MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA MAKALAH LOGIKA MATEMATIKA

MAKALAH

LOGIKA MATEMATIKA

DOSEN MATA KULIAH Dr. Saleh Haji, M.Pd

Disusun Oleh A. Naashir M. Tuah Lubis

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS BENGKULU

BENGKULU

BAGIAN I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari.. Topik ini sangat penting karena dapat meningkatkan daya nalar kita dan dapat diaplikasikan di dalam kehidupan nyata.

Di dalam matematika, hukum-hukum logika menspesifikasikan makna dari pernyataan matematis. Hukum-hukum logika tersebut membantu kita untuk membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid. Logika juga digunakan untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika

Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para mahasiswa memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang materi ini.

B. TUJUAN

Makalah ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan sekaligus sebagai tugas mata kuliah Matematika Sekolah.

BAGIAN II TEORI A. Pengertian Logika Matematika

Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.

Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

B. Pernyatan

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam 2. 4 + 3 = 8

3. Rapikan tempat tidurmu!

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah

pernyataan. Kalimat 3 di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan. Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian. Contoh kalimat terbuka

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya 2. x + 2 = 8

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

C. Operasi Dalam Logika dan Tabel Kebenaran

Operasi dalam matematika yaitu menggabungkan peryataan-pernyatan tunggal yang menghasilkan pernyataan majemuk. Operasi-operasi yang dapatakan kita temui berupa kata sambung logika(connective logic). Berikut ini adalah operasi dalam logika:

1. Ingkaran atau Negasi

Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya. Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p ~ p

B S

S B

Contoh:

p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia ~p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2. Konjungsi (p q˄ )

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “dan” disebut konjungsi. Adapun kata perangkai yang lain yaitu

kata tetapi, maupun, dll .Operasi konjungsi dilambangkan dengan “  “

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p q p q˄

B B B

B S S

S B S

S S S

3. Disjungsi (p q˅ )

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan

dengan “  “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Disjungsi Inklusif: Disjungsi Eksklusif:

p q p q˅ p q p ˅ q

B B B B B S

B S B B S B

S B B S B B

S S S S S S

4. Implikasi (p → q)

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika...maka...disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ → “

Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p q p → q

B B B

B S S

S B B

5. Biimplikasi atau Bikondisional (p ↔ q)

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ ↔ “

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p q p ↔ q

Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dapat dibedakan dalam

1. Kontradiksi, suatu bentuk pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

2. Tautologi, suatu bentuk pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya benar dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

3. Kontingensi, suatu bentuk pernyataan majemuk yang bukan kontadiksi maupun tautologi. 4. Ekivalen, dua atau lebih pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama.

B S S B B S S B B

S B S B S B B S B

S S S B S S B B B

4. Pada contoh nomor 3, kedua pernyataan tersebut adalah ekivalen. Hal tersebut dapat kita lihat dari nilai kebenaran yan diperoleh.

E. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.

 Jika suatu bentuk implikasi p  q diubah menjadi q  p disebut konvers

 Jika suatu bentuk implikasi p  q diubah menjadi ~ p  ~ q disebut invers

 Jika suatu bentuk implikasi p  q diubah menjadi ~ q  ~ p disebut kontraposisi Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:

Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi.

p q ~p ~q Implikasi_{p  q} Konvers_{q  p ~p} Invers_{ ~q} Kontraposisi_{~q  ~p}

Implikasinya yaitu “ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “ Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar

Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.

2. Aturan Penyimpulan a. Modus Ponen

Premis 1 : p  q Premis 2 : p Konklusi : q

Contoh :

Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap 20 habis dibagi 2

20 adalah bilangan genap b. Modus Tolen :

Premis 1 : p  q Premis 2 : ~ q Konklusi : ~ p Contoh:

Jika n bilangan ganjil, maka n2 _{bernilai ganjil}

n _{bernilai genap}2

n bukan bilangan ganjil c. Silogisma :

Premis 1 : p  q Premis 2 : q  r Konklusi : p  r Contoh :

Jika seorang laki-laki adalah bujangan, maka ia tidak bahagia Jika seorang laki-laki tidak bahagia, maka ia berumur pendek

Premis 2 : ~ q Konklusi : p Contoh :

Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan Saya tidak belajar dengan giat

Saya menikah tahun depan

e. Konjungsi

Premis 1 : p Premis 2 : q

Konklusi : p  q

Artinya : p benar, q benar. Maka p  q benar. Contoh :

Jono mengambil kuliah Analisis Real

Jono mengulang kuliah Matematika Diskrit

 Jono mengambil kuliah Analisis Real dan mengulang kuliah Matematika Diskrit f. Tambahan (Addition)

Premis 1 : p

Konklusi : p  q

Artinya : p benar, maka p  q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).

Contoh :

Jini mengambil kuliah Analisis Real

 Jini mengambil kuliah Analisis Real dan mengulang Statistik Pendidikan g. Simplifikasi :

Premis 1 : p q˄ Konklusi : p Contoh :

Tika adalah mahasiswa UNIB dan mahasiswa UI. Karena itu, Tika adalah mahasiswa UNIB”

Menggunakan simplifikasi, dapat juga ditulis dengan cara:

 Tika adalah Mahasiswa UNIB. Simplifikasi berikut juga benar:

Tika adalah mahasiswa UNIB dan mahasiswa UI