Matematika Industri I

(1)

LOGIKA MATEMATIKA

Matematika Industri I

TIP – FTP - UB

(2)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(3)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(4)

Logika dan Logika Matematika

• Logika

 ilmu yang mempelajari secara

sistematis kaidah-kaidah penalaran yang valid

– Penalaran deduktif dan penalaran induktif

– Penalaran diungkapkan dalam bahasa (kalimat-kalimat)

– Logika mempelajari kalimat-kalimat yang

mengungkapkan atau merumuskan penalaran manusia

• Logika matematika (logika simbol)  logika yang

menggunakan bahasa matematika

(lambang-lambang atau simbol-simbol)

(5)

Pernyataan dan Proposisi

• Pernyataan

– Kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah).

– Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan primer / pernyataan tunggal / pernyataan atom, sedangkan pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk

• Proposisi

– Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya

(6)

“Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah

ini

sebuah

pernyataan

?

_YA

Apakah

ini

sebuah

proposisi

?

YA

Apakah

nilai

kebenaran

dari

proposisi

ini

?

BENAR

(7)

“520 < 111”

Apakah

ini

sebuah

pernyataan

?

_YA

Apakah

ini

sebuah

proposisi

?

YA

Apakah

nilai

kebenaran

dari

proposisi

ini

?

SALAH

(8)

“y > 5”

Nilai

kebenaran

dari

pernyataan

tersebut

bergantung

pada

y,

tapi

nilainya

belum

ditentukan

.

Pernyataan

jenis

ini

kita

sebut

sebagai

Apakah

ini

sebuah

pernyataan

?

_YA

Apakah

ini

sebuah

proposisi

?

TIDAK

(9)

“Sekarang tahun 2011 dan 99 < 5”

Apakah

ini

sebuah

pernyataan

?

_YA

Apakah

ini

sebuah

proposisi

?

YA

Apakah

nilai

kebenaran

dari

proposisi

ini

?

SALAH

(10)

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

TIDAK

Hanya

pernyataanlah

yang

bisa

menjadi

proposisi

.

Ini

adalah

sebuah

permintaan

.

Apakah

ini

sebuah

pernyataan

?

Apakah

ini

sebuah

proposisi

?

(11)

“x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah

ini

pernyataan

?

YA

Apakah

ini

proposisi

?

YA

Apakah

nilai

kebenaran

dari

proposisi

ini

?

BENAR

…

karena

nilai

kebenarannya

tidak

bergantung

harga

spesifik

x

maupun

y.

(12)

Proposisi dilambangkan dengan huruf

kecil p, q, r, ….

Contoh:

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Soekarno adalah alumnus UGM.

r : 2 + 2 = 4

(13)

Mengkombinasikan Proposisi

• Misalkan p dan q adalah proposisi. 1. Konjungsi (conjunction): p dan q

Notasi p  q,

2. Disjungsi (disjunction): p atau q Notasi: p  q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: p

• p dan q disebut proposisi atomik

• Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi

(14)

Contoh Proposisi-proposisi berikut:

p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p

 q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan

dari sekolah

p

 q : Hari ini hujan atau murid-murid

diliburkan dari sekolah

p

: Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini

(15)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(16)

Tabel Kebenaran

p q p  q p q p  q p q T T T T T T T F T F F T F T F T F T F F T T F F F F F F Contoh. Misalkan

p : 17 adalah bilangan prima (benar) q : bilangan prima selalu ganjil (salah)

(17)

Hukum-hukum Logika

Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.

1. Hukum identitas:  p  F  p  p  T  p 2. Hukum null/dominasi:  p  F  F  p  T  T 3. Hukum negasi:  _p  ~p  T  p  ~p  F 4. Hukum idempoten:  p  p  p  p  p  p 5. Hukum involusi (negasi

ganda):  ~(~p)  p 6. Hukum penyerapan (absorpsi):  p  (p  q)  p  (p  q)  p

(18)

7. Hukum komutatif:  _p  q  q  p  p  q  q  p 8. Hukum asosiatif:  _p  (q  r)  (p  q)  r  p  (q  r)  (p  q)  r 9. Hukum distributif:  p  (q  r)  (p  q)  (p  r)  p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 10. Hukum De Morgan:  ~(p  q)  ~p  ~q  _~(p  q)  ~p  ~q

(19)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(20)

TAUTOLOGI

• Tautologi adalah suatu bentuk kalimat majemuk

yang selalu bernilai benar untuk setiap penggantian

peubahnya dengan sebarang pernyataan.

• Suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilai

salah untuk setiap perngantian peubahnya dengan

sebarang pernyataan disebut Kontradiksi

• Bila penggantian peubah-peubah itu dengan

pernyataan dapat menghasilkan pernyataan yang

benar atau pernyataan yang salah, maka bentuk itu

disebut Kontingensi

(21)

TAUTOLOGI

• Pembuktian Tautologi :

1. Dengan Tabel Kebenaran  Bentuk pernyataan majemuk adalah tautologi bila kolom terakhir dari daftar kebenarannya berisi nilai ‘1’ semua

2. Bentuk pernyataan majemuk diturunkan menjadi

bentuk-bentuk lain yang ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk yang dikenal sebagai Tautologi

3. Khusus untuk bentuk pernyataan majemuk yang berupa suatu ekuivalensi  Salah satu rupanya diturunkan menjadi bentuk-bentuk lain yang

ekuivalen, sampai akhirnya diperoleh bentuk dari ruas lainnya.

(22)

Contoh. p

 ~(p  q) adalah sebuah tautologi

p

q p

 q ~(p  q) p  ~(p  q)

T

F

T

F

T

F

T

F

T

Proposisi majemuk disebut tautologi jika

ia benar untuk semua kasus

(23)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(24)

Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identik.

Notasi: P(p, q, …)  Q(p, q, …)

Contoh. Hukum De Morgan: ~(p  q)  ~p  ~q.

p q p  q ~ (p  q) ~ p ~q ~ p  ~ q

T T T F F F F

T F F T F T T

F T F T T F T

(25)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(26)

Conto. (p

 q)  ~(p  q) adalah sebuah kontradiksi

p

q

p

 q

p

 q ~(p  q)

(p

 q)  ~(p  q)

T

F

T

F

T

F

T

F

T

F

T

F

Proposisi majemuk disebut kontradiksi

jika ia salah untuk semua kasus

(27)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(28)

PERNYATAAN BERKUANTOR

• Suatu kalimat terbuka akan diubah menjadi pernyataan

bila semua peubahnya diganti dengan konstanta dari semesta pembicaraannya.

• Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan ialah dengan memakai kuantor (dari kata ”quantity” yang berarti ”banyaknya” ).

• Ada dua macam kuantor, yaitu:

a. Kuantor Universal, lambangnya : ” ” b. Kuantor Eksistensial, lambangnya : ”  ”

(29)

PERNYATAAN BERKUANTOR

• Kalimat terbuka ”P(x)” akan berubah menjadi pernyataan apabila di depannya ditambahkan suatu kuantor, sbb:

• ( x ). P (x), yang dibaca :

Semesta pembicaraan: Bilangan Asli

Untuk setiap x, x adalah bilangan positif. Setiap ( semua) x adalah bilangan positif. Ini adalah pernyataan yang bernilai benar. • ( x ). P ( x ), yang dibaca :

Semesta: Bilangan Bulat

Terdapatlah x sedemikian sehingga x adalah bilangan positif ( “ Terdapat “ disini berarti sekurang – kurangnya ada satu ).

(30)

• Bila suatu kalimat terbuka memuat lebih

dari satu peubah, maka untuk

mengubahnya menjadi pernyataan setiap

peubahnya harus diberi kuantor.

• Banyaknya kuantor yang dibutuhkan di

depan kalimat terbuka harus sama dengan

banyaknya peubah agar kalimat terbuka

(31)

• Misalnya suatu kalimat terbuka yang memuat dua

buah peubah x dan y disajikan dengan lambang

”P(x,y)” Jika mendapatkan tambahan kuantor

menjadi :

( x ). P(x,y)

( y ). P(x, y)

( x ) . P(x,y)

( y ). P(x,y)

Semuanya masih tetap merupakan kalimat terbuka.

• Peubah yang diberi kuantor disebut peubah terikat,

sedangkan peubah yang tidak diberi kuantor disebut

peubah bebas.

(32)

• Sedangkan bentuk-bentuk:

( x ) ( y ). P(x,y).

(

 x ) (y ). P(x,y)

( x) ( y ). P(x,y).

(x ) ( y ). P(x,y)

(33)

Ingkaran dari pernyataan

berkuantor

• Ingkaran dari suatu peryataan berkuantor dapat dinyatakan dengan lambang logika berikut ini:

• Menyatakan bahwa “ Tidak semua manusia pandai “ sama dengan menyatakan bahwa : “ Ada manusia yang tidak pandai “

Dengan P(x) adalah lambang untuk “x adalah pandai “ Demikian pula : Mengatakan bahwa “Tidak ada

manusia yang pandai “ Sama dengan mengatakan bahwa : “ Semua manusia tidak pandai “

) ( ) ( ) ( ) (x P x  x P x ) ( ) ( ) ( ) (x P x  x P x

(34)

Pokok Bahasan

• Proposisi dan negasinya

• Nilai kebenaran dari proposisi

• Tautologi

• Ekuivalen

• Kontradiksi

• Kuantor

(35)

Validitas pembuktian

• Validitas argumen tergantung pada bentuk argumen itu dan dengan bantuan tabel kebenaran

• Bentuk kebenaran yang digeluti matematikawan adalah kebenaran relatif

– Benar atau salahnya suatu konklusi hanya dalam hubungan dengan sistem aksiomatik tertentu

– Konklusi itu benar jika mengikuti hukum-hukum logika yang valid dari aksioma-aksioma sistem itu, dan negasinya adalah salah

• Menentukan validitas argumen dengan tabel kebenaran tidaklah selalu praktis.

– Cara yang lebih praktis banyak bertumpu pada tabel kebenaran dasar dan bentuk kondisional

• Bentuk agumen yang paling sederhana dan klasik – Modus ponens dan Modus tolens

(36)

Modus Ponen

• Premis 1 : p  q • Premis 2 : p

• Konklusi : q

• Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. (Notasi : Ada yang

menggunakan tanda  untuk menyatakan konklusi, seperti p  q, p  q)

• Contoh :

• Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar) • Premis 2 : Saya belajar (benar)

• Konklusi : Saya lulus ujian (benar)

• Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen

(37)

Modus Tolen

• Premis 1

: p  q

• Premis 2

: ~ q

• Konklusi

: ~ p

• Contoh :

• Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai

jas hujan (benar)

• Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar)

• Konklusi : Hari tidak hujan (benar)

• Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi,

sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.

(38)

Silogisma

Premis 1

: p  q

Premis 2

: q  r

Konklusi : p  r

Contoh :

Premis 1 : Jika kamu benar, saya bersalah (B)

Premis 2 : Jika saya bersalah, saya minta maaf (B)

Konklusi : Jika kamu benar, saya minta maaf (B)

(39)

Silogisma Disjungtif

Premis 1 : p  q Premis 2 : ~ q Konklusi : p

Jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid

Premis 1 : p ∨ q

Premis 2 : q

Konklusi : ~ p

Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai

benar (disjungsi eksklusif), maka

sillogisma disjungtif di atas adalah valid.

Contoh :

1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B)

Premis 2 : Pengalaman ini tidak

berbahaya (B)

Konklusi : Pengalaman ini

membosankan (B)

2. Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B) Premis 2 : Air ini panas (B)

Konklusi : Air ini tidak dingin (B)

3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu

Premis 2 : Obyek ini berwarna merah Konklusi : Obyeknya bukan sepatu

(40)

Konjungsi

Premis 1 : p

Premis 2 : q

Konklusi : p

 q

Artinya : p benar, q benar. Maka p

 q

benar.

(41)

Tambahan (Addition)

Premis 1 : p

Konklusi : p  q

Artinya : p benar, maka p

 q benar

(tidak peduli nilai benar atau nilai salah

yang dimiliki q).

(42)

Dilema Konstruktif

Premis 1 : (p  q)  (r  s)

Premis 2 : p  r Konklusi : q  s

Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).

Contoh :

Premis 1 : Jika hari hujan, aku akan tinggal di rumah; tetapi jika pacar datang, aku pergi berbelanja.

Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang.

Konklusi : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja.

(43)

Dilema Destruktif

Premis 1 : (p  q)  (r  s)

Premis 2 : ~ q  ~ s Konklusi : ~ p  ~ r

Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen). Contoh :

Premis 1 : Jika aku memberikan pengakuan, aku akan digantung; dan jika aku tutup mulut, aku akan ditembak mati

Premis 2 : Aku tidak akan ditembak mati atau digantung.

Konklusi : Aku tidak akan memberikan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut