Definisi 2.3 : Jika max min E(X,Y) = min

(1)

Definisi 2.3 : Jika z max y min E(X,Y) = y min z

max E(X,Y) =E(x0, y0), maka (x0, y0) didefinisikan

sebagai strategi murni dari permainan itu dengan x0 sebagai strategi optimum bagi

pemaian P1 dan y0 sebagai strategi optimum bagi pemain P2 dan E(x0, y0) adalah

nilai permainannya. Contoh 2.5 :

Diberikan matriks pembayaran di bawah ini : Pemain P2 j i 1 2 1 1 6 2 2 -7 Pemain P1 3 -3 8

Misalkan P1 memilih strategi campuran X = (x1, x2,x3) dan

P2 memilih strategi campuran Y =(y1,y2.y3)

E(X,Y) = XAY = (x1, x2,x3)               − − 2 1 8 3 7 2 6 1 y y = (x1 + 2x2 – 3x3 6x1-7x2+8x3)     2 1 y y = y1(x1 + 2x2 – 3x3) + y2 (6x1-7x2+8x3) Misalkan X = (1/3, 1/6 , ½) dan Y = (1/4, ¾ ) E(X,Y) = ¼ (1/3 +2/6 – 3/2) + ¾ (2-7/6 + 4) = 83/24

ini berarti secara rata-rata pemain P1 memperoleh kemenangan sebesar 83/24. Definisi 2.4 :

Jika X* = (x1*, x2*, … , xm*) merupakan strategi campuran optimum bagi P1.

Y* = (y1*, y2*, … , yn*) merupakan strategi campuran optimum bagi P2.

Maka V* = E(X*, Y*) = X* A Y* adalah nilai harapan optimumnya. 2.2.3 Aturan Dominansi

Sebelum menyelesaikan suatu permainan, perlu dipertimbangkan apakah ada baris atau kolom dalam matriks pembayaran yang tidak efektif pengaruhnya didalam penentuan strategi optimum dan nilai permainan. Bila ada, baris/kolom tersebut bisa dihapus , hal ini berarti probabilitas untuk memilih strategi ini = nol. Aturan ini dinamanakan aturan dominansi.

(2)

(1) Aturan Dominansi bagi P1

Bila terdapat suatu baris dengan semua elemen dari baris tersebut adalah sama (sekolom) atau lebih kecil dari baris yang lain maka baris tersebut dikatakan didominansi dan dapat dihapuskan.

(2) Aturan Dominansi bagi P2

Bila terdapat suatu kolom dengan semua elemen dari baris kolom tersebut adalah sama atau lebih besar dari elemen dalam posisi yang sama (sebaris) dari kolom yang lain maka kolom tersebut dikatakan didominansi dan dapat dihapuskan.

Aturan dominansi ini dapat diulang lagi jika masih ada baris atau kolom yang didominansi oleh baris/kolom yang lain.

Tetapi tidak semua permainan yang mempunyai titik pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominansi yang berulang-ulang tersebut.

Contoh 2.6:

Diberikan matriks pembayaran di bawah ini : Pemain P2 j i 1 2 3 4 5 1 4 -9 7 -2 1 2 2 -8 4 -4 0 3 -2 8 9 2 3 Pemain P1 4 5 1 8 0 2

Terlihat bahwa a1j < a4j dan a2j < a4j ini berarti bahwa P(a1j ) = P(a2j) = 0

Pemain P2 j i 1 2 3 4 5 3 -2 8 9 2 3 4 5 1 8 0 2 Pemain P1

Terlihat bahwa ai2 > ai4 , ai3 > ai4 dan ai5 > ai4 ini berarti P(ai2) = P(ai3) = P(ai5)= 0

Pemain P2 Pemain j i 1 4 P1 3 -2 2 4 5 0

(3)

2.3 Metode Penyelesaian

(Dari permainan berjumlah nol untuk 2 orang dengan strategi campuran) 2.3.1 Metode Aljabar

Dapat digunakan untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu permainan berjumlah nol dari dua orang dengan masing-masing pemain memiliki 2 strategi. Perhatikan : Pemain P2 i | j Y 1-Y i 1 2 Pemain x 1 a11 a12 P1 1-x 2 a21 a22 • Pemain P1 :

Total kemenangan harapan P1 ketika P2 memainkan strategi I = total kemenangan harapan P1 ketika P2 memainkan strategi 2

x a11 + (1-x) a21 = x a12 + (1-x) a22 x(a11 + a22 – a21 – a12) = a22 – a21 x1*= x = 12 21 22 11 21 22 a a a a a a − − + − x2* = 1- x1* ; X* = (x1* , x2*) • Pemain P2 :

Kekalahan ketika P1 memainkan baris I = kekalahan ketika P1 memainkan baris II y a11 + (1-y) a12 = y a21 + (1-y) a22 y1*= y = 21 12 22 11 12 22 a a a a a a − − + − y2* = 1-y1*; Y* = (y1* , y2*)

• Nilai permainan menurut pandangan P1

V* = y1*[ x1* a11 + x2* a21] + y2*[ x1* a12 + x2* a22]

• Nilai permainan menurut pandangan P2

V* = x1*[ y1* a11 + y2* a12] + x2*[ y1* a21 + y2* a22] Contoh 2.7 P2 i \ j 1 2 P1 1 5 3 2 1 4

(4)

2.3.2. Metode Grafik

• Hanya dapat digunakan jika permainan berukuran 2x2, 2x n atau mx2

• Pemain yang hanya punya 2 strategi harus mencari strategi yang optimum lebih dahulu

• Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan aturan dualitas, pada program linear. Permainan berukuran 2xn P2 y1 y2 …. yn i \ j 1 2 … N P1 x1 1 a11 a12 … a1n 1-x1 2 a21 a22 … a2n

∑

= = 2 1 1 i i x

∑

= = n i i y 1 1 xi ≥ 0 ; yj ≥ 0 ∀ i,j

Pembayaran harapan berdasarkan strategi murni P2 : Strategi

Murni P2

Pembayaran Harapan Bagi P1

1 a11 x1 + a21 ( 1 – x1) = (a11 – a21) x1 + a21 2 a12 x1 + a22 ( 1 – x1) = (a12 – a22) x1 + a22 3 a13 x1 + a23 ( 1 – x1) = (a13 – a23) x1 + a23 . . . . . . n a1n x1 + a2n ( 1 – x1) = (a1n – a2n) x1 + a2n

• Pembayaran harapan bagi P1 bervariasi secara linear terhadap x1

• Berdasarkan kriteria minimax untuk permainan dengan strategi campuran, P1 harus memilih nilai x1 yang akan memaksimalkan pembayaran harapan

minimumnya.

• Metode Grafik : - Sumbu Vertikal merupakan pembayaran harapan - Sumbu Horizontal merupakan variasi x1 , 0 ≤ x1 ≤ 1

- Cari titik maximin Contoh 2.8

P2

i \ j Y1 y2 y3

P1 x1 -1 1 3

(5)

Pembayaran harapan bagi P1 bedasarkan strategi murni P2 : Strategi

Murni P2

Pembayaran Harapan Bagi P1 1 - x1 + 5 ( 1 – x1) = -6 x1 + 5 (1) 2 X1 + 3 ( 1 – x1) = -2 x1 + 3 (2) 3 3 x1 - 3 ( 1 – x1) = 6 x1 – 3 (3) 5 (1) 5 4 (2) titik maximin 4 3 3 2 2 1 x1*=2/3 1 0 0 -1 (3) -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 V* = 1 max x { min (-6 x1 + 5, -2 x1+3, 6x1 – 3) } = 1 max x {min (-6 x1 + 5, 6x1 – 3) } -6 x1 + 5 = 6x1 – 3 -12 x1 = -8 x1 = 8/12 = 2/3 = x1* x2* = 1 – 2/3 = 1/3 V* = -6. 2/3 + 5 = 1 Strategi optimum pemain P2 V* =

∑∑

= = m i n j j i ijx y a 1 1 * * V* = y1*(-6 x1*+5) + y2*(-2 x1*+3) + y3*(6x1* -3) 1 = y1*(-6 (2/3)+5) + y2*(-2 (2/3) +3) + y3*(6 (2/3) -3) 1 = y1*+ 5/3 y2* + y3* dengan 1 = y1*+ y2* + y3*

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa semua garis

∑

= m i i ijx a 1

yang tidak melewati titik maximin berkorespondensi dengan yj* = 0 (supaya tidak menaikkan nilai dari

pembayaran harapan) , karena untuk setiap x1* pada garis tersebut akan

menghasilkan pembayaran harapan yang lebih tinggi dari nilai maksimum pembayaran harapan.

(6)

Lihat : garis dengan persamaan -2 x1 + 3 tidak melewati titik maximin.

Cek : -2 (2/3) + 3 = 5/3 > V* Berarti y2* = 0 dan y1* + y3* = 1

Strategi kedua dari P2 tidak dimainkan sehingga matriks pembayaran menjadi : P2

i \ j y1 1-y1

P1 x1 -1 3

1-x1 5 -3

Pembayaran harapan bagi P2 bedasarkan strategi murni P1 : Strategi

Murni P1

Pembayaran Harapan Bagi P2 1 - y1 + 3 ( 1 – y1) = 3 - 4 y1 2 5 y1 - 3 ( 1 – y1) = 8 y1 - 3 Penyelesaian : 3 - 4 y1 = 8y1 - 3 12 y1 = 6 y1*= 1/2, y2* = 1/2 jadi : P1 X* = (2/3, 1/3) P2 Y* = (1/2, 0 , ½) V* = 1 Permainan berukuran (mx2) P2 y1 y2 1 2 x1 a11 a12 P1 x2 a21 a22 x3 a31 a32 . . . . . . . . . xm am1 am2

Dalam permainan ini diasumsikan permainan tidak memiliki titik pelana. Pembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni pemain P2 adalah :

Strategi Murni P2 Pembayaran Harapan Bagi P1 1 (a11 – a12) y1 + a12 2 (a21 – a22) y1 + a22 3 (a31 – a32) y1 + a32 . . . . M (am1 – am2) y1 + am2

(7)

Di sini pemain p2 seharusnya memilih y1 yang dapat meminimumkan pembayaran

harapan maksimumnya (prinsip minimaks) Contoh 2.9 P2 y1 1-y1 1 2 P1 x1 4 -3 x2 -1 3 x3 2 1 Strategi Murni P1 Pembayaran Harapan Bagi P2 1 7 – 3 y1 2 3 - 4 y1 3 y1 + 1 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 -1 -1 -2 minimax -2 -3 -3

Titik Potong (minimax) 2 – 4y1 = y1 + 1

-5y1 = -2

y1* = 2/5 , y2* = 3/5

v* = 2/5 + 1 = 7/5

Nilai optimum x1* bagi pemain P1 dapat diperoleh dari pembayaran harapan

perminan, dengan mensubstitusikan nilai y1* pada persamaan v*, yaitu

V* = x1*(7y1* - 3) + x2*(3-4y1*) + x3*(y1*+1)

dengan x1* + x2* + x3* = 1

Karena garis (7 y1-3) tidak melewati titik minimax, berarti x1* = 0 sehingga

diperoleh persamaan x2* + x3* = 1.

Pemain P2

y1 y2 Strategi P2 Pembayaran Harapan P1

x2 -1 3 1 2 –3 x2

(8)

Penyelesaian : 2–3 x2 = 2 x2 + 1 5 x2 = 1 x2 = 1/5 x3 = 4/5 Jadi : X* = (0, 1/5 , 4/5) Y* = (2/5, 3/5) V* = 7/5

Cara lain untuk menghitung strategi optimum bagi pemain yang mempunyai lebih dari 2 pilihan strategi, adalah dengan menggunakan teori dualitas pada program linear dengan menganggap persamaan untuk pemain dengan 2 strategi sebagai primalnya. Pemain P2 y1 y2 yn i \ j 1 2 … n x1 1 a11 a12 … a1n ≤ V P1 x2 2 a21 a22 … a2n ≤ V x3 3 a31 a32 … a3n ≤ V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xm m am1 am2 … amn ≤ V ≥ V ≥ V … ≥ V • Prinsip Pemain P1

Mamaksimumkan V sedemikian hingga :

∑

= ≥ m i i ijx V a 1

; j = 1,2,…, n dan V : nilai permainan Dengan 1 1 =

∑

= m i i x xi ≥ 0 ∀ I V = min (

∑

= = = m i m i m i i in i i i i x a x a x a 1 1 1 2 1 , ,..., ) • Prinsip Pemain P2

Meminimumkan V sedemikian hingga :

∑

= ≤ n j j ijy V a 1

(9)

Dengan :

1 y

n 1 j j

=

∑

= yj ≥ 0 ∀ j V = min (

∑

= = = n j n j n j j mj j j j jy a y a y a 1 1 1 2 1 , ,..., ) Contoh 2.10 y1 y2 y3 y4 1 2 3 4 x1 2 1 0 4 x2 -2 0 2 -3

Dengan menggunakan metode grafik, strategi optimal pemain P1 adalah X* = (2/3 , 1/3). Akan digunakan teori dualitas untuk menghitung P2.

0 > y1 0 > y2 0 > y3 0 = y4 0 < 2/3 =x1 2 1 0 4 = 2/3 0 < 1/3 =x2 -2 0 2 -3 = 2/3 = 2/3 = 2/3 = 2/3 > 2/3 Dualitas : 2 y1 + y2 = 2/3 -2y1 +2y3 = 2/3 --- + y2 + 2 y3 = 4/3 ⇔ y2 = 4/3 – 2 y3 ambil y3 = λ > 0 ⇔ y2 = 4/3 – 2 λ Berarti : 2 y1 = 2/3 – y2 y1 = λ - 1/3 ⇒ y1* = λ - 1/3; y2* = 4/3 - 2λ; y3* = λ; y4* = 0 dan λ > 0 ⇒ Y* = (λ - 1/3, 4/3 - 2λ , λ , 0)

⇒ Misalkan λ = 2/3 maka akan didapat Y*

= (1/3 , 0 , 2/3, 0) ⇒ λ =1/3 maka akan didapat Y*

(10)

2.3.3 Metode Program Linear

• Setiap permainan berjumlah nol dari 2 orang (yang berhingga) dapat diubah ke dalam bentuk program linear dan sebaliknya.

• Suatu permainan dengan matriks pembayaran berukuran mxn, tidak memiliki titik pelana serta metode dominansi tidak dapat digunakan untuk mereduksi ukuran matriks dapat diselesaikan dengan metode program linear.

Diketahui matriks pembayaran :

Pemain Kedua (P2) j i y1 y2 y3 … yn x1 a11 a12 a13 … a1n x2 a21 a22 a23 … a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pemain Pertama (P1) xm am1 am2 am3 … amn

xi = Probabilitas P1 memilih strategi ke-i

yj = Probabilitas P2 memilih strategi ke-j

aij = Nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi ke-i P1 , dan ke-j P2,

dengan I = 1,…,m dan j = 1,…, n • Untuk Pemain P1 P1 memilih xi, (xi ≥ 0,

∑

= = m i i x 1

1 ) yang akan memaksimumkan : xi max {min (

∑

= = = m 1 i m 1 i m 1 i i in i 2 i i 1 i x , a x ,..., a x ) a } Dengan kendala : 1 1 =

∑

= m i i x xi ≥ 0 ∀ i = 1,2,..,m

Bentuk Program Linear :

V = min (

∑

= = = m i m i m i i in i i i i x a x a x a 1 1 1 2 1 , ,..., ) Max Z = V

(11)

Kendala : (1)

∑

= ≥ m i i ijx V a 1 j = 1,2,…,n (2) 1 1 =

∑

= m i i x xi ≥ 0 ∀ i = 1,2,..,m ; V = nilai permainan Penyederhanaan (1) (1’)

∑

= ≥ m i i ij V x a 1 1; j = 1,2,…,n (2’) v V x m i i 1 1 =

∑

= xi ≥ 0 ∀ i = 1,2,..,m Perhatikan

Jika V > 0 ⇒ tidak ada masalah tetapi jika V = 0 ⇒ pembagian tidak berlaku

V < 0 ⇒ ubah menjadi V > 0 dengan menambahkan aij +k ∀ i,j

dan

k ≥ *

ij

a dan aij* adalah elemen terkecil dari matriks pembayaran

Penyederhanaan (2) Notasi : Xi = v x_i , i = 1,2,…,m ⇒

∑

= = m i i v X 1 1 (2”)

karena max V = min v 1 = min (

∑

= = = m i m i m i i in i i i i x a x a x a 1 1 1 2 1 , ,..., ) maka di dapat : Min Z = X1 + X2 + … + Xm ( = v 1 ) Kendala :

∑

= ≥ m i i ijX a 1 1 ∀ j = 1,2,…,n Xi ≥ 1 ∀i = 1,2,…,m

(12)

Penyelesaian : - Gunakan Metode Simplex

- Untuk P2 gunakan dualitas dari P1 • Untuk Pemain P2 (Dual dari P1)

Contoh 2.11: y1 y2 y3 X1 2 -1 -3 X2 -2 0 1 Pemain Pertama (P1) X3 0 -3 2 Permainan di atas :

• Tidak memiliki titik pelana • Aturan dominansi tidak berlaku

• Nilai maximin = -2 berarti ada kemungkinan nilai permainannya V ≤ 0, tambahkan nilai k ≥ −3, ambil k = 4

• Matriks pembayaran berubah menjadi :

Pemain kedua P2 y1 y2 Y3 X1 6 3 1 X2 2 4 5 Pemain Pertama P1 X3 4 1 6

• Metode simplex untuk P2 : Max W = Y1 + Y2 + Y3 ( = 1/v) Kendala: 6 Y1 + 3Y2 + 1Y3 ≤ 1 2 Y1 + 4Y2 + 5Y3 ≤ 1 4 Y1 + 1Y2 + 6Y3 ≤ 1 Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0 Max W = Y1 + Y2 + … + Yn ( = v 1 ) Kendala :

∑

= ≤ n j j ijY a 1 1 ∀ i = 1,2,…,m Yj ≥ 1 ∀j = 1,2,…,n

(13)

• Tabel Simplex Cj 1 1 1 0 0 0 Ci Yi\ Yj Y1 Y2 Y3 P Q R Vi Ri 0 P 6 3 1 1 0 0 1 1/6 0 Q 2 4 5 0 1 0 1 ½ 0 R 4 1 6 0 0 1 1 1/4 Zj 0 0 0 0 0 0 Zj-Cj -1 -1 -1 0 0 0 1 Y1 1 ½ 1/6 1/6 0 0 1/6 1 0 Q 0 3 14/3 -1/3 1 0 2/3 1/7 0 R 0 -1 16/3 -2/3 0 1 1/3 1/16 Zj 1 ½ 1/6 1/6 0 0 Zj-Cj 0 -1/2 -5/6 1/6 0 0 1 Y1 1 17/32 0 3/16 0 -1/32 5/32 5/17 0 Q 0 31/8 0 ¼ 1 -7/8 3/8 3/31 1 Y3 0 -3/16 1 -1/8 0 3/16 1/16 -Zj 1 11/32 1 1/16 0 5/32 Zj-Cj 0 -21/32 0 1/16 0 5/31 1 Y1 1 0 0 19/124 -11/124 11/124 13/124 1 Y2 0 1 0 2/31 8/31 -7/31 3/31 1 Y3 0 0 1 -7/62 3/62 9/62 5/62 Zj 1 1 1 13/124 21/124 1/124 Zj-Cj 0 0 0 13/124 21/124 1/24 35/124 W = 35/ 124 Y = (13/124, 3/31, 5/62) Yj = yj/v v = 1/W yj = Yj/W, j = 1,2,3 y1 = 13/35, y2 = 12/35 , y3 = 10/35 v* = 1/W – k = 124/3 - 4 = -16/35 • Bagi Pemain P2 Pemain kedua P2 0 > y1=13/124 0 > y2=3/31 0> y3=5/62 0<X1 6 3 1 =1 0<X2 2 4 5 =1 Pemain Pertama P1 0<X3 4 1 6 =1 =1 =1 =1 Masalah dual : 6 X1 + 2 X2 + 4 X3 = 1 3 X1 + 4 X2 + 1 X3 = 1 1 X1 + 5 X2 + 6 X3 = 1

(14)

Dapat diselesaikan dengan aljabar linear, didapat : X1 = 13/ 124; X2 = 21/124; X3 = 1/124 Z = 1/v = X1 + X2 + X3 = 35/124 Xi = xi/v, Z = 1/v, xi = Xi/Z x1 = 13/35; x2 = 21/35; x3= 1/35 X* = (13/35, 21/35, 1/35)

2.4 Permainan Berjumlah Nol dari n Orang

2.4.1 Pendahuluan Asumsi yang digunakan :

(1) Setiap pemain dalam permainan ini dapat berkomunikasi dan berunding dengan pemain yang lain untuk membuat suatu perjanjian yang mengikat serta membentuk koalisi.

(2) Para pemain dapat membuat pembayaran sampingan yaitu suatu pemindahan pembayaran di antara pemain.

(3) Pemain-pemain di dalam permainan n orang ini dapat dibagi menjadi 2 koalisi yang saling bersaing, berarti permainan n orang dapat diperlakukan sebagai permainan untuk 2 orang yaitu koalisi I Vs koalisi II.

2.4.2 Bentuk Koalisi

Secara umum di dalam permainan berjumlah nol n orang terdapat 2n-1 cara yang mungkin untuk mengelompokkan n orang itu ke dalam 2 kelompok yang saling bersaing.

Contoh Permainan yang berjumlah nol dari 4 orang (A,B,C,D). Pada permainan ini ada 8 koalisi yang berbeda, yaitu :

Grup I Grup II 1 ABCD φ (*) 2 ABC D 3 ABD C 4 ACD B 5 BCD A 6 AB CD 7 AC BD 8 AD BC

(*) tidak digunakan (koalisi φ tidak mempunyai langkah, pengaruh dan keuntungan / kerugian.

Contoh 2.12

Diberikan permainan berjumlah nol dari 3 orang (A,B,C) dengan masing-masing pemain mempunyai 2 pilihan strategi. Misalnya :

(15)

- Pemain B mempunyai 2 strategi : Y1, Y2

- Pemain C mempunyai 2 strategi : Z1, Z

Ada 3 koalisi yang mungkin, yaitu :

Grup I Grup II

A BC

B AC

C AB

Dengan matriks pembayaran di bawah ini :

Strategi Strategi A B C A B C X1 Y1 Z1 -1 1 0 X1 Y1 Z2 -3 2 1 X1 Y2 Z1 0 2 -2 X1 Y2 Z2 3 -2 -1 X2 Y1 Z1 -2 0 2 X2 Y1 Z2 0 -1 1 X2 Y2 Z1 -1 -2 3 X2 Y2 Z2 2 1 -3

Dengan Metode pada Subbab 2.3 di dapat : ♦ A Vs BC

- Strategi optimum untuk A : X* = (1/2 ,1/2) - Strategi optimum untuk BC : Y* =(3/4, ¼ , 0,0) - Nilai permainan V(A) = -3/2

♦ B Vs AC

- Strategi optimum untuk B : X* = (3/4 ,1/4) - Strategi optimum untuk AC : Y* =(0, 0, 1/2, 1/2) - Nilai permainan V(B) = -1/2

♦ C Vs AB

- Strategi optimum untuk C : X* = (2/7 ,5/7) - Strategi optimum untuk AB : Y* =(0, 6/7, 0 , 1/7) - Nilai permainan V(C) = -9/7

2.4.3 Imputasi

Imputasi adalah suatu distribusi (pembagian) yang mungkin dari pembayaran yang tersedia yang dinyatakan sebagai vektor pembayaran untuk suatu permainan yang memenuhi kriteria

(1)

∑

∈ = I i i

P 0 Pi adalah suatu besaran pembayaran yang diterima oleh

pemain ke i∈ I = {1,2,…,m}

(16)

Contoh 2.13:

Dari Contoh 2.12 di dapat

V(A) = - 1.5 V(BC) = 1.5 V(B) = -0.5 V(AC) = 0.5 V(C) = -1.286 V(AB) = 1.286 Imputasi : (PA, PB, PC) - (-1.5; 0.5; 1) - (0.5;-0.25;0.25) - (0.75; 0.25; -1) … dsb Bukan imputasi : - (0.2; - 0.7; 0.5) karena –0.7 < 0.5 - (-2; 1.5; 0.5) karena –2 < 1.5

Terlihat ada banyak kemungkinan imputasi. Mana yang harus dipilih ?

! Kriteria Dominansi :

Misal diberikan 2 imputasi berbeda P1 , P2. Imputasi P1 dikatakan

mendominasi imputasi P2 untuk suatu koalisi jika :

" Pembayaran-pembayaran untuk semua anggota koalisi itu lebih besar untuk P1 daripada untuk P2

" Total pembayaran untuk koalisi itu cukup besar untuk menyediakan pembayaran secara individu yang diberikan oleh P1.

Contoh 2.14 : Dari contoh 2.13 : Misal P1 = (-1.5; 0.5; 1)

P2 = (0.5;-0.25;0.25)

Disini P1 mendominasi P2 untuk koalisi (BC) karena

(-1.5; 0.5; 1) > (0.5;-0.25;0.25)

>

Tetapi P2 tidak mendominasi P1 untuk koalisi BC karena

(0.5;-0.25;0.25) < (-1.5; 0.5; 1) <