1. Sebuah pipa silinder yang sangat besar (dengan luas
penampang lintang berbentuk lingkaran berjari-kari R) terletak di atas tanah. Seorang anak ingin melempar sebuah bola tenis dari titik A sehingga dapat melewati pipa silinder tersebut untuk akhirnya jatut di titik C tanpa terjadi/mengalami tumbukan atau pantulan dengan dinding pipa. Tujuan tersebut dapat dicapai dengan mengatur besar dan arah kecepatan pelemparan v, sedemikian rupa dengan sudut elevasi [ ] tertentu. Tampak dengan jelas bahwa tinggi puncak lintasan B yang diukur dari titik pusat pipa silinder hanya diperkenankan mencapai satu nilai maksimum [
] agar lintasan bola tepat hanya
menyinggung permukaan pipa (lihat gambar), yaitu dengan kondisi [
] dan [
]. Abaikan gesekan udara.
Tentukan :
a. Besar kelajuan pelemparan v sebagai fungsi h Pembahasan
Pusat koordinat tepat berada di pusat lingkaran.
Tunjauan persamaan gerak pada titik B, bahwa energi potensial pada pusat lingkaran sama dengan nol, maka HK kekekalan energi menjadi
( )
Dimana [
], maka
( )
( )
(1)𝑅
𝑣 𝑥
𝑦
𝐴 𝐿
𝐵
𝐷 𝐶
Pada titik B adalah titik puncak lintasan bola, sehingga bola hanya memiliki kecepatan arah horizontal, maka
Persamaan gerak bola ketika mulai bergerak dari titik [
( )
],⃗( ) ( )
( ) Besar nilai [( )
] adalah( ) √( ) ( )
( )Bola akan menyinggung permukaan silinder ketika [
( )
], sehingga persamaan (3) menjadi
( )
( ) ( )
( ) Substitusikan persamaan (1) ke (4)( ) ( )
( )Pada persamaan (5) persamaan kuadrat dengan variabel ( ), bola hanya menyentuh atau menyinggung
permukaan silinder solusi ( ) hanya satu saja. Syarat agar persamaan kuadrat hanya memiliki satu solusi deskriminan nya sama dengan nol.
𝑅
𝑣 𝑥
𝑦
𝐴 𝐿
𝐵
𝐷 𝐶
𝑟(𝑥)
𝑣
𝐵( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
√( )
√ √( )
( )Solusinya tanda positif pada persamaan (6) tidak fisis jika dihubungkan dengan persamaan (5), maka nilai [ ] sebagai fungsi [ ] adalah
√ √( )
( ) b. Besar [ ] dan [ ]Pembahasan
Bola mencapai kecepatan paling kecil pada titik B, ketinggian bola adalah maksimum, maka
√ √( ) ( √( ))
√(
)
√
( )Nilai kecepatan minimum diperoleh dari pers (7)
√
√(
)
√( √ )
( )Kecepatan minimum horizontal di titik B adalah
(10)
Dari persamaan (9) ke (1) diperoleh nilai [ ] yaitu
(
)
( √ ) (
√ )
√ √√
√ √
√ √
√ √
√
√
( ) Maka nilai [ ] adalah
√
√ ( √ ) √
√ ( √ )
√
( ) Metode phytagoras√
√
√
c. Besar L, yaitu jarak lokasi titik pelemparan (titik A) dari titik singgung pipa dengan tanah (titik D) yang menjamin bola sampai ke titik C sebagaimana dipersyaratkan di atas.
Pembahasan
Kecepatan pada arah sumbu y di titik B sama dengan nol, waktu maksimum sampai titik B adalah
√( √ )
√ √ √
√( √ )
( √
√ ) √( √ )
( √
√ [ √ ])
√( √
√ )
( )Sehingga jarak horizontal yang ditempuh bola diperoleh dari substitusi persamaan (11) dan (13), yaitu
√
√ √( √
√ )
√
√ ( √
√ )
√ √
2. Sebuah batang homogen [
] dengan [ ], [ ] dan [ ] adalah massa batang, panjang batang dan kerapatan massa batang. Batang tersebut ditopang oleh dua buah pegas identic dengan konstanta pegas k, pada jarak x dari lantai. Pada ujung batang sebelah kiri diberi simpangan kecil, kemudian setelah itu dilepas. Ada dua modus vibrasi dari sistem ini, yaitu (1) masing- masing ujung batang bervibrasi bersamaan, dan (2) kedua
ujung batang bervibrasi secara berlawanan, ujung kiri bervibrasi ke atas dan ujung kanan bervibrasi ke bawah dan sebaliknya.
Tentukan :
a. Frekuensi vibrasi dari kedua modus tersebut ! Pembahasan
Kasus pertama
Bahwa masing-masing ujung batang bervibrasi secara bersamaan dan misalkan panjang pegas dalam keadaan normal adalah [ ], berikut posisi gambarnya
𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑖
𝑘 𝑘
𝑀
[ ] adalah panjang pegas keadaan normal
[ ] adalah panjang pegas setimbang terhadap lantai [
] adalah perubahan panjang pegas
Pegas disusun parallel, maka
Sehingga :
( )
Persamaan gaya pegas pada sistem adalah
( )
( ) [( ) ]
Persamaan gerak pada sistem menjadi
(
) ̈ ̈
̈ √
√
Kasus kedua
Saat masing-masing ujung batang bervibrasi secara berlawan an. Dengan memisalkan panjang pegas keadaan normal
adalah [ ], maka
𝑙
𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑖
𝑘 𝑘 𝑀𝑔
𝑙 𝑙
𝑙
𝑦
Gaya pemulih pegas yang menyebabkan terjadinya osilasi adalah gaya efektif pegas simpangan batang dari titik setimbang. Fungsi gaya berat hanya mengubah titik-titik setimbang batang.
Ambil arah berlawanan arah jarum jam sehingga arah percepatan sudut akan bertanda positif. maka torsi pada pusat batang [
] adalah
̈
Dimana [
], maka
̈ ( ) ( )
̈ ( )
Untuk sudut kecil, [
], maka
̈
̈ √
√
b. Frekuensi vibrasi dari kedua modus tersebut, jika ujung batang itu ditempeli sebuah benda bermassa m dan diperlu kan sama seperti sebelumnya (diberi simpangan kecil) Pembahasan
Kasus pertama
𝜃 𝑘𝑦 𝛼
𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑘𝑦 𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑖
𝜃
𝑘 𝑘
𝑦
𝑀𝑔 𝑙
𝑦
𝑦
Saat masing-masing ujung batang bervivrasi secara bersamaan, misalkan massa m di ujung kanan kiri
Posisi setimbang massa m turun sejauh d, maka persamaan gaya pegas adalah
( )
Misalkan batang menyimpang sejauh y, sehingga persamaan
gerak batang adalah
( ) ̈ (
) ( ) ̈ ( ) ̈
̈
̈
√
√
Kasus kedua
Saat masing-masing ujung batang bervibrasi secara
berlawanan, dan momen inesia batang dan benda m adalah
Maka persamaan torsi pada pusat massa batang adalah
(
) ̈
Dimana [
], maka
(
) ̈
𝑘 𝑘
𝑑
𝑙 𝑀𝑔
𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑖
𝑚
̈
̈
√
√
3. Sebuah pesawat ruang angkasa dikirimkan untuk menyelidiki suatu planet yang bermassa [ ] dan berjari-jari [ ]. Ketika pesawat melayang tak bergerak di ruang angkasa pada jarak [
] dari pusat massa planet, pesawat meluncurkan alat dengan kecepatan [ ]. Paket tersebut memiliki massa [ ] yang jauh lebih ringan dari massa pesawat ruang angkasa.
Paket diluncurkan pada sudut elevasi [ ] terhadap garis radial diantara pusat massa planet da pesawat ruang angkasa.
Tentukan :
a. Kondisi momentum sudut paket terhadap pusat massa planet Pembahasan
Gaya yang bekerja pada sistem adalah gaya gravitasi sehingga jumlah torsi luar yang bekerja sama dengan nol, karena vector [
⃗
] dan gaya gravitasi[⃗
] saling berlawanan.⃗ ⃗ ⃗
b. Kecepatan paket ketika tepat menyinggung permukaan planet sebagai fungsi dari sudut [ ]
Pembahasan
Persamaan momentum anguler awal pesawat terhadap pusat massa planet adalah
𝑚
𝑝𝑣 𝑟
𝑝𝑟
𝑝𝑝𝑒𝑠𝑎𝑤𝑎𝑡
𝜃
Persamaan momentum anguler akhir pesawat terhadap pusat massa planet adalah
Persamaan HK kekekalan momentum anguler menjadi
c. Besar sudut [ ] agar paket dapat menyinggung permukaan planet.
Pembahasan
Energi mekanik sistem akan konstan apabila tidak ada gaya luar yang bekerja (gaya tak konservatif) sehingga energi mekanik awal berbanding lurus dengan energi mekanik akhir.
Persamaan HK kekekalan energi mekanik pada sistem
(
) √
[ √
]
4. Sebuah bola A menggelinding tanpa slip dengan laju v men dekati bola B yang sedang diam pada suatu permukaan datar yang kasar dengan koefisien gesek [ ] dan [ ]. Kedua bola identic dan massa bola masing-masing adalah m. selama proses tumbukan, impuls gaya gesek sangat kecil sehingga dapat
diabaikan dan tumbukan terjadi secara elastis sempurna.
Kemudian, diketahui sesaat setelah tumbukan, kedua bola
menggelinding dengan slip dan pusat massa kedua bola segaris.
Bila setelah tumbukan, dalam selang waktu tertentu kemudian kedua bola akan menggelinding tanpa slip,
Maka, tentukan
a. Selang waktu kedua bola bergerak tanpa slip Pembahasan
Tumbikan terjadi elastis sempurna, sehingga kecepatan bola A dan bola B sesaat sebelum dan sesudah tumbukan
berturut-turut adalah
[
] kecepatan bola A sesaat sebelum tumbukan [
] kecepatan bola A sesaat setelah tumbukan [
] kecepatan bola B sesaat sebelum tumbukan [
] kecepatan bola A sesaat setelah tumbukan
Gaya aksi reaksi kedua bola saat bertumbukan tepat segaris dengan pusat massa kedua bola, sehingga momentum sudut masing-masing bola tetap karena
Tinjauan bola A (gerak translasi dan rotasi)
Tinjauan bola B (gerak translasi)
Sesaat setelah tumbukan kedua bola akan bergerak tanpa slip dan kecepatan masing-masing bola adalah
[
] kecepatan bola A sesaat setelah tumbukan [
] kecepatan bola B sesaat setelah tumbukan Tinjauan bola A
Tinjauan gerak bola A
Persamaan gerak rotasi [
]
𝐴 𝑣 𝐵
𝑁
𝜔
𝐴𝑚
𝐴𝑔 𝑓
𝐴( )
Persamaan gerak translasi
(2)
Persamaan kinematika gerak
(3)
Persamaan kinematika rotasi
( )
Syarat bola A bergerak tanpa slip adalah
(5)
dalam selang waktu [ ], nilai [ ] diperoleh dari substitusi persamaan (3), (4) ke (5) adalah
(
)
( )
Tinjauan bola B
Persamaan gerak rotasi [
]
𝑁
𝑚
𝐵𝑔 𝑓
𝐵𝑣
( )
Persamaan gerak translasi
(8)
Persamaan kinematika gerak
(9)
Persamaan kinematika rotasi
( )
Syarat bola A bergerak tanpa slip adalah
(11)
dalam selang waktu [ ], nilai [ ] diperoleh dari substitusi persamaan (9), (10) ke (11) adalah
( )
b. Kecepatan masing-masing bola setelah tumbukan, ketika kedua bola telah bergerak menggelinding tanpa slip Pembahasan
Untuk nilai [
] substitusikan persamaan (6) ke (3)
(
)
Untuk nilai [
] substitusikan persamaan (12) ke (9)
( )
c. Energi sistem yang hilang jika energi mula-mula adalah [ ] dan nyatakan dalam [ ]
Pembahasan
Energi awal sistem
( )
Energi akhir sistem
( )
Dimana
Sehingga
Energi sistem yang hilang adalah
5. Tinjau suatu sistem yang tersusun atas dua lempeng logam identic, masing-masing dengan luas penampang A, yang bila dalam keadaan setimbang atau netral (tanpa bermuatan listrik) kedua lempeng tersebut terpisah sejauh h, seperti tampak pada gambar, lempeng bagian bawah dibuat tidak dapat bergerak.
Lempeng bagian atas dikaitkan dengan sebuah pegas dengan konstanta pegas k yang digantungkan pada titik tetap. Bila kedua lempeng diberikan beda potensial V,
Hitung : (nyatakan dalam A, h, V, atau k)
a. Gaya listrik yang terjadi antara dua lempeng ! Pembahasan
Cara pertama
Kedua lempeng kapasitor C di beri beda potensial V, maka akan adanya gaya listrik terjadi dalam kapasitor yang menyebabkan gaya tarik menarik antara kedua lempeng.
Ketika jarak kedua lempeng adalah x, maka kapasitas kapasitor C adalah
Energi potensial kapasitornya adalah
Besar gaya listrik untuk beda potensial yang konstan adalah fungsi turunan energi kapasitor terhadap fungsi jarak
(
)
( )
(
) ( ) ( )
Tanda negatif artinya terjadi gaya tarik menarik
Gaya tarik menarik akan disetimbangkan oleh gaya pemulih berbanding lurus dengan gaya pegas, maka
( )
Dalam keadaan setimbang gaya listrik sebanding dengan gaya pegas
( )
( )
Solusi x dari persamaan ini akan sulit di selesaikan, karena persamaan kubik. Kita bisa menggunakan metode grafik intik
𝑘
𝑥
𝑥
mendapatkan nilai x ketika sistem sudah dalam keadaan setimbang. Kita akan menggambarkan gaya versus jarak antar lempeng untuk nilai V yang bervariasi seperti
ditunjukkan pada gambar
Perhatikan pada grafik
Pada saat setimbang, maka
Sehingga diperoleh persamaan
( )
Sehingga besar gaya listrik, menjadi
Cara kedua
Nilai x dapat diperoleh dari turunan kedua energi potensial sistem termasuk energi baterai bernilai negatif, sehingga energi potensial total adalah
( )
Dimana [
], maka
( )
Sehingga
[ ( ) ] [ ( )]
𝑘
𝑥 𝐹
𝑃𝐹
𝐿𝑘𝑒𝑠𝑒𝑡𝑖𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑏𝑖𝑙
𝑘𝑒𝑠𝑒𝑡𝑖𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙
𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠
𝑉(𝑚𝑎𝑘𝑠)
[ ( )]
b. Jarak antar kedua lempeng setelah diberi beda potensial V !
c. Besar beda potensial maksimum kedua lempeng yang menjamin kedia lempeng tidak saling bersentuhan ! Pembahasan
