ANALISA
KESTABILAN
Fatchul Arifin ([email protected])
Pole, Zero dan Pole-Zero Plot
Numerator dan denominator pada fungsi NALISArasional juga mempunyai nilai nol.
Nilai nol dari numerator disebut ZERO dan nilai nol dari denominator disebut POLE.
Pole dan zero merupakan bilangan kompleks. Gambaran grafis pole dan zero tentulah pada bidang kompleks. Gambaran grafis pole dan zero pada bidang kompleks disebut pole-zero plot.
Contoh 1.
Sebuah sistem mempunyai transfer function H(s)=1/(s+1). Maka zeronya tidak ada, dan polenya terletak di s=-1.
Contoh 2.
Sistem diskret H(z)=z/(z-0.7) mempunyai zero di z=0 dan pole di z=0.7.
Contoh 3.
Sistem H(s)=5/s(s+2) tidak mempunyai zero dan mempunyai pole di s=0 dan s=-2.
Contoh 4.
Sistem H(s)=(s+2)/(s2+2s+5) mempunyai zero di s=-2 dan pole di s=-1-j2 dan s=-1+j2.
Pole zero plot dari keempat sistem pada contoh 1 sampai contoh 4 terlihat pada gambar ini. Ingat keempatnya merupakan bidang kompleks, sumbu mendatar adalah bagian riel dan sumbu vertikal adalah
Nilai Seba POL= maka ans = -1.00 -1.00 Perha POL= Jika gain Cont deno Cont N(s)= H(s)=
Roo
i nol polinom agai contoh u
=[1 2 5];roo a akan munc =
000 + 2.0000 000 - 2.0000
atikan: untu =[1 0 4 0];r
pole dan z sistem juga
toh 1. Sistem minator D(s
toh 2. Sistem =s+1, denom =4(s+1)/(s2+
ot
Locus:
S mial dengan untuk menc ots(POL) cul jawaban 0i 0iuk mencari n roots(POL)
zero sebuah a diketahui
m dengan ga s)=s+2 sehin
m dengan ga minator D(s +2)
Kara
tertutu
tertutu
System stabin mudah dap cari nilai nol
n
nilai nol pol
h sistem di i.
ain=2, zero t ngga transfe
ain=4, zero )=(s+1-j)(s+
akteristik
up dapat d
upnya).
il pole-pole
pat dihitung l dari polino
linomial s3+
ketahui, m
tidak ada da er functionn
di s=-1, dan +1+j)=s2+2
tanggap
ditentukan
loop tertutu
g dengan Ma omial s2+2s+
+4s, maka pe
maka transfe
an pole di s= nya adalah H
n pole di s=-sehingga tra
pan trans
n dari lok
up terletak d
atLab. Perin +5 maka dim
erintah yang
fer function
=-2 mempun H(s)=2/(s+2
-1+j dan s=-ansfer funct
ient sist
kasi pole
disebelah kir
ntah yang di masukkan p
g dimasukka
n sistem da
Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga
berubah.
Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole
dalam bidang s.
Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih
K sehingga pole-pole terletak ditempat yang
diinginkan.
Desain sistem kendali melalui kompensasi:
memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero
cancellation.
Per
Ak
K
0
1
2
1
10
rsamaan K
ar-akar P
− 2 ± s
=
K
s
0
0
1
-2 -1+
0 -1+
01 -1+
Karakteris
ersamaan
± 4 − 4 K =
2
s
10
-1
+j1
+j3
+j10
stik: s
+
n Karakter
= −1 ± 1 − K
s
2-2
-1
-1+j1
-1+j3
-1+j10
2s + K =0
W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari
akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root
Locus.
Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan
karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.
Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak
pole-pole terhadap perubahan K, terhadap
penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.
• ROOT = akar-akar
• LOCUS = tempat kedudukan • ROOT LOCUS
– Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses
– Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?
Root locus merupakan suatu teknik grafis yang memberikan kita deskripsi kualitatif mengenai performa suatu sistem kontrol.
Root locus dapat juga digunakan untuk menaksir stabilitas.
Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu
nyata.
Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem
kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan
pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang
harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem
dapat dipenuhi.
Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok
diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.
Root Locus sangat memudahkan pengamatan
pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak
pole-pole.
Adapun cara-cara untuk mengetahui atau mencari root locusnya sebagai berikut: • Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap inkremen harga
Kc (controller gain) • Cara 2:
– Mencari harga pole dan zero
– Menentukan harga breakaway point, center of gravity,asimtot
– Mencari harga wu (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan
substitusi langsung)
MET
· Unt k
TODE ROU
Transfer f
) ( ) ( a b s R s C
Hal pertam
A
Pemfakto
K
Kriteria k karakteris tuk sistem koefisien-ko S D p so F Kriteria K orde U koef UTH HURW function dari 1 1 0 1 1 0 s a s a s b s b n n m m
ma memf
A(s) : persam
oran polinom
Kriteria Kes
kestabilan Ro sitik bukan n
m kendali oefisien pe
System stabi Dengan men pole loop ter olusi persam
Fungsi alih l
a Kestabilan
Kriteria ini m e n (n=berhi Untuk system
fisien-koefis
W I TZ
i suatu sistem
... ... 1 1 1 1 s a s b n m faktorkan A( maan karakter
mial dengan o
tabilan Rou
outh member
nilai akar ters
, ketabila ersamaan k il pole-pole nggunakan k rtutup yang maan karakt loop tertutup
n Routh Hu
menunjukan ngga) tanpa m kendali, k sien persam
m loop tertu
( ( s A s B a s b s n m (s) ristik
orde lebih dar
uth
ri informasi a
sebut an mutlak karaktristik loop tertutu kriteria kest terletak did teristi A(s) p: urwitz
n adalah aka a perlu men kestabilan m maan karakte
tup berbentu
) )
s s
ri 2 cukup su
ada tidakny
k langsung k.
up terletak d tabilan Rout daerah tak s
ar-akar tak s nyelesaikann mutlak langs
eristik
uk :
ulit, sehingga
a akar positi
g dapat
disebelah ki th, dapat dik tabil tanpa p
stabil persam nya
sung dapat d
a digunakan
if pada persa
2
3
4
5
Dengan
2. Bila ada koefisien akar ima Kondisi koefisien
3. Bila sem
Dengan
4. Kriteria perubah 5. Syarat p
Sem
Sem
koefisien-k
a koefisien y n positif, m ajiner a atau pewrlu (tet n persamaa
mua koefisie
koefisien-k
kestabilan R han tanda pa pelu dan cuk mua koefisien mua suku pad
koefisien: be
yang bernila maka hal ini
u memiliki b tapu belum an polinom p
en positif, b
koefisien :
Routh : ban ada kolom p kup untuk s n persamaa da kolom pe
esaran nyata
ai 0 atau neg menunjukan bagian real
cukup) untu positif dan l
buat tabel Ro
nyaknya aka pertama tabe
stabil : an karakteris
ertama tabe
a dan an ≠0
gative disam n ada satu a
positif (syst uk stabil ad lengkap.
outh debaga
ar tak stabil el Routh
stik positif d l routh bert
0
mping adan akar atau ak tem tak stab dalah semua
ai berikut:
= banyakny
dan
tanda positif ya kar-bil). a
ya
ANALISIS SISTEM KENDALI
1. Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem. 2. Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem :
- Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot Nyquist Plot.
- Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural.
- Analisis Keadaan mantap : Konstanta mantap statik - Analisis Kepekaan
3. Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana.
4. Sinyal-Sinyal Pengujian :
- fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba
- fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu - fungsi percepatan
- fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba - fungsi sinusoidal : linearitas sistem
5. Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya. 6. Tanggapan waktu :
- waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir. - keadaan tunak : tanggapan pada waktu t ® ~ 7. Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali :
- Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan.
- Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya.
- Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem.
- Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya.
