1
Puji syukur harus senantiasa Anda panjatkan panjatkan kehadirat Tuhan atas limpahan rahmat-Nya kepada kita semua.rasa syukur itu dapat Anda wujudkan dengan cara memlihara lingkungan dan mengasah akal budi untuk memanfaatkan karunia Tuhan itu dengan sebaik-baiknya. Jadi, rasa syukur itu harus senantiasa Anda wujudkan dengan rajin belajar dan mengikuti perkembangan ilmu pengetahuan. Dengan cara itu, Anda akan menjadi generasi bangsa yang tangguh dan berbobot serta pintar.
Segala usaha telah kami lakukan untuk terbitnya buku ini. Namun, dalam usaha yang maksimal itu kami menyadari tentu masih terdapat kekurangan. Untuk itu kami mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak.
2 Daftar Isi Kata Pengantar ... 1 Daftar Isi ... 2 Kata Motivasi ... 3 Tujuan Pembelajaran ... 6 LOGIKA MATEMATIKA A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka beserta Ingkarannya ... 7
B. Konjungsi, Disjungsi, dan Ingkarannya ... 9
C. Implikasi, Biimplikasi, dan Ingkarannya ... 11
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi ... 15
E. Pernyataan Berkuantor ... 17
F. Penarikan Kesimpulan ... 19
Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari ... 27
Soal Latihan ... 28
Daftar Pustaka ... 29
Deskripsi Penggunaan Program Quis Makker ... 31
3
Seringkali impian terbesar kita dapat ditemukan dalam ketakutan terbesar kita.
Semakin kita merasa bijak harusnya membuat kita semakin
menyadari bahwa ada banyak hal yg belum kita ketahui dlm hidup ini.
Keberhasilan atau kegagalan kita dalam pencapaian biasanya berkaitan dengan kemampuan membina hubungan antar sesama. Kebanyakan orang berhasil bukan karena mereka ditakdirkan, melainkan karena mereka menetapkan hati untuk itu.
Investasi yg terbaik adalah investasi pada diri kita sendiri berupa pengetahuan dan skill.
Jabatan yg tinggi tanpa disertai Attitude (sikap & karakter) yg baik, akan menghancurkan kehidupan seseorg sampai titik yg paling rendah.
Salah satu musuh kemajuan diri kita adalah Comfort Zone. Nikmati hal-hal kecil dlm hidup ini, karena mungkin suatu hari kita baru menyadari itu adalah hal besar.
Untuk mampu meraih pencapaian yg lebih besar dari sekarang, kita perlu memperbesar kapasitas diri kita.
Beberapa orang hidup dlm penjara yg membatasi dirinya
namun bukan penjara besi melainkan penjara pikirannya sendiri.
Kemampuan mengerti atau memahami orang lain salah satu kunci Kata Motivasi
4
mereka terhadap kesempurnaan, terlepas dari apapun bidang yang mereka pilih.
Keinginan adalah kunci dari motivasi, tapi ketetapan hati dan sukses dlm menjalin hubungan.
Ucapkan dlm doa kita setiap hari bahwa saya perlu Engkau Tuhan dlm seluruh aspek hidup saya.
Apabila kita memiliki kebesaran hati maka kita tdk akan mudah marah, kecewa dan tersinggung.
Keberhasilan dlm hidup tidak datang dgn sendirinya, kita yg harus pergi meraihnya.
Pastikan diri kita dikenal sebagai sumber solusi bukan sumber masalah.
Jangan biarkan kemajuan diri kita dihalangi oleh kebiasaan-kebiasaan buruk.
Upgrade terus kualitas diri kita, agar kita senantiasa memiliki nilai tambah.
Di dalam diri kita sudah diberikan Tuhan kemampuan yg sangat hebat utk kita gunakan secara maksimal.
Komitmen dan konsistensi ke sasaran yg tepat akan membuahkan hasil.
Nyatakan hari ini bahwa "Tuhan aku perlu tuntunan-Mu senantiasa dlm seluruh aktivitasku hari ini."
Seandainya saja kita selalu benar-benar berpikir sebelum bertindak pasti penyesalan jarang terjadi.
Jika kita selalu menantikan kondisi yang sempurna maka kita tidak akan pernah melakukan apapun.
Orang yg rendah hati akan belajar lebih banyak ketimbang orang yang arogan.
5
Sukses bukanlah final, gagal bukanlah fatal; dan keberanian untuk melanjutkan adalah hal yang paling utama.
Tidak masalah bagaimana lambatnya Anda berjalan. Yang penting Anda tidak berhenti.
Dua puluh tahun dari sekarang, Anda akan lebih kecewa terhadap hal-hal yang tidak Anda lakukan, daripada hal-hal yang telah Anda lakukan.
Kebanyakan orang berhasil bukan karena mereka ditakdirkan, melainkan karena mereka menetapkan hati untuk itu.
Ketika rintangan meningkat, Anda bisa mengubah arah
menuju sasaran Anda, tapi jangan mengubah keputusan Anda untuk mencapainya.
Sukses tidak begitu diukur dari posisi yang telah dicapai seseorang dalam hidupnya, tapi dari rintangan yang berhasil dilaluinya ketika mereka berusaha mencapai kesuksesan. Perubahan adalah hukum kehidupan. Dan orang yang hanya melihat ke masa lalu atau masa sekarang pasti akan
melewatkan masa depan.
Masalah adalah kesempatan bagi Anda untuk melakukan yang terbaik dalam kehidupan.
Jangan biarkan kekecewaan hari kemarin mengalihkan impian hari esok.
6
komitmen yang akan membawa Anda mencapai sukses.
Anda harus bangun setiap pagi dengan tekad untuk sukses, bila Anda ingin tidur dengan penuh kepuasan.
Rahasia sukses adalah konsisten terhadap tujuan Anda setiap harinya.
Harga untuk sukses adalah kerja keras, dedikasi, dan ketetapan hati bahwa kita telah memberikan yang terbaik untuk pekerjaan kita.
Perbedaan antara "Yang Tidak Mungkin" dan "Yang Mungkin" terletak di dalam tekad seseorang.
Jagalah diri Anda agar selalu bersih dan terang; Anda adalah jendela, dimana melaluinya-lah, Anda akan melihat dunia. sumber: status kawan2 di twitter
7
Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa dapat:
1. Menentukan nilai kebenaran dan ingkaran dari suatu pernyataan.
2. Menentukan nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi, dan ingkarannya.
3. Menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers. Dan kontraposisi besrta ingkarannya.
4. Menjelaskan arti kuantor universal dan eksistensial besera ingkarannya.
5. Membuat ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor.
6. Menarik kesimpulan dengan silogisme, modus ponen, dan modus tolens.
7. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung. 8. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung
(kontraposisi dan kontradiksi).
9. Membuktikan sifat dengan induksi matematika. Tujuan Pembelajaran
8
Logika sudah dipelajari orang sejak tahun 400 SM, yaitu pada zaman Yunani Kuno.Tokoh-tokoh pendiri ilmu logika adalah Plato (469 – 399 SM), dan Aristoteles (384 – 322 SM).Kata logika berasal dari kata “Logike” (kata sifat dari logos). Logos artinya kata, ucapan, atau pikiran yang diucapkan selngkap-lengkapnya.Jadi, logika adlah ilmu yang mempelajari asas-asas dan aturan-aturan penalaran agar di peroleh kesimpulan yang benar.Jelasnya, logika memuat asas-asas dan aturan-aturan yang membantu kita untuk berpikir yang benar.
A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka beserta Ingkaran 1. Pernyataan
Pernyataan atau kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu berniailai benar atau salah tetapi tidak bernilai benar dan salah sekaligus.Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran benar (B), sedangkan Pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran salah (S).sedangkan lambing sebuah pernyataan tunggal biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya: p,q, dan r.
9 Contoh pernyataan:
a. Semarang Ibu kota jawa tengah (mempunyai nilai kebenran B)
b. 2 × 5 = 10 (mempunyai nilai kebenran B)
c. semua gas beracun. (mempunyai nilai kebenran S) d. jika 𝑥2 >1, maka x>1(mempunyai nilai kebenran S)
Ada dua cara untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan, yaitu:
a. Cara empiris, yaitu nilai kebenaran suatu pernyataan didasarkan fakta yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh:
Kota Bandung terletak di Jawa Barat.(mempunyai nilai kebenran B)
b. Cara non empiris, yaitu nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan pada perhitungan-perhitungan atau bukti matematika.
Contoh: setiap bilangan Prima adalah bilangan ganjil.(mempunyai nilai kebenran S)
2. Kalimat Terbuka
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah / variable, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).Suatu kalimat
10
terbuka dapat berubaaah menjadi pernyataan dengan menentukan nilai variable dari kalimat terbuka tersebut. Contoh:
Kalimat terbuka 2x−3 = 5
2x−3 = 5 dapat menjadi pernyataan bernilai benar untuk x = 4 dan dapat menjadi pernyataan bernilai salah untuk x≠ 4.
3. Negasi / Ingkaran
Jika p merupakan suatu pernyataan, maka ingkaran dari p dinotasikan ~p atau –p atau ̅p (biasa dibaca “tidak p”, “bukan p”, atau “non p”).nilai kebenaran dari ingkaran p merupakan kebalikan dari nilai kebenaran p. artinya jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah dan sebaliknnya jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
Ingkaran dari “semua” atau “setiap” atau kata yang sepadan dengannya adalah “ada” atau “beberapa”. Ingkara dari “ada” atau “beberapa” adalah “semua” atau “setiap”.
Tabel kebenaran dari ingkaran: Contoh:
Tentukan ingkaran dan nilai kebenrannya dari pernyataan dibawah ini!
P ~p B S
11
a. p : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.
b. q : 25 – 5 = 20
c. r : tidak semua bilangan genap habis dibagi 2.
Jawab:
a. p : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. (S)
~p :Ada bilangan prima adalah yang bukan bilangan ganjil. (B)
b. q : 25 – 5 = 20 (B) ~q :25 – 5 = 20 (B)
c. r : tidak semua bilangan genap habis dibagi 2. (S) ~r : Semua bilangan genap habis dibagi 2. (B)
B. Disjungsi, Konjungsi, dan Ingkarannya 1. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan kata penghubung “atau”.Disimbolkan “v” dibaca “atau”.Pernyataan “p v q” dibaca “p atau q”.
12 P Q p v q B B S S B S B S B B B S
- Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka disjungsi bernilai banar.
- Disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.
Contoh:
Tentukan kebenaran disjungsi untuk pernyataan-pernyataan dibawah ini!
a. p : semua bilangan cacah adalah bilangan real b. q : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil jawab:
a. p : semua bilangan cacah adalah bilangan real, 𝜏(p) = B
b. q : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil, 𝜏(p) = S
jadi, 𝜏(pv q) = B.
2. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan kata penghubung
13
“dan”.Disimbolkan “˄” dibaca “dan”.Pernyataan “p ˄ q” dibaca “p dan q”.
Tabel kebenaran konjungsi: P Q p ˄ q B B S S B S B S B S S S
Konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan benar. Contoh: a. P : sin 45 ° = 1 2 2 q : 8 + 50 =7 2 jawab: P :sin 45 ° = 1 2 2, 𝜏(p) = B q : 8 + 50 =7 2, 𝜏(p) = B jika, 𝜏(p ˄ q) = S
3. Ingkaran Disjungsi dan Konjungsi
a. Ingkaran Disjungsi
Ingkaran dari disjungsi ~(pv q) adalah ~p ˄ ~q. hal ini dapat dibuktikan dengan table kebenaran.
14 P q ~p ~q p v q ~(pv q) ~p ˄ ~q B B S S B S B S S S B B S B S B B B B S S S S B S S S B Nilainya sama Jadi, terbukti Contoh:
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini!
1. Amir anak yang rajin atau Amir anak yang pandai.
2. Rudi suka membaca novel atau senang mendengarkan radio.
Jawab:
Ingkarannya dalah:
1. Amir anak yang tidak rajin dan tidak pula pandai.
2. Rudi tidak suka membaca novel dan tidak senang mendengarkan radio.
b. Ingkaran konjungsi
15
adapun ingkaran dari konjungsi ~(p˄ q) adala~p v ~q atau ~(p˄ q) ≡ ~p v~q. Hal ini dapat dibuktikan dengan table kebenaran.
P q ~p ~q p ˄ q ~(p ˄ q) ~p v~q B B S S B S B S S S B B S B S B B S S S S B B B S B B B Nilainyasama Jadi, terbukti Contoh:
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini!
a. Beni anak yang suka bergaul dan pintar. b. Pak anwar guru yang baik hati dan rajin.
Jawab:
a. Beni anak yang tidak suka bergaul atau tidak pintar.
b. Pak anwar guru yang tidak baik hati atau tidak rajin.
C. Implikasi, Biimplikasi, Ingkarannya 1. Implikasi (pernyataan bersyarat)
16
Implikasi merupakan pernyataan majemuk yang berasal dari pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p maka q”.
Pernyataan p disebut alasan/sebab/hipotesis/anteseden, sedangkan pernyataan q di sebut kesimpulan/konklusi/konsekuen.
Implikasi “jika p, maka q” biasa dilambangkan dengan “p→q” atau “p⇒q” yang dapat dibaca:
1. Jika p maka q
2. P mengakibatkan q 3. q hanya jika p
4. p syarat cukup untuk q 5. q syarat cukup untuk p
table kebenaran dari implikasi p ⇒ q
P q p ⇒ q
B B B
B S S
S B B
S S B
Dari table kebenaran diatas, implikasi bernilai salah hanya jika anteseden benar dan konsekuan salah satu dengan kata lain, implikasi senantiasa bernilai benar kecuali jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
17
Pada implikasi p⇒q tidak diharuskan adanya hubungansebab akibat, antara anteseden (p) dan konsekuen (q).
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari p ⇒ q untuk pernyataan berikut ini! p :29 : 23 = 23 q :16 log 2 = 4 jawab: p :29 : 23 = 23, 𝜏(p) = S q :16 log 2 = 4, 𝜏(p) = S jadi, 𝜏(p⇒ q) = B. 2. Biimplikasi (ekuevalensi)
Biimplikasi (implikasi dua
arah/bikonditional/ekuivalen) merupakan pernyataan majemuk dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” yang dinotasikan p⇔q. biiplikasi p⇔q dapat juga dibaca: - Jika p maka q dan jika q maka p
- p syarat perlu dan cukup bagi q - q syarat perlu dan cukup bagi p
biimplikasi merupakan implikasi dua arah atau p⇔q merupakan gabungan dari p⇔q dengan q⇒p. Hal ini dapat dibuktikan dengan table kebenaran.
18 P q p ⇔ q p⇒ q q ⇒p (p⇒q)˄ (q⇒p) B B S S B S B S B S S B B S B B B B S B B S S B Sama Dari tabel terlihat bahwa:
p⇔q dinyatakan benar jika 𝜏(p) = 𝜏(q) p⇔qdinyatakan benar jika 𝜏(p) ≠ 𝜏(q) contoh:
tentukan nilai kebenaran dari p(𝑥) ⇔ q(x)! a. p(𝑥) : 𝑥2 − 8x + 16 = 0 q(x) : x− 4 = 0 jawab: a. p(𝑥) : 𝑥2 − 8x + 16 = 0 (x – 4) (x – 4) = 0 x = 4 Hp: {4} q(x) : x− 4 = 0 x = 4 Hp: {4}
p 𝑥)danq(x) ternyata mempunyai penyelesaiaan yang sam, sehingga p(𝑥) ⇔ q(x)bernilai benar.
19
3. Ingkaran Implikasi dan Biimplikasi
a. Ingkaran Implikasi
Dengan menggunakan table kebenaran dapat dibuktikan bahwa ingkaran dari p⇒q adalah p ˄ ~q / ditulis: p q ~q p⇒ q ~(p⇒ q) p˄ ~q B B S S B S B S S B S B B S B B S B S S S B S S Sama Contoh:
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini! 1. Jika hari panas maka ia tidak datang.
Jawab:
1. Hari tidak panas tetapi ia tidak dating. b. Ingkaran biimplikasi
Dengan menggunakan table kebenaran dapat dibuktikan bahwa ingkaran dari p⇔q adalah (p ˄ ~q) v (~p ˄q) atau dapat ditulis:
~(p⇒q) ≡ p ˄ ~q
20 p q ~p ~q p ⇔ q ~(p⇔q) p ˄ ~q q ˄ ~p (p ˄ ~q) v (~p ˄q) B B S S B S B S S S B B S B S B B S S B S B B S S B S S S S B S S B B S Sama Contoh:
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini! 1. Dia gembira jika dan hanya jika dia lulus ujian. Jawab:
1. Dia gembira tetapi dia tidak lulus ujian atau dia tidak gembira
tetapi dia lulus ujian.
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
1. Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dengan Implikasi
Dari implikasi p⇒ q, maka dapat dibentuk pernyataan: - Konvers dari p⇒ q adalah q ⇒ p
- Invers dari p⇒ q adalah ~p⇒ ~q
- Kontraposisi dari p⇒ q adalah ~q ⇒ ~p
Nilai kebenaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi dapat dilihat dengan tabel kebenaran sebagai berikut:
21 P q ~p ~q p⇒ q q ⇒ p ~p⇒ ~q ~q ⇒ ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B B S B B B S B B S B B sama sama
Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan:
a. Nilai kebenaran p⇒q sama dengan nilai kebenaran ~q ⇒~p atau dapat dikatakan suatu ekuivalen dengan kontraposisinya, yang dinotasikan dengan:
b. Nilai kebenaranq ⇒ psama dengan nilai kebenaran ~p⇒ ~q atau dengan kata lain konvers suatu implikasi ekuivalen dengan invers suatu implikasi yang dinotasikan dengan:
c. Karena nilai kebenarannya sama, maka: p ⇒ q ≡ ~q ⇒~p
22 Contoh:
Tentukan kovers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikiut ini!
“jika a adalah bilangan ganjil, maka a²adalah bilangan ganjil”.
Jawab:
Konvers : Jika a² bilangan ganjil, maka a bilangan ganjil.
Invers : Jika a² bukan bilangan ganjil, maka a bukan bilangan ganjil.
Kontraposisi : Jika a² bilangan ganjil, maka a bukan bilangan ganjil.
Hubungan nilai kebenaran dariKonvers, Invers, dan Kontraposisi dapat digambarkan dengan skema berikut.
p ⇒ q) ≡ (~q⇒~p)
Merupakan tautologi (q ⇒ p) ≡ (~p⇒~q)
Konvers
Invers kontraposisi invers
konvers
p ⇒ q q ⇒ p
23
- Konvers dari invers suatu implikasi adalah kontraposisi dari implikasi tersebut.
- Kontraposisi dari konvers suatu implikasi adalah invers dari implikasi tersebut.
- Invers dari kontraposisi suatu implikasi adalah konvers dari implikasi tersebut.
2. Ingkaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Ingkaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari implikasi p ⇒ q adalah sebagai berikut.
- Konvers : q ⇒ p Ingkarannya : ~(q⇒p) ≡ q ˄ ~p - Invers : ~p ⇒~q Ingkarannya : ~(~p ⇒~q) ≡ ~p˄ q - kontraposisi : ~q⇒~p Ingkarannya : ~(~q⇒~p) ≡ ~q˄ p Contoh:
Tentukan kovers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut ini beserta ingkarannya! “jika tidak ada listirk, maka lampu akan mati”. Jawab:
- Konvers : jika lampu mati, maka tidak ada listrik.
24
- Invers : jika ada listrik, maka lampu tidak akan mati.
Ingkarannya :ada listrik tetapi lampu mati.
- kontraposisi :jika lampu tidak mati, maka tidak ada listrik.
Ingkarannya :lampu tidak mati, tidak ada listrik.
E. Pernyataan Berkuantor
Suatu kalimat terbuka dapat diubahmenjadi kalimata tertutup dengan cara menggantika variable dengan konstanta tertentu dengan cara menambahkan suatu kuantor di depan kalimat terbuka.
Kuntor adalah lambing yang menunjukan generalisasi suatu kalimat terbuka.Terdapat 2 jenis kuantor yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
1. Kuantor Universal
Kata yang digunakan dalam pernyataan berkuantor universal (umum) adalah kalimat “semua” atau “setiap” yang dinotasikan dengan ∀ x, p (x) (biasa dibaca: untuk semua x berlaku p(x)). Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ditentukan oleh:
- Himpunan semesta yang ditinjau, - Bentuk kalimat terbuka.
25
Misal: semua sapi pemakan rumput. Kalimat tersebut merupakan kalimat yang benardan ekuivalen dengan jika hewan itu sapi, maka hewan itu makan rumput.
Secara umum pernyataan berkuantor universal “semua A adalah B” ekuivalen dengan pernyataan implikasi “jika x ∈ A, maka x ∈ B”.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran berkuantor dari ∀ x,𝑥2 + 4x + 4 >0, x ∈ r
Jawab:
∀x, 𝑥2 + 4x + 4 >0, sama artinya ∀ x (x +2)²>0, jelas merupakan pernyataan yang benar.
2. Kuantor Eksistensial
Pernyataan berkuantoreksistensial menggunakan kata “ada” atau “beberapa”, yang dinotasikan dengan ∃x,p(x) (dibaca ada/beberapa x berlaku P(x)).
Misal: beberapa orang suka makan sate ekuivalen dengan sekurang-sekurangnya ada seorang yang senang makan sate. Jadi, pernyataan berkuantor “beberapa A adalah B” ekuivalen dengan ”sekurang-sekurangnya ada sebuah x ∈ A yang merupakan ∈ B”. Contoh:
26
Tentukan nilai kebenaran dari ∃x, x ∈ R, 𝑥2 + 8x + 16<0!
Jawab:
∃x, x ∈ R, 𝑥2 + 8x + 16 <0 berarrti ada x sehingga berlaku 𝑥2 + 8x + 16 <0, jelas bernilai salah sebab 𝑥2 + 8x + 16 = (x + 4)², selalu bernilai positif.
3. Ingkaran Kuantor Universal
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial yang dinotasikan
Dibaca ingkaran dari “untuk semua x berlaku p(x), “ekuivalen dengan “ada/beberapa x yang bukan p(x)”. Contoh:
Tentukan ingkaran pernyataan berkuantor universal berikut serta tentukan pula nilai kebenrannya!
a. ∀ x,𝑥 ∈ 𝑅 𝑥2 + 2x + 1≥ 0
Jawab:
a. ∀ x,𝑥 ∈ 𝑅 𝑥2 + 2x + 1≥ 0 bernilai benar
~(∀ x, 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥2 + 2x + 1 ≥ 0) ≡ ∃x,𝑥2 + 2x + 1 <0 bernilai salah.
4. Ingkaran Kuantor Eksistensial
27
Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal dan dinotasikan:
Dibaca ingkaran “beberapa/ada x berlaku p(x) “ekuivalen dengan “untuk setiap x bukan p(x).
Contoh: a. ∃x, 𝑥 ∈ 𝑅, x – 5 > 6 Jawab: a. ∃x, 𝑥 ∈ 𝑅, x – 5 > 6 ~(∃x, x∈R, x – 5 > 6) ≡ ∀x, x – 5 ≤ 6 bernilai salah F. Penarikan Kesimpulan
1. Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua nilai kebanaran pada pernyataan-pernyataan tungglnya.
Contoh:
Tunjukan dengan tabel kebenaran bahwa implikasi ((p ⇒ q) ˄ p) ⇒ qmerupakan tautologi!
28 P q p⇒ q (p⇒q) ˄ p (p ⇒ q) ˄ p ⇒ q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B
Pada kolom 5 terlihat bahwa ((p⇒q) ˄ p) ⇒q selalu benar sehingga disebut tautologi.
Sedangkan kontradiksi merupakan kebalikan dari tautologi, yaitu suatu bentuk pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran pada pernyataan-pernyataan tunggalnya.
Contoh:
Tunjukan dengan table kebenaran bahwa ~p ˄ (p˄ q) merupakan kontradiksi! Jawab: p q ~p p˄ q ~p ˄ (p ˄ q) B B S S B S B S S S B B B S S S S S S S
Berdasarkan tabel diatas, terlihat bahwa~p ˄ (p˄q) selalu salah sehingga disebut kontradiksi.
Suatu iplikasi yang merupaka tautologi disebut iplikasi logis, sedangkan biimplikasi yang merupakan tautologi dinamakan biimplikasi logis.
29
Tunjuka dengan tabel kebenran bahwa (p ˄ q)⇔(q ˄ p) merupakan biimplikasi logis!
jawab: p q p ˄ q q ˄ p (p ˄ q)⇔(q ˄ p) B B S S B S B S B S S S B S S S B B B B
Terlihat bahwa (p ˄ q) ⇔ (q ˄ p) merupakan biimplikasi logis.
2. Pengertian Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan dari suatu argument didasarkan pada pernyataan yang benar, sehingga dapat disimpulkan (konklusi) yang benar.
Pernyataan tunggal atau majemuk yang ditentukan disebut premis, sedangkan pernyataan yang diturunkan dari premis-premis disebut kesimpulan.Premis-premis yang telah ditentukan kebenarannya sehingga didapat suatu konklusi disebut argumen.Validitas (keabsahan) suatu argumen dapat dibuktikan jika argument tersebut merupakan tautologi untuk setiap nilai kebenaran premis-premisnya.Metode sederhana untuk membuktikan valid atau tidaknya suatu argument adalah dengan bantuan tabel kebenaran.
30
Adapun pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk Premis (1) Premis (2) ………… Premis (n) Konklusi Contoh:
Selidiki keabsahan penarikan kesimpulan berikut! Mawar anak yang cantik atau cerdas
Mawar anak yang tidak cantik Jadi, mawar anak yang cerdas. Jawab:
Missal: p :Mawar anak yang cantik q : Mawar anak yang cerdas sehingga kalimat diatas berpola Premis 1 : p v q (B) Premis 2 : ~p (B) Konklusi : q (B) p q ~p p v q (p v q) ˄ ~p ((p v q)˄~p) ⇒ q B B S S B S B S S S B B B B B S S S B S S S B S
31
Karena ((p v q) ˄ ~p) ⇒ q merupakan tautologi berarti penarikan kesimpulan tersebut sah.
3. Pola-pola Penarikan Kesimpulan
a. Modus ponen
Bentuk argument modus ponen adalah: Premis 1 : p ⇒ q (B)
Premis 2 : p (B) Konklusi : q (B)
Jika disajikan dalam bentuk implikasi modus ponen dapat dituliskan menjadi:
Modus ponen merupakan argument yang sah, hal ini dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut. P q p ⇒q (p⇒q) ˄ p [(p ⇒ q)˄ p] ⇒ q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B contoh:
tentukan validitas penarikan kesimpulan dibawah ini!
a. Jika hari hujan maka sungai banjir. Semua sungai banjir, jadi hari hujan.
b. Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu habis dibagi 2.
32
12 habis dibagi 4, jadi 12 habis dibagi 2. Jawab:
a. Misal:
p : hari hujan
q : semua sungai banjir
Argumen tersebut dapat disajikan dengan p⇒ q
q
∴p
Argumen tersebut tidak sesuai dengan modus ponen sehingga penerikan kesimpulan tidak sah.
b. Misal:
p : bilangan habis di bagi 4 q :bilangan habis di bagi 2
Argumen tersebut dapat disajikan dengan p⇒ q
p
∴q
Argumen diatas sesuai dengan modus ponen sehingga penarikan kesimpulan sah.
33
Bentuk argument modus tollens didasarkan pada Premis 1 : p v q
Premis 2 : ~q Konklusi :~p
Jika disajikan dalam implikasi, modus tollens dapat dirumuskan.
Modus tollens merupakan penarikan kesimpulan yang sah ini dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran dibawah ini!
p q ~p ~q p⇒q p⇒q)˄ ~q ((p⇒q) ˄ ~q ⇒ ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B S S S B B B B Contoh:
Tentukan validitas penarikan kesimpulan dibawah ini!
a. Jika bapak pulang, maka ibu senang. Ibu tidak senang, jadi bapak tidak pulang. b. Jika Ani lulus ujian, maka ibu senang.
Ani tidak lulus ujian, jadi ibu tidak senang. Jawab:
a. Misal
p : bapak pulang q : ibu senang
34 p⇒ q
~q ∴p
Jadi, merupakan kesimpulan yang sah sesuai dengan pola modus tollens.
b. Misal
p : ani lulus ujian q : ibu senang
argumen diatas dapat disajikan dengan: p⇒ q
~p ∴~q
Argumen diatas tidak sesuai dengan pola modus tollens.
Jadi, penarikan kesimpulan tersebut tidak sah. d. Silogisme
Secara umum bentuk argument silogisme: Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : q ⇒ r Konklusi :p⇒ r
Jika disajikan dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis:
35
Penarikan kesimpulan dengan silogisme merupakan penarikan kesimpulan yang sah, hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenran. p q r p⇒q q⇒r p⇒r p⇒q)˄( q⇒r) [ p⇒q)˄(q⇒r)] ⇒ p⇒r) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S B B S S B B B B B S B B B S B B B S B S B B B B B S S S B S B B B B B B B B B B Contoh:
Selidiki validitas penerikan kesimpulan di bawah ini!
a. Jika kereta datang, maka jalan ditutup. Jika kereta datang, maka jalan macet. Jadi, jika kereta dating jalan macet. b. Semua ikan hidup di air.
Semua lumba-lumba hidup di air. Jadi, lumba- lumba adalah ikan. Jawab:
a. Misal:
p : kereta datang [(p⇒ q) ˄ (q ⇒ r)] ⇒ p ⇒ r)
36 q : jalan ditutup r : jaln macet
argumen diatas dapat disajikan dengan: p⇒ q
q⇒ r ∴p⇒ r
Jelas merupakan pola silogisme, jadi penarikan kesimpulannya sah.
b. Semua ikan hidup di air ekuivalen dengan jika ia ikan, maka ia hidup di air.
Semua lumba-lumba hidup di air ekuivalen dengan jika lumba-lumba, maka ia hidup di air. Misal: p : ikan q : hidup di air r : lumba-lumba p⇒ q r⇒ q ∴r⇒ q
Karena bukan merupakan silogisme, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah.
37
Banyak siswa yang berfikir bahwa matematika itu tidaka sepenuhnya diperlukan dalam kehidupan sehari-hari, karena setiap mendapatkan materi dari guru siswa hanya diberikan sebuah rumus dan cara menggunakannya. Jarang sekali rumus-rumus tersebut dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari, sehingga siswa enggan untuk belajar matematika dengan sungguh-sungguh. Salah satu materi yang jarang sekali dikaitkan dalam kehidupan sehari-hari adalah logika matematika. Padahal logika matematika erat kaitannya dalam kehidupan sehari-hari. Coba kita perhatikan beberapa contoh berikut.
1. Misalnya peraturan yang dibuat dalam sekolah menyebutkan bahwa siswa putra tidak boleh berambut panjang dan tidak boleh mewarnai rambut. Jika kita perhatikan sekilas tidak ada yang salah dari peraturan tersebut. Tapi jika dilihat dari segi logika matematika maka peraturan tersebut perlu ditinjau lebih lanjut. Misalnya pada kata hubung dan (konjungsi) akan bernilai benar jika pernyataan pertama bernilai benar dan
Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari
38
pernyataan kedua bernilai benar. Jika kita lihat peraturan sekolah tersebut maka siswa putra boleh memanjangkan rambutnya atau mewarnai rambutnya tapi tidak memanjangkan rambutnya.
2. Misalnya seorang laki-laki sedang memberitahu pacarnya bahwa dia memiliki pacar selain dirinya. Kemudian pacarnya marah dan mengancam dia. ”sekarang silahkan kamu pilih saya atau dia” pernyataan tersebut bernilai disjungsi karena jika dilihat dari logika matematika laki-laki tersebut bisa mempunyai dua pacar, karena kata hubung atau bisa bernilai benar jika setidaknya ada satu pernyataan bernilai benar. Maka kesimpulannya laki-laki tersebut bisa memiliki dua pacar. Dari contoh diatas terlihat bahwa logika matematika erat akitannya dalam kehidupan sehari-hari.
39
Rubiyanto, Drs.dkk.2010.Buku Ajar Matematika untuk SMA atau MA Kelas X. Surakarta: Citra Pustaka.
http://www.ocimblog.com/2011/08/kumpulan-kata-kata-motivasi-hidup.html#ixzz2i2ddufJm.
40
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat!
1. Jika p benar dan q salah, maka pernyataan yang benar adalah ....
a. p ˄ q c. p v q e. p ⇔ q b. ~ p ˄ q d. p ⇒ q
2. Syarat agar pernyataan (p v q) ⇒ q bernilai salah adalah ... a. p benar dan q salah d. p salah dan q salah
b. p salah dan q salah e. p salah c. p benar dan q benar
3. Nilai kebenaran dari~ p ˄ q adalah ....
a. BBSS d. BSSS
b. BBSB e. SSBS
c. BSSB
4. Negasi dari 2x + 5 >0 adalah .... a. 2x + 5 < 0 d. 2x + 5 = 0 b. 2x + 5 ≤ 0 e. 2x + 5 ≥ 0 c. 2x + 5 >0
5. Nilai kebenaran dari . p ⇒~q adalah ....
a. BBBS d. SBSB
b. SBSB e. SSSS
c. SBBB
41 6. Ingkaran dari p ⇒ (q ˄ r) adalah ....
a. p ˄ (~q ˄ r) d. ~p ⇒ (~ q v ~r) b. p ˄ (~q v ~r) e. ~p ⇒ (q ˄ r) c. ~p ⇒ (~ q ˄ ~r)
7. Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “jika hari hujan, ia pergi” adalah ....
a. Jika hari tidak hujan, maka ia tidak pergi. b. Jika hari hujan, maka ia tidak pergi.
c. Jika ia pergi, maka hari hujan.
d. Jika ia tidak pergi, maka hari tidak hujan. e. Jika ia pergi, maka hari tidak hujan.
8. Konvers dari “jika x = 5, maka x2 = 25” adalah .... a. jika x = 5,maka x2 ≠ 25 d. x2 = 25, maka x = 5 b. jika x ≠ 5,maka x2 ≠ 25 e. jika x ≠ 25,maka x2 ≠ 5 c. x = 5, maka x2 = 25
9. Dari pernyataan berikut yang merupakan invers dari “jika x > 6, maka x2 > 36” adalah ....
a. Jika x< 6, maka x2 > 36 d. Jika x >6, maka x2 ≥36 b. Jika x >6, maka x2 < 36 e. Jika x = 6, maka x2 = 36 c. Jika x ≤ 6, maka x2 ≤ 36
10. Invers dari (p ˄ q) ⇒ ~r adalah ....
a. (~p v ~q) ⇒ r c. r ⇒ (p ˄ q) e. r ⇒ (~p ˄ ~q) b. (~p ˄ ~q) ⇒ r d. r ⇒(~p v ~q)
42
Deskripsi Penggunaan Quis Makker
Sebelum mengerjakan soal alangkah baiknya mengucapkan bismilahhirrohmannirrohim
1. Untuk membuka quis makker masukan pasword “noci” 2. Selama pengerjaaan soal, Anda dibatasi waktu pengerjaan
soal selama 180 detik untuk masing – masing soal.
3. Untuk menjawab pertanyaan, klik bulatan/kotak pada jawaban yang Anda anggap paling benar.
4. Anda dapat melihat hasil pengerjaan soal pada akhir pengerjaan, Anda dianggap lulus atau tidak berdasarkan nilai yang didapat.
5. Anda dapat me-review jawaban Anda dengan menekan tombol submit yang berada pada tombol paling bawah dan restart.
6. Anda dapat melihat cara penyelesaian dari setiap soal dengan menekan pilihan review feedback yang berada paling bawah.
43
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
DATA PRIBADI
1. Nama Lengkap : NENCI
2. Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon,14 November 1993 3. Jenis Kelamin : Perempuan
4. Agama : Islam
5. Status : Belum menikah
6. Alamat : JL Raden Dewi Sartika
Rt/Rw: 001/009, Kel:Tukmudal
Kec: Sumber, Kab: Cirebon
7. Ket. Kerja : Pembuat Quis Makker
RIWAYAT PENDIDIKAN
1. (2006) Lulus SDN II Tukmudal 2. (2009) Lulus SMPN I Dukupuntang 3. (2012) Lulus SMK Budi Arti
4. (2012 – Sekarang) Universitas Swadaya Gunung Jati
PENGALAMAN KERJA
44
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
DATA PRIBADI
1. Nama Lengkap : Novi Apriyani
2. Tempat, Tanggal Lahir : Indramayu, 24 Agustus 1994 3. Jenis Kelamin : Perempuan
4. Agama : Islam
5. Status : Belum menikah
6. Alamat : Ds. Tanjung Pura, blok:
Siwalan, Rt/Rw: 009/002
Kec: Karangampel, Kab: Indramayu.
7. Ket. Kerja : Pembuat Buku Ajar
RIWAYAT PENDIDIKAN
1. (2006) Lulus SDN I Tanjung Pura 2. (2009) Lulus MTSN I Karangampel 3. (2012) Lulus SMAN I Kedokan Bunder
