2.1. Definisi Logika Proposisi Logika proposisi Atomic proposition compound proposition

(1)

2. LOGIKA PROPOSISI

2.1. Definisi Logika Proposisi

Logika proposisi adalah logika pernyataan

majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Boolean

connectives)

Atomic proposition adalah propos ition yang tidak

dapat dibagi lagi

Kombinasi dari a.p dengan berbagai penghubung membentuk compound proposition

(2)

Aplikasi Logika Proposisi

Beberapa apl ikasinya dalam ilmu komputer:

§ Menyatakan kondi si/ syarat pada program

§

Query untuk basisdata dan

(3)

Definisi Proposisi

Sebuah

proposisi (p, q, r, …) adalah suatu

kalimat (

sentence) yang memiliki nilai

kebenaran (

truth value) benar (true),

dengan notas i T, atau nilai kebenaran

salah (false) dengan notas i F tetapi tidak

kedua-duanya

(4)

Perhatikan !!

a) 6 adalah bilangan genap.

b) x + 3 = 8.

c) Ibukota Provinsi Jawa Barat adal ah Semarang. d) 12 ≥ 19.

e) Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

f) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? g) Kemarin hari hujan.

h) Kehidupan hanya ada di planet Bumi. i) 1+2

j) Siapkan kertas ujian sekarang!

(5)

2.2. Operator / Penghubung

Sebuah operator atau penghubung menggabungkan satu atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih besar. (seperti tanda “+” di ekspresi numerik.)

§ Operator Uner bekerja pada satu operand (cth, −3); § Operator biner bekerja pada 2 operand (cth 3 ´ 4); § Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada

proposisi-proposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka

(6)

Nama Resmi Istilah Arity Simbol

Operator Negasi NOT Unary ¬

Operator Konjungsi AND Binary Ù

Operator Disjungsi OR Binary Ú

Operator Exclusive-OR XOR Binary Å

Operator Implikasi IMPLIES (jika-maka) Binary ® Operator Biimplikasi (Biconditional) IFF (jikka – jika dan hanya jika) Binary ↔

(7)

2.2.1. Operator Negasi

• Operator negasi uner “¬” (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang nilai kebenarannya

• Contoh: Jika p = Hari ini hujan

maka ¬p = Tidak benar hari ini hujan • Tabel kebenaran untuk NOT:

p ¬p T F F T

(8)

2.2.2. Operator Konjungsi

Operator konjungs i biner “Ù” (AND)

menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungs inya

Cth: p = Galih naik sepeda q = Ratna naik sepeda

pÙq = Galih dan Ratna naik sepeda

(9)

Tabel Kebenaran Konjungsi

p q p Λ q T T T T F F F T F F F F

(10)

2.2.3. Operator Disjungsi

• Operator biner disjungsi “V” (OR)

menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika dis jungsinya

Cth : p = Tommy ingin membeli sepatu q = Tommy ingin membeli baju

p V q = Tommy ingin membeli sepatu atau baju

ÚÚ

(11)

Tabel Kebenaran Disjungsi

p q p V q T T T T F T F T T F F F

(12)

2.2.4.Operator

Exclusive Or

• Operator biner exclusive-or “Å” (XOR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika “exclusive or”-nya • Contoh :

p = Saya akan mendapat nilai A di kuliah ini q = Saya akan drop kuliah ini

p Å q = Saya akan mendapat nilai A atau saya

(13)

Tabel Kebenaran Exclusive-Or

Perhatikan bahwa

Perhatikan bahwa ppÅÅq q berarti berarti pp benar, atau benar, atau qq benar benar tapi

tapi tidak duatidak dua--duanya benarduanya benar!!

p q p ÅÅ q

T T F

T F T

F T T

(14)

2.2.5. Operator

Implikasi

• Implikasi p ® q menyatakan bahwa p mengimplikas ikan q.

• p disebut antecedent dan q disebut consequent • Jika p benar, maka q benar; tapi jika p tidak

benar, maka q bisa benar - bisa tidak benar • Contoh :

p = Nilai ujian akhir anda 80 atau lebih q = Anda mendapat nilai A

p ® q = “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih,

(15)

Implikasi

p

®

q

• (a) Jika p, maka q (if p, then q) • (b) Jika p, q (if p, q)

• (c) p mengakibatkan q (p implies q) • (d) q jika p (q if p)

• (e) p hanya jika q (p only if q)

• (f) p syarat cukup agar q (p is sufficient for q) • (g) q syarat perlu bagi p (q is necessary for p) • (i) q bilamana p (q whenever p)

(16)

Tabel Kebenaran Implikasi

p q p ® q T T T T F F F T T F F T p

(17)

Converse, Inverse, Contrapositive

Beberapa t erminologi dalam implikasi p ® q: • Converse-nya adalah: q ® p.

• Inverse-nya adalah: ¬p ® ¬q.

• Contrapositive-nya adalah: ¬q ® ¬ p.

Salah satu dari ketiga terminologi di atas memiliki makna yang sama (memiliki tabel kebenaran yang sama) dengan p ® q.

(18)

Bagaimana menunj ukkannya?

Membukti kan eqivalensi antara

p

® q dan

contrapos itive-nya dengan tabel

kebenaran:

p q

_Øq

_Øp

_{p®q Øq ®Øp}

F

T

F T

F

T

T F

T

F

T T

F

T

(19)

2.2.6. Operator Biimplikasi

• Operator biimplikasi p « q menyatakan bahwa p benar jika dan hanya jika (ji kka) q benar

• Contoh :

p = saya selalu menyatakan kebenaran q = ada emas di pulau ini

p « q = Jika dan hanya jika saya selalu

mengatakan kebenaran maka ada emas di pulau ini

(20)

Biimplikasi p ↔ q

(a) p jika dan hanya jika q.

(

p if and only if q)

(b)

p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.

(

p is necessary and sufficient for q)

(c) Jika

p maka q, dan sebaliknya.

(

if p then q, and conversel y)

(d)

p jikka q

(21)

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p

p « q q benar jika benar jika pp dan dan q mq memiliki nilai kebenaran yang samaemiliki nilai kebenaran yang sama

p q p « q

T T T

T F F

F T F

(22)

Perhatikan !!

Nyatakan pernyataan berikut dalam ekspresi logika :

“Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusi a di bawah 17 tahun kecual i kalau anda sudah meni kah”

Misalkan :

p : Anda berusia di bawah 17 tahun. q : Anda sudah meni kah.

r : Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam

Pemilu.

maka pernyataan di atas dapat di tulis sebagai (p Λ ~ q) ® ~ r

(23)

2.2.7. Precendence Rules

untuk menjaga kebenaran sebuah pernyataan maka setiap operator/ penghubung diberikan aturan yang lebih tinggi

¬ V V Å ® ↔ Contoh : ¬p V q ≡ (¬p ) V q p Λ q V r ≡ (p Λ q) V r p ® q V r ≡ p ® (q V r) p ↔ q ® r ≡ p ↔ (q ® r)

(24)

2.2.8. Left Associate Rules

untuk operator/ penghubung yang setara digunakan lef t associate rule dimana operator sebelah kiri punya

precedence lebih tinggi

Contoh :

p V q V r ≡ (p V q) V r

(25)

Ringkasan Operator Boolean

p q ¬p _pVq _pΛq _pÅÅq _p®q p«q T T F T T F T T T F F T F T F F F T T T F T T F F F T F F F T T

(26)

Notasi Alternatif

Name:

_{not and or xor implies}

_iff

Propositional logic:

Ø Ù Ú Å

®

«

Boolean algebra:

p

pq +

Å

C/C++/Java (wordwise):

! && || !=

==

C/C++/Java (bitwise):

~ & | ^

Logic gates:

(27)

2.3. Tautologi dan Kontradiksi

• Tautology adalah proposisi majemuk yang

selalu bernilai

true tidak peduli apa nilai

kebenaran proposisi penyusunnya!

Contoh:

p

Ú Øp

• Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang

selalu bernilai

false tidak peduli apapun!

Contoh:

p

Ù Øp

(28)

2.4. Ekivalensi Logika

Proposisi majemuk

p ekivalen dengan

proposisi majemuk

q, ditulis p

Û q, JIKKA

proposisi majemuk

p

«q adalah tautologi.

Proposisi majemuk

p dan q ekivalen satu

sama lain

JIKKA p dan q memiliki nilai

kebenaran yang sama pada s emua

(29)

Contoh. Buktikan pÚq Û Ø(Øp Ù Øq).

Membuktikan ekivalensi

dengan Tabel Kebenaran

p q

_p

_Ú

_q

_Ø

_p

_Ø

_q

_Ø

_p

_Ù

_Ø

_q

_Ø

₍

_Ø

_p

_Ù

_Ø

_q

₎

F F

F T

T F

T T

F

T

F

T

(30)

Hukum Ekivalensi - Contoh

• Identity: p Ù T Û p p Ú F Û p • Domination: p Ú T Û T p Ù F Û F • Idempotent: p Ú p Û p p Ù p Û p • Commutative: p Ú q Û q Úp p Ù q Û q Ù p • Double negation: ØØp Û p

(31)

Hukum Ekivalensi lainnya

• Associative: (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r) (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r) • Distributif: p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r) • De Morgan: Ø(p Ù q) Û Øp Ú Øq Ø(p Ú q) Û Øp Ù Øq • Trivial tautology/contradiction: p Ú Øp Û T p Ù Øp Û F

(32)

Definisi Operator dengan

Ekivalensi

Menggunakan ekivalens i, kita dapat

mendefinisikan operator dengan operator lainnya • Exclusive or: pÅq Û (p V q) Λ Ø(p Λ q) pÅq Û (p Λ Øq) V (q Λ Øp) • Implikasi: p®q Û Øp V q • Biimplikasi: p«q Û (p®q) Λ (q®p) p«q Û (p Λ q) V (Øp Λ Øq) p«q Û (Øp V q) Λ (p VØq) p«q Û Ø(pÅq)

(33)

• Buktikan dengan symbolic derivat ion apakah (p Ù Øq) ® (p Å r) Û Øp Ú q Ú Ør ? (p Ù Øq) ® (p Å r) Û • [Expand definition of ®] Ø(p Ù Øq) Ú (p Å r) • [Defn. of Å] Û Ø(p Ù Øq) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) • [DeMorgan’s Law] Û (Øp Ú q) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) Û cont.

Membuktikan ekivalensi

(34)

(Øp Ú q) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) Û [Ú commutes] Û (q Ú Øp) Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r)) [Ú associative] Û q Ú (Øp Ú ((p Ú r) Ù Ø(p Ù r))) [distrib. Ú over Ù] Û q Ú (((Øp Ú (p Ú r)) Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [assoc.] Û q Ú (((Øp Ú p) Ú r) Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [trivial taut.] Û q Ú ((T Ú r) Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [domination] Û q Ú (T Ù (Øp Ú Ø(p Ù r))) [identity] Û q Ú (Øp Ú Ø(p Ù r)) Û cont.

(35)

• q

Ú (Øp Ú

Ø(p Ù r)

)

• [DeMorgan’s]

Û q Ú (Øp Ú (Øp Ú Ør))

• [Assoc.]

Û q Ú ((

Øp Ú Øp

)

Ú Ør)

• [Idempotent]

Û q Ú (Øp Ú Ør)

• [Assoc.]

Û (q Ú Øp) Ú Ør

• [Commut.]

Û Øp Ú q Ú Ør

(36)

2.5. INFERENSI

• Misalkan kepada kita diberikan beberapa

proposisi.

• Kita dapat menari k kesimpulan baru dari

deret propos isi tersebut.

• Proses penarikan kesimpulan penarikan

kesimpulan dari beberapa propos isi

(37)

2.5.1. Modus Ponen

• Kaidah Modus Ponens ditulis dengan cara :

• Modus ponen menyatakan bahwa

jika hipotesis p dan dan implikasi p ® q benar, maka konklus i q benar.

(38)

2.5.2. Modus

Tollen

• Kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q Λ (p ® q)] ® ~p,

(39)

2.5.3. Silogisme Hipotetis

• Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p

®

q) Λ (q ® r)] ® (p ® r).

(40)

2.5.4. Silogisme Disj ungtif

• Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p V q) Λ ~p] ® q .

(41)

Operasi Logika di dalam Komputer

• Operasi boolean sering dibutuhkan dalam

pemrograman.

• Operasi boolean dinyatakan dalam ekspresi

logika (atau dinamakan juga ekspresi

boolean).

• Operator boolean yang digunakan adalah

AND, OR, XOR, dan NOT.

• Ekspresi boolean hanya menghas ilkan salah

satu dari dua nilai,

true atau false.

(42)

• Misalkan :

x1, x2, x3, dan x4 adal ah peubah

boolean

dalam Bahasa Pascal, maka eks presi

boolean di bawah ini adalah valid:

x1 and x2

x1 or (not(x2 and x3))

yang bersesuaian dengan eks presi logika

x1 Λ x2

(43)

Review : Logika Proposisi

• Proposisi atomik: p, q, r, …

• Operator Bool ean:

Ø Ù Ú Å ® «

• Proposisi majemuk: s :º (p Ù Øq) Ú r

• Ekivalensi: pÙØq Û Ø(p ® q)

• Membuktikan ekivalensi dengan:

– Tabel kebenaran.