Logika Matematika. ILFA STEPHANE, M.Si. September Teknik Sipil dan Geodesi Institut Teknologi Padang

Logika Matematika

ILFA STEPHANE, M.Si

September 2012

Teknik Sipil dan Geodesi Institut Teknologi Padang

Definisi 1

Logika adalah usaha dalam memutuskan ya atau tidaknya (whether or not) suatu keputusan yang sah.

Oleh karena itu, memutuskan ya atau tidaknya suatu keputusan (kesimpulan) tertentu adalah konsekuensi dari beberapa hipotesis (asumsi) tertentu.

Contoh:

Berikut adalah sebuah kemungkinan keputusan : Hipotesis (premis):

1 _{Hujan turun sangat deras.}

2 _{Jika kamu tidak membawa payung, kamu akan sakit.}

Definisi 2

Pernyataan/statement/proposition adalah suatu kalimat yang bermakna benar atau salah.

Definisi 3

Keputusan merupakan suatu rangkaian hipotesis yang diikuti oleh kesimpulan.

Ctt. Kesimpulan dan setiap hipotesis harus sebuah pernyataan

Contoh:

A : Ada sebuah apel di atas meja.

B : Jika ada apel di atas meja, maka Jenny akan memakannya. C : Jenny akan memakan apel itu.

Dengan menggunakan simbol, kemungkinan keputusan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Hipotesis : A B Kesimpulan : C Hipotesis : A Jika A, maka C Kesimpulan : C

1. Negasi/Ingkaran/Sangkalan Pernyataan Tunggal

Lambang : ∼ (” tidak ... ”) Contoh:

P : Hari ini adalah hari Senin.

∼P : Tidak benar hari ini adalah hari Senin atau Hari ini bukan hari Senin.

2. Pernyataan Konjungsi

Lambang : ∧ ( ” ... dan ...” ) Contoh :

P : Adam adalah seorang atlet. (bernilai benar)

Q : Barbara adalah seorang atlet. (bernilai benar)

P∧Q : Adam dan Barbara adalah seorang atlet.

3. Pernyataan Disjungsi

Lambang : ∨ ( ”... atau ...” ) Contoh :

P :√36 = 5. (bernilai salah)

Q : 72− 5 = 44. (bernilai benar)

P∨Q :√36 = 5 atau 72− 5 = 44 (bernilai benar)

4. Pernyataan Implikasi

Lambang : ⇒ ( ” jika ... maka ... ” ) Contoh :

P : Ikan hidup di air. (bernilai benar)

Q : Kuda bertelur. (bernilai salah)

P ⇒ Q : Jika ikan hidup air maka kuda bertelur (bernilai salah)

Tabel Nilai Kebenaran Negasi

P ∼P

B S

S B

Tabel Nilai Kebenaran Konjungsi

P Q P ∧ Q

B B B

B S S

S B S

S S S

Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi

P Q P ∨ Q

B B B

B S B

S B B

S S S

Tabel Nilai Kebenaran Implikasi P Q P ⇒ Q B B B B S S S B B S S B

Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi

P Q P ⇔ Q

B B B

B S S

S B S

Contoh

Diasumsikan P bernilai benar, Q bernilai salah dan R bernilai benar. Apa nilai kebenaran dari

(P ∨ R) ⇒∼ (P ⇒ Q)?

Jawab : Perhatikan bahwa (P ∨ R) ⇒∼ (P ⇒ Q) = (B ∼ B) ⇒∼ (B ⇒ S) = B ⇒∼ S = B ⇒ B = B

1. Tautologi

Definisi 4

Suatu pernyataan disebuttautologi jika pernyataan tersebut

selalu bernilai benar, tidak tergantung dari nilai pernyataan -pernyataan yang membangunnya.

Contoh :

Tabel Nilai Kebenaran ( P ⇒ Q) ∨ P

P Q P ⇒ Q (P ⇒ Q) ∨ P

B B B B

B S S B

S B B B

S S B B

∴ ternyata tabel nilai kebenaran ( P ⇒ Q) ∨ P menghasilkan nilai B semua, tidak bergantung dari masing - masing pernyataan tunggalnya P dan Q.

2. Kontradiksi

Definisi 5

Suatu pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika pernyataan tersebut selalu bernilai salah, tidak bergantung dari nilai pernyataan - pernyataan yang membangunnya.

Contoh:

Perhatikan pernyataan majemuk berikut: ” Hari ini hujan dan hari ini tidak hujan ” merupakan pernyataan yang kontradiksi. Apabila P : Hari ini hujan

∼ P : Hari ini tidak hujan maka P ∧ ∼ P ?

Tabel Kebenaran P ∧ ∼ P

P ∼ P P ∧ ∼ P

B S S

3. Argumen Sah (Valid)

Dalam pendahuluan telah disinggung bahwa penarikan kesimpulan melibatkan beberapa pernyataan. Sebagian pernyataan merupakan premis (alasan) dan sebagiannya lagi merupakan kesimpulan (konklusi). Proses penarikan

kesimpulan disebutargumen.

Argumen disebut sah apabila premisnya benar dan

kesimpulannya juga benar. Penarikan kesimpulan di sini berupa pernyataan majemuk yang berbentuk implikasi. Keabsahan argumen dibuktikan lewat tabel nilai kebenaran implikasinya. Jika tabel nilai kebenaran implikasinya berupa tautologi maka argumen sah.

Contoh:

Diketahui pernyataan (P ∨ Q) dan Q.

Buktikan bahwa argumen yang berupa implikasi berikut adalah sah

[(P ∨ Q) ∧ Q] ⇒ Q

Bukti.

Tabel Nilai Kebenaran [(P ∨ Q) ∧ Q ] ⇒ Q

P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ∧ Q [(P ∨ Q) ∧ Q ] ⇒ Q

B B B B B

B S B S B

S B B B B

S S S S B

∴ Implikasi [(P ∨ Q) ∧ Q ] ⇒ Q berupa tautologi. ∴ Argumen sah.

4. Modus Ponens

Misalkan

P ⇒ Q : Jika sakelar tersambung maka bohlam hidup. (premis)

P : Sakelar tersambung. (premis)

Q : Bohlam hidup. (Kesimpulan)

Argumen : Jika sakelar tersambung maka bohlam hidup dan sakelar tersambung, maka bohlam hidup.

: [(P ⇒ Q) ∧ P] ⇒ Q (implikasi)

Argumen P ⇒ Q bernilai benar dan P benar membmberikan

kesimpulan Q benar disebutmodus ponens.

5. Modus Tollens

Misalkan

P ⇒ Q : Jika sakelar tersambung maka bohlam hidup. ∼ Q : Bohlam tidak hidup.

∼ P : Sakelar tidak tersambung. Argumen : [( P ⇒ Q) ∧ ∼ Q ] ⇒∼ P.

Argumen P ⇒ Q benar dan ∼ Q benar memberikan

6. Silogisme

Misalkan

P ⇒ Q : Jika liburan maka saya akan ke pantai. Q ⇒ R : Jika ke pantai maka saya akan berenang. P ⇒ R : Jika liburan maka saya akan berenang. Argumen : [( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ R)] ⇒ ( P ⇒ Q ).

Apabila premis P ⇒ Q benar, premis Q ⇒ R benar, kesimpulan P ⇒ R benar,

maka argumen sah dan disebutsilogisme.

7. Kontrapositif

Misalkan

P ⇒ Q : Jika saya sakit maka saya pergi ke dokter.

∼ Q ⇒∼ P : Jika saya tidak ke dokter maka saya tidak sakit. Argumen : ( P ⇒ Q) ⇒ ( ∼ Q ⇒∼ P)

Apabila premis benar, memberikan kesimpulan benar, maka agumen ini sah dan disebutkontrapositif.

8. Kebermaknaan dan Keabsahan Argumen

Kadang - kadang keabsahan suatu argumen tidak diikuti dengan kebermaknaan argumen tersebut, atau sebaliknya argumen yang (seolah - olah) bermakna tidak selalu sah.

Yang dimaksudkebermaknaan di sini adalah suatu kondisi

atau norma yang dianggap sudah menjadi kebenaran dalam masyarakat.

Note.

Harus diingat bahwa penekanan pada bahasan logika adalah sah atau tidak sah suatu argumen / penarikan kesimpulan bukan pada kebermaknaan argumen tersebut. Sehingga kita harus berhati - hati apabila ingin menggunakan logika secara verbal.