2.11

Jika semesta dinyatakan U = {3,5,17,120}, x adalah peubah dalam U. Buatlah suatu logika predikat

dengan menggunakan proposisi, P(x) = x > 2.

Jawab

_xU [P(x)] = semua x di U adalah lebih besar 2 -[_xU (-P(x))] = tidak ada x di U yang tidak lebih

besar 2

_xU [P(x)] = ada x di U yang lebih besar 2 -[_xU (-P(x))] = tidak semua x di U adalah tidak

lebih besar 2.

Logika Predikat ….

 Jika suatu logika predikat dibuat ingkarannya,

maka tanda ingkaran itu akan berlaku pada suku kuantifikasi dan predikatnya.

-[_x (P(x))] =(-_x )[-P(x)] = _x[-P(x)]

-[_x (P(x))] =(-_x )[-P(x)] = _x [-P(x)]

Logika Predikat ….

 Dari bentuk ingkaran ini diperoleh 4 dasar kesetaraan pada logika predikat yaitu :

1. Semua benar sama artinya dengan tidak ada yang salah _x [P(x)] = -[_x (-P(x))]

2. Semua salah sama artinya dengan tidak ada yang benar _x [-P(x)] = -[_x (P(x))]

3. Tidak semua benar sama artinya dengan ada yang salah -[_x (P(x))] = _x [-P(x)]

4. Tidak semua salah sama artinya dengan ada yang benar -[_x (-P(x))] = _x [P(x)]

Logika Predikat ….

Contoh 2.12

Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut : a. _x [P(x) Q(x)]

b. _x[_y [P(y)  Q(x,y)]

c. _x_y[_z(P(x) R(y,z))  (P(y) _z R(x,z))]

Jawab

a. -[_x [P(x) Q(x)]] = -(_x)(-(P(x) Q(x)))

= _x[-(-P(x) Q(x))]

= _x[P(x)  -Q(x)]

Logika Predikat ….

Contoh 2.12

Buatlah ingkaran dari logika predikat berikut : a. _x [P(x) Q(x)]

b. _x[_y [P(y)  Q(x,y)]

c. _x_y[_z(P(x) R(y,z))  (P(y) _z R(x,z))]

Logika Predikat ….

Jawab

a. -[_x [P(x) Q(x)]] = -(_x)(-(P(x) Q(x)))

= _x[-(-P(x) Q(x))]

= _x[P(x)  -Q(x)]

b. -[_x[_y [P(y)  Q(x,y)]] = -(_x)[-(_y P(y)  Q(x,y))]

= _x[-(-_y P(y)  Q(x,y))]

= _x[_y P(y)  -Q(x,y)]

Logika Predikat ….

c. -[_x_y[_z(P(x) R(y,z))  (P(y) _z R(x,z))]]

= -(_x_y)(-[_z(P(x) R(y,z))  (P(y) _z R(x,z))]) = _x_y [-(_z(-P(x)  R(y,z)))  -(P(y) _z R(x,z))]

= _x_y [_z(-(P(x)  R(y,z)))  (-P(y) -(_z R(x,z)))]

= _x_y [_z (P(x)  -R(y,z))  (-P(y) _z (-R(x,z)))]