PEMBENTUKAN FUNGSI PELUANG BIRTH-DEATH PROCESS MELALUI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN

(1)

PEMBENTUKAN FUNGSI PELUANG BIRTH-DEATH PROCESS MELALUI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN

Etza Budiarti, H. Karim, Dewi Sri Susanti

Program Studi Matematika Fakultas MIPA Unlam Jl. A. Yani Km 36 Kampus Unlam Banjarbaru, Kalsel

ABSTRAK

Proses Stokastik {X(t),t∈T} didefinisikan sebagai koleksi variabel acak yang menggambarkan perkembangan suatu proses dimana himpunan X(t) adalah ruang status dengan

T

t∈ adalah parameter waktu. Birth-Death process merupakan suatu rantai Markov waktu

kontinu, yaitu proses Stokastik yang mempunyai status diskrit dan waktu kontinu dengan sifat status pada masa akan datang proses tidak tergantung pada waktu yang telah lalu, tetapi hanya bergantung pada waktu sekarang. Transisi dari status i (i = jumlah individu) hanya terjadi dari status i ke status i+1 yang menggambarkan bertambahnya 1 individu ke dalam suatu populasi pada waktu t (Birth Process) dan dari status i ke status i-1 yang menggambarkan berkurangnya 1 individu dari suatu populasi pada waktu t (Death Process). Diasumsikan individu yang masuk ataupun keluar mengikuti proses Poisson dan waktu antar kejadian berdistribusi Eksponensial dengan rate Birth Process λi >0 (i=0,1, 2,) dan rate Death Process µi >0

(i=1,2,3,). Jika proses terjadi dalam interval waktu (t, t+∆t) yang sangat kecil, maka

peluang sistem berada dalam status i pada waktu

(

t+∆t

)

akan membentuk persamaan diferensial. Fungsi peluang Birth-Death Process diperoleh dari penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen yang dibentuk dari peluang transisi setiap status dalam interval waktu (t, t+∆t) dengan asumsi setiap kejadian berdistribusi Poisson dan waktu antar kejadian

berdistribusi Eksponensial. Setelah dilakukan proses penyelesaian sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen yang terbentuk dari peluang-peluang transisi, maka diperoleh fungsi peluang

Birth-Death Process dengan rate Birth Process dan rate Death Process konstan untuk setiap

proses Poisson dengan ruang status berhingga n, yaitu

( )

_∑

∞

( ) (

_{)( )}

= + − − ₊ = 0 1 ! 2 , 1 m i m m i i i m t i m A L t P dimana

( )

∑

+ = + = + = = − = 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 3 1 2 2 1 1 , m m m j j j j j j j j j i j j a a a a i m A 

dengan Li−1 =a0a2a4a2i−2 , L−1 =1, A

( )

0,i =1, a2i =λ dan a2i−1 =µ untuk setiap

konstanta λ>0 dan µ >0, dan ai =0 jika i≥2n untuk setiap i=0,1, 2,, n.

Kata Kunci : Proses Stokastik, Rantai Markov Waktu Kontinu, Peluang-peluang Transisi, Fungsi

Peluang Birth-Death Process

(2)

ABSTRACT

Stochastic process {X(t),t∈T} defined as a random variable collection which describes the changes of a process where a set X(t) is called state space with t∈T is called time parameter. Birth-Death process is a continuous time Markov chain, which is a Stochastic process that has discrete state and continuous time with characteristic the future state is independent of the past state, but only dependent of the present state. Transition of state i (i = number of individual) only occurs from state i to state i+1 that describes one individual comes into the population at time t (Birth Process) and from state i to state i-1 that describes one individual leaves from the population at time t (Death Process). Suppose every individual that comes or leaves according to Poisson Process and waiting time has Exponential distribution with rate Birth Process λi >0 (i=0,1,2,) and rate Death Processµi >0 (i=1,2,3,). If the process occurs in very small time interval

(

t,t+∆t

)

, then the probability of system exist in state i at time

(

t+∆t

)

will form a differential equation. The probability function of Birth-Death Process is obtained from Homogeneous Linear Differential Equation System solution which is formed from every state transition probability in time interval

(

t,t+∆t

)

with assumption that every event has Poisson distribution and waiting time has Exponential distribution. After Homogeneous Linear Differential Equation System solution process which is formed from transition probabilities has been done, it is obtained the probability function of Birth-Death Process with constant rate Birth Process and rate Death Process for every Poisson process with n finite state space, that is

( )

∑

( ) (

)( )

∞ = + − − ₊ = 0 1 ! 2 , 1 m i m m i i i m t i m A L t P where

( )

∑

+ = + = + = = − = 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 3 1 2 2 1 1 , m m m j j j j j j j j j i j j a a a a i m A  with L_i₋₁ =a₀a₂a₄a₂_i₋₂ , L₋₁ =1,

( )

0,i =1

A , a₂_i =λ and a_2i₋₁ =µ for every constant λ>0 and µ >0, and a_i =0 if n

i≥2 for every i=0,1,2,,n.

Keywords : Stochastic Process, Continuous Time Markov Chain, Transition Probabilities, Probability Function of Birth-Death Process

1. PENDAHULUAN

Model matematika yang mendasarkan pada teknik peluang dan memperhitungkan ketidakpastian disebut model probabilistik atau model stokastik. Proses stokastik merupakan penerapan dari model stokastik. Proses stokastik {X(t),t∈T} adalah koleksi variabel acak yang menggambarkan perkembangan suatu proses dimana himpunan X(t) adalah ruang status (state space) dengan t∈ adalah indeks atau parameter waktu [4]. Birth-Death Process T merupakan suatu rantai Markov waktu kontinu, yaitu proses Stokastik yang mempunyai status diskrit dan waktu kontinu dengan sifat status pada masa akan datang proses tidak tergantung pada waktu yang telah lalu, tetapi hanya bergantung pada waktu sekarang. Transisi dari status i hanya terjadi ke status i+1 (Birth Process) atau ke status i-1 (Death Process). Dalam penelitian ini, diasumsikan banyaknya individu yang masuk ataupun keluar berdistribusi Poisson dan waktunya berdistribusi Eksponensial dengan rate Birth Process λ_i >0 (i = 0,

(3)

1, 2, …) dan rate Death Processµi >0 ( i = 1, 2, 3, …). Apabila proses terjadi dalam interval waktu yang sangat kecil

(

t,t+∆t

)

, maka peluang Birth-Death Process berada dalam status i pada waktu t dapat dimodelkan ke dalam Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen.

2. METODE PENELITIAN

Materi penelitian yang digunakan dalam penelitian ini bersumber dari literatur, baik dari buku teks maupun dari paper yang terkait.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Salah salah satu asumsi yang digunakan dalam proses stokastik adalah variabel acak yang berdistribusi Eksponensial. Suatu ciri khusus dari Distribusi Eksponensial adalah memoryless property atau sifat pelupa [1]. Sifat ini menyatakan bahwa jika T merupakan usia pakai komponen tertentu, maka peluang komponen tersebut akan berfungsi baik dalam jangka waktu lebih dari (s+t) jika umurnya telah mencapai t adalah sama dengan peluang komponen itu berfungsi baik dalam jangka waktu lebih dari s. Jadi tidak tergantung pada kondisi awal t.

3.1 Peluang transisi Birth-Death Process

Apabila proses terjadi dalam interval waktu yang sangat kecil

(

t,t+∆t

)

, maka dapat dinyatakan peluang-peluang transisi yang mungkin terjadi dalam interval waktu

(

t,t+∆t

)

saat terdapat i individu sebagai berikut :

1. Peluang transisi Birth Process dengan rate λ_i >0untuk setiap i = 0, 1, 2, …

(

)

P

(

X

(

t t

)

i X

( )

t i

)

t o

( )

t

P muncul1individu = +∆ = +1| = =λ_i∆ + ∆

(

)

P

(

X

(

t t

)

i X

( )

t i

)

t g

( )

t

P tidak ada individu muncul = +∆ = | = =1−λ_i∆ + ∆

(

)

P

(

X

(

t t

)

i X

( )

t i

) ( )

o t

P muncullebih dari1individu = +∆ > +1| = = ∆

2. Peluang transisi Death Process dengan rate µi >0 untuk setiap i= 1, 2, 3, …

(

)

P

(

X

(

t t

)

i X

( )

t i

)

t o

( )

t

P hilang1individu = +∆ = −1| = =µi∆ + ∆

(

)

P

(

X

(

t t

)

i X

( )

t i

)

t o

( )

t

P tidak ada individu hilang = +∆ = | = =1−µi∆ + ∆

(

)

P

(

X

(

t t

)

i X

( )

t i

) ( )

o t

P hilanglebih dari1individu = +∆ > −1| = = ∆

Misalkan P_i

(

t+∆t

)

menyatakan peluang sistem berada dalam status i pada waktu

(

t+∆t

)

, maka hanya ada peluang transisi yang terjadi dari status i−1 (Birth Process) atau dari status i+1 (Death Process).

(4)

3.2 Model Peluang Birth-Death Process

Berdasarkan peluang transisi yang diperoleh, peluang sistem berada dalam status = i pada waktu

(

t+∆t

)

adalah :

(

t+∆t

)

=P

(

X

(

t+∆t

)

=i,X

( )

t =i−1

)

+P

(

X

(

t+∆t

)

=i,X

( )

t =i+1

)

Pi

+P

(

X

(

t+∆t

)

=i,X

( )

t =i

)

+P

(

X

(

t+∆t

)

=i,|X

(

t+∆t

)

−X

( )

t |>1

)

=P

(

X

(

t+∆t

)

=i|X

( )

t =i−1

) ( )

P_{i 1}₋ t

+P

(

X

(

t+∆t

)

=i|X

( )

t =i+1

) ( )

P_i₊₁ t +P

(

X

(

t+∆t

)

=i|X

( )

t =i

) ( )

P_i t +P

(

lebihdarisatutransisidalaminterval

(

t,t+∆t

)

Pi

(

t+∆t

)

=

(

λi−1∆t+o

( )

∆t

) ( )

Pi−1t +

(

µi+1∆t+o

( )

∆t

) ( )

Pi+1t +

(

1−

(

λi+µi

)

∆t+o

( )

∆t

) ( )

Pi t +o

( )

∆t =λ_i₋₁∆tP_i₋₁

( )

t +µ_i₊₁∆tP_i₊₁

( )

t +P_i

( ) (

t − λ_i +µ_i

) ( )

∆tP_i t +o

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∆t Pi−1 t +o ∆t Pi+1 t +o ∆t Pi t +o ∆t =λ_i₋₁∆tP_i₋₁

( )

t +µ_i₊₁∆tP_i₊₁

( )

t +P_i

( ) (

t − λ_i +µ_i

) ( ) ( )

∆tP_i t +o ∆t akibatnya,

(

t t

) ( )

P t tP

( ) (

t

) ( )

tP t tP

( ) ( )

t o t P_i +∆ − _i =λ_i₋₁∆ _i₋₁ − λ_i+µ_i ∆ _i +µ_i₊₁∆ _i₊₁ + ∆ Selanjutnya kedua ruas dibagi t∆ dan diperoleh

(

) ( )

_{( ) (}

_{) ( )}

_{( ) ( )}

t t o t P t P t P t t P t t P i i i i i i i i i ∆ ∆ + + + − = ∆ − ∆ + + + − −1 1 λ µ µ 1 1 λ

maka untuk ∆t→0, diperoleh persamaan diferensial orde satu dariP_i

( )

t terhadap t :

(

) ( )

_{( ) (}

_{) ( )}

_{( )}

( )

t t o t P t P t P t t P t t P t i i i i i i i i i t ∆ ∆ + + + − = ∆ − ∆ + → ∆ + + − − → ∆lim0 λ 1 1 λ µ µ 1 1 lim0

( )

P

( ) (

t

) ( )

P t P

( )

t dt t dP i i i i i i i i 1 1 1 1 − + + − − + + =λ λ µ µ

Diketahui status awal i = 0, maka pada saat i = 0 tidak mungkin terjadi kemunculan 1 individu dari status i−1 ke i sehingga λ = 0 dan tidak mungkin _i₋₁ terjadi kehilangan 1 individu dari status i ke status i-1 sehingga µ_i =0, akibatnya:

( )

_{( ) (}

_{) ( )}

_{( )}

t P t P t P dt t dP i i i i i i i i 1 1 1 1 − + + − − + + =λ λ µ µ

( )

₍

_{) ( )}

_{( )}

t P t P dt t dP 1 1 0 0 0 0 0− λ + +µ = 18

(5)

diperoleh :

( )

P

( )

t P

( )

t dt t dP 1 1 0 0 0 =−λ +µ

Diperoleh model peluang Birth-Death process pada waktu t berdasarkan beberapa status :

( )

_{( )}

t P t P dt t dP 1 1 0 0 0 =−λ +µ (1)

( )

_{( ) (}

_{) ( )}

_{( )}

t P t P t P dt t dP i i i i i i i i 1 1 1 1 − + + − − + + =λ λ µ µ , untuk setiap i=1,2, (2) dimana kedua bentuk persamaan ini memenuhi membentuk Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen orde-1. Dengan demikian, untuk dapat membentuk fungsi peluang Birth-Death Process maka akan dicari solusi umumnya.

3.3 Fungsi peluang Birth-Death Process

Pada penelitian ini, dipilih metode Transformasi Laplace untuk mencari solusi umum dari Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen sebagai fungsi peluang Birth-Death Process. Didefinisikan Transformasi Laplace fungsi peluang Birth-Death Process pada waktu t :

{ }

( )

∫

( )

∞ − = = 0 dt t P e s f t P_i _i st _i L (3) untuk Re

( )

s >0 dan i=0,1, 2,.

Diperoleh transformasi Laplace dari Persamaan Diferensial Birth-Death Process, yaitu : L

{

P_i'

( )

t

}

=−P_i

( )

0 +sf_i

( )

t (4) Diasumsikan bahwa status awal i = 0 yang berarti tidak ada individu pada waktu t = 0, sehingga nilai peluang setiap status i pada waktu t = 0 adalah :

( )

   = = =  , 3 , 2 , 1 , 0 0 , 1 0 i i P_i

Terlebih dahulu diasumsikan rate Birth Process λi =a2i(berindeks genap) dan rate Death Process µi =a2i−1 (berindeks ganjil) untuk setiap i=0,1,2,,

sehingga persamaan (1) dan (2) menjadi :

(6)

( )

_{( )}

t P a t P a dt t dP 1 1 0 0 0 =− + (5)

( )

_{( ) (}

_{) ( )}

_{( )}

t P a t P a a t P a dt t dP i i i i i i i i 1 1 2 2 1 2 1 2 2− − − − + + + + = , untuk setiap i=1,2, (6)

Dari transformasi Laplace persamaan (5), diperoleh :

( )

_{( )}

( )

s f s f a a s s f 0 1 1 0 0 1 − + = (7)

Dari transformasi Laplace persamaan (6), diperoleh :

( )

s f s f a a a s a s f s f i i i i i i i i 1 1 2 2 1 2 2 2 1 + + − − − ₊ ₊ ₋ = untuk setiapi=1,2,3, (8)

Dari hubungan antara persamaan (7) dan persamaan (8), jika diiterasi terus- menerus, akan menjadi :

( )

 − + + − + + − + = 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 1 a a s a a a a s a a a s s f (9)

( )

 − + + − + + − + + = + + + + + + + − − − 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 i i i i i i i i i i i i i a a s a a a a s a a a a s a s f s f (10)

Persamaan (9) dan (10) disebut sebagai fraksi-J atau fraksi Jacobi.

Pada teorema 4.3.1, dinyatakan fraksi Jacobi dari persamaan (10) ke dalam suatu bentuk formal deret pembangkit.

Teorema 2.3.1 [3] Jika

( )

_{( )}

∑

( ) ( )

∞ = + − − − = 0 1 2 2 1 1 , 1 m m m i i i s i m B a s f s f (11) 20

(7)

dengan B

( )

0,i =1, maka untuk m=1,2,3,,

( )

,  1, 2, 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 1 2 2 1 1 = =

∑

+ − = + − = + − = − = − i a a a a i m B m m m j i j j j i j j j i j j i i j j (12)

Teorema 2.3.2 berikut merupakan solusi Persamaan Diferensial Linier Homogen dari persamaan (5), sebagai fungsi peluang Birth-Death Process saat status i = 0 pada waktu t .

Teorema 2.3.2 [3] Jika

( )

∑

( ) ( )

∞ = − = 0 0 ! 0 , 1 m m m m t m A t P (13) dengan A

( )

0,0 =1, maka untuk m=1,2,3,,

( )

∑

+ = + = + = = − − − = 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 1 2 3 3 1 2 2 1 1 0 , m m m j j j j j j j j j j j a a a a a m A  (14)

Teorema 2.3.3 berikut merupakan solusi Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen dari persamaan (6), sebagai fungsi peluang Birth-Death Process saat status i=1, 2,3, pada waktu t .

Teorema 2.3.3 [3] Jika

( )

∑

( ) (

)( )

∞ = + − − ₊ = 0 1 ! 2 , 1 m i m m i i i m t i m A L t P (15) dimana

( )

,  1, 2, 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 3 1 2 2 1 1 = =

∑

+ = + = + = = − i a a a a i m A m m m j j j j j j j j j i j j (16) dan Li−1 =a0a2a4a2i−2 , L−1 =1 dengan A

( )

0,i =1

Setelah dilakukan pembuktian pada ketiga teorema, telah diperoleh solusi Persamaan Diferensial Linier Homogen sebagai fungsi peluang dari Birth-Death Process saat status i = 0, 1, 2, 3, … pada waktu t. Pada penelitian ini, fungsi peluang yang terbentuk diasumsikan terjadi pada populasi dengan jumlah individu berhingga untuk i=0,1,2,,n dimana rate Birth Process λ =_i λ (i= 0, 1, 2, …, n-1) dan rate Death Process µ =_i µ (i= 1, 2, 3, …, n) bersifat konstan untuk setiap konstanta λ>0 dan µ >0. Dalam proses penyelesaian fungsi peluang Birth-Death Process, digunakan asumsi untuk rate Birth Process λi =a2i dan rate Death Process µi =a2i−1, sehingga fungsi peluang Birth-Death Process

menjadi :

( )

∑

( ) (

)( )

∞ = + − + − = 0 1 ! 2 , 1 m i m m i i i m t i m A L t P , i=0,1,2,,n (17) 21

(8)

dimana

( )

∑

+ = + = + = = − = 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 3 1 2 2 1 1 , m m m j j j j j j j j j i j j a a a a i m A  dan Li−1 =a0a2a4a2i−2 , L−1 =1

dengan A

( )

0,i =1, a2i =λ dan a2i−1 =µ untuk setiap konstanta λ>0 dan µ>0,

dan ai =0 jika i≥2n.

3.4 Penerapan Fungsi Peluang Birth-Death Process

Salah satu contoh dari bentuk model antrian Birth-Death Process digambarkan dalam proses kedatangan dan pelayanan pelanggan pada suatu stasiun pompa gas yang hanya memiliki satu pompa untuk melayani pelanggan. Misalkan pelanggan potensial datang mengikuti distribusi Poisson dengan rate

20 =

λ mobil/jam. Stasiun tersebut menyediakan tempat mengantri hanya untuk satu buah mobil. Diasumsikan waktu pelayanan setiap mobil berdistribusi Eksponensial dengan mean 5 menit (Ross, 2003).

Penyelesaian :

rate kedatangan pelanggan , λ =20mobil/jam rate pelayanan pelanggan , µ =12 mobil/jam

Karena hanya satu buah mobil yang dapat mengantri, maka proses antrian ini merupakan Birth-Death Process dengan jumlah individu berhingga n = 1. Terdapat dua status yaitu status i = 0 (tidak ada mobil yang sedang mengantri) dan status i = 1 (ada satu buah mobil yang sedang mengantri).

Peluang masing-masing status berdasarkan persamaan (17) adalah :

1. Peluang status i = 0, tidak ada mobil yang sedang mengantri pada waktu t.

( )

_∑

∞

( ) ( )

= − − = 0 1 0 ! 0 , 1 m m m m t m A L t P dimana A

( )

m,0 =a₀

(

a₀ +a₁

)

m−1

untuk m = 1, 2, 3, … dan L₋₁ =1, sehingga dengan a₀ =λ =20 mobil/jam dan a₁ =µ =12 mobil/jam, diperoleh :

( )

( ) ( )

₍

_{) (}

₎

( ) t m t a a m m e e a a a a a a m t m A t P 32 0 0 1 0 1 0 1 0 8 5 8 3 ! 0 , 1 0 1 − ∞ = + − ₌ ₊ + + + = − =

∑

Hasil perhitungan yang diperoleh dalam interval waktu 0≤ t ≤1 jam ditunjukkan pada Tabel 1.

(9)

Tabel 1. Hasil perhitungan fungsi P0

( )

t dengan λ =20 dan µ =12 No. t P₀

( )

t 1. 0 1 2. 0,01 0,828843 3. 0,02 0,704558 4. 0,03 0,614308 5. 0,04 0,548773 6. 0,05 0,501185 7. 0,06 0,466629 8. 0,07 0,441537 9. 0,08 0,423315 10. 0,09 0,410084 11. 0,1 0,400476 12. 0,2 0,376038 13. 0,3 0,375042 14. 0,4 0,375002 15. 0,5 0,375 16. 0,6 0,375 17. 0,7 0,375 18. 0,8 0,375 19. 0,9 0,375 20. 1 0,375

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa nilai peluang pada interval waktu 1

0≤ t≤ jam, pada waktu awal t = 0 peluangnya P0

( )

t =1 yang menyatakan pasti tidak terdapat mobil yang mengantri, kemudian pada waktu-waktu berikutnya mobil pelanggan mulai berdatangan dan semakin lama semakin kecil peluang tidak ada mobil yang mengantri pada waktu t hingga mencapai nilai peluang tetap atau stasionernya sebesar 0,375.

2. Peluang status i = 1, ada satu buah mobil yang sedang mengantri pada waktu t.

( )

_∑

∞

_{( ) ( )( )}

= + + − = 0 1 0 1 ! 1 2 , 1 m m m m t m A L t P dimana A

( ) (

m,2 = a0 +a1

)

m untuk m = 0,

1, 2, … dan L0 =a0, sehingga dengan a0 =λ =20mobil/jam dan

12 1 =µ = a mobil/jam, diperoleh :

( )

( ) (

_{) ( ) (}

_{) (}

₎

(a a )t t m m m m e e a a a a a a m t a a a t P 32 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 8 5 8 5 ! 1 1 − 0+1 − ∞ = + − = + − + = + + − =

∑

Hasil perhitungan yang diperoleh dalam interval waktu 0≤ t ≤1 jam ditunjukkan pada Tabel 2.

(10)

0≤ t≤ jam, pada waktu awal t = 0 peluangnya P₁

( )

t =0 yang menyatakan pasti tidak mungkin terdapat satu mobil yang mengantri, kemudian pada waktu-waktu berikutnya mobil pelanggan mulai berdatangan dan semakin lama semakin besar peluang ada satu mobil yang mengantri pada waktu t hingga mencapai nilai peluang tetap atau stasionernya sebesar 0,625.

Tabel 2. Hasil perhitungan fungsi P1

( )

t dengan λ=20 dan µ =12

No. t P1

( )

t 1. 0 0 2. 0,01 0,171157 3. 0,02 0,295442 4. 0,03 0,385692 5. 0,04 0,451227 6. 0,05 0,498815 7. 0,06 0,533371 8. 0,07 0,558463 9. 0,08 0,576685 10. 0,09 0,589916 11. 0,1 0,599524 12. 0,2 0,623962 13. 0,3 0,624958 14. 0,4 0,624998 15. 0,5 0,625 16. 0,6 0,625 17. 0,7 0,625 18. 0,8 0,625 19. 0,9 0,625 20. 1 0,625

0≤ t≤ jam, pada waktu awal t = 0 peluangnya P1

( )

t =0 yang menyatakan pasti tidak mungkin terdapat satu mobil yang mengantri, kemudian pada waktu-waktu berikutnya mobil pelanggan mulai berdatangan dan semakin lama semakin besar peluang ada satu mobil yang mengantri pada waktu t hingga mencapai nilai peluang tetap atau stasionernya sebesar 0,625.

(11)

4. DAFTAR PUSTAKA

[1] Haryono. 1995. Proses Stokastik Terapan. Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya.

[2] Taylor, M.H. & Karlin, S. (1998) An Introduction to Stochastis Modelling. Academic Press. San Diego. California.

[3] Parthasarathy, P. R. & Sudhesh, R. 2006. Exact Transient Solution Of A State- Dependent Birth-Death Process.

http://www.emis.de/journals/HOA/JAMSA/e628.pdf

Diakses tanggal 4 Maret 2009

[4] Ross, S. M. 2003. Introduction to Probability Models 8th Edition. Academic Press, USA.