Analisis Tegangan dan Regangan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Analisis Tegangan dan Regangan

Pertemuan – 12, 13

Mata Kuliah : Mekanika Bahan

Kode : TSP – 205

SKS : 3 SKS

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU :

 Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal dan geser menggunakan lingkaran Mohr

• TIK :

 Mahasiswa dapat menganalisis tegangan pada bidang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :

 Tegangan Bidang

 Tegangan Utama dan Tegangan Geser Maksimum

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Jenis-jenis tegangan yang timbul pada batang akibat tarik, tekan, maupun torsi yang sudah dipelajari hingga saat ini adalah merupakan contoh-contoh dari tegangan bidang (plane stress)

• Tinjau suatu elemen kubus dalam gambar, dengan sumbu xyz sejajar dengan tepi-tepi elemen

Tegangan Bidang

• Bila bahan berada dalam keadaan tegangan bidang dalam bidang xy, maka hanya muka x dan y dari elemen yang mengalami tegangan, muka z tidak bertegangan dan sumbu z adalah normal permukaan tersebut

Tegangan bukanlah vektor karena tidak dapat dijumlahkan dengan aturan jajaran genjang. Sebenarnya tegangan merupakan besaran yang lebih rumit daripada vektor dan dalam matematika disebut tensor.

Besaran tensor lainnya adalah regangan dan momen inersia

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Tegangan Normal

• Tegangan normal s, mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di mana tegangan normal tersebut bekerja

• Tegangan yang bekerja di muka x dari elemen dinotasikan s_x

• Tegangan yang bekerja di muka y dari elemen dinotasikan s_y

• Tegangan normal yang sama bekerja di muka yang berlawanan Tegangan Geser

• Tegangan geser t, memiliki dua subskrip, subskrip pertama menunjukkan muka di mana tegangan bekerja, subskrip kedua menunjukkan arah di muka tersebut

• Tegangan t_xy bekerja di muka x dalam arah sumbu y

• Tegangan t_yx bekerja di muka y dalam arah sumbu x

Tegangan Bidang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Perjanjian Tanda

• Tegangan normal bernilai positif untuk tegangan tarik, dan bernilai negatif untuk tegangan tekan

• Tegangan geser bernilai positif apabila bekerja di muka positif dalam arah positif, atau bekerja di muka negatif dalam arah negatif.

Sedangkan tegangan geser bernilai negatif apabila bekerja dalam muka dan arah yang tidak bertanda sama

Tegangan Bidang

Untuk memudahkan penggambaran elemen tegangan bidang, biasanya cukup digambarkan dalam bentuk dua dimensi

t_xy = t_yx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Tegangan di Potongan Miring

• Selanjutnya akan ditinjau tegangan pada elemen kubus tadi, apabila elemen ini diputar berlawanan jarum jam melalui sudut q terhadap sumbu xy

• Elemen yang diputar ini terkait dengan sumbu x₁,y₁ dan z₁

• Tegangan normal dan geser pada elemen baru ini diberi notasi s_x1, s_y1, t_x1y1 dan t_y1x1

• Pada elemen ini berlaku pula hubungan

Tegangan Bidang

1 1 1

1y y x

x

t

t 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Tegangan di Potongan Miring

• Potongan elemen tegangan yang mempunyai muka miring yang sama dengan muka x₁ dari elemen miring, ditunjukkan pada gambar kiri

• Untuk menuliskan persamaan kesetimbangan potongan elemen tersebut, maka dibuat free-body diagram yang menunjukkan gaya-gaya yang bekerja di semua muka

• Luas muka kiri (muka x negatif) diberi notasi A_o.

Tegangan Bidang

Stresses Forces

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Susun persamaan kesetimbangan

• SF_x1 = 0

• SF_y1 = 0

• Karena t_xy = t_yx, maka dua persamaan di atas dapat disederhanakan :

Tegangan Bidang

s_x1A_osec q – s_xA_ocos q – t_xyA_osin q – s_yA_otan q sin q – t_xyA_o tan q cos q = 0

t_x1y1A_osec q + s_xA_osin q – t_xyA_ocos q – s_yA_otan q cos q + t_yxA_o tan q sin q = 0

s_x1 = s_xcos ²q + s_ysin ²q + 2t_xysin q cos q

t_x1y1= −(s_x− s_y)sin q cos q + t_xy(cos ²q − sin ²q)

Jika q = 0^o atau 90^o ??

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Dari persamaan-persamaan dalam trigonometri :

• Maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan menjadi :

Tegangan Bidang

 q

q 1 2

2

2 1

cos

cos   q 1 2q

2

2 1

cos

sin   q q 2q

2 1sin cos

sin 

q t

s q s

s

s s 2 2

2

1 ^x 2 ^{y x y} cos _xy sin

x  

 



q t

s q

t s 2 2

1 2

1_y ^{x y} sin _xy cos

x  





Persamaan ini disebut persamaan transformasi untuk tegangan bidang, karena persamaan ini mentransformasikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Dengan mengganti nilai q menjadi q+90^o, maka akan diperoleh s_y1 :

• Dan akhirnya akan didapatkan pula hubungan :

• Persamaan ini menunjukkan bahwa jumlah tegangan normal yang bekerja di muka-muka yang saling tegak lurus dari elemen tegangan bidang adalah konstan dan tidak bergantung pada sudut q.

Tegangan Bidang

y x

y

x s s s

s ₁ ^ ₁ ^{ }

q t

s q s

s

s s 2 2

2

1 ^x 2 ^{y x y} cos _xy sin

y  

 



Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Jika semua tegangan yang bekerja di elemen xy adalah nol kecuali tegangan normal s_x, maka elemen dikatakan berada dalam keadaan tegangan uniaksial

• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

Tegangan Bidang



^q



s s 1 2

1 2^x cos

x  

s q

t 2

1 2

1_y ^x sin

x  

s_x1 atau t_x1y1

s_maks = s_x t_maks = 0.5s_x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Apabila s_x= s_y = 0, namun t_xy dan t_yx ≠ 0 maka elemen dikatakan berada dalam keadaan geser murni (pure shear)

• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

Tegangan Bidang

q t

s_x1  _xy sin2 q t

t_x1y1  _xy cos 2 ^sx1

t_x1y1 s_{x1 maks} pada

q = 45^o

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Bila elemen mengalami tegangan normal dalam arah x dan y, tanpa ada tegangan geser maka elemen dikatakan berada dalam keadaan tegangan biaksial

• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

Tegangan Bidang

s q s

s

s s 2

2

1 ^x 2 ^{y x y} cos

x

 

 

s q

t s 2

1 2

1_y ^{x y} sin

x

 



Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Contoh 1

Sebuah elemen yang berada dalam keadaan tegangan bidang mengalami tegangan s_x = 110 MPa, s_y = 40 MPa dan t_xy = t_yx = 27 MPa, seperti tampak pada gambar. Hitunglah semua tegangan yang bekerja pada suatu elemen yang miring pada sudut q = 45^o

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Jawab :

M Pa 2 75

40 110

2   

 _y

x s

s 35M Pa

2 40 110

2   

 _y

x s

s txy = 27 MPa

sin 2q = sin 90^o = 1 cos 2q = cos 90^o = 0

q t

s q s s

s s cos2 sin2

2

1 2 xy

y x y

x

x  

 

 = 75 + 35(0) + 27(1) = 102 MPa

q t

s q

t s sin2 cos2

1 2

1 xy

y x y

x  



 =  35(1) + 27(0) = 35 MPa

q t

s q s s

s s cos2 sin2

2

1 2 xy

y x y

x

y  

 

 = 75 – 35(0) = 75 MPa

Soal 5.1 – 5.10

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Tegangan normal maksimum dan minimum (yang disebut dengan tegangan utama), dicari dari persamaan transformasi untuk s_x1 yang dideferensial terhadap q dan menyamakannya dengan nol.

• Yang menghasilkan

• Dua harga sudut 2q_p yang diperoleh berbeda sebesar 180^o, sehingga q_p sendiri mempunyai dua nilai yang berbeda 90^o. Sudut q_p dikenal sebagai sudut utama

• Bidang yang berkaitan dengan sudut utama, disebut dengan bidang utama

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum



^{s s}



^{q t q}

q

s ¹ sin2 2 cos2 d

d

xy y

x

x    

y x

xy

tan p

s s

q t

 2 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Dari persamaan untuk tan 2q_p, maka dapat diperoleh pula hubungan untuk sin 2q_p dan cos 2q_p sebagai berikut

• Dengan nilai R adalah :

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

sin _p tR^xy q 

2 cos _p ^x R ^y

2 s 2 s q  ^

2 2

2 ^xy

y

R sx s t

 



 



 



Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Dari dua buah nilai q_p yang diperoleh, maka akan ditemukan besarnya tegangan – tegangan utama sebagai berikut :

• Dengan s₁ merupakan tegangan utama maksimum, dan s₂ adalah tegangan utama minimum

• Dari persamaan tersebut dapat dilihat pula bahwa berlaku juga hubungan yang menyatakan s₁ + s₂ = s_x + s_y

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

2 2

2

1 2 2 ^xy

y x

y x

, s s s s t

s  



 



 

 



Tegangan geser adalah sama dengan nol di bidang-bidang utama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Elemen-elemen yang berada dalam keadaan tegangan uniaksial dan tegangan biaksial, memiliki bidang utama berupa bidang-bidang x dan y itu sendiri (karena nilai tan 2q_p = 0, yang dipenuhi oleh q_p = 0^o dan 90^o)

• Elemen yang berada dalam geser murni, memiliki bidang utama yang berorientasi 45^o terhadap sumbu x (karena tan 2q_p = , yang dipenuhi oleh q_p = 45^o dan 135^o). Jika t_xy positif, maka s₁ = t_xy, da s₂ = - t_xy

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

Elemen dalam keadaan Tegangan Uniaksial dan Biaksial

Elemen dalam keadaan Geser Murni

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Dengan cara yang sama tegangan geser maksimum dan bidang dimana tegangan tersebut bekerja dapat dicari dari persamaan transformasi untuk t_x1y1 yang dideferensial terhadap q dan menyamakannya dengan nol.

• Yang menghasilkan

• Diperoleh pula hubungan antara q_s dan q_p sebagai berikut :

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

 

^{2 2 2 0}

1

1   s s q  t q 

q

t cos sin

d d

xy y

x y

x

xy y x

tan s

t s q s

2 2





o p

s₁ q ₁ 45 q

o p

s₂ q ₁45 q

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Besarnya tegangan geser maksimum yang diperoleh adalah :

• Dapat dibuktikan pula bahwa tegangan geser maksimum sama dengan setengah selisih tegangan-tegangan utama

• Bidang-bidang tegangan geser maksimum juga mengandung tegangan normal yang besarnya sama dengan :

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

2 2

2 ^xy

y x

maks s s t

t  



 



 



2

2

1 s

t_maks  s ^

2

y x

rata rata

s s _  s ^

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Contoh 2

Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang mengalami tegangan s_x = 85 MPa, s_y = −29 MPa dan t_xy = −32 MPa seperti tampak pada gambar.

a. Tentukan tegangan utama dan tunjukkan tegangan tersebut pada suatu gambar elemen yang berorientasi benar

b. Tentukan tegangan geser maksimum dan tunjukkan tegangan tersebut pada gambar elemen yang berorientasi benar

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Jawab :

Tegangan Utama

5614 , ) 0

29 ( 85

) 32 ( 2 2

2

tan  





 

 

y x

xy

p s s

q t

2q_p = 150,69^o q_p = 75,35^o 2q_p = 330,69^o q_p = 165,35^o

MPa 2 28

29 85

2   

 _y

x s

s 57MPa

2 29 85

2   

 _y

x s

s t_xy =  32 MPa

Untuk q_p = 165,35^o

q t

s q s s

s s cos2 sin2

2

1 2 xy

y x y

x

x  

 

 = 28 + 57(0,872)  32(0,4895) = 93,37 MPa

Untuk q_p = 75,35^o

q t

s q s s

s s cos2 sin2

2

1 2 xy

y x y

x

x  

 

 = 28 + 57(0,872)  32(0,4895) = 37,37 MPa

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Tegangan Geser Maksimum

78125 ,

) 1 32 ( 2

29 85 2 2

tan 



 

 





xy y x

s t

s

q s 2q_s = 60,69^o q_s = 30,35^o

q t

s q

t s sin2 cos2

2 ^xy

y x

maks  



 = 57(0,872)  32(0,489) = 65,35 MPa

Tegangan normal terkait :

MPa 2 28

29 85

2  

 

 

y x rata

rata

s

s s

Soal 5.11 – 5.16

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :

 Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

 Hukum Hooke Untuk Tegangan Bidang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dinyatakan dalam bentuk grafis yang sering dikenal dengan

Lingkaran Mohr

• Sebutan Lingkaran Mohr diberikan untuk menghargai jasa ilmuwan Jerman

Otto Christian Mohr (1835-1918) yang

menemukannya pada tahun 1882.

• Lingkaran Mohr ini sangat berguna dalam analisis tegangan, karena dapat

memberikan beragam informasi tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada setiap bidang dari suatu elemen

Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Persamaan-persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dituliskan kembali menjadi :

• Jika kedua sisi dikuadratkan, dan jumlahkan keduanya maka akan didapatkan :

Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

q t

s q s

s

s s 2 2

2

1 ^x 2 ^{y x y} cos _xy sin

x  

 



q t

s q

t s 2 2

1 2

1_y ^{x y} sin _xy cos

x  





2 2

2 1 1 2

1 2 2 ^xy

y x

y x y

x

x s s t

s t

s s  

 



 



 



 



 



Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Dengan mengingat bahwa :

• Maka persamaan tersebut dapat dituliskan ringkas :

• Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran dalam sistem koordinat x₁ dan y₁, memiliki radius R dan pusat lingkaran tersebut terletak pada s_x1 = s_rata-rata dan t_x1y1 = 0

Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

2

y x

rata rata

s

s _  s ^{ 2}

2

2 ^xy

y

R sx s t

 



 



 





s_x1 s_ratarata



² t_x1y1²  R²

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Dalam menggambarkan lingkaran Mohr, diambil kesepakatan tegangan geser positif digambar dalam arah sumbu vertikal ke bawah dan sudut positif sebesar 2q digambarkan berlawanan arah jarum jam

Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

2 2

2 ^xy

y

R sx s t

 



 



 





 



 

2 ;0 C s^x s^y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Apabila nilai

s_x

,

s_y

dan

t_xy

diketahui, maka dapat digambarkan Lingkaran Mohr dengan langkah sebagai berikut :

• Gambarkan sistem koordinat s

_x1

(absis) dan t

_x1y1

(ordinat)

• Tentukan lokasi pusat lingkaran (titik C)

• Tentukan lokasi titik A (q = 0

^o

), yang merepresentasikan tegangan di muka x, dan titik B (q = 90

^o

) yang merepresentasikan tegangan di muka y

• Garis yang melalui titik A, B dan pusat C merupakan diameter lingkaran

• Dengan menggunakan titik C sebagai pusat, gambarkan lingkaran Mohr melalui titik A dan B

Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang



 



  

 s s q t q

 2 2

2

1 cos sin

cos R ^{x y} _xy 



 



  

 s s q t q

 2 2

2

1 sin cos

sin R ^{x y} _xy

cos _p ^x R ^y 2 ₁ s 2 s

q  ^ sin _p tR^xy

q ₁  2

Tegangan Utama Maks Tegangan

Geser Maks

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Tegangan Bidang

Contoh 3

Di suatu titik pada permukaan suatu silinder bertekanan, bahannya mengalami tegangan biaksial s_x = 90 MPa dan s_y = 20 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut q = 30^o.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

s_x1

t_x1y1

C (55;0) ^{A (90;0)} q = 0^o B (20;0)

q = 90^o

R

60^o

D (s_x1;t_x1y1) q = 30^o

s_x1 = s_rerata + R cos 60^o = 72,5 MPa t_x1y1=  R sin 60^o =  30,3 MPa

D’ (s_y1;t_y1x1) q = 120^o

s_y1 = s_rerata  R cos 60^o = 37,5 MPa t_y1x1= R sin 60^o = 30,3 MPa

M Pa 35 2 0

20 90 2

2 2

2



 



 



 



 



 



 

 ^{x y} _xy

R s s t

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Contoh 4

Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang di permukaan mesin besar, mengalami tegangan s_x = 105 MPa, s_y = 35 MPa dan t_xy = 27,5 MPa.

Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah:

a.tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut q = 40^o

b.Tegangan utama

c.Tegangan geser maksimum

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

t_x1y1

s_x1

C (70;0)

R

A (105;27,5) q = 0^o B (35;−27,5)

q = 90^o

80^o

D (s_x1;t_x1y1) q = 40^o

M Pa 51 44 5 2 27

35 105 2

2 2

2 2

, ,

R ^{x y} _xy   



 



 



 



 



 

 s s t

s_x1 = 70 + 44,51(cos 41,84^o) = 103,16 MPa t_x1y1=  44,51(sin 41,84^o) = 29,69 MPa 41,84^o

38,16^o

D’ (s_y1;t_y1x1) q = 130^o

41,84^o

s_y1 = 70  44,51(cos 41,84^o) = 36,84 MPa t_x1y1= 44,51(sin 41,84^o) = 29,69 MPa

P₁ (s₁;0) q = 19,08^o s₁ = 70 MPa + 44,51 MPa = 114,51 MPa

P₂ (s₂;0) q = 109,08^o

s₂ = 70 MPa  44,51 MPa = 25,49 MPa

S₁ (70;R) q_S1 = 64,08^o

S₂ (70;+R) q_S2 = 26,92^o

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Soal 5.17 – 5.25