TUGAS 1 DAN 2
SISTEM KONTROL LANJUTAN
DISUSUN OLEH
ANGGA SENJAYA
: 10520018
HERU WAHYUDI
: 10520008
RONI HISAGE
: 10520019
FAKULTAS TEKNIK
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS TAMA JAGAKARSA
JAKARTA
ii
MODUL
MODUL I
PENGANTAR SISTEM KENDALI LANJUT
MODUL II
MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK
MODUL III
PENGGAMBARAN SISTEM KENDALI
MODUL IV
ANALISIS SISTEM KENDALI : ANALISIS WAKTU ALIH
(RESPON TRANSIEN)
MODUL V
ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK & KEPEKAAN
MODUL VI
ANALISIS KESTABILAN
MODUL VII
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
MODUL VIII
ROOT LOCUS
MODUL IX
DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI ROOT LOCUS
MODUL X
TANGGAPAN FREKUENSI : DIAGRAM BODE
MODUL XI
DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI DIAGRAM BODE
MODUL XII
TANGGAPAN FREKUENSI : NYQUIST PLOT & NICHOLS
PLOT
1
MODUL I
PENGANTAR SISTEM KENDALI LANJUT
Rekayasa memberikan perhatian pada pemahaman dan pengendalian material dan kekuatan alam demi kemaslahatan ummat manusia. Sarjana Teknik Kendali dituntut dapat memahami dan mengendalikan bagian kecil lingkungan (sistem) agar menghasilkan produk yang secara ekonomi bermanfaat untuk masyarakat.
Pemahaman dan pengendalian adalah komplementer mengingat sistem harus dapat dipahami dan dimodelkan. Tantangan saat ini adalah pemodelan dan pengendalian sistem-sistem yang kompleks, modern, dan terkait satu sama lain: pengendalian lalu lintas, prosesproses kimia, sistem-sistem robot, sistem pesawat angkasa , sistem peluru kendali. Sebaliknya disiplin ilmu ini memiliki peluang untuk mengendalikan banyak sistem menarik di industri secara otomatis. Tiga hal pokok dalam kendali proses: mesin, industri dan ekonomi.
1. Apa yang dilakukan Sarjana Teknik Kendali ?
Sebagian besar keputusan dari insinyur tersebut akan dibahas pada lima topik berikut ini.
- Desain proses
Kunci dalam teknik adalah desain dari sebuah proses sehingga proses dapat dikontrol degan baik. Misalnya pada pemanas ruangan terdapat temperatur maksimal dan minimal karena furnace dan heat exchanger tidak dapat merespon dengan cepat. Dengan begitu, sebuah plant yang lebih responsif akan dengan lebih mudah dikontrol. Responsif berarti variabel yang dikontrol dapat merespon dengan cepat untuk berapapun harga variabel yang dimanipulasi di-set. Dan juga, sebuah plant yang mudah beradaptasi dengan gangguan juga akan lebih mudah dikontrol.
- Pengukuran
Kunci keputusan yang akan diambil adalah pemilihan jenis sensor dan lokasinya, karena kita hanya dapat mengontrol nilai-nilai yang terukur. Seorang insinyur harus memilih sensor yang dapat mengukur variabel-variabel penting dengan cepat dan dengan akurat.
- Elemen akhir
2
- Struktur kontrol
Insinyur harus dapat memutuskan beberapa hal paling dasar dalam perancangan sistem kontrol. Misalnya, valve mana yang harus dimanipulasi untuk mengontrol suatu pengukuran.
- Perhitungan kontrol
Setelah struktur kontrol dan variabel sudah terpilih, persamaan-persamaan tertentu harus dipilih untuk pengukuran nilai-nilai yang diinginkan untuk menghitung variabel yang dimanipulasi. Seperti yang kita pelajari, hanya beberapa persamaan yang sesuai untuk kontrol bagi berbagai macam plant.
2. Beberapa Definisi
Sistem : kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama-sama
dan membentuk suatu tujuan tertentu.
Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinyu atau suatu
perkembangan yang dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.
Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang terdiri dari beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan pada suatu hasil atau akhir.
Operasi : proses yang dikendalikan: proses kimia, biologi, ekonomi.
Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara
bersama-sama untuk membentuk suatu operasi tertentu. (Setiap obyek fisik harus dikendalikan: reaktor kimia, heating furnace, spacecraft)
Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai
output suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.
Kendali umpan-balik: suatu operasi yang dengan munculnya gangguan
akan cenderung akan memperkecil perbedaan antara output suatu sistem dengan beberapa input dan selanjutnya bertindak sesuai bertitik tolak dari perbedaan tsb.
3. Jenis Sistem Kendali
Ada 2 jenis sistem kontrol:
3
Sistem Kontrol Terbuka/Open-Loop- output tidak diukur maupun diumpanbalikkan - bergantung pada kalibrasi
- hubungan antara output dan input diketahui
- tidak ada „internal disturbance‟ maupun „eksternal disturbance‟
Contoh : - kontrol traffic (lalu lintas) - mesin cuci
Faktor penting: WAKTU
Kelebihan:
- konstruksinya sederhana dan perawatannya mudah - lebih murah
- tidak ada persoalan kestabilan
- cocok untuk keluaran yang sukar diukur /tidak ekonomis (contoh: untuk mengukur kualitas keluaran pemanggang roti)
Kelemahan:
- gangguan dan perubahan kalibrasi
- untuk menjaga kualitas yang diinginkan perlu kalibrasi ulang dari waktu ke waktu
Sistem Kontrol Tertutup / Close-Loop
Terdapat „feedback‟ untuk mengurangi „error‟
Jenisnya :
· sistem kontrol berumpan balik (feedback control system) · sistem kontrol inferensial (inferential control system)
4
A. Manual Feedback Control / Manual Close-Loop Control SystemBlok Diagram : „Manual Feedback Control‟ dari sebuah sistem thermal
B. Automatic Feedback Control / Automatic Close-Loop Control System Blok Diagram :
Kelebihan : komponen-komponen relatif lebih murah dan cukup akurat Kekurangan : stabilitas menjadi persoalan utama
5
8
9
10
MODUL II
MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK
Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya. Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tsb secara memadai. Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem yang bersangkutan :
- Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum Newton. - Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum Kirchoff, Ohm.
Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai. Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti.
Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis. Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor-faktor penting saja dalam pemodelan. Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial), akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada sistem. Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada frekuensi tinggi. Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik).
Dua pendekatan analisis :
- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)
- State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)
2. 1 Klasifikasi Sistem
Sistem dapat dikagorikan sebagai berikut, 1. LINEAR VS NONLINEAR
• Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu.Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat dianggap linear (piece-wise linearisation)
• Sistem linear : berlaku hukum superposisi: respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda merupakan kombinasi respons masing-masing input.
11
• Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja. Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu, sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali. 2. TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING
• Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung waktu. Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.
• Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap waktu. Respons nya tergantung pada waktu diberikan input. Contoh Sistem Kendali Time-varying: Sistem kendali pesawat ruang angkasa: bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.
3. CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
• Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap waktu.
• Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /sinyal yang diskrit terhadap waktu.
4. DETERMINISTIC VS STOCHASTIC
• Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang / konsisten.
• Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan output yang sama.
5. LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS
• Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan secara terkumpul disatu titik (lumped). Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.
• Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan, misalnya pada sistem transmisi. Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.
6.TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE
• Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).
12
2.2Model Matematis Sistem Tradisional
Persamaan matematis yang menunjukan hubungan input dan output dari suatu sistem yang bersangkutan. Dengan mengetahui model matematis ini, maka kita dapat menganalisa tingkah laku sistem.
Diagram diatas menunjukan diagram model matematis suatu sistem. R(s) = transformasi Laplace dari input
C(s) = transformasi Laplace dari output
G(s) = transformasi Laplace dari hubungan input dan output dari sistem. C(s) = G(s).R(s)
Transfer function :
model matematis sistem tradisional ekuivalen dengan transfer function.
2. 3 Contoh-Contoh Model Matematis Sistem Fisis
- Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (1)
Hukum Fisis : Kirchoff
Persamaan dinamis sistem /Persamaan differensial :
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
G(s)
Input
R(s)
Output
C(s)
)
(
)
(
)
(
s
G
s
R
13
Fungsi Alih:- Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)
Op Amp ideal :
Zin = ~ Sehingga i0 = 0 ex ~ 0 virtual ground, sehingga i1 = i2
Persamaan Rangkaian:
Diperoleh
- Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (3)
1
RCs
2
LCs
1
(s)
i
E
(s)
0
E
14
- Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Translasi
pada t < 0 : sistem tak bergerak
pada t = 0 gerobak di gerakan dengan kecepatan konstan konstan du/dt = konstan
y = output relatif terhadap ground
15
- Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi
J = momen inersia beban kg m2
α = percepatan sudut beban rad/s2 T = torsi yang diberikan pada sistem Nm w = kecepatan sudut rad/s
q = simpangan sudut (rad)
- Model Matematis untuk Generator DC
Kecepatan konstan n
Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if
16
KVL pada kiri/input :
KVL pada loop kanan/output
ata
u
Subtitusi
:
Diperoleh
:
17
2.4 Pemodelan State Space
Pemodelan state space digunakan untuk analisis sistem modern. Beberapa pengertian:
• ¨State: State suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel
(disebut variabel-variabel state) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui variabel-variabel tsb pada t = t0, bersama sama dengan informasi input untuk t > t0, maka perilaku sistem pada t > t0 dapat ditentukan secara utuh. Pengertian state tidak hanya untuk sistem fisis, tapi juga sistem-sistem lain: biologi, ekonomi, sosial dsb.
• ¨Variabel-variabel State: Variabel-variabel state suatu sistem dinamik adalah sekumpulan minimum variabel yang menentukan state sistem dinamik tsb. Variabel state tidak harus merupakan besaran yang dapat diukur atau diamati secara fisik (merupakan keunggulan metoda ini). Secara praktis, pilih besaran yang dapat diukur sebagai variabel state ( agar dapat diumpanbalikkan) .
• ¨Vektor State : Bila dibutuhkan n var state untuk mendeskripsikan secara utuh perlaku suatu sistem, maka n variabel tsb dapat dipandang sebagai n komponen dari suatu vektor x. Suatu vektor state adalah suatu vektor yang menentukan secara unik state sistem x(t) untuk t f t0 bila state pada t = t0 diberikan dan input
u(t) pada t f t0 juga diberikan.
• ¨State Space : Merupakan ruang berdimensi n dengan sumbu-sumbu x1, x2,…
xn. Setiap state dapat terletak disuatu titik dalam ruang tsb.
• ¨Persamaan State-Space
Perlu 3 jenis variabel dalam analisis: 1. Variabel-variabel input,
2. Variabel-variabel output, 3. Variabel-variabel state.
Representasi state space untuk suatu sistem tidak unik, tetapi jumlah variabel state nya adalah sama untuk sistem yang sama.
Representasi State Space untuk sistem MIMO:
Input : u1(t), u2(t), …,ur(t) Output : y1(t), y2(t), . . . , ym(t).
18
Output sistem dapat dinyatakan:Bila didefinisikan:
Maka persamaaan state dan persamaan output menjadi:
(Disebut sistem time varying bila fungsi f dan g mengandung variabel t).
19
Dengan:A(t) : Matrix state
B(t) : Matrix input
C(t) : Matrix output
D(t) : Matrix transmisi langsung
Untuk sistem time-invariant:
Diagram Blok-nya:
Contoh:
Persamaan sistem :
Definisikan variabel state:
20
AtauSehigga persamaan output:
Persamaan state dalam bentuk vektor:
Persamaan output dalam bentuk vektor:
Sehingga:
Diagram blok sistemnya :
21
Fungsi alih suatu sistem :Representasi State Space sistem tsb:
Bentuk Laplace nya:
(Ambil kondisi mula =0), diperoleh: sX(s) –AX(s) = BU(s)
atau:
(sI – A)X(s) = BU(s) Diperoleh:
X(s) = (sI – A)-1BU(s) Persamaan Output menjadi:
Dengan membandingkan Fungsi alih dan Persamaan Output, diperoleh: G(s) = C(sI – A)-1B + D
atau:
Terlihat bahwa: Eigenvalue A adalah pole-pole G(s).
22
Persamaan State dan Output Semula:Diperoleh:
Mengingat:
Maka Fungsi Alihnya:
23
Maka diperoleh matriks transfer G(s) berdimensi (m, x, r) melalui persamaan:2.6 Representasi State Space untuk Sistem Dinamis
Suatu sistem dinamik dengan elemen-elemennya bersifat lumped dinyatakan dalam Persamaan Differential biasa, dengan waktu merupakan variabel independen. Dengan menggunakan notasi matriks vektor, Persamaan Differential orde-n dapat dinyatakan sebagai Persamaaan Differential matriks vektor orde pertama. Bila n elemen dari vektor tsb adalah kumpulan variabel state, maka Persamaaan Differential matriks vektor merupakan Persamaan State.
Sistem orde-n dengan input tak mengandung suku-suku turunan:
Alternatif pemilihan n variabel state:
y*(t), y**(t) , …, y(t) : tak praktis karena memperkuat derau . Ambil :
24
Atau:Dengan
Dan
Atau y = C x dengan C = [1 0 . . . 0] Fungsi Alih sistem:
25
26
MODUL III
PENGGAMBARAN SISTEM KENDALI
Dalam melakukan analisis dan desain sistem kendali diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Penurunan model matematis sistem fisis (Persamaan Differensial) 2. Peroleh model linear dari komponen-komponen sistem.
3. Gunakan Transformasi Laplace untuk komponen-komponen sistem tsb. 4. Turunkan hubungan antara output dengan input masing-masing komponen
(Fungsi Alih).
5. Diagram blok sistem diperoleh melalui interkoneksi komponen komponen tsb. 6. Gunakan reduksi diagram blok untuk memperoleh fungsi alih sistem.
7. Gunakan Signal Flow Graph untuk menggambarkan sistem yang kompleks dan untuk memperoleh fungsi alih sistem melalui Formula Mason.
8. Gunakan beberapa metoda analisis dan desain untuk mendapatkan rancangan yang diinginkan.
Pada bab ini akan diuraikan mengenai cara penggambaran diagram blok sistem kendali, bagaimana mereduksinya dan dibahas pula penggunaan signal flow graph untuk penggambaran sistem yang kompleks.
3. 1 Fungsi Alih
Fungsi alih digunakan untuk memudahkan melihat karakteristik suatu sistem. Karakterisitik suatu sistem tak dipengaruhi oleh jenis input. Analisis fungsi alih hanya berlaku untuk sistem linear, invariant waktu. Fungsi alih merupakan perbandingan fungsi Laplace output dengan fungsi Laplace input dengan semua kondisi mula dianggap nol.
Persamaan Differensial orde-n:
27
Fungsi Alih (untuk input = X(s), output = Y(s)):3.1.1 Fungsi Alih Komponen-komponen Terhubung Secara Serial
a. Tanpa Faktor Pembebanan
28
b. Ada Faktor Pembebanan
29
3.2 Diagram Blok Sistem Kendali
Adalah tidak praktis menggambarkan karakteristik setiap komponen dalam suatu sistem kendali. Karakteristik sekelompok komponen yang membentuk suatu fungsi tertentu (sub-sistem) diwakili oleh satu blok fungsi alih.
·
Diagram blok: Interkoneksi antar beberapa blok fungsional sehingga membentuk suatu sistem kendali (loop terbuka/tertutup). Diagram blok dapat menggambarkan sifat-sifat dinamis suatu sistem dan aliran sinyal, tetapi tak menggambarkan konstruksi fisik sistem tsb. Suatu sistem fisis yang berbeda dapat saja memiliki diagram blok yang sama (misal: analogi sistem mekanis <=> elektrik ).
Komponen-komponen dasar: - Blok Fungsional
- Titik penjumlah (summing point) λ Percabangan
30
Diagram Blok Fungsi Alih Sistem Loop Terbuka, Fungsi Alih Lintasan Maju
Dan Fungsi Alih Sistem Loop Tertutup
Fungsi Alih Loop terbuka:
Fungsi Alih Lintasan Maju:
Fungsi Alih Loop tertutup: C(s) = G(s)E(s)
E(s) = R(s) – B(s) = R(s) – H(s)C(s) Atau:
C(s) = G(s)[R(s)- H(s)C(s)], Sehingga:
31
Anggap sistem mula-mula tanpa errror, sehingga respons sistem terhadap gangguan saja:Bila gangguan dianggap tak ada, maka respons sistem terhadap input referensi:
Respons total terhadap keduanya:
Bila:
maka:
sehingga pengaruh gangguan dapat ditekan (keuntungan sistem loop tertutup).
3.3 Menggambar Diagram Blok
Prosedur menggambar diagram blok sistem kendali adalah sebagai berikut: 1. Tulis persamaan dinamis setiap komponen sistem.
2. Nyatakan dalam bentuk Laplace nya dengan asumsi kondisi mula = 0. 3. Gambarkan masing-masing komponen dalam bentuk blok-blok fungsional.
4. Gabungkan blok-blok tsb sehingga membentuk diagram blok lengkap sistem (loop tertutup).
32
Bentuk laplace nya:Blok-blok pembentuk sistem:
Penggabungan:
3.4 Reduksi Diagram Blok
Blok-blok hanya dapat dihubungkan secara seri bila tak ada pengaruh pembebanan. Blok-blok yang terhubung seri tanpa faktor pembebanan dapat diganti dengan blok tunggal dengan fungsi alihnya adalah perkalian masing-masing fungsi alih blok-blok tsb.
36
3.5 Signal Flow Graph (Graf Aliran Sinyal)
Diagram blok menggambarkan sistem kendali secara grafik. Namun, untuk sistem kompleks, SFG (Signal Flow Graph) lebih praktis digunakan. SFG menggambarkan hubungan variabel-variabel sistem secara sederhana. Secara matematis: SFG adalah suatu diagram yang menggambarkan sekumpulan persamaan aljabar linear sbb:
melalui percabangan dan simpul(node).
Contoh:
Persamaan aljabar linear: y2=ay1+by2+cy4
y3= dy2 y4= ey1+fy3 y5=gy3+hy4
3.5.1 Beberapa Definisi
- Source (input node): simpul yang hanya memiliki percabangan keluar saja (yi) - Sink (output node) : simpul yang hanya memiliki percabangan masuk saja (y5) - Path (lintasan) : sekelompok cabang yang berhubungan dan memiliki arah
yang sama: eh; adfh dan b.
- Lintasan maju : lintasan yang dimulai dari source dan berakhir di sink, tetapi tak ada node yang dilalui lebih dari satu kali: eh, ecdg, adg dan adfh
- Penguatan Lintasan: perkalian penguatan (koefisien) pada cabang-cabang sepanjang lintasan.
- Loop Umpanbalik : lintasan yang berawal dan berakhir pada node yang sama, tetapi node tsb tak boleh dilalui lebih dari satu kali: b, dfc.
37
Definisi :- x1, x2, x3, x4 node (simpul) - G1, H2, G2, G3, H1 transmittance / gain - x1 input node (source)
- x4 output node (sink) - x2, x3 mixed node
- G1 G2 G3 = gain lintasan maju / kedepan (forward path gain) - Gain lintasan tertutup :
G1, G2, H2 / G2, H2, G1 G2, G3, H1
Dua atau lebih lintasan tertutup dikatakan tidak bersentuhan bila lintasan-lintasan tersebut tidak melintasi suatu transmittance yang sama.
Contoh :
Gain lintasan maju : 1) G1 G2 G3 G4 G5 2) G1 G2 G6 G5
Gain lintasan tertutup : 1) G1 G2 H1 3) G4 G5 H3 2) G2 G3 H2 4) G2 G6 G5 H3 H2
3.5.2 Hubungan Antara Signal Flow Graph Dengan Blok Diagram
38
R(s) C(s)
R(s) G(s)
C(s)
3.5.3 Sifat-Sifat Signal Flow Graph
(a)
x
a
y
y = a . x
(b)
x a
y b
z
x
a.b z
(c)
(d)
x
1x
1a
ac
x
3c
x
4x
4b
bc
39
(e)
3.5.4 Teori Mason
SFG mengandung informasi yang sama dengan diagram blok. SFG memudahkan penentuan fungsi alih melalui formula penguatan Mason, tanpa perlu melakukan reduksi diagram blok secara bertahap.
Formula pengutan Mason:
LiLj = gain total dari dua buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan LiLjLk = gain total dari tiga buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan I = bila lintasan maju ke i dihilangkan, atau bila lintasan-lintasan tertutup
yang menyentuh lintasan maju ke i dihilangkan
Contoh :
P1 = G1 G2 G3 G4 G5 P2 = G1 G2 G5 G6
L1 = G1 G2 H1 L3 = G4 G5 H3 L2 = G2 G3 H2 L4 = G2 G5 G6 H2 H3
41
MODUL IV
ANALISIS SISTEM KENDALI :
ANALISIS WAKTU ALIH (RESPON TRANSIEN)
Langkah pertama dalam analisis sistem kendali adalah penurunan model matematis sistem. Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem :
- Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural. - Analisis Galat Keadaan Tunak : Konstanta tunak statik
- Analisis Kepekaan
- Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot, Nyquist Plot.
Berikut ini merupakan kriteria unjuk kerja sistem kendali :
- Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan.
- Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya.
- Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem.
- Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.
Pada bab ini akan membahas mengenai metoda analisis sistem kendali yang pertama, yaitu : analisis waktu alih (analisis respon transien). Analisis galat keadaan tunak, kepekaan dan kestabilan akan dibahas pada modul-modul berikutnya.
4.1 Analisis Tanggapan/Respon
Respon sistem adalah tanggapan sistem terhadap sinyal input. Respon sistem dapat diketahui dari output sistem, setelah mendapatkan sinyal input.
Tinjauan Respon sistem ada dua kawasan : a. Kawasan waktu ( Time respon )
42
Gambar 1 Tinjuan respon sistemTerdapat 2 buah tanggapan/respon waktu :
- waktu alih/transien : keadaan awal hingga keadaan akhir. - keadaan tunak : tanggapan pada waktu t ~.
Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana. Sinyal-sinyal pengujian berupa:
- fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba
- fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu - fungsi percepatan
- fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba - fungsi sinusoidal : linearitas sistem
Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya.
4.1 Analisis Waktu Alih/Transien Sistem Orde 1
43
Gambar 2 Kurva respon sistem orde 1 dengan input Unit-step
- Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1 - Pada t = T, c(t) = 0,632
T = time constant sistem
44
Gambar 3 Kurva respon sistem orde 1 dengan input Unit-Ramp
e(
)
T
)
e
T(1
e(t)
c(t)
r(t)
e(t)
T t
- Time constant lebih kecil ( T ) steady state error lebih kecil
c. INPUT : UNIT-IMPULSE r(t) = S(t) R(s) = 1 C(s) = 1
Ts + 1
C(t) = 1 e– t / T (t 0) T
Gambar 4 Kurva respon sistem orde 1 dengan input Unit- Impulse Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh dengan
45
4.2 Analisis Waktu Alih/Transien Sistem Orde 2
Sistem orde 2 :
R(s) E(s) C(s) +
C(s) n2 =
R(s) S2 + 2 ζ n S + n2
n = frekuensi sudut natural undamped ζ = faktor redaman
Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (ζ). Bila 0 < ζ < 1, sistem dinamakan underdamp. Bila ζ = 1, sistem disebut critically damp, dan bila ζ > 1, sistem disebut overdamp.
Untuk mengetahui respon sistem orde dua, berikut ini akan dibahas analisis respon sistem orde 2 untuk input yang berbentuk unit step. Lihat di buku teks untuk sistem dengan input impuls, maupun ramp juga untuk respon sistem orde tinggi.
Untuk Input Unit Step
R(s) = 1
S
- Untuk sistem yang UNDERDAMP
n2 1 C(s) =
S2 + 2 ζ n S + n2 S
1 S + 2 ζ n C(s) =
S S2 + 2 ζ n S + n2
n2
46
respons menjadi undamped dan osilasi terus menerus tidak terbatas.- Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED n2 C(s) =
47
c (t) = 1 - e–n t ( 1 + nt ) (t 0)Respons transient tidak berosilasi.
-
Untuk Sistem yang OVERDAMPEDn2 C(s) =
( S + ζn + n 1 –ζ2 ) ( S + ζn - n 1 –ζ2 ) S
1
c(t) = 1+ . e – ( ζ + ζ2 – 1) n t
2 ζ2 –
1 (ζ + ζ2 – 1 )
1
- . e –( ζ + ζ2 – 1) n t
2 ζ2 –
1 (ζ + ζ2 – 1 )
Untuk mendapatkan C(s) di atas :
C(s) n2 =
R(s) S2 + 2 ζ n S + n2 C(s) n2
=
R(s) (S + ζn + ζd) (S + ζn - ζd) d = n 1 –ζ2
d = n j2 (ζ2 - 1) d = n j ζ2 - 1
C(s) n2
=
R(s) (S + ζn - n ζ2 – 1) (S + ζn +n ζ2 – 1) n e –S1t e-S2t
c(t) = 1 + (t 0) 2 ζ2 –
1 S1 S2 dimana : S1 = (ζ + ζ2 – 1) n
S2 = (ζ - ζ2 – 1) n
48
- Bila –S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu j daripada –S1 (|S2| << |S1|), maka solusi pendekatan -S1 diabaikan. Pengaruh -S1 pada respons lebh kecil, karena komponen yang mengandung S1 lebih cepat menghilang. Bila salah satu komponen eksponensial hilang, respons sama dengan sistem orde pertama, danC(s) ζn - n ζ2 – 1 S2
= =
R(s) S + ζn - n ζ2 – 1 S + S2 C(s) = ζn - n ζ2 – 1
(S + ζn - n ζ2 – 1) S
c(t) = 1–
t n
e
2 1
(t 0)
49
Gambar 6 Kurva respon Tangga satuanO ζ = 0,5 – 0,8 lebih cepat mencapai steady state daripada sistem overdamped atau critically damped
O Sistem tanpa osilasi, sistem critically damped memiliki respons paling cepat
O Harga ζ sama, tetapi harga n berbeda akan berkelakuan overshoot dan pola osilasi yang sama
4.3 Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih / Respon Transien
1. Delay time (td) 2. Rise time (tr) 3. Peak time (tp)
50
Gambar 7 Kurva respon Tangga satuanDelay time (td) : waktu yang diperlukan untuk mencapai setengah dari nilai akhir pada waktu pertama kali
Rise time (tr) : waktu yang diperlukan untuk naik dari 10 – 90%, 5 – 55%, atau 0 – 100% dari nilai akhirnya.
Untuk sistem underdamped : 0 – 100% Untuk sistem overdamped : 10 – 90%
Peak time (tp) : waktu yang diperlukan untuk mencapai peak pertama dari overshoot.
Maximum overshoot (Mp,%) : nilai puncak (peak) maksimum dari kurva respons yang diukur dari satu.
Maximum per cent overshoot = c(tp) – c(~) x 100% c(~)
Settling time : waktu yang diperlukan untuk mencapai dan tetap di dalam sebuah range nilai akhir yang ditetapkan oleh persentase absolut dari nilai akhir (biasanya 5% atau 2%).
Diinginkan respon transien : - cukup cepat
51
Respon transien yang diinginkan dari sistem orde kedua :faktor redaman : antara 0,4 dan 0,8
Mendapatkan nilai dari tr, tp, Mp, dan ts
a. Rise Time (tr) :
c(t) = 1 – e -ζn t( cos
dt+ ζ sin d t)
1 –ζ2
t = tr c(tr) = 1, maka:
c(tr) = 1 – e -ζn tr( cosdtr + ζ sin d tr)
1 –ζ2
karena e -ζn tr 0 maka :
cos d tr + ζ sin d tr = 0 1 –ζ2
atau
tan d tr = - 1 –ζ2
ζ
Gambar 8 Definisi Sudut atau
tan d tr = tan d tr =
d
52
Jadi,t
r=
ω
d
β
π
1
tan
d
ω
1
d
Gambar 9 Pole-pole kompleks
ζ = cos
Gambar 10 Garis-Garis Faktor Redaman Konstan
b. Peak Time (tp) :
dc = (sin d tp) n e-ζn tp = 0 dt t = tp 1 - ζ
sin d tp = 0
d tp = 0, , 2, 3, … d tp =
tp = d
53
Mp = c(tp) – 1
= - e-ζn(/d) (cos + ζ sin )
1 –ζ2 = e-( / d)
=
2
1 /
e
Maximum Overshoot (%) = e-( / d) x 100%
d. Settling Time :
e-ζnt
c(t) = 1 - sin (dt + tan-1 1 - ζ2 ) (t 0) 1 - ζ2
ζ
Kurva-kurva 1 ( e-ζnt / 1 - ζ2 ) :
Menutupi kurva respons transient untuk sebuah input unit-step.
Time constant (T) dari kurva-kurva tersebut adalah 1
54
Gambar 11 Kurva Respon Transien Input Unit StepGambar 12 Kurva Settling Time Ts Vs Ζ
untuk 0 <
ζ
< 0,9 : t
s= 4T =
4=
n4
(band toleransi 2%)
t
s= 3T =
n3 3
(band toleransi 5%)
untuk nilai ζ lebih besar, ts meningkat hampir linier; dan nilai ζmin = 0,76 ( untuk 2%) atau ζmin = 0,68 (untuk 5%)
o Nilai ζ biasanya ditentukan dari syarat maksimum overshoot yang diijinkan. Sedangkan settling time (ts) ditentukan terutama oleh undamped natural frequency (n).
o Hal ini berarti, durasi periode transient dapat tanpa mengubah overshoot maksi-mum, yaitu dengan mengatur n.
o Untuk mendapatkan respons yang cepat : n harus besar. Untuk membatasi overshoot maksimum (Mp) dan membuat ts kecil : ζ seharusnya tidak terlalu kecil.
55
Gambar 13 Kurva Mp versus Contoh Soal :
R(s) E(s) C(s) +
Sistem orde ke dua memiliki harga : = o,6 dan n = 5 rad/sec.
Apabila sistem diberikan input unit step, carilah rise time (tr), peak time (tp), maksimum overshoot (Mp), dan settling time (ts) !
Penyelesaian:
d
2
ζ
1
n
ω
5
1
(0,6)
2
= 4 = . n = 0,6 . 5 = 3
Rise time (tr)
d
ω
β
x
) n
ω ζ
2 s ( s
2 n
ω
57
MODUL V
ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK & KEPEKAAN
Kita telah mempelajari analisis waktu alih (respon transien) pada modul sebelumnya. Pada modul ini ini akan diuraikan mengenai analisis sistem kendali selanjutnya yaitu analisis galat keadaan tunak (steady state) dan analisis kepekaan.
5. 1 Analisis Galat Keadaan Tunak
Setiap sistem kendali memiliki galat keadaan tunak untuk jenis input tertentu. Suatu sistem yang tak memiliki galat untuk input step, mungkin memiliki galat untuk input ramp. Galat ini tergantung pada tipe (fungsi alih loop terbuka)
sistem yang bersangkutan.
Sistem kendali dapat dikelompokkan terhadap kemampuannya untuk mengikuti input step, ramp, parabola,dst. Input sebenarnya pada sistem seringkali merupakan kombinasi input-input tersebut. Besarnya galat terhadap setiap jenis input tersebut merupakan indikator kebaikan (goodness) sistem tersebut.
Bentuk umum fungsi alih loop terbuka:
58
- Galat Keadaan Tunak
Fungsi alih loop tertutup :
dan :
Diperoleh :
Galat keadaan tunak:
Galat keadaan tunak dapat dinyatakan dengan konstanta galat statik. Semakin besar konstanta tersebut semakin kecil galatnya. Output sistem dapat dinyatakan sebagai posisi, kecepatan, percepatan, dst. Misal : sistem kendali suhu: posisi menyatakan output suhu, dan kecepatan menyatakan laju perubahan suhu terhadap waktu.
- Konstanta Galat Statik
Konstanta galat posisi statik:
59
Untuk sistem tipe 0:Untuk sistem tipe 1 atau lebih:
- Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Step:
untuk sistem tipe 0
untuk sistem tipe 1
- Galat Keadaan Tunak untuk Input Unit Ramp:
Konstanta galat kecepatan statik :
Sehingga galat keadaan tunak :
Untuk sistem tipe 0 :
60
Untuk sistem tipe 2 atau lebih :
untuk sistem tipe 0
untuk sistem tipe 1
untuk sistem tipe 2 atau lebih
Pengertian galat kecepatan pada Kv menunjukkan galat posisi untuk input ramp, bukan galat dalam kecepatan. Sistem tipe 0 tak mampu mengikuti input ramp pada keadaan tunak. Sistem tipe 1 mampu mengikuti input ramp, meskipun memiliki galat
posisi pada keadaan tunak.Sistem tipe 2 atau lebih mampu mengikuti input ramp.
- Input unit parabola/akselerasi:
Galat keadaan tunaknya:
Konstanta galat percepatan statik:
61
- Konstanta Galat Percepatan Statik :
Untuk sistem tipe 0
Untuk sistem tipe 1
Untuk sistem tipe 2
Untuk sistem tipe 3 atau lebih tinggi
Sehingga galat keadaan tunak untuk input unit parabola:
untuk sistem tipe 0 dan tipe 1
untuk sistem tipe 2
62
Pengertian galat percepatan pada Ka menunjukkan galat posisi untuk input parabola, bukan galat dalam percepatan. Sistem tipe 0 dan 1 tak mampu mengikuti input parabola pada keadaan tunak. Sistem tipe 2 mampu mengikuti input parabola, meskipun memiliki galat posisi pada keadaan tunak.- Hubungan antara Integral Galat pada Input Step dan Galat Keadaan Tunak
pada Tanggapan Ramp
Definisikan:
63
Ingat:Sehingga:
Untuk input unit step:
Dengan demikian :
Dengan :
e(t) = galat untuk tanggapan unit step
essr = galat keadaan tunak untuk tanggapan unit ramp
Bila essr = 0, maka e(t) harus berubah tandanya minimal sekali. Hal ini menunjukkan bahwa sistem dengan Kv = akan muncul minimal sekali overshoot bila diberi input step.
5.2 Analisis Kepekaan
Kepekaan suatu sistem terhadap suatu komponen penyusunannya merupakan ukuran ketergantungan karakteristiknya terhadap komponen tersebut.
64
Definisi kepekaan lain :Kepekaan T(s) terhadap K(s) adalah persentase perubahan dalam T(s) dibagi dengan persentase perubahan pada K(s) yang menyebabkan terjadinya perubahan pada T(s). Definisi di atas hanya berlaku untuk perubahan yang kecil. Kepekaan merupakan fungsi dari frekuensi. Sistem ideal memiliki kepekaan nol terhadap setiap parameter.
Pandang sistem kendali sbb:
Fungsi alih loop tertutup:
Dengan :
K1 : fungsi alih transducer input K2 : fungsi alih tranducer balikan
65
- Kepekaan Sistem terhadap K1:
dengan:
Sehingga:
Setiap perubahan karakteristik pada K1 langsung berpengaruh pada perubahan fungsi alih sistem keseluruhan. Elemen yang digunakan untuk K1 harus memiliki karakteristik presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu.
- Kepekaan Sistem terhadap K2:
Dengan
Sehingga
Untuk nilai frekuensi dengan K2G(s)>>1, maka:
66
karakteristik presisi dan stabil terhadap suhu dan waktu. Tanda minus menunjukkan arah perubahan karakteristik komponen dan sistem berlawanan.- Kepekaan Sistem terhadap G(s):
dengan:
Sehingga
67
MODUL VI
ANALISIS KESTABILAN
Pada modul ini ini akan diuraikan mengenai analisis kestabilan suatu sistem kendali. Kestabilan merupakan hal terpenting dalam sistem kendali linear. Kita akan mempelajari pada kondisi apa sistem menjadi tak stabil, dan bagaimana cara menstabilkannya.
6.1 Pole-Zero
Untuk mempermudah analisa respons suatu sistem digunakan Pole – Zero. - Pole :
Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function tak hingga
Akar persamaan dari penyebut (denominator) transfer function sistem. - Zero :
Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function nol
Akar persamaan dari pembilang (numerator) transfer function sistem. Perhatikan gambar 1 di bawahi ini.
68
6.2 Definisi Kestabilan
Total respon output sistem :
Definisi kestabilan (berdasar natural response):
Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga.
Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu mendekati tak hingga.
Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi teratur.
Definisi kestabilan (berdasar total response/BIBO):
Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang terbatas juga.
Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang tidak terbatas.
6.3 Bagaimana Mentukan Sistem Stabil atau Tidak Stabil
Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( ) menghasilkan :
Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau
Respon sinusoidal yang teredam
Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga dengan demikian sistem stabil.
Dengan demikian penentuan kestabilan sistem adalah sebagai berikut:
Sistem yang stabil hanya mempunyai pole-pole sistem close loop di sebelah kiri bidang s.
Sistem yang tidak stabil mempunyai pole-pole sistem close loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih dari 1 pole-pole di sumbu imajiner.
Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di sumbu imajiner dan pole-pole di sebelah kiri.
Gambar 2 a dan b memberikan contoh gambaran sistem stabil dan tidak stabil.
)
(
)
(
)
(
t
c
t
c
t
c
forced
naturalat
69
Gambar 2 Contoh analisis kestabilan dari letak pole sistem(a) sistem stabil (b) sistem tidak stabil
Contoh lain :
70
Penyelesaian :
2)
karena pole-pole terletak di sebelah kiri sumbu imajiner, maka sistem stabil.
6.4 Analisis Kestabilan Routh Hurwitz
Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk :
Hal pertama yang dilakukan untuk menganalisis suatu sistem adalah dengan cara memfaktorkan A(s) dengan A(s) adalah sebuah persamaan karakteristik.
Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan kriteria kestabilan Routh. Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh, dapat diketahui jumlah pole loop tertutup yang terletak didaerah tak stabil tanpa perlu mencari solusi persamaan karakteristik A(s). Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut.
6.4.1 Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
Berikut ini adalah prosedur analisis kestabilan Routh Hurwitz
1. Tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial s:
2. Semua koefisien persamaan karakteristik harus positif. Jika tidak, sistem tidak stabil.
3. Jika semua koefisien positif, susun koefisien polinomial dalam baris dan kolom dengan pola:
71
dari koefisien berbentuk segitiga. Kriteria kestabilan Routh : banyaknya akar tak stabil = banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh. 5. Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil (memenuhi kriteriakestabilan Routh)
- Koefisien persamaan karakteristik semua positif (jika semua negatif maka masing masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif). - Semua suku kolom pertama pada tabel Routh mempunyai tanda positif.
Jika ada nilai nol lihat pada bagian “kondisi khusus”.
72
Contoh 1:
Terapkan kriteria kestabilan Routh untuk :
Dengan semua koefisien positif. Susunan koefisien menjadi
Syarat agar semua akar mempunyai bagian real negatif diberikan :
Contoh 2:
Perhatikan polinomial berikut :
Ikuti prosedur untuk membuat susunan koefisien.
Pada kolom 1, terjadi dua kali perubahan tanda. Ini berarti ada dua akar positif dan sistem tidak stabil.
5
Baris ke dua dibagi dengan 2
73
6.4.2 Keadaan Khusus Kriteria Kestabilan Routh
Ada beberapa kasus khusus pada kriteria kestabilan Routh.
Kasus 1 :
Bila ada suku pada kolom pertama bernilai 0 dengan suku-suku lain tidak 0 atau tak ada lagi suku tersisa, maka suku 0 diganti dengan bilangan positif sangat kecil ε, dan baris berikutnya dihitung.
Contoh 3 :
s3 + 2s2 + s + 2 = 0 Susunan koefisiennya :
Bila tanda koefisiennya sama, berarti terdapat pasangan akar imajiner pada sistem. Pada persamaan di atas ada akar di
Bila tanda koefisien (ε) berlawanan, berarti ada akar positif persamaan karakteristik.
Contoh 4:
s3– 3 s + 2 = (s – 1)2 (s + 2) = 0
Susunan koefisiennya adalah
s3 1 -3 berubah tanda s2 0 ≈ ε 2 berubah tanda s1 -3 – (2/ ε)
s0 2
Terdapat dua perubahan tanda koefisien di kolom pertama, berarti ada dua akar positif di pers. karakteristik. Sesuai dengan persamaan awalnya sistem tidak stabil
Kasus 2:
Jika semua koefisien pada suatu baris adalah nol maka koefisien itu menunjukkan akar – akar besaran yang sama tapi letaknya berlawanan (berbeda tanda/akar real/akar imajiner sekawan).
Penyelesaian : menggantinya dengan turunan suku banyak pembantu P(s) P(s) berasal dari suku pada baris sebelumnya.
74
Contoh 5:
s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2– 25s – 50 = 0
Susunan koefisiennya adalah s5 1 24 -25
s4 2 48 -50 Suku banyak pembantu P(s) s3 0 0
P(s) = 2s4 + 48s2– 500 dP(s)/ds = 8s3 + 96s
Sehingga susunan koefisiennya:
s5 1 24 -25
Ada satu perubahan tanda, berarti ada satu akar positif. Sistem tidak stabil.
6.4.3 Aplikasi Kriteria Kestabilan Routh untuk Analisis Sistem Kontrol
Kriteria Routh tak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil. Tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil.
Contoh 6:
Tinjau sistem berikut. Tentukan range K agar sistem diatas stabil !
75
Susunan koefisien
Untuk kestabilan, K harus positif dan semua koefisien pada kolom pertama harus positif. Oleh karena itu, 14/9 > K > 0.
K
s
K
s
K
s
s
K
s
0
7 9 1
3 7 2
3 4
2
0
2
3
3
1
76
MODUL VII
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
1. Dari sistem kemudi mobil di bawah ini berilah penjelasan mengenai jenis dan parameter sistem tersebut dan gambarkan model diagram blok serta tentukan fungsi alihnya !
Penyelesaian:
a. Jenis Sistem Pengaturan Umpan Balik. b. Parameter-parameter Sistem
1) Input adalah Arah yang Diinginkan. 2) Output adalah Arah Sebenarnya.
3) Lintasan Maju adalah Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Mobil. 4) Lintasan Balik adalah Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Sensor Kemudi Roda dan Pengemudi – Mekanisme Pengemudian – Mobil –
Pengukuran Visual.
c. Blok Diagram Ekivalen ada 2 (dua) alternatif :
77
Alternatif IId. Fungsi Transfer-nya adalah (sesuai urutan gambar di atas)
atau
78
Penyelesaian:
Parameter Sistem tersebut adal sebagai berikut:
a. Input adalah :
1) Desired temperature generation, R1(s). 2) Desired O2 generation, R2(s).
3) Desired pressure generation, R3(s). b. Proses adalah Boiling pada Boiler, G(s) .
c. Output adalah Actual generation (electricity), C(s) . d. Feedback adalah :
1) Measured temperature generation, H1(s) . 2) Measured O2 generation, H2(s) .
3) Measured pressure generation, H3(s). e. Disturbances diabaikan.
79
Model Blok Diagram Sistem Boiler-Generator di atas adalah :2. Tentukan fungsi alih dari rangkaian seri R dengan paralel RC di bawah ini !
Penyelesaian :
Fungsi alih (transfer) adalah perbandingan antara output dan input suatu sistem.
Analisa KCL
Dalam bentuk Laplace
80
MakaBila maka
3. Tentukan fungsi alih dari rangkaian Rangkaian Seri R, L dan C dengan VR!
Penyelesaian : Fungsi alih (transfer) adalah perbandingan antara output dan input suatu sistem.
81
Bila maka dansehingga hanya ada pole tunggal pada s= - 1.
4. Tinjau sistem yang didefinisikan dengan persamaan ruang keadaan (state-space) berikut
Penyelesaian :
Fungsi alih sistem dapat diperoleh dari perumusan sebagai berikut (perhatikan dalam hal ini D =0)
82
Langkah 1 – Pindahkan simpul Umpan Balik H2setelah Blok Sistem G4Langkah 2 – Gabungkan Blok Sistem G3 dengan G4
Langkah 3 – Sederhanakan Blok Sistem G3 G4dengan Umpan Balik H1 berdasarkan rumus
Langkah 4 – Gabungkan Blok Sistem G2 dengan Blok Sistem hasil dari Langkah 3
Langkah 5 – Sederhanakan Blok Sistem hasil Langkah 4 dengan Umpan Balik 4 2
83
menjadiLangkah 6 – Gabungkan Blok Sistem G1 dengan Blok Sistem hasil dari Langkah 5
Misalkan maka
84
Fungsi Transfer Sistem Kendali di atas adalah :6. Sederhanakan diagram blok sistem kendali di bawah ini !
Penyelesaian :
85
Langkah 2:Langkah 3:
7. Sederhanakan diagram blok sistem kendali di bawah ini !
Penyelesaian : Langkah 1
86
Langkah 38. Cari Fungsi Transfer Blok Diagram melalui Signal Flow Graph ala Mason !
Fungsi Transfernya adalah :
Penyelesaian :
Tahap 1 – Konversikan Blok Diagram ke bentuk SFG sebagai berikut :
Tahap 2 – Eliminasi simpul pada lintasan bernilai 1 yang tidak mempengaruhi
87
Tahap 3 – Cari lintasan maju P isebagai berikut :Tahap 4 – Cari Loop Gain (L j ) sebagai berikut :
Tahap 5 – Cari kombinasi 2-Non Touching Loop (NTL 2 j ). Untuk SFG di atas tidak ada
atau bernilai 0.
Tahap 6 – Cari Δ menggunakan rumus sebagai berikut :
88
Tahap 7 – Cari Fungsi Transfer dengan memasukkan nilai-nilai diatas ke persamaanMason.
9. Tentukan nilai K, supaya ada error sebesar 10 % pada steady state !
Penyelesaian :
Karena tipe sistem 1, input yang digunakan ialah ramp.
Sehingga
maka
89
dimana terdapat sebuah penguatan K dan fungsi alih sistem:2
maka fungsi alih lup tertutupnya adalah:
dan persamaan karakteristiknya adalah:
sehingga array Routh-nya adalah:
dimana:
Agar sistem stabil, maka semua elemen pada kolom pertama harus lebih dari 0, maka syarat pertamanya adalah harga elemen pada baris s1 harus positif, yaitu:
90
dan syarat kedua adalah harga elemen pada baris s0 juga harus positif, yaitu:2 + 2K > 0,
2K > -2
K > -1
Sehingga, dari syarat pertama dan kedua, agar sistem tetap stabil harga K adalah:
91
MODUL VIII
ROOT LOCUS
Pada modul ini akan dibahas mengenai dasar root locus, plot root locus, aturan-aturan penggambaran root locus dan penggambaran root locus melalui MATLAB. Dibahas pula beberapa kasus khusus serta analisis sistem kendali melalui root locus.
Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya). Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Kita perlu memahami pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.
Gambar 1 Sistem Loop Tertutup
Desain sistem kendali melalui gain adjusment adalah dengan memilih sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan. Sedangkan desain sistem kendali melalui kompensasi adalah dengan memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation.
Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB ?!). W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi yaitu metoda Root Locus. Root Locus adalah tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole-pole-pole atau zero-zero loop terbuka.
8.1 Dasar Root Locus
92
Gambar 2 Sistem kendali radar pesawatPersamaan karakteristik sistem di atas : s2 + 2s + K =0
93
Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata. Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk K~) termasuk zero-zero pada titik takhingga. Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi. Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat. Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole. Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat. Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root Locus.
8.2 Plot Root Locus
Sistem kendali tertutup dengan umpan balik negatif seperti pada gambar 3 di bawah ini memiliki persamaan karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0 atau: G(s)H(s) = -1.
Gambar 3 Sistem Kendali Loop Tertutup Umpan Balik Negatif
Dengan demikian :
G(s)H(s) = + 180o(2k+1); (syarat sudut) k = 0, 1, 2, ….
94
Gambar 4 Diagram yang menunjukkan pengukuran sudut dari pole loop-terbuka danzero loop-terbuka untuk pemeriksaan titik s
8.3 Prosedur Penggambaran Root Locus
Berikut ini adalah prosedur penggambaran Root Locus :
1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s. 2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata
- Syarat Sudut:
G(s)H(s) = + 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, …
- Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero di kanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.
3. Tentukan asimtot Root Locus: - Banyaknya asimtot = n – m n = banyaknya pole loop terbuka m= banyaknya zero loop terbuka
95
k = 0, 1, 2,...- Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:
a
4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in:
– Untuk Persamaan Karakteristik: B(s) + KA(s) = 0,
– Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:
5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.
– Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor-vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor-vektor-vektor dari zerozero ke pole kompleks tsb).
– Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari polepole ke zero kompleks tsb).
Gambar 5 Kontruksi Root Locus : Sudut pergi (berangkat)=180o–(θ1+ θ2)+
6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):
– Melalui Kriteria Routh Hurwitz.
– Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz
96
8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole-pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis:Secara grafis:
CONTOH :
Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan
Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop tertutup dominannya bernilai 0,5 !
Solusi :
1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.
Gambar 7 Root Locus pada sumbu nyata
• Untuk titik uji 1 :
Syarat sudut : - s - (s +1) - (s + 2) = 00 + 00 + 00 = 00 (tak terpenuhi).
• Untuk titik uji 2 :
Syarat sudut : - - (s +1) - (s + 2) = -1800 - 00 - 00 = -1800 (terpenuhi).
2. Penentuan asimtot Root Locus
Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3
Sudut asimtot =
(k = 0,1, 2) = 60o ; 180o dan -60o
97
3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan :• Persamaan karakteristik sistem adalah :
• Diperoleh s1 = - 0,4226 (memenuhi) dan s2 = - 1,5774 (tak memenuhi)
4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz.
• Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus dengan sumbu khayal ini terjadi pada : s = ± j 2 .
• Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = jw (pada sumbu khayal).
5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.
98
6. Gambar Root Locus nya:Gambar 9 Root Locus
7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan s = -ζwn ± jwn √(1- ζ2) . Dengan memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa ζ = cosβ . Untuk ζ = 0,5, maka β = 600 . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-pole dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:
Gambar 10 Letak Pole Kompleks
Beberapa Catatan
Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus. Perhatikan gambar 11.
99
• Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di „hilang‟kan (cancelled) oleh zero-zero H(s).
Gambar 12 Pengurangan orde sistem karena pole-pole G(s) dihilangkan oleh zero H(s)
Fungsi Alih :
Persamaan karakteristik: [s(s+2)+K](s+1) = 0
Mengingat suku (s+1) muncul di G(s) dan di H(s) diperoleh
1 + G(s)H(s) = 1 +
(
1
)(
2
)
Sehingga s(s+2)+K =0
100
Tabel 1 Konfigurasi Umum Pole-Zero Loop Terbuka & Hubungan TempatKedudukan Akar
8.4 Root Locus Melalui MATLAB
101
Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep Fungsi Alih):rlocus(num, den)
Untuk konsep ruang waktu (State Space):
rlocus (A, B, C, D)
Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K secara otomatis ditentukan. Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan :
rlocus(num,den,K), atau
rlocus(A,B,C,D,K)
K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup ingin dihitung.
Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan menggunakan arguman berikut ini :
[r,K] = rlocus(num,den)
[r,K] = rlocus(num,den,K)
[r,K] = rlocus(A,B,C,D)
[r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)
Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K. Perintah :
r=rlocus(num,den)
plot(r,'o') atau, plot(r,'x')
dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda „o‟ atau `x‟,
102
adalah sama, dengan :num = [ 0 0 1 1 ]
den = [ 1 5 6 0 ]
Contoh : Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali balikan satuan:
Solusi :
Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk polinomial. Definisikan :
Selanjutnya gunakan perintah :
d = conv(a,b);
e = conv(c,d)
Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0] Program MATLAB nya:
