Logika Matematika
zahnur@informatika.unsyiah.ac.idJurusan Informatika FMIPA Unsyiah
Tabel Kebenaran
Cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu dengan membagi beberapa bagian (kolom).
Nilai kebenarannya terletak pada kolom yang terdapat operasi logika yang terakhir dan akan diberi tanda *. Banyaknya baris yang tersedia tergantung banyaknya pernyataan yang ada dengan menggunakan rumus 2n, dimana n adalah banyaknya pernyataan tunggal yang menyusun pernyataan majemuk tersebut.
Contoh
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan ((p ∧ q) → ¬p) ∨ ¬q. Jawab :
Pernyataan yang Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk p dan q dikatakan ekuivalen dan ditulis p ≡ q jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh
Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa (p → (q → r)) = ((p ∧ q) → r) (p → (q → r)) = ((p ∧ q) → r) B B B B B B B B B B B S B S S B B B S S B B S B B B S S B B B B S B S B S S B S S B B B B S S B B B S B B S S S S B B S S B S B B S S S B B S B S B S S S S B S
Konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi mempunyai ketentuan sebagai berikut :
Jika suatu implikasi p → q maka : Konversnya : q → p
Inversnya : ¬p → ¬q Kontraposisinya : ¬q → ¬p Catatan:
Contoh
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi ”Jika hari libur maka anak-anak tidak masuk sekolah” Jawab:
Konversnya : Jika anak-anak tidak masuk sekolah maka hari libur
Inversnya : Jika hari tidak libur maka anak-anak masuk sekolah
Definisi
Tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan.
Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk setiap kemungkinan.
Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan juga kontradiksi.
Tautologi, kontradiksi dan kontigensi dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika. Contoh:
Penarikan kesimpulan
Ada tiga metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan, yaitu:
Modus Ponens Modus Tollens Silogisme.
Penarikan kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang disebut premis. Kemudian, dengan menggunakan prinsip-prinsip logika diperoleh
Penarikan kesimpulan
Prinsip-prinsip logika yang dipakai dalam penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut.
1 Argumentasi dikatakan sah :
Konjungsi dari premis-premis yang diketahui diimplikasikan dengan konklusi hasilnya tautologi
2 Argumentasi dikatakan tidak sah:
Konjungsi dari premis-premis yang diketahui
Modus Ponens
Jika diketahui premis-premisnya p → q dan p maka dapat diambil konklusi q. Penarikan kesimpulan seperti itu disebut Modus Ponens atau Kaidah Pengasingan. Modus Ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
premis 1: p → q
Modus Tollens
Jika diketahui premis-premisnya p → q dan ¬q maka dapat diambil konklusi ¬p. Penarikan kesimpulan seperti itu disebut Modus Tollens atau Kaidah Penolakan. Modus Tollens
disajikan dalam susunan sebagai berikut.
premis 1: p → q
Silogisme
Jika diketahui premis-premisnya p → q dan q → r maka dapat diambil konklusi p → r. Penarikan kesimpulan seperti itu disebut Silogisme. Silogisme menggunakan sifat menghantar atau transitif dari pemyataan implikasi. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut.
premis 1: p → q
premis 2: q → r
Contoh
Modus tollens
premis 1: Jika seseorang sudah berumur 17 tahun maka ia boleh mempunyai KTP (B) premis 2: Ali belum mempunyai KTP (B)
konklusi : Ali belum berumur 17 tahun (B) Silogisme
Contoh 1
Misalkan p(x) adalah pernyataan dengan x adalah sebuah bilangan genap bulat. Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka fungsi proposisi p(x) dapat ditulis:
Jika x = 1 maka proposisinya 1 adalah bilangan bulat genap (F) Jika x = 2 maka proposisinya 2 adalah bilangan bulat genap (T) dan seterusnya.
Jenis-jenis kuantor yang sering digunakan dalam proposisi:
1 Untuk setiap x, p(x) disebut kuantor universal dan simbol
yang digunakan ∀.
2 Untuk beberapa (paling sedikit satu) x, p(x) disebut
Contoh 2
Misalkan x himpunan warga negara Indonesia, p predikat membayar pajak, r predikat membeli printer, maka
1 ∀xp(x) artinya: Semua warga negara membayar pajak. 2 ∃xr(x)p(x) artinya: Ada beberapa warga negara pembeli
printer membayar pajak.
3 ∀xr(x) → p(x) artinya: Setiap warga negara jika membeli
printer maka membayar pajak.
4 ∃xr(x) ∧ ¬p(x) artinya: Ada warga negara membeli printer
