LOGIKA MATEMATIKA
I. PENDAHULUAN
Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
II. PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.
Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.
III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK
Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.
Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.
Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi- operasi logika matematika.
Contoh:
1. Jakarta adalah ibukota negara RI 2. Merah putih adalah bendera negara RI 3. 2 adalah bilangan prima yang genap
4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap
Soal:
Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya!
Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah 1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “
2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ “ 3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ “
4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ “
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ “
Contoh pernyataan majemuk:
1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih 2. Ani dan Ana anak kembar
3. Cuaca hari ini mendung atau cerah
4. Jika x = 0 maka x2 x
5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama
V. TABEL KEBENARAN
1. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “
Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk. Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.
Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p ~ p
B S
S B
Contoh:
p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia
2. Operasi Konjungsi
Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p q p q
B B B B S S S B S S S S
3. Operasi Disjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ “
Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
Disjungsi Inklusif: Disjungsi Eksklusif:
p q p q p q p q
B B B B B S B S B B S B S B B S B B S S S S S S
4. Operasi Implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ “
Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
B B B B S S S B B S S B
5. Operasi Bi-implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ “
Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:
p q p q
B B B B S S S B S S S B
VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN
Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam: 1. Kontradiksi
2. Tautologi 3. Kontingensi
Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.
Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.
Contoh:
Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi! ( ~p q ) v ( q p )
p q ~ p ~ p q q p ( ~p q ) v ( q p )
Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu tautologi
Soal:
Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!
1. ( p q ) p
2. ( p q ) [ ( ~ q r ) ( r p ) ] 3. ( p v q ) ( ~ p q )
VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS
Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis.
Contoh:
p q p q ( p q ) p [ ( p q ) p ] p
B B B B B B S S S B S B B S B S S B S B
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen logis dengan notasi “ “ atau “ “
Contoh:
p q p q p q q p ( p q ) ( q p )
B B B B B B B S S S B S S B S B S S S S B B B B
Karena p q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p q ) ( q p ), maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.
Jadi, p q ( p q ) ( q p )
Soal:
Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis! 1. [( p q ) v r ] [( p ~ q ) v r]
2. [ ~ ( p q )] ( p q )
VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi
Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:
konvers
p q q p
invers kontraposisi invers
~p ~q ~q ~p konvers
Contoh:
Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “
Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar
Soal:
Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-siku
2. Jika x = 3 maka x2 = 9
IX. PENGERTIAN KUANTOR
Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.
Kuantor dibedakan atas:
1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “” 2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “ “
Contoh:
Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5
Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S ) atau x, x + 3 > 5 ( B )
Jika x bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini!
X. PERNYATAAN BERKUANTOR Contoh pernyataan berkuantor:
1. Semua manusia fana
2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa 3. Ada bunga mawar yang berwarna merah
4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x)
Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini! 1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) ) 2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) ) 3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )
4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )
XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.
Contoh:
Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah “ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “
Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi: x, M(x) T x( ), negasinya x, M(x) T(x)
Soal:
Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!
XII. ARGUMEN
Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.
Contoh: 1. p q 2. p / q
1. ( p q ) ( r s ) 2. ~ q v ~ s / ~ p v ~ r
1. p
2. q / p q
XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN
2. Aturan Penyimpulan
Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.
Contoh:
Buktikan keabsahan argumen 1. 1. p q
2. ~ q / ~p
2. 1. a b 2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
Bukti:
Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran
p q ~p ~q p q [( p q) ~q] [(p q) ~q] ~p
B B S S B S B B S S B S S B S B B S B S B S S B B B B B
Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah
Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan
1. a b 2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c 4. ( a b ) ( c d ) 1,2 Conj 5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl 6. ~ a v ~c 4,5 DD
Soal:
Buktikan keabsahan argumen: 1. e ( f ~g)
2. ( f v g ) h 3. e / h
XIV. ATURAN PENYIMPULAN
p / q
2. Modus Tolens (MT) p q
~q / ~p
3. Hypothetical Syllogisme (HS) p q
q r / p r
4. Disjunctive Syllogisme (DS) p v q
~ p / q
5. Constructive Dillema (CD) ( p q ) ( r s ) p v r / q v s
6. Destructive Dillema (DD) ( p q ) ( r s ) ~ q v ~ s / ~p v ~r
7. Conjunction (Conj) p
q / p q
8. Simplification (Simpl) p q
p
9. Addition ( Add) p
p v q
XV. ATURAN PENGGANTIAN 1. De Morgan
a. ~ ( p q ) ~ p V ~ q b. ~ ( p V q ) ~ p ~ q 2. Komutatif
a. ( p q ) ( q p ) b. ( p V q ) ( q V p ) 3. Asosiatif
a. ( p V q ) V r p V ( q V r ) b. ( p q ) r p ( q r ) 4. Distributif
~ ( ~ p ) p
6. Implikasi
p q ~ p V q 7. Material Equivalen
a. p q ( p q ) ( q p ) b. p q ( p q ) V ( ~ p ~ q ) 8. Eksportasi
p ( q r ) ( p q ) r 9. Transposisi
p q ~ q ~ p 10. Tautologi
a. ( p v p ) p b. ( p p ) p Contoh:
Selidiki keabsahan argumen di bawah ini! 1. a ( b c )
2. c ( d e ) / a ( b d )
3. ( a b ) c 1, Eksportasi
4. ( a b ) ( d e ) 3,4, Hypothetical Syllogisme 5. ~ ( a b ) V ( d e ) 4, Implikasi
6. ( ~ a V ~ b ) V ( d e ) 5, De Morgan 7. [(~ a V ~ b ) V d ] [(~ a V ~ b ) V e ] 6, Distribusi 8. (~ a V ~ b ) V d 7, Simplifikasi 9. ~ a V ( ~ b V d ) 8, Asosiasi 10. a ( b d ) 9, Implikasi
Soal:
Buktikan keabsahan argumen di bawah ini! 1. ( k V l ) ~ ( m n )
2. ( ~ m V ~ n ) ( o p )
3. ( o p ) ( q r ) / ( l V k ) ( r q )
XVI. HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN 1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )
x, B(x) R(x)
B(x)
R(x)
2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )
3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )
Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap
x, J(x) ~ G(x) J(x) ~ G(x)
Latihan
1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi a. ( p v q ) ( ~ p r )
b. [( p q ) ( q p )] ( p q ) c. ( p q ) ( p ~q )
2. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini implikasi logis, ekwivalen logis atau tidak kedua-duanya
a. [( p q ) r] [( p ~q ) v r] b. [( p q ) r] ( p v q ) c. [p ( q r )] [( p q ) r]
3. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini! 1. j k
2. j v ( k v ~l ) 3. ~ k / ~l v ~k
4. Ubahlah kalimat di bawah ini ke dalam notasi logika!
a. Tidak semua bunga mawar berwarna merah (B(x), M(x)) b. Semua mahasiswa baru harus mendaftar ulang (M(x), U(x)) c. Ada bilangan prima yang genap (P(x), G(x))
