DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI ROOT LOCUS

DESAI N SI STEM KENDALI MELALUI

ROOT LOCUS

Ì

Pendahuluan

Ì

Tahap Awal Desain

Ì

Kompensasi Lead

Ì

Kompensasi Lag

Ì

Kompensasi Lag-Lead

7

7

Pendahuluan

•

Spesifikasi Unjuk Kerja sistem

•

Metoda Perancangan Tradisional

•

Kompensasi Seri & Paralel

•

Kompensasi Lead, Lag & Lag-Lead

7

Tahap Aw al Desain

7

7

Kompensasi Lead

7

7

Kompensasi Lag

7

7

Kompensasi Lag- Lead

7

7

Kontroler P, PD, PI dan PI D

7

PENDAHULUAN

•

Sistem Kontrol dirancang untuk tugas-tugas tertentu.

•

Perlu spesifikasi Unjuk Kerja :

- akurasi ,

- kestabilan,

- kecepatan respons.

•

Spesifikasi mungkin perlu diubah dalam proses

perancangan (tak dapat dicapai, tak ekonomis).

•

Perlu urutan prioritas spesifikasi.

•

Pendekatan Konvensional untuk Perancangan:

•

Spesifikasi Unjuk Kerja:

Domain waktu: (t

p

, % M

p

, t

s

)

Domain Frekuensi :

phase margin,

gain margin

,

bandwith.

•

Alat bantu perancangan:

Domain waktu: Root Locus

Domain frekuensi: Bode Plot , Nyquist, dst.

•

Terbatas pada SI SO, linear, invarian waktu.

•

Spesifikasi dicoba dipenuhi melalui

gain

adjustment

dengan metoda coba-coba.

•

Kompensasi Seri dan Paralel

•

Kriteria Pemilihan:

•

Sifat-sifat sinyal dalam sistem

•

Ketersediaan komponen

•

Faktor ekonomis

•

Pengalaman Perancang

Kompensasi Seri:

⇒

Lebih sederhana.

⇒

Perlu tambahan amplifier untuk memperkuat

gain

dan / atau membuat isolasi.

⇒

Diletakkan pada titik dengan daya terendah pada

lintasan maju (mengurangi disipasi daya).

•

Kompensasi Paralel:

Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead

•

Lead: fasa output mendahului input

•

Lag : fasa output terbelakang dari input

•

Lag-lead :

phase lag

terjadi pada daerah frekuensi rendah,

phase lead

terjadi pada daerah frekuensi tinggi.

•

Realisasi Kompensator:

•

Divais aktif Elektronik (Op amp)

•

Divais pasif : Elektrik (RC network + Amplifier)

•

Mekanik

7

TAHAP AWAL DESAIN

•

Perbaikan unjuk kerja sistem dengan menyisipkan

kompensator.

•

Pengaruh Penambahan Pole pada OLTF:

⇒

Menarik Root Locus kekanan

•

Pengaruh Penambahan Zero pada OLTF:

⇒

Menarik Root Locus kekiri

⇒

Cenderung lebih stabil

⇒

Mempercepat waktu

settling

7

KOMPENSASI LEAD

•

Untuk perbaikan respons transient tanpa banyak

mempengaruhi respons steady state sistem.

•

Realisasi Kompensator

E s

E s

R C

R C

s

R C

s

R C

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

o i

c c

( )

( )

=

+

+

=

+

+

=

+

+

4 1

3 2

1 1

2 2

1

1

1

1

1

1

α

α

α

dengan:

•

Karakteristik Kompensator Lead

G s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

c

( )

=

c c

(

)

+

+

=

+

+

< <

α

α

α

α

1

1

1

1

0

1

Bila

α

< < , maka pole akan terletak jauh di kiri

α

min

= 0,07 (memberikan max 60

o

phase lead

)

•

Asumsi pada Kompensasi Lead:

-

Spesifikasi diberikan dalam domain waktu

(

ζ ω

,

_n

,%

M

_p

, ,

t t

_{r s}

).

-

Sistem semula tak stabil untuk setiap K atau stabil

tetapi dengan respons transient yang tak memuaskan.

•

Kompensasi dapat dicapai dengan menambahkan

••

Prosedur Desain:

1.

Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang

diinginkan dari spesifikasi unjuk kerja.

2. Gambar Root Locus sistem semula.

•

Pastikan bahwa letak pole pada butir 1 tak dapat

dicapai dengan

gain adjustment.

•

Hitung sudut

deficiency

φ

(sudut yang dikontribusikan

oleh kompensator lead agar Root Locus baru melalui

pole-pole pada butir 1).

3. Anggap kompensator memiliki fungsi alih:

G s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

c

( )

=

c c

(

)

+

+

=

+

+

< <

α

α

α

α

1

1

1

1

0

1

α

dan T ditentukan dari sudut

deficiency

φ

.

4. Bila konstanta error statik tak ditentukan, maka

tentukan lokasi pole & zero kompensator sbb:

s

T

dan s

T

= −

1

= −

1

α

Bila konstanta error statik ditentukan, maka gunakan

pendekatan respons frekuensi.

5. Penguatan

K

c

dapat ditentukan dengan menentukan

gain

lup terbuka sistem terkompensasi dari syarat

magnitude

.

6. Teliti apakah semua spesifikasi unjuk kerja tercapai.

Bila tidak, ulangi prosedur dengan mengatur letak

pole & zero kompensator.

Bila konstanta error statik diperlukan besar,

tambahkan

7

KOMPENSASI LAG

Tujuan:

Untuk perbaikan respons

steady state

tanpa banyak

mengubah karakteristik respons transient.

Realisasi Kompensator

E s

E s

R C

R C

s

R C

s

R C

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

o i c c

( )

( )

=

+

+

=

+

+

=

+

+

4 1 3 2 1 1 2 2

1

1

1

1

1

1

α

α

α

Kompensator Lag : bila

α

> 1 (R

1

C

1

< R

2

C

2

)

E

s

E s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

o i c c

( )

( )

=

;

+

+

=

+

+

>

β

β

β

β

1

1

1

1

1

dengan:

Karakteristik Kompensator Lag

G s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

c

( )

=

c c

;

+

+

=

+

+

>

β

β

β

β

1

1

1

1

1

-

Bila T < <

β

, maka pole dan zero akan berdekatan dan

mendekati titik asal.

Asumsi pada Kompensasi Lag:

Respons transient sistem semula memuaskan (melalui

gain adjustment)

,

tetapi karakteristik

steady state

nya

tidak memenuhi.

Solusi:

-

Penguatan lup terbuka diperbesar tanpa banyak

mempengaruhi bentuk Root Locus sekitar pole lup

tertutup dominannya.

- Perlu kompensator lag dipasang seri pada lintasan

maju.

-

Sudut yang dikontribusikan kompensator harus

cukup kecil ( < 5

o

).

Ambil :

G s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

c

( )

=

c c

;

+

+

=

+

+

>

β

β

β

β

1

1

1

1

1

bila :

− ≈ −

1

1

T

β

T

dan s

1

= salah satu pole lup tertutup dominan,

maka:

G s

K

s

T

s

T

K

c

( )

1 c c

1 1

1

1

=

+

+

≈

β

Bila K

c

= 1, maka respons transient tak berubah, tetapi

penguatan total OLTF:

G s G s

K

Ts

Ts

G s

c

( ) ( )

=

c

( ) ;

+

+

>

β

β

β

1

1

1

bertambah dengan faktor

β

.

Akibatnya : konstanta error statik membesar dengan

faktor

β

,

Prosedur:

1. Gambar Root Locus sistem semula G(s).

-

Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan

yang diinginkan dari spesifikasi transientnya.

2. Anggap kompensator memiliki fungsi alih:

G s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

c

( )

=

c c

;

+

+

=

+

+

>

β

β

β

β

1

1

1

1

1

sehingga fungsi alih loop terbuka sistem terkompensasi

menjadi: G

c

(s)G(s)

3. Hitung konstanta error statik sistem semula G(s).

Tentukan faktor penguatan yang perlu ditambahkan

melalui:

β

=

kons

ta error statik baru

kons

ta error statik lama

tan

tan

5. Gambar Root Locus sistem terkompensasi.

-

Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang

diinginkan.

-

(Root Locus lama dan baru akan hampir berhimpitan

bila sudut yang dikontribusikan oleh kompensator

φ

cukup kecil).

6. Tentukan K

c

dari syarat

magnitude

untuk pole-pole lup

CONTOH SOAL

Sistem semula :

G s H s

K

s s

s

dengan K

( ) ( )

(

) (

)

,

=

+

1

+

2

=

1 06

Diinginkan K

v

= 5 sec

-1

tanpa banyak mempengaruhi karakteristik respons

transientnya.

Rancanglah kompensator yang diperlukan

Solusi :

1.

Menentukan karakteristik steady state dan transient sistem semula :

•

K

s

s

G s H s

v

=

→

=

lim

( ) ( )

0

=

→

+

+

=

−

lim

,

(

) (

)

,

s

s

s s s

s

s

1 06

1

2

0 53

1

K

v

yang diinginkan = 5s

-1

→

perlu kompensator lag.

•

Pers karakteristik sistem :

1 + G(s)H(s) = 0

s(s+1) (s+2) + 1,06 = 0

(s + 2,33) (s + 0,33-j0,58) (s + 0,33 + j0,58) = 0

Pole-pole dominan lup tertutupnya :

s12 = -0,33

±

j0,58

atau :

ξ =

0 5

,

ω

_n

=

0 67

,

rad s

/

Gambar RL sistem semula :

G

s

K

Ts

Ts

K

s

T

s

T

c

( )

=

c c

+

+

=

+

+

β

β

β

1

1

1

1

sehingga OLTF sistem terkompensasi :

Gc(s)G(s)

3.

Menentukan

β

:

β =

K

yang diinginkan

=

K semula

v

v

5

0 53

,

~

10

4.

Menentukan T :

Nilai T harus dipilih cukup besar agar pole dan zero kompensator

berdekatan dan dekat titik asal, sehingga karakteristik transient tak banyak

berubah (Root Locus sistem terkompensasi hanya tergeser sedikit dari Root

Locus sistem semula).

Tolok ukur besarnya perubahan karakteristik transient dapat dilihat dari

sudut phase lag yang dikontribusikan oleh kompensator.

Makin kecil sudut ini (berkisar 1

0

sampai 10

0

), makin kecil pula perubahan

karakteristik transient sistem.

•

Misal : T = 10, maka G

c

(s) = K

c

s

s

+

+

0 1

0 01

,

,

Sudut yang dikontribusikan oleh G

c

(s) pada

s = -0,33

±

j0,58 adalah :

φ =

=

−

−

+

+

=

= −

+

Gc s

K

j

j

S

j

c

( )

,

,

,

,

,

0 23

0 58

0 32

0 58

033

0 58

tan

,

,

tan

,

,

,

,

,

− −

−

−

−

=

−

= −

1 1

0 0 0

0 58

0 23

0 58

0 32

111 63

118 88

7 25

Dengan anggapan bahwa T = 10 dapat direalisasikan dan sudut

φ

cukup

kecil, pilih T = 10.

Sehingga : sistem terkompensasi

G

s G s

K

s

s s

s

s

c

( )

( )

c

,

(

, )

(

)(

)(

,

)

=

+

+

+

+

1 06

0 1

1

2

0 01

Root Locusnya :

6.

Menentukan K

c

K

c

dicari dari syarat magnitude Root Locus sistem terkompensasi :

G

s G s

s

Pole do

an lup tertutup

c

( ) ( )

min

=

=

1

Pole dominan Lup tertutup harus dicari dengan menganggap bahwa

ξ

tetap

seperti semula :

ξ

= 0,5.

sehingga :

1 06

0 1

1

2

0 01

1

3

,

(

,

(

)(

)(

,

K

s

s s

s

s

s

j

c

+

+

+

+

=

= − +

σ

σ

Diperoleh persamaan :

(

)

(

) (

)

[

]

1 06

0 1

3

2

4

2

12

2

3 4

2

2

,

K

,

j

j

c

− +

+

=

−

+ −

−

σ

σ

σ σ

σ

σ

Atau :

1 06

,

K

_c

= −

4 2

(

σ

2

−

1

)

dan :

5 8

2

0 1

0

0 28

0 06

2

,

,

,

,

σ

−

σ

+

=

→ =

=

←

a

a

tak dipakai

Sehingga :

Pole-pole dominan Lup tertutup :

S

1

,2

= −

0 28

,

±

j

0 48

,

dan

K

c

= 0,88.

Diperoleh :

G

s

s

s

c

( )

,

,

,

=

+

+

0 88

0 1

0 01

7.

Pengecekan ulang hasil kompensasi :

Pole lup tertutup dominan semula ;

S

_1,2

= −

0 33

,

±

j

0 58

,

dengan

ξ

=

0 5

, ;

ω

_n

=

0 67

,

rad s

/

Pole lup tertutup dominan sistem terkompensasi

S

_1,2

= −

0 28

,

±

j

0 48

,

dengan

ξ

= 0,5 dan

ω

n

= 0,56 rad/

s

→

Terjadi penurunan pada

ω

n

sebesar 16 % : respons sistem terkompensasi

K

v

yang diperoleh :

K

s

sGc s G s

x

s

v

=

→

=

=

−

lim

( ) ( )

,

,

( , )

( ) ( ) ( ,

)

,

0

1 06 0 88

0 1

1 2

0 01

4 7

7

KOMPENSASI LAG-LEAD

Kompensator Lead:

- memperbesar

bandwith

:

- mempercepat respons,

-

memperkecil % M

p

pada respons step.

Kompensator Lag:

-

memperbesar

gain

pada frekuensi rendah

(akurasi

steady state

membaik),

-

memperlambat respons (

bandwith

mengecil).

Kompensator Lag- Lead:

-

perbaikan respons

transient

dan

steady state

Realisasi Kompensator

E

s

E s

R

R

Z s

Z s

R R

R R

R

R C s

R C s

R C s

R

R C s

Ambil

T

R

R C

T

R C

T

R C

T

R

R C

o i

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

:

(

)

;

;

;

(

)

=



−













−











=

+

+

+













+

+

+













=

+

=

=

=

+

6 5 1 2 4 6 3 5

1 3 1

1 1

2 2

2 4 2

1 1 3 1

1

1 1 2 2 2

2 2 4 2

E

s

E s

K

T s

T

s

T s

T s

K

s

T

s

T

s

T

s

T

dengan

R

R

R

R

R

R

K

R R R

R R R

R

R

R

R

o i c c c

( )

( )

:

;

=

+

+

























+

+













=

+













+













+













+













=

+

>

=

+

>

=

+

+

β

γ

γ

β

γ

β

γ

β

1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 1 2 4 2

2 4 6

1 3 5

Karakteristik Kompensator Lag- Lead

Anggap fungsi alihnya:

G s

K

s

T

s

T

s

T

s

T

lead

lag

c

( )

=

c

;

;

+













+













+













+













>

>

⇓

⇓

1

1

1

1

1

1 1 2 2

γ

β

γ

β

Atau:

G s

K

T s

Prosedur Perancangan Untuk Kasus

β

≠

γ

:

(Kombinasi prosedur perancangan kompensator lead + kompensator

lag)

1.

Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang

diinginkan

(dari spesifikasi).

2.

Ambil fungsi alih loop terbuka sistem semula G(s) dan

kompensator G

c

(s) seperti persamaan sebelumnya.

Tentukan sudut

deficiency

φ

yang harus dikontribusikan oleh

bagian lead kompensator.

3. Anggap T

2

dipilih cukup besar, sehingga

s

T

s

T

1 2 1 2

1

1

1

+

+

≈

β

;

s

1

= salah satu pole lup tertutup dominan.

Tentukan T

1

dan

γ

melalui:

∠

+

+

























=

s

T

s

T

1 1 1 1

1

γ

φ

(I ngat : solusi tak unik)

K

s

T

s

T

G s

c

+













+













=

1

1

1 1 1

γ

( )

4. Bila K

v

ditentukan pada spesifikasi, tentukan

β

melalui:

K

sG s G s

sK

s

T

s

T

s

T

s

T

G s

sK

G s

v s c

s c s c

=

=

+

+

























+

+

























=

→ → →

lim

( ) ( )

lim

( )

lim

( )

0 0 1 1 2 2 0

1

1

1

γ

β

β

γ

Tentukan T

2

sehingga:

s

T

s

T

1 2 1 2

1

1

1

+

+

≈

β

;

dan

−

< ∠

Prosedur Perancangan Untuk Kasus

β

=

γ

:

1. Tentukan letak pole-pole lup tertutup dominan yang

diinginkan (dari spesifikasi).

2. Ambil OLTF sistem semula G(s) dan kompensator G

c

(s)

seperti persamaan sebelumnya.

Bila K

v

ditentukan, maka K

c

dapat dicari melalui:

K

sG s G s

sK

s

T

s

T

s

T

s

T

G s

sK

G s

v s c

s c s c

=

=

+

+

























+

+

























=

→ → →

lim

( ) ( )

lim

( )

lim

( )

0 0 1 1 2 2 0

1

1

1

β

β

4.

Tentukan T

1

dan

γ

melalui syarat magnitude dan sudut fasa:

K

s

T

s

T

G s

c

+













+













=

1

1

1 1 1

β

( )

;

∠

+

+

























=

s

T

s

T

1 1 1 1

1

β

φ

(I ngat : solusi tak unik)

5. Pilih T

2

(cukup besar) sehingga:

s

T

s

T

1 2 1 2

1

1

1

+

+

≈

β

;

dan

−

< ∠

+

+

























<

5

1

0

1 1 1 1 o o

s

T

s

T

β

dengan :

s

1

= salah satu pole lup tertutup dominan.

KONTROLER P, PD, PI DAN PI D

fig3-1 p183

u

Fungsi Kontroler otomatik:

1.

membandingkan output

plant

(nilai aktual) dengan

input referensi (nilai diinginkan),

2.

menentukan simpangan sinyal,

3.

mengeluarkan sinyal kontrol untuk menghilangkan /

mengurangi simpangan tsb.

u

Mode Kontroler:

- Diskontinyu / Digital: -

On / Off

(2 posisi)

- 3 posisi

-

Programmable

(PLC)

-

Microcomputer

- Kontinyu / Analog

: - Proporsional

- I ntegral

- Proporsional + I ntegral

- Proporsional + Derivatif

- Proporsional + I ntegral + Derivatif

u

Kontroler

On- Off

fig 3-3 p185

u(t) = U

1

untuk e(t) > 0

= U

2

untuk e(t) < 0

Umumnya : U

2

= 0 atau -U

1

.

•

I mplementasi fisik sederhana dan murah.

•

Ada efek histerisis dalam implementasi praktisnya.

•

Dapat menimbulkan efek cycling (osilasi disekitar nilai set

point).

•

Differential gap:

adakalanya digunakan untuk menghindari

terlalu seringnya terjadi mekanisme on-off.

•

Aplikasi :

Sistem skala besar dengan laju proses lambat

(sistem pendingin/ pemanas ruangan).

u

Kontroler Proporsional

fig3-6 p186

u(t) = K

p

.e(t),

atau:

U(s) = K

p

.E(s)

dengan K

p

:

gain

proporsional

•

Timbul error offset bila ada perubahan beban.

•

Aplikasi :

- Sistem dengan manual reset dapat dilakukan,

u

u

Kontroler I ntegral

fig3-7 p187

du t

dt

K e t

atau

u t

K

e t dt

i

i t

( )

. ( ),

( )

( )

=

=

∫

0

dengan K

i

: konstanta yang dapat diatur.

•

Fungsi alih Kontroler:

U s

E s

K

s

i

( )

( )

=

•

Bila nilai e(t) naik 2 kali, maka laju perubahan u(t)

terhadap waktu menjadi 2 kali lebih cepat.

•

Bila e(t) tetap (

zero actuating error)

, maka nilai u(t)

akan tetap seperti semula (

reset control)

.

u

Kontroller Proporsional + I ntegral

fig3-8 p187

u t

K e t

K

T

e t dt

p

p i

t

( )

=

( )

+

∫

( )

0

•

Fungsi alih kontroler:

U s

E s

K

p

T s

_i

( )

( )

=

+













1

1

K

p

: konstanta proporsional (

adjustable)

T

i

: waktu integral (

adjustable

)

1

T

_i

: laju reset : berapa kali bagian proporsional dari aksi

pengontrolan diulangi dalam waktu 1 menit.

•

Aplikasi :

Kontroler PI dan Kompensator Lag:

•

Kontroler PI :

G s

K

T s

K

T

T s

s

c p

i

p i

i

( )

=



+









 =





+





1

1

1

•

Kompensator Lag:

G s

K

Ts

Ts

c

( )

=

c

;

+

+

>

β

β

β

1

1

1

•

Kontroler PI adalah kompensator Lag, dengan zero s= -1/ T

i

dan pole pada s= 0 (penguatan

∞

pada frekuensi 0)

•

Kontroler PI memperbaiki karakteristik respons steady state.

•

Kontroler PI menaikkan tipe sistem terkompensasi dengan 1,

sehingga sistem tsb kurang stabil atau bahkan tak stabil.

•

Pemilihan nilai K

p

dan T

i

harus cermat agar diperoleh

u

u

Kontroller Proposional + Derivatif

fig3-9 p188

u t

K e t

K T

de t

dt

p p d

( )

=

( )

+

( )

•

Fungsi alih Kontroler:

U s

E s

K

p

T s

d

( )

( )

=

(

1

+

)

K

p

: konstanta proporsional (

adjustable)

T

d

: waktu derivatif (

adjustable

)

•

Magnitude output kontroler sebanding dengan laju

perubahan sinyal error (

rate control)

.

•

Aksi pengaturan derivatif :

•

memiliki karakter

anticipatory,

•

memperkuat derau,

•

dapat menyebabkan efek saturasi pada

kontroler,

•

tak dapat berdiri sendiri (efektif hanya selama

masa transient).

•

Mode derivatif dapat mengatasi perubahan beban seketika

Kontroler PD dan Kompensator Lead

Kontroler PD:

G s

c

( )

=

K

p

(

1

+

T s

d

)

Kompensator Lead:

G s

K

Ts

Ts

c

( )

=

c

(

)

+

+

< <

α

α

α

1

1

0

1

•

Kontroler PD = versi sederhana dari kompensator lead.

•

K

p

ditentukan dari spesifikasi steady state

•

Frekuensi sudut 1/ T

d

dipilih agar phase lead terjadi sekitar

ω

gco

.

•

Bila phase margin dinaikkan, maka magnitude kontroler

naik terus untuk frekuensi tinggi

ω

> 1/ T

d

, sehingga

memperkuat derau pada frekuensi tinggi.

direalisasikan dengan elemen-elemen hidraulik dan

pneumatik.

u

u

Kontroler Proporsional + I ntegral + Derivatif

fig 3-10 p189

u t

K e t

K

T

e t dt K T

de t

dt

p

p

i t

p d

( )

=

( )

+

∫

( )

+

( )

0

Fungsi alih kontroler:

U s

E s

K

p

T s

_i

T s

d

( )

( )

=

(

1

+

+

)

1

K

p

: konstanta proporsional (

adjustable)

T

d

: waktu derivatif (

adjustable

)

Kontroler PI D dan Kompensator Lag-Lead:

•

Kontroler PI D:

G s

K

T s

T s

K

T

T T s

T s

s

c p i d p i

i d i

( )

=

(

+

+

)

=



+

+











1

1

1

2

•

Kompensator Lag-Lead:

G s

K

s

T

s

T

s

T

s

T

lead

lag

c

( )

=

c

;

;

+













+













+













+













>

>

⇓

⇓

1

1

1

1

1

1 1 2 2

γ

β

γ

β

•

Bode Plot Kontroler PI D untuk

G s

s

s

s

c

( )

( ,

)(

)

=

2

0 1

+

1

+

1

Fig 7-47 p595

•

Kontroler PI D adalah Kompensator Lag-Lead.

•

Bila K

p

dibuat tinggi, maka sistem dapat menjadi stabil