Pertemuan 3
STATISTIKA DESKRIPTIF
Ukuran Pemusatan
Statistik deskriptif adalah pengolahan data untuk tujuan mendeskripsikan atau memberikan gambaran terhadap obyek yang diteliti dengan menggunakan sampel atau populasi. Dalam pengujian deskriptif terdapat dua ukuran, yakni ukuran pemusatan dan ukuran dispersi.
Ukuran pemusatan terdiri dari rata-rata, median, modus dan lainnya.
Rata-Rata atau Rata-Rata Hitung (Mean)
a) Data Tidak Berkelompok
Keterangan:
𝑥 = nilai rata-rata
𝑥𝑖= nilai dari pengamatan data ke i, dimana 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 𝑛 = banyaknya data
b) Data Berkelompok
Keterangan:
𝑥 = nilai rata-rata 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = jumlah dari hasil perkalian jumlah data sampel (𝑓𝑖) dengan tanda kelas (𝑥𝑖)
𝑓𝑖 𝑛
𝑖=1 = jumlah data 𝑥 = 𝑛 𝑥𝑖
𝑖=1 𝑛
𝑥 = 𝑛 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑖=1
𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1
Median
a) Data Tidak Berkelompok
Keterangan:
𝑀𝑒 = Median 𝑛 = Banyaknya data b) Data Berkelompok
Keterangan:
𝑀𝑒 = Median
𝑏 = Batas bawah kelas interval median terletak 𝑝 = Panjang kelas interval
𝑛 = Banyaknya data
𝐹 = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas median 𝑓 = Frekuensi kelas median
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑀𝑒 =(𝑛 + 1) 2
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 1 2 𝑛 − 𝐹
𝑓
Modus
a) Data Tidak Berkelompok
b) Data Berkelompok
Keterangan:
𝑀𝑜 = Modus
𝑏 = Batas bawah kelas interval modus terletak 𝑝 = Panjang kelas interval
𝑏1 = Frekuensi kelas modus dikurangi dengan frekuensi sebelum kelas modus 𝑀𝑜 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝 𝑏1 𝑏1+ 𝑏2
Quartil
a) Data Tidak Berkelompok
Keterangan:
𝑄1 = Quartil 1 𝑄2 = Quartil 2 𝑄3 = Quartil 3
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄1=(𝑛 + 1) 4
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄2=2(𝑛 + 1) 4
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄3=3(𝑛 + 1) 4
▸ Baca selengkapnya: rpp mean, median modus sd kelas 6
(2)Quartil
b) Data Berkelompok
Keterangan:
𝑄𝑖= Quartil ke i
𝑏 = Batas bawah kelas interval yang mengandung quartil 𝑝 = Panjang kelas interval
𝑛 = Banyaknya data
𝐹 = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas quartil 𝑓 = Frekuensi kelas quartil
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄𝑖=4𝑖× 𝑛, 𝑖 = 1,2,3
𝑄𝑖= 𝑏 + 𝑝 𝑖 4 𝑛 − 𝐹
𝑓 , 𝑖 = 1,2,3
Penggunaan Ukuran Pemusatan Berdasarkan Skala Pengukuran
Skala Pengukuran Ukuran Gejala Pusat
Mean Median Modus
Nominal
Ordinal
Interval/Rasio
Contoh Soal 1 (Data Tidak Berkelompok):
Data di bawah ini merupakan data berat badan mahasiswa jurusan statistika di suatu Universitas:
No. Nama Mahasiswa Berat Badan (Kg)
1. Niki 50
2. Tama 70
3. Dian 50
4. Andi 65
5. Budi 50
6 Dedi 68
7. Rika 45
8. Lisa 48
9. Rani 60
10. Rina 54
Tabel 3.2 Berat Badan Mahasiswa Jurusan Statistika
Contoh Soal 1 (Data Tidak Berkelompok):
Dari data di atas, hitunglah nilai dari:
a. Rata-rata b. Median c. Modus d. Quartil e. Rentang f. Varians g. Simpangan baku
Penyelesaian:
a. Rata-Rata
Ketujuh jenis pekerjaan di atas dapat ditulis 𝑥1= 50, 𝑥2= 70, 𝑥3= 50, 𝑥4= 65, 𝑥5= 50, 𝑥6= 68, 𝑥7= 45, 𝑥8= 48, 𝑥9= 60, dan 𝑥10= 54 sehingga 𝑁 𝑥𝑖
𝑖=1 = 50 + 70 + 50 + 65 + 50 + 68 + 45 + 48 + 60 + 54 = 561; 𝑛 = 10. Jadi, nilai rata-rata data tersebut adalah
𝑥 = 𝑥𝑖
𝑁 𝑖=1
𝑛 =56010= 56 (menggambarkan nilai rata-rata berat badan mahasiswa jurusan statistika pada suatu Universitas)
Penyelesaian:
b. Median
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑀𝑒 =(𝑛 + 1) 2 Karena diketahui 𝑛 = 10, maka
𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑀𝑒 =(10 + 1)
2 =11
2= 5,5
Jadi, letak nilai median ada pada data ke 5,5 setelah seluruh data diurutkan 45, 48, 50, 50, 50, 55, 60, 65, 68, 70
diperoleh nilai median adalah 50+552 = 52,5 (menggambarkan nilai tengah berat badan mahasiswa jurusan statistika pada suatu Universitas)
Penyelesaian:
c. Modus
𝑀𝑜 = 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘
𝑀𝑜 = 50 (menggambarkan nilai yang paling sering muncul dari data berat badan mahasiswa jurusan statistika pada suatu Universitas)
Penyelesaian:
d. Quartil
Deretan data setelah diurutkan dari nilai data yang terkecil sampai nilai data yang terbesar sebagai berikut:
Data ke Nilai
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
45 48 50 50 50 55 60 65 68 70
Penyelesaian:
Quartil 1 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄1=(𝑛 + 1)
4 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄1=(10 + 1)
4 =11
4= 2,75
Dengan demikian data 𝑄1 terletak pada posisi 2,75 dari 10 data tersebut, artinya 𝑄1 terletak diantara data ke 2 dan data ke 3. Karena nilai data ke 2 dan ke 3 tidak sama, maka akan dilakukan interpolasi.
Data interpolasi
Data ke Nilai
2 48
2,75 ?
3 50
Proses interpolasi:
𝑄1= 48 + 2,75 − 2
3 − 2 × 50 − 48 = 49,5
Hal ini berarti 25% berat badan mahasiswa jurusan statistika adalah 49,5.
Penyelesaian:
Quartil 2 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄2=2(𝑛 + 1)
4 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄2=2(10 + 1)
4 =22
4= 5,5
Dengan demikian data 𝑄2 terletak pada posisi 5,5 dari 10 data tersebut, artinya 𝑄2 terletak diantara data ke 5 dan data ke 6. Karena nilai data ke 5 dan ke 6 tidak sama, maka akan dilakukan interpolasi.
Data interpolasi
Data ke Nilai
5 50
5,5 ?
6 55
Proses interpolasi:
𝑄2= 50 + 5,5 − 5
6 − 5 × 55 − 50 = 52,5
Hal ini berarti 50% berat badan mahasiswa jurusan statistika adalah 52,5.
Penyelesaian:
Quartil 3 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄3=3(𝑛 + 1)
4 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄3=3(10 + 1)
4 =33
4= 8,25
Dengan demikian data 𝑄3 terletak pada posisi 8,25 dari 10 data tersebut, artinya 𝑄3 terletak diantara data ke 8 dan data ke 9. Karena nilai data ke 8 dan ke 9 tidak sama, maka akan dilakukan interpolasi.
Data interpolasi
Data ke Nilai
8 65
8,25 ?
9 68
Proses interpolasi:
8,25 − 8
Penyelesaian:
𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 − 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 = 70 − 45 = 25
Penyelesaian:
𝑠2= 𝑛𝑖=1(𝑥𝑖− 𝑥 )2 𝑛 − 1
𝑠2=(45 − 56)2+ (48 − 56)2+ (50 − 56)2+ … + (70 − 56)2 10 − 1
𝑠2=731 9
𝑠2= 81,22
Semakin kecil nilai varians suatu data, maka semakin kecil variasi dari data tersebut.
Sebaliknya, semakin besar nilai varians maka semakin besar juga variasi dari data tersebut
Penyelesaian:
g. Simpangan Baku
Simpangan baku adalah akar dari varians
𝑠 = 𝑠2𝑠 = 81,22
𝑠 = 9,01
Dari rumus yang digunakan diperoleh nilai simpangan baku adalah 9,01
Contoh Soal 2 (Data Berkelompok):
Di bawah ini adalah nilai ujian matematika mahasiswa suatu Universitas dengan jumlah mahasiswa sebanyak 40 orang.
50 50 95 80 95 70 90 60 70 85
60 50 50 60 90 60 90 70 70 50
95 80 95 70 50 50 60 70 70 70
60 60 70 70 80 80 70 50 60 60
a. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data di atas
b. Tentukan nilai rata-rata, median, modus, quartil, varians, simpangan baku
Penyelesaian:
a. Membuat tabel distribusi frekuensi
Langkah-langkah penyusunannya adalah sebagai berikut:
1. Rentang: 𝑅 = 95 − 50 = 45 2. Banyak kelas: 𝑘 = 1 + (3,3 × log 𝑛)
𝑘 = 1 + (3,3 × log 40) 𝑘 = 1 + (3,3 × 1,6021) 𝑘 = 1 + 5,2868 𝑘 = 6,2868 ≈ 6 3. Panjang kelas interval: 𝑝 =𝑅
𝑘
𝑝 =45
6= 7,5 ≈ 8
4. Ujung bawak kelas interval pertamanya diambil nilai data terkecil yaitu 50.
Penyelesaian:
Diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut:
Nilai Ujian Matematika Frekuensi 50 – 57
58 – 65 66 – 73 74 – 81 82 – 89 90 - 97
8 9 11 4 1 7
Total 40
Tabel 3.3 Nilai Ujian Matematika 40 Mahasiswa
Penyelesaian:
1. Rata-rata
Nilai Ujian Matematika Frekuensi (𝒇𝒊) 𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊 50 – 57
58 – 65 66 – 73 74 – 81 82 – 89 90 – 97
8 9 11 4 1 7
53,5 61,5 69,5 77,5 85,5 93,5
428 553,5 764,5 310 85,5 654,5
Total 40 2796
𝑥 = 𝑛𝑖=1𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑥 =2796
40= 69,9
Penyelesaian:
2. Median
Diketahui banyaknya data adalah 40, setengah dari seluruh data adalah 20, Nilai Ujian Matematika Frekuensi (𝒇𝒊)
50 – 57 58 – 65 66 – 73 74 – 81 82 – 89 90 - 97
8 9 11 4 1 7
Total 40
Penyelesaian:
dari tabel di atas menunjukkan bahwa median terletak pada kelas interval 66 – 73.
Artinya median terletak pada kelas interval ke 3, karena pada interval ini jumlah frekuensi sudah lebih dari 20, yakni 28. Dengan demikian, kelas interval ke 3 merupakan kelas median. Sehingga diperoleh nilai batas bawahnya (b) adalah 66 – 0,5 = 65,5. Panjang kelas interval (p) adalah 8, frekuensi kelas median (f) adalah 11, dan jumlah frekuensi sebelum kelas median (F) adalah 17.
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 1 2𝑛 − 𝐹
𝑓
𝑀𝑒 = 65,5 + 8 1 2 40 − 17
11
𝑀𝑒 = 67,68
Didapat median dari data di atas sebesar 67,68
Penyelesaian:
3. Modus
Nilai Ujian Matematika Frekuensi (𝒇𝒊
) 50 – 57
58 – 65
66 – 7374 – 81 82 – 89 90 - 97
8 9 11 4 1 7
Total
40
Penyelesaian:
Dari tabel di atas menunjukkan bahwa modus terletak pada kelas interval ke 3, dengan demikian diperoleh nilai batas bawah kelas interval (b) yang mengandung modus adalah 65,5, panjang kelas interval (p) adalah 8, frekuensi kelas modus dikurangi kelas interval sebelumnya (b1) adalah 2 dan frekuensi kelas modus dikurangi kelas interval sesudah modus (b2) adalah 7. Sehingga diperoleh
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝 𝑏1 𝑏1+ 𝑏2
𝑀𝑜 = 65,5 + 8 2 2 + 7 𝑀𝑜 = 67,28
diperoleh modus untuk data di atas sebesar 67,28.
Penyelesaian:
Untuk menentukan quartil, sebelumnya kita harus menentukan letak dari masing-masing quartil, 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄1=14× 40 = 10 , artinya quartil pertama terletak pada kelas interval ke 2. Sehingga batas kelas interval kelas yang mengandung quartil pertama (b) adalah 57,5, panjang kelas interval (p) adalah 8, banyaknya data (n) adalah 40, jumlah semua frekuensi sebelum kelas quartil 1(F) adalah 8, dan frekuensi kelas quartil 1 (f) adalah 8. Maka nilai quartil 1 adalah
𝑄1= 𝑏 + 𝑝 1 4 𝑛 − 𝐹
𝑓
𝑄1= 57,5 + 8 1 4 40 − 8
9 𝑛
𝑄= 59,28
Penyelesaian:
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄2=24× 40 = 20 , artinya quartil kedua terletak pada kelas interval ke 3. Sehingga batas kelas interval kelas yang mengandung quartil 2 (b) adalah 65,5, panjang kelas interval (p) adalah 8, banyaknya data () adalah 40, jumlah semua frekuensi sebelum kelas quartil 2 (F) adalah 17, dan frekuensi kelas quartil 2 (f) adalah 11. Maka nilai quartil 2 adalah
𝑄2= 𝑏 + 𝑝 2 4 𝑛 − 𝐹
𝑓
𝑄2= 65,5 + 8 2 440 − 17
11
𝑄2= 67,68
Penyelesaian:
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑄3=34× 40 = 30 , artinya quartil ketiga terletak pada kelas interval ke 4. Sehingga batas kelas interval kelas yang mengandung quartil 3 (b) adalah 73,5, panjang kelas interval (p) adalah 8, banyaknya data (n) adalah 40, jumlah semua frekuensi sebelum kelas quartil 3 (F) adalah 28, dan frekuensi kelas quartil 3 (f) adalah 4. Maka nilai quartil 3 adalah
𝑄3= 𝑏 + 𝑝 3 4 𝑛 − 𝐹
𝑓
𝑄3= 73,5 + 8 3 440 − 28
4
𝑄3= 77,5
Penyelesaian:
5. Varians Nilai Ujian
Matematika 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒙𝒊− 𝒙 𝒙𝒊− 𝒙 𝟐 𝒇𝒊 𝒙𝒊− 𝒙 𝟐 50 – 57
58 – 65 66 – 73 74 – 81 82 – 89 90 - 97
8 9 11 4 1 7
53,5 61,5 69,5 77,5 85,5 93,5
428 553,5 764,5 310 85,5 654,5
-16,4 -8,4 -0,4 7,6 15,6 23,6
268,96 70,56 0,16 57,76 243,36 556,96
2151,68 635,04 1,76 231,04 243,36 3898,72
Total 40 7161,6
Penyelesaian:
Diperoleh nilai varians adalah 𝑠
2=
𝑛𝑖=1𝑓
𝑖(𝑥
𝑖− 𝑥 )
2𝑛 − 1
𝑠
2= 7161,6 40 − 1 𝑠
2= 183,63
Penyelesaian:
6. Simpangan baku 𝑠 = 𝑠
2𝑠 = 183,63
𝑠 = 13,55
Latihan Soal
1. Diketahui data pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 15 keluarga di Desa Sukamaju sebagai berikut :
Data Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 15 Keluarga
50 77 65 62 70
75 80 60 71 72
74 66 75 68 83
Tentukanlah:
a. Rata-rata b. Median c. Modus d. Quartil e. Rentang f. Varians g. Simpangan baku
Latihan Soal
2. Berikut ini adalah data produksi minyak bumi di 25 titik pengeboran (ton/jam):
77,71 44,24 60,00 89,54 85,64 60,00 24,00 54,12 64,52 27,14 87,46 42,13 43,04 45,75 111,27 27,79 41,49 47,70 83,00 14,32 70,00 32,35 41,60 77,96 14,37 Dari data di atas, tentukanlah
a. Rata-rata produksi minyak bumi di 25 lokasi tersebut
b. Penyebaran nilai produksi minyak bumi di wilayah pengeboran
tersebut
Latihan Soal
3. Diketahui data jumlah pelanggan yang datang ke sebuah Puskesmas di 15 hari tertentu pada bulan September tahun 2016.
26, 37, 39, 46, 49, 59, 69, 76, 83, 83, 83, 87, 87, 95, 95 Hitunglah:
a. Quartil pertama dan ketiga b. Varians
Latihan Soal
4. Berikut ini diberikan data mengenai rata-rata curah hujan bulanan yang terrjadi dan diamati dari Stasiun Padaherang pada tahun 2001 sampai dengan 2004.
Tentukanlah:
a. Rata-rata curah hujan setiap tahunnya
b. Penyebaran tingkat curah hujan setiap bulan pada tahun tertentu
