Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

Totologi & Kontradiksi

Nur Insani, M.Sc

KALKULUS PERNYATAAN

• Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika: negasi (-), dan (^), atau (v), jika..maka (), bila dan hanya bila (), d k i l ( k)

2 dan ekuivalen (ek).

• Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound proposition)

Tingkat Kekuatan Operator

Λ

-

WEAKER



[image:1.612.47.561.91.664.2]

V

Tabel Kebenaran

• Setiap pernyataan dalam pernyataan majemuk dinamakanpernyataan tunggal.

• Hasil akhir setiap pernyataan majemuk diwakili oleh satu kolom.

• Nilai diletakkan pada kolom yang memuat operator logika.

• Bagaimana bila 3 pernyataan ? • Permutasi 3 unsur : 2³

= 8 komposisi nilai. • Permutasi n unsur : 2ⁿ.

p q r

B B B B B S B S B

Permutasi n unsur : 2 . Contoh : 3 pernyataan (p,q,r)

5

B S B B S S S B B S B S S S B S S S

Contoh

• Bagaimana tabel kebenaran dari pernyataan majemuk : (pרq)ש(rר¬q)

• Jawab: p _ר q _ש r _ר ¬ q

B B B B B S S B

6

B B B B S S S B B S S B B B B S B S S S S S B S S S B S B S S B S S B S S S S B S S S B B B B S S S S S S S B S

• Bagaimana

tabel

kebenaran

dari

pernyataan majemuk :

a. pש(~q→r) b ~p↔(qר~r) b. p↔(qר r) c. (p→q)ש(~pשr) d. (pשq)ר(rשs)

7

Setiap pernyataan majemuk yang

bernilai benar, untuk setiap nilai

TOTOLOGI

kebenaran komponen-komponennya,

Contoh

• Saya mahasiswa atau bukan mahasiswa ~pשp

• aשb↔bשa

• a↔~(~a)( )

• Lihat Contoh Totologi Implikasi & Totologi Biimplikasi pada buku Logika & Himpunan hal 34 – 35.

9

Tautologi

• Jika Tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai B pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada, membuktikan argumen tadiValid.

10

• Cari apakah pernyataan dibawah ini valid

atau tidak menggunakan tabel kebenaran:

a. pש¬p

b pר((pשq)רq) b. pר((pשq)רq) c. (p→¬q)→(¬q→p)

d. ((p→q)ר(¬qשr))→(p→r)

•Setiap pernyataan majemuk yang

bernilai salah, untuk setiap nilai

kebenaran komponen-komponennya,

disebut

kontradiksi

.

KONTRADIKSI

Contoh

• Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa. (pp)

Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran dari “Pratiwi seorang mahasiswa” maupun “Pratiwi bukan mahasiswa” mahasiswa maupun Pratiwi bukan mahasiswa .

• a↔~a

• (ab)~a

13

KONTINGEN

• Kontingen

– Pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang merupakan kombinasi dari Benar dan Salah.

14

Contoh

• aשb

• ab

• aabb→cc

15

FUNGSI NILAI KEBENARAN

• Pada himpunan bilangan,

– Operasi bilangan dapat dinyatakan dalam notasi fungsi.

– Contoh:

FUNGSI NILAI KEBENARAN

• Pada himpunan pernyataan,

– Operasi pernyataan dapat dinyatakan dalam notasi fungsi, yg domain dan rangenya adalah himpunan nilai kebenaran.

Domain

Range Domain

(a,b) ש(a,b) →(a,b) ↔(a,b)

(B,B) B B B B

(B,S) S B S S

(S,B) S B B S

(S,S) S S B B

Contoh

• ~p→(q v (r  s)) dapat dinyatakan dlm notasi fungsi :→(~p ,ש(q,(r, s))).

• p  q → p dapat dinyatakan dlm notasi fungsi sebagai→((p, q), p).

– Fungsi ini mrpfungsi konstan. – Domain fungsi ini:

– Secara mudah dpt ditentukan Range dari fungsi tsb, yaitu:

→((B, B), B)=B

→((B, S), B)=B

→((S, B), S)=B

→((S, S), S)=B ₁₈



( , ),( , ),( , ),( , )



2

S S B S S B B B W 

Contoh

• Apabila range suatu fungsi kebenaran = {B}, maka fungsi tersebut mrp totologi.

• Apabila range suatu fungsi kebenaran = {S}, maka fungsi tersebut mrp kontradiksi.g p

• Secara umum, jika suatu pernyataan majemuk memuat n pernyataan tunggal yg berbeda, maka

MENENTUKAN NILAI KEBENARAN

PERNYATAAN MAJEMUK DGN

ARITMATIKA

• Cara lain utk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yaitu dgn prosedur aritmatika sbb:

Pernyataan majemuk Prosedur aritmatika

~a 1 + a

MENENTUKAN NILAI KEBENARAN

• Jika pernyataan majemuk bernilai:

B maka hasil perhitungan aritmatika bernilai 0. S maka hasil perhitungan aritmatika bernilai 1.

• Ingat:g • 1+1=0

• a v a ↔ a maka dlm prosedur aritmatika dinyatakan sbg aa = a

• a ↔ a (selalu bernilai benar), maka dlm prosedur aritmatika dinyatakan sbg

a + a = 2a = 0 • a(a+1)=0

Contoh

• Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan

berikut dgn prosedur aritmatika:

p



q

→

p



r



(1+(p



q))(p



r)

(1

)



(1+ p+q+pq) pr



pr + p^2r + pqr + pqr



2pr + 2pqr



0 + 0 = 0 (B)

Penyederhaan dan Bentuk Normal

dari Kalimat Logika

• Dalam bentuk normal hanya terdapat operator logika utama ( ~, dan ) • Ada dua macam:

– CNF (Conjunctive normal form) – DNF (Disjunctive normal form)

Prosedur merubah bentuk proposisi

majemuk ke dalam bentuk normal

1. Eliminasi koneksi →, ↔ dengan menggunakan hukum Implikasi dan Bikondisional

• Ingat :

Hukum Implikasi :

Hukum Bikondisional

q) ~ (p ~ q p ~ q

p    

(Biimplikasi)

:



~

q

 

~

p



q

p

)

~

p

(~

q)

(p

q

p





















q

p

q

p)

(q

q)

(p

q

p











q

p

q

p









)

(

q

)

p

~

q

(p

~







b)

~

a

(~

~

q

p







b)

~

a

(~

~

q

p







• Ingat :

H k

D M

 

pqpq

Hukum De Morgan

:

Hukum Negasi Ganda:

 

 

p q p q

q p q p    p p

Contoh

• (p

→

(~q

→

r))



(p

→

~q)

Contoh

• (p

→

q)

→

(p



r

→

q



s)



(~p



q)

→

(p



r

→

q



s)



(~p

( p q)



q)

→

(~(p

( (p )



r)



(q

(q



s))

))



(~p



q)

→

((~p



~r)



(q



s))



~(~p



q)



((~p



~r)



(q



s))



(p



~q)



(~p



~r)



(q



s)

Soal

• Tentukan bentuk normal untuk kalimat: • (( ab)~a )~ b