I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

(1)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam teori ekonomi, setiap perusahaan diasumsikan bertujuan memperoleh imbalan yang maksimum. Imbalan yang didapat bergantung pada strategi yang diambil perusahaan. Kuantitas merupakan salah satu strategi perusahaan. Dalam model duopoli dimana dalam pasar terdapat dua perusahaan yang saling bersaing, setiap perusahaan dapat memilih strategi secara simultan atau sekuensial. Model duopoli dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih disebut duopoli

kuantitas ( Amir dan Grilo 1999).

Hamilton dan Slutsky (1990) mengkonstruksi sebuah permainan yang diperluas dengan model endogenous timing pada duopoli. Endogenous timing adalah suatu permainan dimana setiap pemainnya memiliki dua periode untuk memilih strategi. Permainan yang diperluas tersebut dikonstruksi dari model duopoli sederhana, dimana sebelum permainan berlangsung perusahaan memutuskan di periode ke berapakah memilih strategi. Model duopoli sederhana kemudian dimainkan menurut keputusan waktu tersebut, secara simultan atau sekuensial. Jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama, terjadi permainan simultan. Tetapi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda, terjadi permainan sekuensial. Duopoli Cournot dan Stackelberg masing-masing merupakan aplikasi permainan simultan dan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan.

Misalkan dalam pasar terdapat dua perusahaan dengan produk yang dihasilkan adalah air kemasan. Untuk memaksimumkan

imbalannya perusahaan dapat memutuskan berproduksi pada periode 1 atau periode 2. Jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang sama maka terjadi model duopoli Cournot, sedangkan jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang berbeda terjadi model duopoli Stackelberg.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu kondisi minimal yang menyebabkan perusahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg agar imbalan yang didapat maksimum.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Rabah Amir dan Isabel Grilo (1999) yang berjudul

Stackelberg versus Cournot equilibrium.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menunjukkan bahwa dengan memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan fungsi biaya, perusahaan akan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg untuk memaksimumkan imbalannya.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga diberikan pemodelan kesetimbangan Cournot dan Stackelberg yang akan digunakan dalam pembahasan. Bab empat berisi tentang kondisi minimal yang akan menyebabkan terjadinya model duopoli Cournot dan Stackelberg. Kemudian bab lima berisi simpulan dari karya ilmiah ini.

II. LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini.

Berikut ini adalah definisi-definisi mengenai istilah ekonomi yang digunakan.

2.1 Teori Permainan

Secara umum, suatu permainan terdiri atas himpunan pemain, himpunan strategi,

dan imbalan yang diperoleh setiap pemain dari strategi yang dipilih.

Definisi 1 [Himpunan Strategi]

Himpunan strategi pemain-i A_i adalah himpunan dari pilihan strategi ia yang dapat diambil oleh pemain-i dalam suatu permainan. Jadi A_i =

{ }

a_i .

(2)

Definisi 2 [ Pemain]

Pemain adalah individu atau kelompok yang membuat keputusan dari suatu himpunan strategi.

Dalam suatu permainan, diasumsikan setiap pemain mempunyai tujuan untuk memaksimumkan imbalan yang didapat.

(Rasmusen 1990)

Definisi 3 [Kombinasi Strategi]

Kombinasi strategi A adalah himpunan terurut yang terdiri dari satu strategi untuk masing-masing n pemain dalam permainan. Jadi A=

{

a1,…,an

}

.

Untuk model duopoli, kombinasi strateginya

adalah A=

{

a1, a2

}

.

(Rasmusen 1990)

Definisi 4 [Fungsi Imbalan]

Fungsi imbalan pemain-i ( iπ ) adalah hasil yang diterima oleh pemain-i dari kombinasi strategi yang telah diambil.

Dalam model duopoli, fungsi imbalan pemain-i dapat dipetakan dengan

(

a a

)

[ ) [ )

R

i 1, 2 : 0,∞ ×0,∞ →

π .

(Rasmusen 1990)

Definisi 5 [Bentuk Ekstensif]

Bentuk ekstensif permainan menjabarkan: 1) Para pemain

2) a) Kapan tiap pemain berproduksi. b) Strategi yang diambil pemain pada

tiap kesempatan dia boleh berproduksi.

c) Apa yang diketahui tiap pemain pada kesempatan dia boleh berproduksi.

3) Imbalan yang diterima tiap pemain untuk setiap kombinasi strategi yang dapat dipilih para pemain.

(Gibbons 1992)

Bentuk ekstensif dapat digambarkan dalam bentuk pohon permainan. Berikut ini adalah contoh uraian permainan dalam bentuk ekstensif.

1. Pemain-1 memilih strategi a1 dari

himpunan strategi A1=

{ }

a1, a1' .

2. Pemain-2 mengamati a₁ kemudian memilih a2 dari

{ }

' 2 2 2 a , a A = .

3. Imbalannya adalah π1

(

a1, a2

)

dan

(

1 2

)

2 a , a

π yang akan ditunjukkan dalam pohon permainan dibawah ini.

Pohon permainan ini dimulai dari titik simpul keputusan untuk pemain-1 dimana pemain-1 dapat memilih strategi a atau 1

' 1

a .

Jika pemain-1 memilih a₁, maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia memilih strategi a2 atau

' 2

a .

Demikian pula jika pemain-1 memilih a , 1'

maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia dapat memilih strategi

2

a atau a . Berdasarkan pilihan strategi '2

dari masing-masing pemain, dicapai titik simpul akhir yang menunjukkan imbalan yang diterima pemain. Misal imbalan yang diterima pemain diperlihatkan seperti pada Gambar 1. Baris pertama menunjukkan imbalan untuk pemain-1, sedangkan baris kedua menunjukkan imbalan untuk pemain-2. Jika pemain-1 memilih a dan pemain-2 1

memilih a , maka imbalan yang diterima 2

pemain-1 adalah π1

(

a1, a2

)

dan imbalan

untuk pemain-2 adalah π₂

(

a₁, a₂

)

, dan seterusnya.

Definisi 6 [Subgame]

Subgame adalah bagian dari permainan yang

dimulai dari suatu titik simpul pada permainan yang berbentuk ekstensif.

(Rasmusen 1990)

Definisi 7 [Kesetimbangan Nash]

Kesetimbangan Nash adalah kombinasi strategi A dimana tidak ada dorongan bagi *

1a, a π (1 2) 2 a, a π

(3)

(

)

(

* *

)

1 * 1 * 1 * * 1 * * 1 * 1 , , , , , , , , , , , , , n i i i i n i i i i a a a a a a a a a a i … … … … + − + − ≥ ∀ π π

untuk semua kemungkinan strategi a_i∈A_i. Untuk model duopoli, kesetimbangan Nash dapat dirumuskan dengan:

(

) (

*

)

2 1 1 * 2 * 1 1a ,a π a ,a π ≥

(

) (

2

)

* 1 2 * 2 * 1 2 a ,a π a ,a π ≥ (Rasmusen 1990)

Definisi 8 [Kesetimbangan Nash

Subgame-Perfect ]

Suatu kesetimbangan Nash merupakan

subgame-perfect jika strategi para pemain

merupakan kesetimbangan Nash di setiap

subgame. (Gibbons 1992)

2.2 Model Cournot dan Stackelberg

Definisi 9 [Model Cournot]

Model Cournot adalah model permainan simultan, setiap perusahaan memilih kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan, barang yang diproduksi homogen, dan fungsi imbalan masing-masing pemain diketahui oleh semua pemain. (Gibbons 1992)

Definisi 10 [Model Stackelberg]

Model Stackelberg adalah sebuah model dinamis, yaitu pemain (leader) bergerak lebih dulu, kemudian diikuti oleh pemain lainnya (follower).

Secara umum, langkah pada permainan ini adalah:

1. Pemain-1 (leader) memilih strategi

1 1 A

a ∈ .

2. Pemain-2 (follower) mengamati a ₁

dan menentukan strategi a₂∈A₂. 3. Fungsi imbalan masing-masing

pemain adalah π1

(

a1, a2

)

dan

(

1 2

)

2 a, a

π . (Gibbons 1992)

Duopoli Cournot merupakan aplikasi permainan simultan sedangkan duopoli Stackelberg merupakan aplikasi permainan sekuensial.

Berikut adalah definisi, teorema dan lemma yang digunakan untuk pembuktian lemma dan teorema dalam pembahasan.

2.3 Fungsi konveks dan Fungsi Konkaf

Definisi 11 [Fungsi Konveks]

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konveks di I jika:

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2

f λ + −λ ≤λ + −λ ,

untuk setiap x1,x2∈I dan untuk setiap λ

dengan 0≤λ≤1.

(Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)

Definisi 12 [Fungsi Konkaf]

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konkaf di I jika:

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2

f λ + −λ ≥λ + −λ ,

untuk setiap x₁,x₂∈I dan untuk setiap λ dengan 0≤λ≤1.

Definisi 13 [Log Konkaf dan Log Konveks]

1. Fungsi F:R+ →R adalah log konkaf

jika fungsi log F adalah konkaf. 2. Fungsi F:R+ →R adalah log konveks

jika fungsi log F adalah konveks.

(Amir 1996)

2.4 Interior Solution

Definisi 14 [Daerah Fisibel]

Misalkan f,g₁,…,g_m adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada

n R

C⊂ . Misalkan program nonlinear:

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⊂ ∈ ≤ ≤ ≤ n m R C g g g f P x x x x x dimana , 0 , , 0 , 0 terhadap Minimumkan 2 1 …

Fungsi f disebut fungsi objektif dari (P) dan ketaksamaan g₁

( )

x ≤0,…,g_m

( )

x ≤0 disebut kendala untuk (P). Titik x∈C

yang memenuhi semua kendala dari program (P) disebut titik fisibel untuk (P), dan himpunan semua titik fisibel untuk (P) disebut daerah fisibel untuk (P).

Definisi 15 [Interior Solution]

Interior solution adalah solusi dari suatu masalah optimisasi yang terjadi didalam daerah fisibel.

(4)

2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi 16 [Fungsi Naik dan Fungsi Turun]

a) Fungsi f disebut naik pada selang I jika

( ) ( )

x1 f x2

f < bilamana x1<x2 pada

I.

b) Fungsi f disebut turun pada selang I jika f

( ) ( )

x₁ > f x₂ bilamana x₁<x₂

pada I.

(Stewart 1998)

2.6 Kekompakan

Definisi 17 [Fungsi Kontinu]

Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika

( ) ( )

x f a f a x→ = lim (Stewart 1998)

Definisi 18 [Ruang Metrik]

Misalkan M sembarang himpunan dan ρ adalah fungsi dengan ρ:M×M→

[ )

0,∞ sedemikian sehingga ∀x,y,z∈M memenuhi: a) ρ

( )

x,x =0 b) ρ

( )

x,y > ,0 x≠y c) ρ

( ) ( )

x,y =ρ y,x d) ρ

( ) ( ) ( )

x,y ≤ρ x,z +ρ z,y

maka ρ disebut metrik untuk M dan

(

M,ρ

)

disebut ruang metrik.

(Goldberg 1976)

Definisi 19 [Barisan Cauchy]

Barisan bilangan real

{ }

xn ∞_n₌₁ disebut

barisan Cauchy jika:

0 0 , , 0 ∃n ∈N∋m n≥n > ∀ε ⇒ x_m−x_n <ε (Goldberg 1976)

Definisi 20 [Kekonvergen Barisan]

Barisan bilangan real

{ }

xn ∞_n₌₁ dikatakan

konvergen ke L jika

{ }

x_n ∞_n₌₁ mempunyai limit L. (Goldberg 1976)

Definisi 21 [Ruang Metrik Lengkap]

Misalkan

(

M,ρ

)

ruang metrik. M disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan

Cauchy di M konvergen di M.

(Goldberg 1976)

Definisi 22 [Supremum dan Infimum]

1) Suatu bilangan u∈ disebut R supremum (batas atas terkecil) dari

R

S⊆ jika memenuhi dua kondisi berikut:

i. s≤u ∀s∈S

ii. Jika s≤v ∀s∈S, maka u≤ . v

2) Suatu bilangan w∈ disebut infimum R

(batas bawah terbesar) dari S⊆R jika memenuhi dua kondisi berikut:

i. w≤s ∀s∈S

ii. Jika v≤s ∀s∈S, maka

v

≤

w

. (Bartle dan Sherbert 1982)

Definisi 23 [Terbatas]

Misalkan

(

M,ρ

)

ruang metrik. Himpunan

M

A⊂ dikatakan terbatas jika ∃L>0 sehingga ρ

( )

x,y ≤L ∀x,y∈A.

Jika A terbatas, maka didefinisikan diameter

A sebagai :

( )

M,ρ

)

lengkap dan terbatas

total. (Goldberg 1976)

Teorema 1 [Ruang Metrik Lengkap]

Jika

(

M,ρ

)

adalah ruang metrik lengkap dan A⊂M , maka

(

A,ρ

)

adalah lengkap.

(Goldberg 1976)

Bukti dapat dilihat pada Goldberg (1976). Dari Teorema 1, karena R lengkap maka

[ ]

a,b ⊂R adalah lengkap. Karena

[ ]

a,b

juga terbatas total, maka menurut Definisi 25

[ ]

a,b merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak.

(5)

2.7 Titik Tetap Tarski

Definisi 26 [Lattice]

Himpunan S dikatakan lattice jika untuk setiap himpunan dua titik

{ }

x,y ⊂S, ada

supremum untuk

{ }

x,y (dinotasikan dengan

y

x∨ , dikatakan gabungan x dan y ) dan

infimum (dinotasikan dengan x∧ , y

dikatakan irisan x dan y ) dalam S. (Milgrom dan Roberts 1990)

Definisi 27 [Complete Lattice]

Misalkan himpunan S adalah lattice. Lattice

S disebut complete jika untuk semua

himpunan bagian tak kosong T⊂ , S

( )

T ∈S

Inf dan Sup

( )

T ∈S.

(Milgrom dan Roberts 1990)

Definisi 28 [Titik Tetap]

Misal diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut:

( )

_Rn f dt d ₌ ₌ _∈ x x x x . ,

Titik x disebut titik tetap jika * f

( )

x* =0. Titik tetap disebut titik kritis atau

kesetimbangan. (Tu 1994)

Teorema 2 [Titik Tetap Tarski]

Jika T adalah complete lattice dan

T T

f : → adalah fungsi tak turun, maka f mempunyai titik tetap. Selain itu, himpunan titik tetap f mempunyai

( )

{

x T f x x

}

Sup ∈ | ≥ sebagai anggota terbesarnya dan Inf

{

x∈ |T f

( )

x ≤x

}

sebagai anggota terkecilnya. (Tarski 1955) Bukti dapat dilihat pada Tarski (1955).

Definisi 29 [Order Upper

Semi-Continuous]

Misalkan diberikan complete lattice S dan

S

C⊂ sedemikian sehingga untuk

sembarang x∈ dan C y∈ , C x

y y

.

Teorema 3 [Kesetimbangan]

Misalkan a_m dan am adalah anggota

terkecil dan terbesar dari Am , y dan z

adalah dua kesetimbangan dengan y≥ . z

1) Jika πm

(

am,a−m

)

naik dalam m

a₋ , maka π_m

( )

y ≥π_m

( )

z .

2) Jika π_m

(

a_m,a₋_m

)

turun dalam

m

a− , maka πm

( )

y ≤πm

( )

z .

Jika kondisi (1) dipenuhi untuk beberapa himpunan bagian pemain M₁ dan kondisi (2) dipenuhi untuk pemain lain M\ M₁, maka kesetimbangan terbesar adalah kesetimbangan terpilih untuk pemain di M1

dan pilihan terkecil untuk para pemain lainnya, sementara kesetimbangan terkecil adalah pilihan terkecil pemain di

1

M dan pilihan terbesar para pemain sisa. (Milgrom dan Roberts 1990) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Roberts (1990).

Definisi 30 [ Arg maks]

Arg maks (Argumen maksimum) adalah himpunan nilai yang menyebabkan suatu fungsi mencapai nilai maksimum, yaitu:

( )

x

{

x y

(

y x f

( ) ( )

y f x

)

}

f x ∈ |∀ : ≠ → < maks arg (Wikipedia 2006)