LAMPIRAN 1 PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER

(1)

LAMPIRAN

(2)

LAMPIRAN 1

PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER

Fungsi 𝑝_𝑐 𝑥 = 𝑥, merupakan fungsi garis lurus simetris dengan variabel bebas x, menjadi fungsi dasar pembentukan gelombang sawtooth. Fungsi 𝑝_𝑐 𝑥 ini yang akan disubstitusi pada deret Fourier, untuk mendapatkan kurva periodik tak terbatas. Gambar berikut adalah kurva gelombang sawtooth yang diperoleh dari perintah SawtoothWave pada software Mathematica.

Fungsi periodik dari 𝑝_𝑐 yang bergantung pada x, berperiode T, yang dituliskan 𝑝_𝑐 𝑥 + 𝑛𝑇 = 𝑝_𝑐 𝑥 dengan n adalah bilangan bulat positif, menginterpretasikan bahwa kurva garis lurus 𝑝_𝑐 akan berulang tak terhingga dengan selang awal fungsi periodik [0, T].

Koefisien Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth 𝑝_𝑐:

𝑐₀ 𝑥 =2

𝑇 𝑝_𝑐 𝑥 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇 𝑥 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇

1 2 𝑥² 𝑇

0 =1

𝑇 𝑇²− 0 =1

𝑇 𝑇² = 𝑇;

𝑐_𝑗 𝑥 =2

𝑇 𝑝_𝑐 𝑥 cos 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2

𝑇 𝑥 cos 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇 𝑥𝑇

2𝑗𝜋sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇

0 𝑇

− 𝑇

2𝑗𝜋sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇

𝑇²

2𝑗𝜋sin 2𝑗𝜋 − 0 − 𝑇

2𝑗𝜋 sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇

𝑇²

2𝑗𝜋sin 2𝑗𝜋 + 𝑇 2𝑗𝜋

2

cos 2𝑗𝜋𝑥 𝑇

0 𝑇

=2 𝑇

𝑇²

2𝑗𝜋sin 2𝑗𝜋 + 𝑇²

4𝑗²𝜋² cos 2𝑗𝜋 − cos 0

=2

𝑇 0 + 𝑇²

4𝑗²𝜋² 1 − 1 =2

𝑇 0 + 0 = 0 diketahui j = 0, 1, 2, 3, ... , maka:

cos 2𝑗𝜋 = cos 0 = cos 2𝜋 = 1, sin 2𝑗𝜋 = sin 0 = sin 2𝜋 = 0.

2 1 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(3)

𝑠_𝑗 𝑥 =2

𝑇 𝑝_𝑐 𝑥 sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2

𝑇 𝑥 sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇 −𝑥𝑇

2𝑗𝜋cos 2𝑗𝜋𝑥 𝑇

0 𝑇

+ 𝑇

2𝑗𝜋cos 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇 −𝑇²

2𝑗𝜋cos 2𝑗𝜋 + 0 + 𝑇

2𝑗𝜋 cos 2𝑗𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

𝑇

0

=2 𝑇 − 𝑇²

2𝑗𝜋cos 2𝑗𝜋 + 𝑇 2𝑗𝜋

2

sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇

0 𝑇

=2 𝑇 − 𝑇²

2𝑗𝜋cos 2𝑗𝜋 + 𝑇²

4𝑗²𝜋² sin 2𝑗𝜋 − sin 0

=2 𝑇 − 𝑇²

2𝑗𝜋+ 𝑇²

4𝑗²𝜋²(0 − 0) =2 𝑇 −𝑇²

2𝑗𝜋+ 0

= −𝑇 𝑗𝜋

Selanjutnya, deret Fourier untuk fungsi periodik gelombang sawtooth 𝑝_𝑐 didefinisikan sebagai berikut:

𝑝_𝑐 𝑥 =𝑐₀

2 + 𝑐_𝑗cos 2𝑗𝜋𝑥

𝑇 + 𝑠_𝑗sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇

∞

𝑗 =1

=𝑇

2+ 0 + −𝑇

𝑗𝜋sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇

∞

𝑗 =1

=𝑇 2−𝑇

𝜋 1

𝑗sin 2𝑗𝜋𝑥 𝑇

∞

𝑗 =1

, 𝑗 = 1,2, …

Fungsi 𝑝_𝑐 ini yang dikenal sebagai fungsi periodizer, yaitu fungsi gelombang sawtooth dengan variabel periode T.

(4)

Lampiran 2

Program Mathematica 8.0 Aplikasi pada Kurva Komposit Contoh 1

Aplikasi2:=Module[{H1,H2,f,f1,f2,f3,f4},

"Kurva Komposit";

f1[x_]:=-5x/2-5;

f2[x_]:=3x/2+3;

f3[x_]:=-3x/2+3;

f4[x_]:=5x/2-5;

"Fungsi Tangga Satuan Heaviside";

H1[i_]:=If[xi,0,1];

H2[i_]:=If[x<i,0,1];

"Persamaan Tunggal Kurva Komposit";

f[x_]:=f1[x](H2[-4]-H1[-2])+f2[x](H1[-2]-H2[0])+f3[x](H2[0]-H2[2])+f4[x](H2[2]- H2[4]);

Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyleDirective[Black,Thick],AxesLabel {x,y}]

] Aplikasi2

Contoh 2

Aplikasi3:=Module[{H1,H2,g,g1,g2,g3,g4},

"Kurva Komposit";

g1[_]:=4Sqrt[Cos[]]Cos[];

g2[_]:=-4Sqrt[-Cos[]]Cos[];

g3[_]:=(2 Cos[]+2 )/Sin[]²;

g4[_]:=(-2 Cos[]+2 )/Sin[]²;

H1[i_]:=If[i,0,1];

4 2 2 4 x

1 2 3 4 5 y

Cos² 4 Sin² Cos² 4 Sin²

(5)

H2[i_]:=If[<i,0,1];

"Persamaan Tunggal Kurva Komposit";

g[_]:=g1[](H2[0]-H2[/2])+g2[](H2[/2]-H1[])+g3[](H1[]- H2[3/2])+g4[](H2[3/2]-H2[2]);

PolarPlot[g[],{,0,2},PlotStyleDirective[Black,Thick]]

] Aplikasi3

Aplikasi pada Kurva Poligon Tak Teratur Persamaan Umum

IRegPol[x_,y_]:=

Module[{s,xIP,yIP,xIPol,yIPol,H,n,u},

"Persamaan Panjang Sisi Poligon";

s[i_]:= ;

s[1]=0;

"Persamaan Parametrik Setiap Segmen Garis";

xIP[i_]:=(x[[i+1]]-x[[i]])/(s[i+1]-s[i]) u+(x[[i]]s[i+1]-x[[i+1]]s[i])/(s[i+1]-s[i]);

yIP[i_]:=(y[[i+1]]-y[[i]])/(s[i+1]-s[i]) u+(y[[i]]s[i+1]-y[[i+1]]s[i])/(s[i+1]-s[i]);

H[i_]:=If[us[i],0,1];

"Persamaan Parametrik Poligon";

xIPol[i_]:=xIP[1]+ +H[i](-xIP[i-1]);

yIPol[i_]:=yIP[1]+ +H[i](-yIP[i-1]);

n=Length[x];

ParametricPlot[{xIPol[n],yIPol[n]},{u,s[1],s[n]},PlotStyleDirective[Black,Thick]]

]

4 2 2 4

4

3

2

1 1



j2 i

Sqrtxj  xj  1² yj  yj  1²



k2

i1Hk xIPk  xIPk  1



k2

i1Hk yIPk  yIPk  1

(6)

Contoh 3

IRegPol[{4,8,9,7,3,4},{3,2,7,9,6,3}]

Kurva Poligon Teratur Persamaan Umum

RegPol[R_,n_,0_,x0_,y0_]:=

Module[{xRP,yRP,x=x0,y=y0,,Per},

"Fungsi Periodizer kutub";

Per[_,N_,o_]:=/N-2/N ;

"Persamaan Parametrik Poligon";

xRP[r_,m_,0_,x_]:=x+(r Tan[/2-/m])/(Sin[Per[,n,0]]+Tan[/2-/m]

Cos[Per[,n,0]]) Cos[];

yRP[r_,m_,0_,y_]:=y+(r Tan[/2-/m])/(Sin[Per[,n,0]]+Tan[/2-/m]

Cos[Per[,n,0]]) Sin[];

ParametricPlot[{xRP[R,n,0,x0],yRP[R,n,0,y0]},{,0,2},PlotStyleDirective[Black, Thick]]

] Contoh 4

RegPol[1,4,0,0,0]

RegPol[1,5,0,0,0]

RegPol[1,9,0,0,0]

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9



i1

 1

i SinN i   o

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5 0.5 1.0

(7)

Contoh 5

RegPol[2,6,0,1,2]

RegPol[2,6,0,-2,2]

RegPol[2,6,0,0,7]

0.5 0.5 1.0

0.5 0.5

0.5 0.5 1.0

1.0

0.5 0.5 1.0

1 1 2 3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

(8)

Contoh 6

RegPol[4,5,0,6,5]

RegPol[4,5,/4,6,5]

RegPol[4,5,/2,6,5]

4 3 2 1

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

2 1 1 2

6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5

4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8

(9)

3 4 5 6 7 8 9 2

4 6 8

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9

(10)

LAMPIRAN 3

PERHITUNGAN SOLUSI CONTOH 3 Langkah penyelesaian kasus:

1. Verteks pentagon dapat dituliskan sebagai berikut:

Verteks ke- Koordinat x Koordinat y

0 4 3

1 8 2

2 9 7

3 7 9

4 3 6

5 4 3

2. persamaan untuk mencari kumulatif panjang sisi poligon adalah:

𝑠_𝑖 = 𝑥_𝑗− 𝑥_{𝑗 −1} ²+ 𝑦_𝑗 − 𝑦_{𝑗 −1} ²

𝑖

𝑗 =1

𝑠₀= 0, ketika di verteks 𝑃₁ panjang sisi poligon masih nol,

karena koordinat verteks-verteks pentagon telah diketahui, panjang sisi pentagon dapat ditentukan sebagai berikut:

𝑠₁= 𝑥_𝑗− 𝑥_𝑗−1 ²+ 𝑦_𝑗− 𝑦_{𝑗 −1} ²

1

𝑗 =1

= 𝑥₁− 𝑥₀ ²+ 𝑦₁− 𝑦₀ ²

= 8 − 4 ²+ 2 − 3 ²= 17 = 4.1231 𝑠₂= 𝑥_𝑗− 𝑥_{𝑗 −1} ²+ 𝑦_𝑗 − 𝑦_{𝑗 −1} ²

2

𝑗 =1

= 𝑥₁− 𝑥₀ ²+ 𝑦₁− 𝑦₀ ²+ 𝑥₂− 𝑥₁ ²+ 𝑦₂− 𝑦₁ ²

= 17 + 9 − 8 ²+ 7 − 2 ²= 17 + 26 = 9.2221 𝑠₃= 𝑥_𝑗− 𝑥_{𝑗 −1} ²+ 𝑦_𝑗 − 𝑦_{𝑗 −1} ²

3

𝑗 =2

=

= 𝑥₁− 𝑥₀ ²+ 𝑦₁− 𝑦₀ ²+ 𝑥₂− 𝑥₁ ²+ 𝑦₂− 𝑦₁ ²

+ 𝑥₃− 𝑥₂ ²+ 𝑦₃− 𝑦₂ ²= 17 + 26 + 7 − 9 ²+ 9 − 7 ²

= 17 + 26 + 8 = 12.0506 𝑠₄= 𝑥_𝑗− 𝑥_{𝑗 −1} ²+ 𝑦_𝑗− 𝑦_{𝑗 −1} ²

4

𝑗 =2

=

= 𝑥₁− 𝑥₀ ²+ 𝑦₁− 𝑦₀ ²+ 𝑥₂− 𝑥₁ ²+ 𝑦₂− 𝑦₁ ² + 𝑥₃− 𝑥₂ ²+ 𝑦₃− 𝑦₂ ²+ 𝑥₄− 𝑥₃ ²+ 𝑦₄− 𝑦₃ ²

= 17 + 26 + 8 + 3 − 7 ²+ 6 − 9 ²= 17 + 26 + 8 + 25

= 17.0506

(11)

𝑠₅= 𝑥_𝑗− 𝑥_{𝑗 −1} ²+ 𝑦_𝑗 − 𝑦_{𝑗 −1} ²

5

𝑗 =2

=

= 𝑥₁− 𝑥₀ ²+ 𝑦₁− 𝑦₀ ²+ 𝑥₂− 𝑥₁ ²+ 𝑦₂− 𝑦₁ ² + 𝑥₃− 𝑥₂ ²+ 𝑦₃− 𝑦₂ ²+ 𝑥₄− 𝑥₃ ²+ 𝑦₄− 𝑦₃ ² + 𝑥₅− 𝑥₄ ²+ 𝑦₅− 𝑦₄ ²

= 17 + 26 + 8 + 25 + 4 − 3 ²+ 3 − 6 ²

= 17 + 26 + 8 + 25 + 10 = 20.2128

3. Persamaan parametrik untuk setiap segmen garis 𝑃 , 𝑖 = 0,1 … ,4; pada pentagon dapat _𝑖𝑃_𝑖+1 dituliskan sebagai berikut:

𝑥_𝑖,𝑖+1(𝑠) =𝑥_𝑖+1− 𝑥_𝑖

𝑠_𝑖+1− 𝑠_𝑖𝑠 +𝑥_𝑖𝑠_𝑖+1− 𝑥_𝑖+1𝑠_𝑖

𝑠_𝑖+1− 𝑠_𝑖 dan 𝑦_𝑖,𝑖+1(𝑠) =𝑦_𝑖+1− 𝑦_𝑖

𝑠_𝑖+1− 𝑠_𝑖 𝑠 +𝑦_𝑖𝑠_𝑖+1− 𝑦_𝑖+1𝑠_𝑖 𝑠_𝑖+1− 𝑠_𝑖

karena koordinat verteks-verteks dan panjang sisi pentagon telah diketahui, persamaan parametrik setiap segmen garis dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑥₀₁ 𝑢 =𝑥₁− 𝑥₀

𝑠₁− 𝑠₀𝑢 +𝑥₀𝑠₁− 𝑥₁𝑠₀

𝑠₁− 𝑠₀ = 8 − 4

4.1231 − 0𝑢 +4 4.1231 − 8 0

4.1231 − 0 = 0.970 𝑢 + 4 𝑥₁₂ 𝑢 =𝑥₂− 𝑥₁

𝑠₂− 𝑠₁𝑢 +𝑥₁𝑠₂− 𝑥₂𝑠₁

𝑠₂− 𝑠₁ = 9 − 8

9.2221 − 4.1231𝑢 +8 9.2221 − 9(4.1231) 9.2221 − 4.1231

= 0.196 𝑢 + 7.191 𝑥₂₃ 𝑢 =𝑥₃− 𝑥₂

𝑠₃− 𝑠₂𝑢 +𝑥₂𝑠₃− 𝑥₃𝑠₂

𝑠₃− 𝑠₂ = 7 − 9

12.0506 − 9.2221𝑢 +9 12.0506 − 7(9.2221) 12.0506 − 9.2221

= −0.707𝑢 + 15.521

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8 9

s0

s1 s2

s3

s4

s5

P0 P1

P2

P3

P5

(12)

𝑥₃₄ 𝑢 =𝑥₄− 𝑥₃

𝑠₄− 𝑠₃𝑢 +𝑥₃𝑠₄− 𝑥₄𝑠₃

𝑠₄− 𝑠₃ = 3 − 7

17.0506 − 12.0506𝑢 +7 17.0506 − 3(12.0506) 17.0506 − 12.0506

= −0.8 𝑢 + 16.640 𝑥₄₅ 𝑢 =𝑥₅− 𝑥₄

𝑠₅− 𝑠₄𝑢 +𝑥₄𝑠₅− 𝑥₅𝑠₄

𝑠₅− 𝑠₄ = 4 − 3

20.2128 − 17.0506𝑢 +3 20.2128 − 4(17.0506) 20.2128 − 17.0506

= 0.316 𝑢 − 2.392

𝑦₀₁ 𝑢 =𝑦₁− 𝑦₀

𝑠₁− 𝑠₀𝑢 +𝑦₀𝑠₁− 𝑦₁𝑠₀

𝑠₁− 𝑠₀ = 2 − 3

4.1231 − 0𝑢 +3 4.1231 − 2 0

4.1231 − 0 = −0.243 𝑢 + 3

𝑦₁₂ 𝑢 =𝑦₂− 𝑦₁

𝑠₂− 𝑠₁𝑢 +𝑦₁𝑠₂− 𝑦₂𝑠₁

𝑠₂− 𝑠₁ = 7 − 2

9.2221 − 4.1231𝑢 +2 9.2221 − 7(4.1231) 9.2221 − 4.1231

= 0.981 𝑢 − 2.043

𝑦₂₃ 𝑢 =𝑦₃− 𝑦₂

𝑠₃− 𝑠₂𝑢 +𝑦₂𝑠₃− 𝑦₃𝑠₂

𝑠₃− 𝑠₂ = 9 − 7

12.0506 − 9.2221𝑢 +7 12.0506 − 9(9.2221) 12.0506 − 9.2221

= 0.707 𝑢 + 0.479 𝑦₃₄ 𝑢 =𝑦₄− 𝑦₃

𝑠₄− 𝑠₃𝑢 +𝑦₃𝑠₄− 𝑦₄𝑠₃

𝑠₄− 𝑠₃ = 6 − 9

17.0506 − 12.0506𝑢 +9 17.0506 − 6(12.0506) 17.0506 − 12.0506

= −0.6 𝑢 + 16.230 𝑦₄₅ 𝑢 =𝑦₅− 𝑦₄

𝑠₅− 𝑠₄𝑢 +𝑦₄𝑠₅− 𝑦₅𝑠₄

𝑠₅− 𝑠₄ = 3 − 6

20.2128 − 17.0506𝑢 +6 20.2128 − 3(17.0506) 20.2128 − 17.0506

= −0.949 𝑢 + 22.176

atau dapat dituliskan dalam fungsi sesepenggal sebagai berikut:

𝑥 𝑢 =

0.970 𝑢 + 4, 0 < 𝑢 ≤ 4.1231 0.196 𝑢 + 7.191, 4.1231 < 𝑢 ≤ 9.2221

−0.707𝑢 + 15.521, 9.2221 < 𝑢 ≤ 12.0506

−0.8 𝑢 + 16.640, 12.0506 < 𝑢 ≤ 17.0506 0.316 𝑢 − 2.392, 17.0506 < 𝑢 ≤ 20.2128

𝑦 𝑢 =

−0.243 𝑢 + 3, 0 < 𝑢 ≤ 4.1231 0.981 𝑢 − 2.043, 4.1231 < 𝑢 ≤ 9.2221 0.707 𝑢 + 0.479, 9.2221 < 𝑢 ≤ 12.0506

−0.6 𝑢 + 16.230, 12.0506 < 𝑢 ≤ 17.0506

−0.949 𝑢 + 22.176. 17.0506 < 𝑢 ≤ 20.2128

4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan adalah 𝐻₁, dengan:

𝐻₁ 𝑢, 𝑠_𝑖 = 0 𝑢 ≤ 𝑠_𝑖 1 𝑢 > 𝑠_𝑖 i = 0, 1, 2, 3, 4;

u = variabel bebas yang terdefinisi pada [s0,s5];

5. Setelah diketahui fungsi sesepenggal yang mendefinisikan persamaan parametrik untuk segmen garis pentagon, persamaan parametrik tunggal pentagon tak teratur dibentuk dengan menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside.

Persamaan parametrik pentagon:

(13)

𝑥 𝑢 = 𝑥_𝑖,𝑖+1 𝑢 𝐻₁ 𝑢, 𝑠_𝑖 − 𝐻₁ 𝑢, 𝑠_𝑖+1

4

𝑖=0

= 𝑥₀₁ 𝐻₁ 𝑢, 0 − 𝐻₁ 𝑢, 4.1231 + 𝑥₁₂ 𝐻₁ 𝑢, 4.1231 − 𝐻₁ 𝑢, 9.2221 + 𝑥₂₃ 𝐻₁ 𝑢, 9.2221 − 𝐻₁ 𝑢, 12.0506

+ 𝑥₃₄ 𝐻₁ 𝑢, 12.0506 − 𝐻₁ 𝑢, 17.0506 + 𝑥₄₅ 𝐻₁ 𝑢, 17.0506 − 𝐻₁ 𝑢, 20.2128

𝑦 𝑢 = 𝑦_𝑖,𝑖+1 𝑢 𝐻₁ 𝑢, 𝑠_𝑖 − 𝐻₁ 𝑢, 𝑠_𝑖+1

4

𝑖=0

= 𝑦₀₁ 𝐻₁ 𝑢, 0 − 𝐻₁ 𝑢, 4.1231 + 𝑦₁₂ 𝐻₁ 𝑢, 4.1231 − 𝐻₁ 𝑢, 9.2221 + 𝑦₂₃ 𝐻₁ 𝑢, 9.2221 − 𝐻₁ 𝑢, 12.0506

+ 𝑦₃₄ 𝐻₁ 𝑢, 12.0506 − 𝐻₁ 𝑢, 17.0506 + 𝑦₄₅ 𝐻₁ 𝑢, 17.0506 − 𝐻₁ 𝑢, 20.2128

(14)

LAMPIRAN 4

KURVA POLIGON TERATUR

Persamaan parametrik poligon tak teratur untuk:

Gambar 19 (a) 𝑥 𝜃, 1, 4, 0 = 0 +

tan 𝜋 4 cos 𝜃 sin 𝜋

4 − 2 4

1

𝑛 sin 4𝑛𝜃

∞𝑛=1 + tan 𝜋 4 cos

𝜋 4 −

2 4

1

𝑛 sin 4𝑛𝜃

∞𝑛 =1

𝑦 𝜃, 1, 4, 0 = 0 +

tan 𝜋 4 sin 𝜃 sin 𝜋

4 − 2 4

1

𝑛 sin 4𝑛𝜃

∞𝑛 =1 + tan 𝜋 4 cos

𝜋 4 −

2 4

1

𝑛 sin 4𝑛𝜃

∞𝑛=1

Gambar 19 (b)

𝑥 𝜃, 1, 5, 0 = 0 + tan 3𝜋

10 cos 𝜃 sin 𝜋

5 − 2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛=1 + tan 3𝜋 10 cos

𝜋 5 −

2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛=1

𝑦 𝜃, 1, 5, 0 = 0 +

tan 3𝜋 10 sin 𝜃 sin 𝜋

5 − 2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛 =1 + tan 3𝜋 10 cos

𝜋 5 −

2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛 =1

Gambar 19 (c) 𝑥 𝜃, 1, 9, 0 = 0 +

tan 7𝜋 18 cos 𝜃 sin 𝜋

9 − 2 9

1

𝑛 sin 9𝑛𝜃

∞𝑛=1 + tan 7𝜋 18 cos

𝜋 9 −

2 9

1

𝑛 sin 9𝑛𝜃

∞𝑛=1

𝑦 𝜃, 1, 9, 0 = 0 +

tan 7𝜋 18 sin 𝜃 sin 𝜋

9 − 2 9

1

𝑛 sin 9𝑛𝜃

∞𝑛 =1 + tan 7𝜋 18 cos

𝜋 9 −

2 9

1

𝑛 sin 9𝑛𝜃

∞𝑛 =1

Gambar 20 (a) 𝑥 𝜃, 2, 6, 0 = 1 +

2 tan 1

3 𝜋 cos 𝜃 sin 𝜋

6 − 2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛=1 + tan 1

3 𝜋 cos 𝜋 6 −

2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1

𝑦 𝜃, 2, 6, 0 =2 +

2 tan 1

3 𝜋 sin 𝜃 sin 𝜋

6 − 2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1 + tan 1

3 𝜋 cos 𝜋 6 −

2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1

Gambar 20 (b) 𝑥 𝜃, 2, 6, 0 = −2 +

2 tan 1

6 − 2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1 + tan 1

3 𝜋 cos 𝜋 6 −

2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1

𝑦 𝜃, 2, 6, 0 =2 +

2 tan 1

6 − 2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1 + tan 1

3 𝜋 cos 𝜋 6 −

2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1

(15)

Gambar 20 (c) 𝑥 𝜃, 2, 6, 0 = 0 +

2 tan 1

6 − 2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛=1 + tan 1

3 𝜋 cos 𝜋 6 −

2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1

𝑦 𝜃, 2, 6, 0 =7 +

2 tan 1

6 − 2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1 + tan 1

3 𝜋 cos 𝜋 6 −

2 6

1

𝑛 sin 6𝑛 𝜃

∞𝑛 =1

Gambar 21 (a) 𝑥 𝜃, 4, 5, 0 = 6 +

4 tan 3

5 − 2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛=1 + tan 3

10 𝜋 cos 𝜋 5 −

2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛=1

𝑦 𝜃, 4, 5, 0 =5 +

4 tan 3

10𝜋 sin 𝜃 sin 𝜋

5 − 2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛 =1 + tan 3

10 𝜋 cos 𝜋 5 −

2 5

1

𝑛 sin 5𝑛𝜃

∞𝑛 =1

Gambar 21 (b) 𝑥 𝜃, 4, 5,𝜋

4 ^{= 6 +}

4 tan 3

5 − 2 5

1

𝑛 sin 5𝑛 𝜃 − 𝜋

∞ 4

𝑛=1 + tan 3

10 𝜋 cos 𝜋 5 −

2 5

1

∞ 4

𝑛 =1

𝑦 𝜃, 4, 5,𝜋 4 =5 +

4 tan 3

5 − 2 5

1

∞ 4

𝑛 =1 + tan 3

10 𝜋 cos 𝜋 5 −

2 5

1

∞ 4

𝑛 =1

Gambar 21 (c) 𝑥 𝜃, 4, 5,𝜋

2 ^{= 6 +}

4 tan 3

5 − 2 5

1

∞ 2

𝑛=1 + tan 3

10 𝜋 cos 𝜋 5 −

2 5

1

∞ 2

𝑛 =1

𝑦 𝜃, 4, 5,𝜋 2 =5 +

4 tan 3

5 − 2 5

1

∞ 2

𝑛 =1 + tan 3

10 𝜋 cos 𝜋 5 −

2 5

1

∞ 2

𝑛 =1