Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk (Xk,Yk ) dan bentuk jumlah

INTEGRAL LIPAT

INTEGRAL LIPAT DUA

Pandang suatu fungsi z=f(x,y) yang kontinu pada daerah hingga R dibidang XOY.Misalkan daerah ini dibagi atas n buah sub (bagian) daerah daerah R₁,R₂…Rn masing-masing luasnya ∆₁A,∆2A₂…∆nA.

Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk (Xk,Yk ) dan bentuk jumlah

∑_(k=1)^n▒〖f(X_k,Y_k)∆_k A=f(x_1,y_1)∆_1 A+f(x_2,y_2)∆_2 A+⋯+⋯+f(x_n,y_n)∆_n A 〗 Sekarang tentukan diameter dari sub daerah yang merupakan jark terbesar antara 2 titik

sembarang di dalam atau pada batas sub daerah,dengan λn adalah diameter maksimum dari sub daerah.

Misalkan banyaknya sub daerah makin besar diartikan n ∞ maka λn 0 Maka integral lipat dua dari fungsi f(x,y)atas daerah R didfinisikan sebagai ∬▒〖f(x,y)dA=〗 lim┬(n→∞)⁡∑_(k=1)^n▒f(xk,yk ) ∆k A

Bila z = f(x,y) non negative atas daerah R,sebagai dalam gambar 6.2 diatas,integral lipat dua(2)bisa diartikan sebagai volume .Sembarang suku f(Xk,Yk ) ∆k A dari (1) memberikan volume dari kolom vertical yang alasnya ∆k A dan tingginya adalah zk.yang diukur sepanjang vertical dari titik Pk yang dipilih sampai permulaan z=f{(x,y)}

Jadi persamaan (1) adalah volume-volume pendekatan kolom vertical yang alasnya Rk dibawah dan atasnya adalah permukaan yang proyeksinya Rk.Persamaan (2) adalah ukuran dari volume dari sub-sub daerah.

Misalkan f(x,y)didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xy(gambar 9.1).Bagilah R dalam n daerah bagian ∆Rk yang masing-masing luasnya ∆Ak,k=1,2,…,n.Misalkan

(ε_k,nk)adalah suatu titik pada ∆Rk.Bentuklah jumlah ∑_(k=1)^n▒f(ε_k n_k) ∆Ak

Perhatikanlah

lim┬(n→∞)⁡∑_(k=1)^n▒〖f(ε_k n_k) 〗 ∆Ak

Dimana limit ini diambil agar banyaknya daerah bagian nmembesar tanpa batas sehingga dimensi linier terbesar dari setiap Rk mendekati nol.Jika limit ini ada,dinyatakan dengan ∫_R▒∫▒f(x,y)dA

Dan dinamakan integral lipat dua (integral ganda/double integral) dari f(x,y) pada daerah R.

Dapat dibuktikan bahwa limit ini ada jika f(x,y) kontinu (atau kontinu bagian demi bagian) pada R.

INTEGRAL BERULANG(ITERASI)

Jika R suatu daerah sehingga sembarang garis sejajar sumbu y memotong bata R di paling banyak dua titik (seperti terlihat pada gambar9.1),maka kita dapat menuliskan persamaan kurva

ACB dan ADB yang membatasi R masing-masing ebagai y=f1(x) dan y= f2(x) dimana f1(x) dan f2(x) fungsi bernilai tunggal dan kontinu pada a≤x≤b.Dalam kasus ini dapat dihitung integral lipat dua (3)dengan memilih daerah Rk.sebagai persegi panjang yang dibentuk oleh jaring berupa garis-garis sejajar sumbu x da y, dan ∆Ak yang menyatakan luas daerah ini.Maka (3) dapat ditulis sebagai

∬_R▒〖f(x,y)dx dy=∫_(x=a)^b▒∫_(y=f(x))^(f_2 (x))▒〖f(x,y)dy dx〗〗 =∫_(x=a)^b▒〖{∫_(y=f(x))^(f_2 (x))▒〖f(x,y)dy }dx〗〗

Dimana integral dalam kurung dihitung pertama (dengan menganggap x tetap) dan akhirnya integral terhadap x dari a ke b.Hasil(4) ini menunjukkan bagaimana suatu integral lipat dua dapat dihitung dengan meyatakannya sebagai dua integral tunggal,dan dinamakan integral berulang. Jika R suatu daerah sehingga suatu sejajar sumbu x memotong batas R pada paling banyak dua titik (seperti terlihat pada gambar9.1),maka persamaan kurve CAD dan CBD dapat ditulis masing-masing sebagai x=g1(y) dan x=g2(y) dan dengan cara serupa ita memperoleh ∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy= ∫_(y=c)^d▒∫_(x=g_1 (y))^(g_(2(y)))▒〖f(x,y)dx dy〗〗

Jika integral lipat dua ini ada,maka (4) dan (5) secara umum akan memberikan hasil yang sama.Dalam menuliskan suatu integral lipat dua,kita harus memilih salah satu dari bentuk (4) dan (5) dan bilamana mungkin keduanya,dan dinamakan bentuk satu dapat diubah urutan pengintegralannya terhadap bentuk lainnya.

Dalam kasus R tidak terbentuk jenis yang ditunjukkan pada gambar di atas,r secara umum dapat diagi menjadi daerah-daerah R1,R2,… yang berbentuk jenis ini.Kemudian integral lipat dua pada daerah r dapat ditentukan dengan mengambil jumlah integral lipat duanya pada daerah R1,R2…

PEMAKAIAN INTEGRAL LIPAT DUA

Menghitung volume antara permukaan z=f(x,y) dan bidang xy RUMUS

V=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗

Menghitung luas daerah di bidang xy dimana f(x,y)=1 RUMUS

L=∫_R▒∫▒〖dx dy〗 Menghitung massa

F dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas) RUMUS

M=∫_R▒∫▒〖f(x,y)dx dy〗 Menghitung pusat massa F=massa jenis

M=massa dari pelat tipis dan (x,y)=pusat massa di R Maka:

M x= ∫_R▒〖∫▒x f(x,y)〗 dx dy My=∫_R▒〖∫▒y f(x,y)〗 dx dy Menghitung Momn Inersia

Momen inersia dari plat tipis terhadap sb.x dan sb.y diberikan dengan Ix=∫_R▒∫▒〖y^2 f(x,y)dx dy ; 〗

Iy=∫_R▒∫▒〖x^2 f(x,y)dx dy ; 〗

INTEGRAL LIPAT TIGA Bentuknya

∫∫v∫ f(x,y) f(x,y,z)dx dy dz

F(x,y,k) didefinisikan pada ruang tertutup V dibagi atas paralelepipedium tegak lurus oleh bidang-bidanng sejajar bidang koordinat.Paralelepipedium dalam V kita beri nomor 1 samai n .Paralelepipedium ke I mempunyai volume ∆i V

Integral lipat tiga didapat dari penjumlahan limit dari jumlah

∭_v▒〖f(x,y,z)dx dy dz=〗 lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^Mf(xi*,yi*,zi*) ∆i V

Jika n ∞,sedang diagonal maksimum dari ∆i V 0 .Titik(xi*,yi*,zi*) Dipilih sembarang dalam paralelepipedium ke i.

Adanya suatu limit yang unik dapat ditunjukkan,jika f(x,y,z) kontinu di V

Teori sederhana berlaku untuk ruang tertutup V yang dilukiskan sebagai X1 ≤ X ≤ X2 ,y1(x) < y < y2(x)

Z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)

Untuk ruang tertutup ini,Integral lipat tiga dapat disingkat menjadi integral berulang ∫▒∫_v▒∫▒〖(x,y,z)dx dy dz= ∫_(x_1)^(x_2)▒∫_(y_1 (x))^(y_2 (x))▒∫_(z_1 (x))^(z_2 (x,y))▒〖f(x,y,z)dz dy dx〗〗

CONTOH SOAL

INTEGRAL LIPAT DUA

Hitung:

∫_R▒∫▒dA , dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh: Y=2x

Y=x2 dan x=1

Titik potong (0,0) dan (2,4)

∫_R▒∫▒dA =∫_(x=0)▒∫_(Y=x2)^2x▒〖dy dx〗 =∫_0^1▒〖(2x-x〗2)dx

=x2- ⅓ x3 0|1 =2/3

Atau

∫_R▒∫▒dA = ∫_R1▒∫▒dA + ∫_R2▒∫▒dA

= ∫_0^1▒∫_(1/2 y)^(√y)▒〖dx dy〗 + ∫_1^12▒∫_(1/2 y)^1▒〖dx dy〗 = 5/12 + 1/4 = 2/3 ∫_(-1)^2▒∫_(2x2-2)^(x2+x)▒〖x dy dx〗 = ∫_(-1)^2▒〖x y〗 ](x^2+x)¦(〖2x〗^2-2) dx = ∫_(-1)^2▒{x3 + x2 -2x3 +2x } dx = - 1/4 x4 + 1/3 x3 + x2 ]■(2@-1) = 9/4

∫_1^2▒∫_y^3y▒〖(x-y) dx dy〗 = ∫_1^2▒〖[1/2 x2+xy ]〗 ■(3y@y) dy =∫_1^2▒〖[1/2(3y)〗2 + 3y2 – ½ y2 –y2] dy

=∫_1^2▒〖6 〗y2 dy =2y3 ] 2¦1 =14 ∫_0^1▒∫_(x^2)^x▒〖 dy dx〗 = ∫_0^1▒〖[y]■(x@x^2 )〗 dx =∫_0^1▒〖(x-〗x2) dx =[1/2 x2 – 1/3 x3]■(1@0) =1/2 – 1/3 = 1/6

∫_0^π▒∫_0^cos⁡θ▒〖 ρ sin⁡〖θ dρ dθ〗〗 = ∫_0^π▒〖1/2 ρ^2 〗 sin θ I cos⁡θ¦0 dθ = ½ ∫_0^π▒( cos2 θ sin⁡θ) dθ

= - 1/2 ∫_0^π▒( cos⁡ 2θ d (cosθ) = - 1/6 cos3 θ ] π¦0

CONTOH SOAL PEMAKAIAN INTEGRAL LIPAT DUA Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola Y2 = 4-x

Y2 = 4-4x

Cari titik potong kedua parabola: JAWAB:

4 – x = 4 - 4x 3x =0

X = 0 Y =±2

Titik Potong : (0,2) dan (0,-2)

L = 2∫_0^2▒∫_(1-y^2/4)^(4-y^2)▒〖dx dy〗 =∫_0^2▒〖x∫_(1-〖y/4〗^2)^(4-y^2)▒dy〗 = 2∫_0^2▒(4-y^2-1+y^2/4)dy

= 2(3y -1/4 y^3 |■(2@0)┤ = 2(6-2) = 8

Hitung volume dari ruang yang dibatasi oleh silinder 4x2+y2=4,idang-bidang z=0 dan z=2y!!! V = ∫_R▒∫▒〖z dA〗

= ∫_(y=0)^2▒∫_(-√(4-y^2 )/2)^(√(4-y^2 )/2)▒〖2y dx dy〗 =

CONTOH SOAL INTEGRAL LIPAT TIGA HITUNG: ∫_0^(π/2)▒∫_0^4▒∫_0^(√(16-Z^2 ))▒〖(16-ρ^2 )^(1/2) ρ z d ρ dz dθ〗 Jawab: -1/2 ∫_0^(π/2)▒〖∫_0^4▒〖∫_0^(√(16-z^2 ))▒〖2/3 (16-ρ^2 〗 )^(1/2) 〗 d(16-ρ^(2 ) )z dz dθ〗 -1/2 ∫_0^(π/2)▒〖∫_0^4▒〖2/3 (16-ρ^2 )^(3/2) 〗 |■(√(16-z^2 )@0)┤ 〗 -1/3 ∫_0^(π/2)▒∫_0^4▒〖(z^3- 4^3 )z dz dθ〗 -1/3 ∫_0^(π/2)▒∫_0^4▒〖(z^4-64z)dz dθ〗 -1/3 ∫_0^(π/2)▒〖(1/(5 ) z^5 〗-32z^2)|■(4@0)┤dθ -1/3 ∫_0^(π/2)▒(4^5/5-4^5/5)dθ 4^5/3 ∫_0^(π/2)▒(1/2-1/5)dθ 4^5/10 θ |■(π/2@0)┤ = 4^5/10 . π/2 = 256/5 π

Jika V digambarkan oleh 0 ≤ y ≤ x2 dan 0 ≤ z ≤ x+y dan f=2x-y-z

∫▒∫_v▒∫▒〖f dx dy dz〗 = ∫_0^1▒∫_0^(x^2)▒∫_0^(x+y)▒〖(2x-y-z)dz dy dx〗 = ∫_0^1▒∫_0^(x^2)▒〖(2xz-yz-1/2 z^2)|■(x+y@0)dy dx┤ 〗

= 3/2 ∫_0^1▒∫_0^(x^2)▒〖(x^2-y^2 )dy dx〗 = 3/2 ∫_0^1▒〖(x^2 y-1/3 y^3)|■(x^2@0)dx┤ 〗 = 3/2 [1/5 x^5-1/21 〖 x〗^7 ] ■(1@0) = 8/35 Hitung ∫▒∫_v▒∫▒〖f(x)dV 〗 dimana F(x) = x2 + y2 + z2 V dibatasi oleh x + y + z =5 X=0 , y=0 , z=0 Jawab: ∫_0^5▒∫_0^(5-x)▒〖∫_0^(5-x-y)▒〖(x^2+y^2+z^2 〗) dz dy dx〗 ∫_0^5▒〖∫_0^5▒〖(x^2 z〗+y^2 z〗+1/3 z^3)|■(5-x-y@0)dy dx┤ ∫_0^5▒〖∫_0^(5-x)▒〖{(x^2+y^2 )z+1/3 z^3 〗} |■(5-x-y@0)┤ 〗 dy dx ∫_0^5▒∫_0^(5-x)▒〖{(x^2+y^2 )(5-x-y)+((5-x-y)^3)/3}dy dx〗

∫_0^5▒〖[x^2 (5-x)y-(x^2 y^2)/2+((5-x))/3 y^3- y^4/4- ((5-x-y)^4)/12]■(5-x@0)dx〗 ∫_0^5▒〖[x^2 (5-x)^2-〗 (x^2 (5-x)^2)/2+((5-x)^4)/3-((5-x)^4)/4+((5-x)^4)/12]dx ∫_0^5▒〖{(x^2 (5-x)^2)/2+((5-x)^4)/6}dx〗 (25x^3)/6-(5x^4)/4+x^5/10-((5-x)^5)/30 |■(5@0)┤ 5^5/6-5^5/4+5^5/10+0-(0-0+0.5^5/30) 5^5 (1/6-1/4+1/10+1/30) 1/20 5^5 =625/4

Hitung integra lipat 3 dari F(ρ,θ,z)=ρ^2 atas daerah yyang dibatasi oleh parabola ρ^2=9-z dan bidang z=0. JAWAB ∬_V▒〖∫▒ρ^2 dV= ∫_0^2π▒∫_0^3▒∫_0^(9-p^2)▒〖ρ^2 ρdz dρ dθ〗〗 =∫_0^2π▒∫_0^3▒〖ρ^3 (9-ρ^2 )dρ dθ〗 =∫_0^2π▒〖(9/4 ρ^4 〗-1/6 ρ^6 ├ )] ■(3@0)dθ =∫_0^2π▒〖243/4 dθ=243/2 π〗

Hitung volume dari daerah yang terletak dalam silinder ρ=2cos⁡θ di atas bidang z=0 dan diatas dibatasi oleh z=ρ^2 JAWAB V=2∫_0^(π/2)▒∫_0^(2 COSθ)▒∫_0^(ρ^2)▒〖ρdz dρ dθ〗 =2∫_0^(π/2)▒∫_0^2cosθ▒〖ρ^3 dρ dθ〗 =1/2 ∫_0^(π/2)▒〖ρ^4 |■(2 cosθ@0)dθ┤ 〗 =8 ∫_0^(π/2)▒〖〖cos〗^4 θ dθ〗 = 3/2 π

KESIMPULAN

INTEGRAL LIPAT DUA biasanya digunakan untuk:

Menghitung volume antara permukaan z=f(x,y )dan bidang xy Menghitung luas daerah dibidang xy dimana f(x,y)=1

Menghitung massa Menghitung pusat massa Menghitung momen Inersia

INTEGRAL LIPAT TIGA biasanya digunakan untuk: Menghitung volume daerah dalam silinder