LK 0.1: Lembar Kerja Belajar Mandiri
Nama : ANISAH, S.Pd (Universitas Muhammadiyah Surakarta) Sekolah / Instansi : SD Negeri Sitiharjo
Judul Modul MODUL 6 LOGIKA MATEMATIKA
Judul Kegiatan Belajar (KB) 1. Kalimat, Pernyataan dan Tabel Kebenaran 2. Tautologi dan Kontradiksi
3. Aljabar Proposisi dan Argumen
4. Aturan Bukti Bersyarat dan Bukti Tak langsung
No Butir Refleksi Respon/Jawaban
1 Garis besar materi yang dipelajari
Kegiatan Belajar 1: Kalimat, Pernyataan dan Tabel Kebenaran
1. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut tata bahasa dan mengandung arti.
2. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya.
3. Nilai kebenaran adalah benar atau salahnya sebuah pernyataan, benar (B), salah (S).
4. Pernyataan adalah kalimat yang berarti menerangkan (kalimat deklaratif), dapat ditentukan nilai
kebenarannya.
5. Pernyataan primer / sederhana adalah pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak
mengandung kata hubung kalimat.
6. Pernyataan majemuk / komposit adalah pernyataan yang terdiri atas dua atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacam – macam kata hubung kalimat, dapat
berbentuk persamaan atau pertidaksamaan.
7. Simbol – simbol logika dalam pernyataan majemuk :
No Nama Lambang Makna
1. Negasi ~ tidak, bukan
2. Konjungsi ^ dan, tetapi, meskipun, walaupun
3. Disjungsi v atau
4. Implikasi → jika....maka....
5. Biimplikasi ↔ jika dan hanya jika
6. Kuantor semua, setiap
terdapat, ada
8. Tabel kebenaran : a. Negasi
p ~ p B S
S B
Pernyataan bernilai salah jika pernyataan semula benar dan sebaliknya.
b. Konjungsi p q p ^ q B
B S S
B S B S
B S S S
Pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q bernilai benar.
c. Disjungsi
● Disjungsi inklusif p q p v q
B B S S
B S B S
B B B S
Pernyataan bernilai benar jika :
1. Salah satu diantara p dan q ada yang benar 2. Pernyataan p dan q keduanya benar
● Disjungsi ekslusif p q p v_ q
B B S S
B S B S
S B B S
Pernyataan bernilai benar jika salah satu pernyataan p dan q ada yang benar.
d. Implikasi p q p q B
B S S
B S B S
B S B B
Pernyataan bernilai benar jika : 1. Pernyataan q bernilai benar
2. Pernyataan p dan q keduanya salah
e. Biimplikasi p q p q B
B S S
B S B S
B S S B
Pernyataan bernilai benar jika :
1. Pernyataan p dan q keduanya benar 2. Pernyataan p dan q keduanya salah
Kegiatan Belajar 2: Kuantor, Tautologi, dan Kontradiksi
1. Kuantor
a. Kuantor Universal
Kata-kata yang biasa digunakan dalam kuantor universal adalah “semua”, “setiap”, “untuk semua”
atau “untuk setiap”. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀. Berikut adalah contoh kuantor universal.
b. Kuantor Eksistensial
Pernyataan matematika yang dilengkapi dengan kata- kata “terdapat”, “ada”, “sekurang-kurangnya satu”, atau “beberapa” merupakan pernyataan berkuantor eksistensial. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃. Lambang ∃! dibaca: “Terdapat dengan tunggal”.
Berikut adalah contoh kuantor eksistensial.
c. Negasi Pernyataan Kuantor
Dua buah pernyataan (proposisi) dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu memiliki nilai kebenaran yang sama.
d. Teori deMorgan
Misalkan p(x) adalah sebuah fungsi proposisional pada A, maka:
• ~∀x∈Apx≡(∃x∈A)~p(x);
• ~∃x∈Apx≡(∀x∈A)~p(x) 2. Tautologi
Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap substitusi pernyataan tunggalnya dinamakan tautologi. Dengan kata lain, tautologi merupakan
pernyataan yang selalu bernilai benar dalam kondisi apa pun. Tautologi digunakan sebagai dasar dalam
pengambilan keputusan atau pembuktian matematis.
3. Kontradiksi
Jika tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar, maka sebaliknya kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap substitusi nilai kebenaran pernyataan tunggalnya.
Kegiatan Belajar 3: Aljabar Proposisi, Argumen, dan Metode Inferensi
1. Hukum aljabar proposisi adalah hukum aljabar pada sistem bilangan riil yang digunakan untuk memberikan bukti formal ekivalensi dua buah proposisi, khususnya pada proposisi majemuk.
2. Aturan penggantian untuk keperluan deduksi :
No. Hukum Aturan
a. Idempoten p v p ≡ p
p ^ p p
b. Asosiatif (p v q) v r p v (q v r )
(p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r ) c. Komutatif p v q q v p
p ^ q q ^ p d. Distributif
p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r )
p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r )
e. Identitas p v F p
p ^ T p f Null /dominasi p ^ F F
p v T T
g. Komplemen (negasi)
p v ~ p T
p ^ ~ p F
~ T F
~ F T h. Involusi (negasi
ganda) ~(~p) p
i. Penyerapan (absorpsi)
p v (p ^ q) p
p ^ (p v q) p j. Transposisi p → q ~q ~p k. Implikasi p → q ~p v q
l. Ekivalensi p q (p → q) ^ (q → p)
p q (p ^ q) v (~q ^ ~p)
m. Eksportasi (p ^ q) → r p → (q → r ) n. DeMorgan ~ ∀x∈A px ∃x∈A ~ px
~ ∃x∈A px ∀x∈A ~ px
3. Premis adalah pernyataan – pernyataan yang digunakan untuk menarik kesimpulan.
4. Argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu / lebih premis yang mengandung bukti – bukti dan suatu konklusi.
5. Inferensi adalah cara menarik kesimpulan dalam suatu argumen dari beberapa proposisi (premis).
6. Metode inferensi No Metode
Inferensi
Premis I
Premis II
Premis
III Kesimp.
1. Modus
ponen p q p q
2. Modus tolen p → q ~ q ~ p
3. Silogisme
hipotesis p → q q → r P → r 4. Silogisme
disjungtif p v q ~ q p
5. Simplifikasi
p ^ q atau p ^ q
p q 6. Penambahan
disjungtif p P v q
7. Konjungsi p q P ^ q
8. Dilema p v q p → r q → r r 9. Dilema
konstruktif
(p→q)
^ (r → s)
p v r q v s
10. Dilema destruktif
(p→q)
^ (r → s)
~ q v ~
s ~ p v ~ r
Kegiatan Belajar 4: Aturan Bukti Bersyarat dan Bukti Tak Langsung
1. Aturan Bukti Bersyarat (ABB)
Dapat digunakan apabila konklusi argumen tersebut merupakan implikasi.
langkah-langkah pembuktian Aturan Bukti Bersyarat yaitu:
a. Menulis premis-premis yang diketahui.
b. Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya
merupakan konklusi dari argument (konklusi baru).
c. Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru.
2. Aturan Bukti Tak Langsung adalah :
a. Menulis premis-premis yang diketahui.
b. Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan).
c. Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi.
d. Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif .
2 Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini
1. Penggunaan aturan penggantian 2. Penerapan Metode Inferensi 3. Aturan Bukti Bersyarat 4. Aturan Bukti Tak Langsung 3 Daftar materi yang
sering mengalami miskonsepsi
1. Penggunaan aturan penggantian 2. Penerapan Metode Inferensi 3. Aturan Bukti Bersyarat 4. Aturan Bukti Tak Langsung
