PERBAIKAN MISKONSEPSI MAHASISWA DALAM MATAKULIAH KALKULUS LANJUT MELALUI PENDEKATAN
TUGAS DAN TES UNIT Baso Intang Sappaile
Abstrak
Penelitian ini merupakan jenis penelitian tindakan kelas yang bertujuan untuk mengetahui miskonsepsi yang dialami mahasiswa, membiasakan mahasiswa belajar dan mengerjakan tugas secara individual dan kontinu. Masalah dalam penelitian ini adalah: 1) bagaimana menyelesainan masalah dalam Kalkulus Lanjut dan bagaimana memahami konsep yang benar serta bagaimana mengembangkannya, dan 2) materi-materi mana yang merupakan miskonsepsi bagi mahasiswa? Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini adalah mening-katnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep bilangan rasional dengan persentase kira-kira 15%, meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep pertidaksamaan dengan persentase kira-kira 10%, meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep logaritma dengan persentase kira-kira 5%, dan meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep nilai mutlak dengan persentase kira-kira 10%. Selain itu, perubahan-perubahan yang terjadi adalah pada proses mengajar belajar, jumlah mahasiswa yang hadir dan aktif bertanya pada saat perkuliahan berlangsung lebih meningkat.
Kata kunci: Miskonsepsi, Pendekatan, Tugas, Tes unit A. PENDAHULUAN
Universitas Negeri Makassar (UNM) merupakan Lembaga Pendidikan Tinggi Negeri yang juga akan menghasilkan calon-calon tenaga pengajar, baik tenaga pengajar pendidikan dasar, menengah juga tenaga pengajar pendidikan tinggi. Tenaga pengajar yang dimaksudkan dalam Undang-Undang Sistem Pendidikan 1989 yaitu merupakan tenaga pendidikan yang khusus diangkat dengan tugas utama mengajar pada jenjang pendidikan dasar, pendidikan menengah, dan pendidikan tinggi.
Pendidikan guru MIPA SLTA pada program S1 antara lain bertujuan menghasilkan calon guru yang menguasai pengetahuan dasar mengenai ilmu yang akan diajarkannya secara konprehensif, mantap dan cukup mendalam, sehingga para lulusan dapat mengembangkan dan menyesuaikan diri dengan berbagai situasi dan perubahan yang terjadi di tempat tugasnya.
Mata kuliah Kalkulus Lanjut merupakan mata kuliah wajib yang harus diprogram-kan oleh mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNM Makassar. Mata kuliah tersebut bertujuan agar mahasiswa mampu memahami konsep generalisasi dari konsep diferensial dan integral pada matematika dan menerapkan pengetahuan yang dipel-ajari dengan masalah-masalah yang berkaitan.
Mata kuliah Kalkulus Lanjut juga merupakan prasyarat mata kuliah Statistika Matematika II, Persamaan Diferensial, Analisis Real I, dan Analisis Kompleks. Ini berarti bahwa mata kuliah Kalkulus Lanjut merupakan salah satu mata kuliah dasar
untuk mempelajari konsep matematika pada mata kuliah selanjutnya. Dengan demikian maka untuk memperbaiki konsep awal diperlukan suatu strategi pengajaran.
Berdasarkan data dari Jurusan Matematika FMIPA UNM Makassar lima tahun terakhir, hasil belajar (rata-rata nilai) mahasiswa dalam mata kuliah Kalkulus Lanjut mulai tahun akademik 1995/1996 s.d. 2000/2001 berturut-turut 2,08, 2,53, 1,71, 1,36 dan 1,91.
Pengalaman peneliti, mahasiswa merasa kesulitan mempelajari Kalkulus Lanjut yang dimungkinkan oleh miskonsepsi mahasiswa. Seperti konsep logaritma, konsep bilangan rasional, konsep fungsi banyak, konsep nilai mutlak, dan konsep perkalian skalar. Kadang mahasiswa menjawab daerah definisi dari f(x,y,z) = ln(1 - x - y - z) adalah
Df = {(x,y,z) R 1 - x - y - z 0}.
Dengan kenyataan ini, maka untuk mendukung upaya memperbaiki miskonsepsi dari mahasiswa dalam mata kuliah Kalkulus Lanjut peneliti melakukan penelitian tindakan untuk mencobakan suatu strategi dalam upaya meningkatkan aktivitas mahasiswa. Strategi yang akan dicobakan adalah konstruktivitas dengan maksud meningkatkan aktivitas mahasiswa dalam belajar konsep melalui pemberian tugas terstruktur dan tes unit secara bertahap. Untuk itu melalui mata kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat merubah konsepsi yang sudah ada dan kemungkinan kesalahan seperti itu, maka perlu dirancang kegiatan belajar mengajar yang dapat membangkitkan perubahan konseptual mahasiswa dengan melibatkan mahasiswa secara aktif.
Penelitian ini secara umum bertujuan untuk menciptakan suatu kondisi yang menyebabkan keterlibatan dosen untuk membimbing mahasiswa, dan usaha mahasiswa untuk menumbuhkan minat belajar sehingga dapat menyelesaikan tugas dan tes unit yang implikasinya dapat memahami konsep-konsep yang dalam mata kuliah kalkulus lanjut. Secara khusus, tujuan yang ingin dicapai adalah (1) untuk mengetahui miskonsepsi yang dialami mahasiswa, selanjutnya diperbaiki berdasarkan miskonsepsi tersebut, dan (2) untuk membiasakan mahasiswa belajar secara individual dan mengerjakan tugas secara kontinu, sehingga dapat meningkatkan prestasi belajar mahasiswa. Masalah dalam penelitian ini adalah (1) bagaimana mengajarkan Kalkulus Lanjut agar mahasiswa dapat memahami konsep yang benar dan dapat mengembang-kannya, dan (2) materi-materi mana yang merupakan miskonsepsi bagi mahasiswa?
B. KAJIAN TEORI
1. Belajar Matematika
Hamalik (1990: 21) mengatakan belajar adalah suatu bentuk pertumbuhan atau perubahan dalam diri seseorang yang dinyatakan dalam cara-cara bertingkah laku yang baru berkat pengalaman dan latihan. Sejalan dengan itu Sudjana (1991: 5) mengatakan belajar adalah suatu perubahan yang relatif permanen dalam suatu kecenderungan tingkah laku sebagai hasil dari praktek atau latihan. Kedua definisi tersebut sejalan dengan pendapat Gie (1988: 14) yang mengatakan bahwa belajar adalah segenap rangkaian kegiatan atau aktivitas yang dilakukan secara sadar oleh seseorang dan mengakibatkan perubahan pada dirinya berupa penambahan dalam pengetahuan atau kemahiran yang sifatnya sedikit permanen.
Mempelajari matematika tidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan serta operasi-operasinya, melainkan matematika juga berkenaan dengan ide-ide, struktur-struktur, dan hubungannya yang diatur secara logik sehingga matematika itu berkaitan dengan konsep-konsep yang abstrak.
Sebagai suatu struktur dan hubungan-hubungan, matematika memerlukan simbol-simbol untuk membantu memanipulasi aturan-aturan dengan operasi yang ditetapkan. Simbolisasi berfungsi sebagai komunikasi yang dapat diberikan keterangan untuk membentuk suatu konsep baru. Konsep tersebut dapat terbentuk bila sudah memahami konsep sebelumnya. Misalnya seorang peserta didik mempelajari konsep B yang berdasar pada konsep A, peserta didik tersebut terlebih dahulu harus memahami konsep A, sebab tanpa memahami konsep A maka peserta didik itu tidak mungkin memahami konsep B. Ini berarti bahwa mempelajari konsep-konsep dalam matematika haruslah bertahap dan berurutan serta berdasarkan pengalaman belajar yang lalu.
Matematika yang berkenaan dengan ide-ide abstrak yang diberi simbol-simbol itu tersusun secara hirarkis dan penalarannya deduktif, sehingga belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi. Karena matematika merupakan ideide abstrak yang diberi simbol-simbol, maka sebelum kita memahami simbol-simbol itu terlebih dahulu kita harus memahami ide-ide yang terkandung di dalamnya. Sinbol-simbol tersebut pada umumnya kosong dari arti. Artinya simbol-simbol tersebut dapat diberikan arti tertentu sesuai dengan semestanya. Dengan simbol-simbol yang kosong dari arti memberi peluang lebih besar kepada matematika untuk digunakan di berbagai bidang ilmu.
Berdasarkan uraian-uraian yang telah dikemukakan, maka belajar matematika pada hakekatnya adalah suatu aktivitas mental untuk memahami arti dari struktur-struktur, hubungan-hubungan, dan simbol-simbol, kemudian menerapkan konsep-konsep yang dihasilkan ke situasi yang nyata sehingga menyebabkan suatu perubahan tingkah laku.
2. Belajar Konsep
Belajar konsep merupakan hasil utama pendidikan. Konsep-konsep merupakan batu-batu pembangun berpikir. Konsep-konsep merupakan dasar bagi proses-proses mental yang lebih tinggi untuk merumuskan prinsip-prinsip dan generalisasi-generalisasi (Dahar, 1989: 79).
Djaali (1991: 16) menyatakan bahwa untuk meningkatkan kefektifan pengajaran matematika perlu ditempuh langkah-langkah penanaman konsep sampai kepada penerapannya, yang terdiri dari tiga langkah, yaitu langkah pemahaman, langkah penguatan, dan langkah penggunaan.
a. Langkah pemahaman
Untuk menanamkan konsep, rumus, atau prinsip x kepada mahasiswa, dosen matematika perlu mengetahui tingkat perkembangan intelektual atas struktur kognitif siswa yang akan mempelajari konsep, rumus, atau prinsip x itu agar strategi pengajaran yang digunakan disesuaikan dengan tingkat perkembangan struktur kognitif siswa tersebut. Misalnya konsep abstrak dari matematika dengan menggunakan proposisi-proposisi logik formal yang akan diajarkan kepada anak didik yang masih berada pada stadium operasioanl konkrit harus disajikan dalam bentuk yang lebih konkrit, baik dengan menggunakan gambar, benda-benda model matematika maupun dengan menggunakan contoh-contoh konkrit. Materi prasyarat bagi x harus diketahui terlebih dahulu oleh siswa, dan proses belajar matematika yang ditempuh harus bertitik tolak dari pengalaman atau pengetahuan yang telah dimiliki siswa. Hasil pemahaman terhadap x dapat dilihat dari kemampuan siswa mengemukakan, baik secara verbal maupun secara tertulis atau dengan cara memberikan contoh-contoh konkrit tentang penerapan konsep, rumus, atau prinsip x tersebut.
b. Langkah penguatan
Konsep, rumus, atau prinsip x yang telah dipahami perlu penguatan agar terjadi pengendapan. Proses pengendapan terjadi melalui penguatan. Bentuk penguatan untuk tipe belajar stimulus-respon atau asosiasi verbal adalah melalui latihan atau ulangan-ulangan yang teratur. Latihan atau ulangan-ulangan yang teratur itu dimaksudkan untuk memantapkan hasil belajar yang telah diperoleh, dan dibedakan atas dua bentuk, yaitu (1) agar siswa mengetahui konsep, rumus, atau prinsip x secara baik dan (2) agar siswa terampil menggunakan konsep, rumus, atau prinsip x itu ke dalam situasi baru.
c. Langkah penggunaan
Konsep, rumus, atau prinsip x yang telah dikuasai harus digunakan dalam menghadapi situasi baru. Untuk itu maka setelah siswa memahami dan menguasai konsep. Rumus, atau prinsip x tersebut, siswa harus diperhadapkan kepada berbagai hal baru yang relevan dengan penggunaan x tersebut. Masalah baru yang dihadapkan kepada siswa sesuai dengan tingkat pengembangan struktur kognitif siswa dan bermak-na baginya, serta harus dapat disesuaikan dengan penggubermak-naan konsep, rumus, atau prinsip x tersebut.
Djaali (1993: 430) menyatakan bahwa tes unit yang diberikan sebanyak tiga kali selama satu semester cukup efektif dalam merangsang kesiapan mahasiswa dan juga berfungsi sebagai ulangan yang efektif untuk memantapkan penguasaan materi perkuliahan bagi mahasiswa (sesuai hukum kesiapan dan hukum latihan). Selanjutnya dinyatakan bahwa tugas terstruktur yang diberikan cukup efektif untuk memantapkan materi perkuliahan, dan umpan balik dalam bentuk pembetulan hasil tugas terstruktur dan komentar positif bagi jawaban yang benar juga efektif dalam merangsang untuk lebih giat belajar (sesuai dengan hukum efek).
Hasil penelitian Djaali (1993: 429) menyimpulkan bahwa prestasi belajar kelom-pok mahasiswa yang mengikuti perkuliahan konvensional termasuk rendah, baik mata kuliah Metode Penelitian Pendidikan Matematika, Evaluasi Hasil Belajar Matematika, maupun Kalkulus Lanjut, dengan nilai rata-rata berturut-turut 39,09; 57,95; dan 45,77 dan standar deviasi berturut-turut 18,44; 15,18 dan 19,50.
3. Konstruktivisme
Menurut Piaget, (dalam Dahar, 1989: 159) pengetahuan sosial seperti nama hari dalam seminggu atau tanda atom dalam unsur-unsur dalam ilmu kimia dapat dipelajari secara langsung, yaitu dari pikiran guru pindah ke pikiran siswa. Namun pengetahuan fisik dan pengetahuan logik-matematika tidak dapat secara utuh dipindahkan dari pikiran guru ke pikiran siswa. Dengan lain perkataan pengetahuan fisik dan begitu pula pengetahuan logiko-matematik tidak dapat diteruskan dalam bentuk sudah jadi. Setiap anak harus membangun sendiri pengetahuan-pengetahuan itu; pengetahuan-pengeta-huan itu harus dikontruksi sendiri oleh anak melalui operasi-operasi, dan salah satu cara untuk membangun operasi ialah ekuilibrasi.
Berg (dalam Johar, 1997: 11) menyatakan bahwa menurut kontruktivisme, materi atau pelajaran baru 1) harus berlangsung dengan konsepsi yang sudah ada, atau 2) membongkar konsep lama dan membangun kembali (jika prakonsepsi terlalu menyim-pang dari konsep ilmuwan). Jadi, dalam teori semacam ini, pembahasan pokok bahasan yang baru dinilai dengan memberikan kesempatan kepada siswa untuk menerangkan ide-idenya (prakonsepsinya) agar mereka lebih sadar mengenai konsepsi yang
dimilikinya. Kemudian masing-masing konsepsi siswa dikembangkan ke arah yang benar. Selanjutnya dikemukakan bahwa setiap pengajar harus menyadari dulu seperti apa prakonsepsi dan pengalaman yang sudah ada di dalam kepala siswa dan kemudian dia harus menyesuaikan pelajaran dan cara mengajarkannya dengan "pra" pengetahuan tersebut.
Model belajar perubahan konseptual dikemukakan oleh Strik dan Posner (dalam Johar, 1997: 13) yang artinya belajar merupakan pemahaman suatu ide baru, menilai kebenaran ide ini, dan menilai konsistennya dengan ide yang lain. Anggapan dasarnya adalah konsepsi yang dibawa oleh pembelajar berpengaruh pada kemampuan untuk belajar dan berpengaruh pula pada ide yang akan dipelajari.
C. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan jenis penelitian tindakan kelas yang terdiri dari 2 (dua) siklus. Setiap siklus dengan langkah-langkah: perencanaan tindakan, pelaksanaan tindakan, evaluasi, dan refleksi.
1. Perencanan Tindakan
Perencanaan tindakan yang akan dilakukan adalah sebagai berikut.
a. Tim peneliti membentuk kelompok kecil, (maksimal 10 orang) tiap kelompok. b. Dosen memberikan materi kuliah berdasarkan SAP-1, SAP-2, SAP-3, dan SAP-4. c. Pemberian tugas-1, tugas-2, dan tugas-3.
d. Pemberian tes unit-1, unit-2, dan unit-3.
e. Diskusi kelas berdasarkan masing-masing hasil tugas. f. Umpan balik berdasarkan masing-masing hasil tes unit. g. Tanya jawab bila ada pertanyaan dari mahasiswa. h. Evaluasi.
i. Setiap pertemuan, tugas dan tes unit dilakukan berturut-turut selama 50 menit pertama dan kedua.
2. Pelaksanaan Tindakan
Proses pelaksanaan tindakan pada tahap siklus pertama adalah sebagai berikut. a. Dosen memberikan materi kuliah berdasarkan SAP-1.
b. Pertemuan berikutnya, 50 menit pertama pemberian tugas-1,50 menit kedua pemberian tes unit-1 secara individual. Selanjutnya 50 menit ketiga diskusi berdasarkan hasil tugas-1 dari masing-masing kelompok.
c. Pertemuan berikutnya, 150 menit lanjutan pemberian materi kuliah SAP-2.
d. Pertemuan berikutnya, 50 menit pertama pemberian tugas-2,50 menit kedua pemberian tes unit-2. Selanjutnya 50 menit ketiga diskusi berdasarkan hasil tugas-2 dari masing-masing kelompok.
e. Pertemuan berikutnya, 50 menit pertama umpan balik hasil tes unit-2. 100 menit terakhir pemberian materi SAP-3.
Konsep awal yang digunakan dalam materi tersebut adalah sebagai berikut.
a. Konsep bilangan real, yang memuat bilangan di bawah akar, bilangan logaritma natural, bilangan rasional.
b. Konsep pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan linear dan himpunan penyelesaian dalam bentuk arsiran.
c. Konsep limit dan kekontinuan fungsi real. d. Konsep nilai mutlak.
Proses pelaksanaan tindakan pada tahap siklus kedua adalah sebagai berikut. a. Pemberian materi SAP-3.
b. Pertemuan berikutnya, 50 menit pertama pemberian tugas-3, 50 menit kedua pemberian tes unit-3. Selanjutnya 50 menit ketiga diskusi berdasarkan hasil tugas-3 dari masing-masing kelompok.
c. Pertemuan berikutnya, 50 menit pertama umpan balik hasil tes unit-3. 100 menit terakhir pemberian materi SAP-4.
d. Pemberian materi SAP-4.
e. Pertemuan berikutnya, tanya jawab tentang materi yang telah disajikan pada perte-muan sebelumya.
3. Evaluasi
Pertanyaan-pertanyaan mahasiswa pada saat dosen mengajarkan materi tertentu, sebelum dosen menjawab terlebih dosen melemparkan pertanyaan tersebut kepada mahasiswa lainnya untuk dijawab dan ditanggapi. Berdasarkan jawaban dari beberapa mahasiswa akan ditarik kesimpulan menjadi jawaban yang tepat, seperti menentukan daerah definisi fungsi
z = f(x,y) = ) y x ln( y x 16 2 2 dan gambar Df.
Berdasarkan soal tersebut, mahasiswa belum dapat menentukan syarat yang harus dipenuhi agar 16x2 y2 R,
ln (x + y) R dan Z R. Sehingga mahasiswa tidak dapat menggambarkan Df di R dengan benar. Selanjutnya, memberikan tugas-1 (sebagai contoh) yang sama kepada setiap kelompok, dengan soal sebagai berikut.
1. Diketahui fungsi dua peubah f(x,y) = 4x2 y2 & g(x,y) = ln (2x - y).
Tentukan
a. D = Df Dg dan gambarkan sebagai himpunan titik di bidang. b. Persamaan fungsi f + g, f - g, fog, f/g, dan g/f.
c. Daerah definisi fungsi pada bagian b.
2. Gunakan definisi limit fungsi skalar dengan - untuk membuktikan 3 ) y 2 x ( lim 2 2 ) 1 , 1 ( ) y , x ( . 3. Selidiki apakah 2 4 2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x ( x y y x lim ada?
Hasil pekerjaan mahasiswa dari tugas-1 dikumpulkan sebelum pertemuan selanjut-nya. Berdasarkan kesalahan-kesalahan yang dialami oleh mahasiswa dari hasil tugas-1 diserahkan kepada kelompok tertentu, selanjutnya disuruh menuliskan hasil pekerja-annya dan kelompok lain menanggapi. Dari beberapa tanggapan yang berbeda, dosen meluruskannya.
Hasil Pekerjaan Tugas
Dari sebelas kelompok, pada umumnya kesalahan yang dialami oleh mahasiswa terletak pada konsep bilangan rasional, pertidaksamaan, logaritma dan nilai mutlak.
Berdasarkan hasil tes-unit, pada umumnya mahasiswa mengalami kesalahan yang minim dalam arti adanya perubahan positif setelah diadakan refleksi hasil tugas-tugas mahasiswa. Kasalahan yang dimaksudkan adalah kesalahan konsep bukan kesalahan menulis, angka atau huruf.
Hasil tes-unit inipun dosen memberikan komentar dan catatan pada setiap pekerjaan mahasiswa dengan maksud diharapkan mahasiswa tidak mengulangi kesalahan-kesalahan lagi, baik pada tugas maupun tes-unit selanjutnya.
4. Refleksi
Berdasarkan tes yang diberikan, mahasiswa menuliskan
x +2y-3x-1x+1 + 2y-1y+1
x +2y-3 = 3x-1 + 6y-1...@
Tanggapan mahasiswa, sebagian besar mahasiswa yang menyatakan @ benar dan sebagian mahasiswa tidak dapat menyatakan pendapat. Karena mahasiswa tetap mempertahan kan @ benar, maka dosen memberikan contoh yang sederhana yaitu: x
y = 3, berarti x 3. Untuk meyakinkan bahwa pernyataan tersebut benar, diberikan nilai-nilai x dan y, sebagai berikut:
Ambil x = 2, y = 3, maka 2 3 = 3 berarti 2 3 benar ambil x = 3, y = 3, maka 3 3 = 3 berarti 3 = 3 benar Jadi x + 1x -1 + 2 = 3 berarti x + 1 3 Karena x + 1 = x - 1 + 2 x - 1 + 2 = 3 berarti x + 1 3 dan y + 1 = y - 1 + 2 y - 1 + 2 = 3 berarti y + 1 3 x + 1 3
x - 1x + 1 3x - 1 (masing-masing dikalikan dengan x - 1)...(1) Selanjutnya
y + 1 3
2y - 1y + 1 6y - 1 (masing-masing dikalikan dengan 2y -1)...(2)
(1) dan (2) dijumlahkan, diperoleh:
x - 1x + 1 + 2y - 1y + 1 3x - 1 + 6y - 1.
Mahasiswa kelompok III, kesalahan pada soal nomor 1, yaitu kesalahan pada konsep bilangan rasional.
Karena mahasiswa tidak menuliskan syarat tambahan 2x-y 1 berarti memungkinkan penyebutnya sama dengan nol.
Berdasarkan hasil tugas kelompok, diidentifikasi kesalahan-kesalahan yang mayo-ritas mahasiswa mengalami kesalahan konsep. Hasil identifikasi tersebut dibahas bersama-sama (antar kelompok dan mahasiswa dengan dosen).
Pada diskusi tersebut muncul beberapa pendapat yang masing-masing tetap mem-pertahankan pendapatnya dan kadang ada mahasiswa yang susah untuk menentukan
pendapat. Namun setelah dosen memberikan argumen-argumen yang berkaitan dengan pendapat yang berbeda tersebut, mahasiswa dapat mengerti dan menerima dari salah satu pendapat. Pada saat mahasiswa telah mengerti hal-hal yang tersebut, selanjutnya pada saat itu pula diberikan tes-unit yang materinya berkaitan dengan tugas yang baru dibahas.
D. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Penelitian
a. Mahasiswa belum dapat menentukan daerah definisi fungsi. Misalnya, daerah
definisi fungsi z = f(x,y) =
) y x ln( y x 16 2 2
. Ini terjadi karena mahasiswa belum
dapat menentukan syarat yang harus dipenuhi agar 16x2 y2 R, ln (x + y)
R dan Z R.
b. Terjadi kekeliruan dan kesalahan pada konsep pertidaksamaan. Misalnya, gunakan definisi limit fungsi skalar dengan - untuk membuktikan
3 ) y 2 x ( lim 2 2 ) 1 , 1 ( ) y , x ( .
c. Berdasarkan hasil tes-unit, pada umumnya mahasiswa mengalami kesalahan yang minim dalam arti adanya perubahan positif setelah diadakan refleksi hasil tugas-tugas mahasiswa. Kasalahan yang dimaksudkan adalah kesalahan konsep bukan kesalahan menulis, angka atau huruf. Hasil tes-unit inipun dosen membe-rikan komentar dan catatan pada setiap pekerjaan mahasiswa dengan maksud diharapkan mahasiswa tidak mengulangi kesalahan-kesalahan lagi, baik pada tugas maupun tes-unit selanjutnya.
d. Kesalahan pada konsep bilangan real. Misalnya diberikan soal seperti berikut. Diketahui fungsi dua peubah f(x,y) = 4x2 y2 & g(x,y) = ln (2x - y).
Tentukan: 1) D = Df Dg dan gambarkan sebagai himpunan titik di bidang, 2) Persamaan fungsi f + g, f - g, fog, f/g, dan g/f, dan 3) Daerah definisi fungsi pada bagian 2).
e. Secara rinci hasil-hasil yang dicapai selama akhir siklus kedua adalah: 1) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep bilangan rasional dengan persentase kira-kira 15%, 2) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep pertidaksamaan dengan persentase kira-kira 10%, 3) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep logaritma dengan persentase kira-kira 5%, dan 4) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep nilai mutlak dengan persentase kira-kira 10%.
2. Pembahasan
Miskonsepsi Mahasiswa
Miskonsepsi mahasiswa meliputi konsep bilangan rasional, pertidaksamaan, logaritma, fungsi banyak, nilai mutlak, perkalian skalar.
Konsep bilangan rasional Misalnya Hitung 2 2 2 ) 1 , 1 ( ) y , x ( x y y x lim .
Mahasiswa menuliskan 1 1 1 1 . 1 y x y x lim 2 2 2 2 2 2 ) 1 , 1 ( ) y , x (
Ini terjadi pada mahasiswa dimungkinkan karena definisi bilangan rasional tidak dipahami atau mahasiswa membayangkan bahwa 1 (sebagai pembilang) dapat dipada-nankan sebuah benda yang tidak dibagi, sehingga tetap sebuah benda atau 1.
Konsep logaritma
Misal diketahui f(x,y,z) = ln(1 - x - y - z), tentukan daerah definisi fungsi. Mahasiswa menjawab
Df = {(x,y,z) R 1 - x - y - z 0}. Ini terjadi pada mahasiswa dimungkinkan karena tidak mengerti hakekat dari logaritma itu sendiri. Sebenarnya mahasiswa harus mengetahui asal mula logaritma, sehingga untuk mengetahui syarat yang harus dipenuhi oleh logaritma mahasiswa sekurang-kurangnya mengembalikan kepada hasil dari pangkat suatu bilangan positif.
Konsep fungsi banyak
Misal selidiki kekontinuan fungsi f di daerah definisinya, jika
0 , 0 y , x , 0 0 , 0 y , x , y x y x ) y , x ( f 2 2 2Mahasiswa mengerjakan lim 0 0
) 0 , 0 ( ) y , x ( dan f(0,0) = 0. karena lim f(x,y) 0 ) 0 , 0 ( ) y , x
( dan f(0,0) = 0, maka f kontinu di (0,0). Ini terjadi pada
mahasiswa dimungkinkan karena yang ditanyakan dalam soal adalah daerah definisi fungsi, maka mahasiswa tidak lagi mencek untuk fungsi pertama karena
(x,y) (0,0).
Konsep perkalian skalar Misal F, G: D Rn , D R F(t) =
n 1 i i i(t)ef dan G(t) = gi(t)ei adalah fungsi vektor di Rn.
Mahasiswa menyatakan (F.G)(t) = (F(t).G(t)) =
n 1 i (fi(t).gi(t)) RIni terjadi pada mahasiswa dimungkinkan karena hanya menghafal rumus atau teorema, tidak memaknai dari sigma dari perkalian komponen-komponen suatu fungsi vektor.
Pertanyaan-pertanyaan mahasiswa pada saat dosen mengajarkan materi tertentu, sebelum dosen menjawab terlebih dosen melemparkan pertanyaan tersebut kepada mahasiswa lainnya untuk dijawab dan ditanggapi. Berdasarkan jawaban dari beberapa mahasiswa akan ditarik kesimpulan menjadi jawaban yang tepat.
Sebagai contoh: menentukan daerah definisi fungsi z = f(x,y) = ) y x ln( y x 16 2 2 dan gambar Df.
Berdasarkan soal tersebut, mahasiswa belum dapat menentukan syarat yang harus dipenuhi agar 16x2 y2 R,
ln (x + y) R dan Z R. Sehingga mahasiswa tidak dapat menggambarkan Df di R dengan benar.
Selanjutnya, memberikan tugas-1 (sebagai contoh) yang sama kepada setiap kelompok, dengan soal sebagai berikut.
1. Diketahui fungsi dua peubah
f(x,y) = 4x2 y2 & g(x,y) = ln (2x - y). Tentukan
a. D = Df Dg dan gambarkan sebagai himpunan titik di bidang. b. Persamaan fungsi f + g, f – g, fog, f/g, dan g/f.
c. Daerah definisi fungsi pada bagian b.
2. Gunakan definisi limit fungsi skalar dengan - untuk membuktikan 3 ) y 2 x ( lim 2 2 ) 1 , 1 ( ) y , x ( . 3. Selidiki apakah 2 4 2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x ( x y y x lim ada?
Hasil pekerjaan mahasiswa dari tugas-1 dikumpulkan sebelum pertemuan selanjut-nya. Berdasarkan kesalahan-kesalahan yang dialami oleh mahasiswa dari hasil tugas-1 diserahkan kepada kelompok tertentu, selanjutnya disuruh menuliskan hasil pekerjaannya dan kelompok lain menanggapi. Dari beberapa tanggapan yang berbeda, dosen meluruskannya.
Hasil Pekerjaan Tugas
Dari sebelas kelompok, pada umumnya kesalahan yang dialami oleh mahasiswa terletak pada konsep bilangan rasional, pertidaksamaan, logaritma dan nilai mutlak. Untuk lebih jelasnya dapat dicermati pada kesalahannya yang dialami oleh kedua kelompok berikut ini.
Mahasiswa kelompok VI
Kesalahan pada soal nomor 2, yaitu kesalahan pada konsep pertidaksamaan. Mahasiswa menuliskan sebagai berikut:
x + 1 = x - 1 + 2x - 1 + 2 = 3
y + 1 = y - 1 + 2 y - 1 + 2 = 3 kemudian dituliskan
x +2y-3x-1x+1 + 2y-1y+1 = 3x-1 + 6y-1...@
Dosen mempersilahkan kelompok lain untuk menanggapinya. Hasil tanggapan mahasiswa, sebagian besar mahasiswa yang menyatakan @ benar dan sebagian maha-siswa tidak dapat menyatakan pendapat. Karena mahamaha-siswa tetap mempertahan kan @ benar, maka dosen memberikan contoh yang sederhana yaitu: x y = 3, berarti x
3. Untuk meyakinkan bahwa pernyataan tersebut benar, diberikan nilai-nilai x dan y, sebagai berikut: Ambil x = 2, y = 3, maka 2 3 = 3 berarti 2 3 benar ambil x = 3, y = 3, maka 3 3 = 3 berarti 3 = 3 benar Jadi x + 1x -1 + 2 = 3 berarti x + 1 3 Karena x + 1 = x - 1 + 2 x - 1 + 2 = 3 berarti x + 1 3 dan y + 1 = y - 1 + 2 y - 1 + 2 = 3 berarti y + 1 3 x + 1 3
x - 1x + 1 3x - 1 (masing-masing dikalikan dengan x - 1)...(1) Selanjutnya
y + 1 3
2y - 1y + 1 6y - 1 (masing-masing dikalikan dengan 2y -1)...(2) (1) dan (2) dijumlahkan, diperoleh:
x - 1x + 1 + 2y - 1y + 1 3x - 1 + 6y - 1. Mahasiswa kelompok III
Kesalahan pada soal nomor 1, yaitu kesalahan pada konsep bilangan rasional. Karena mahasiswa tidak menuliskan syarat tambahan 2x-y 1 berarti memungkinkan penyebutnya sama dengan nol.
Berdasarkan hasil tes-unit, pada umumnya mahasiswa mengalami kesalahan yang minim dalam arti adanya perubahan positif setelah diadakan refleksi hasil tugas-tugas mahasiswa. Kasalahan yang dimaksudkan adalah kesalahan konsep bukan kesalahan menulis, angka atau huruf. Hasil tes-unit inipun dosen memberikan komentar dan catatan pada setiap pekerjaan mahasiswa dengan maksud diharapkan mahasiswa tidak mengulangi kesalahan-kesalahan lagi, baik pada tugas maupun tes-unit selanjutnya.
E. PENUTUP 1. Kesimpulan
Secara umum, pada siklus pertama dan kedua, kesalahan yang dialami oleh mahasiswa terletak pada konsep bilangan rasional, pertidaksamaan, logaritma dan nilai mutlak. Setelah beberapa kali diadakan pemberian tugas, tes-unit dan diskusi, dan kesempatan yang diberikan mahasiswa untuk bertanya, jumlah mahasiswa yang membuat kesalahan berangsur-angsur berkurang. Namun ada mahasiswa yang sangat lamban menerimanya.
Secara rinci hasil-hasil yang dicapai selama akhir siklus kedua adalah: 1) mening-katnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep bilangan rasional dengan persentase kira-kira 15%, 2) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep pertidaksamaan dengan persentase kira-kira 10%, 3) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep logaritma dengan persentase kira-kira 5%, dan 4) meningkatnya jumlah mahasiswa tidak mengalami kesalahan pada konsep nilai mutlak dengan persentase kira-kira 10%. Selain itu, perubahan-perubahan yang terjadi adalah pada proses mengajar belajar, jumlah
mahasiswa yang hadir dan aktif bertanya pada saat perkuliahan berlangsung lebih meningkat.
2. Saran
Berdasarkan kesimpulan tersebut, maka untuk tidak terjadi miskonsepsi maha-siswa terhadap konsep-konsep yang terdapat pada materi mata kuliah Kalkulus Lanjut, disarankan kepada para dosen mata kuliah Kalkulus untuk selalu mengajarkan khususnya konsep: 1) bilangan rasional, 2) pertidaksamaan, 3) logaritma dan 4) nilai mutlak. Disamping itu, khususnya dosen Kalkulus Lanjut dapat memulai perkuliahan bila mana dosen telah yakin behwa para mahasiswa telah menguasai konsep-konsep: bilangan rasional, pertidaksamaan, logaritma dan nilai mutlak.
DAFTAR PUSTAKA
Anon, 1992. Undang-Undang Tentang Sistem Pendidikan Nasional, Nomor 2 Tahun
1989. Sinar Grafika, Jakarta.
Dahar, Ratna Wilis, 1989. Teori-teori Belajar, Erlangga, Jakarta.
Djaali, 1993. Efektivitas Pengajaran pada Jurusan Matematika FPMIPA IKIP Ujung
Pandang, (Laporan Penelitian), Makassar.
---, 1991. Pengaruh Kebiasaan Belajar, Motivasi Belajar, dan Kemampuan Dasar
terhadap Prestasi Belajar Matematika Pada Sekolah Menengah Pertama (SMP) di Sulawesi Selatan di Luar Kota Madya Ujung Pandang, (Penelitian
Tahap Kedua), Makassar.
Gie, The Liang, 1988. Cara Belajar Yang Efisien, Pusat Kemajuan Studi, Yokyakarta.
Hamalik, Oemar, 1990. Metoda Belajar dan Kesulitan-Kesulitan Belajar, Tarsito, Bandung.
Johar, Rahmah, 1997. Penerapan Model Belajar Perubahan Konseptual Dengan CLS
Pada Topik Perbandingan di Kelas II SMP Khadijah Surabaya, Tesis, Program
Pendidikan Matematika Pascasarjana IKIP Surabaya.
Sudjana, Nana, 1991. Teori-Teori Belajar Untuk Pengajaran, Fakultas Ekonomi UI, Jakarta.
