BAB V1
PROSES BERPIKIR KOMBINATORIK
Permutasi yang dalam bahasa inggrisnya “permutation” memiliki arti perubahan urutan. Apabila kita memiliki himpunan beberapa objek, misalnya {1, 2, 3, 4, 5} dan kita akan menyusun suatu bilangan yang terdiri atas 2 angka dari angka-angka pada himpunan itu, maka kemungkinan bilangan yang dapat terbentuk adalah
12. 21, 13, 31, 23 dst.
Perubahan urutan angka-angka 12, 21, 13, 31 menyatakan bilangan yang berbeda, dan dari sini kita dapat mengatakan bahwa perubahan urutan itu merupakan suatu permutasi.
Berdasarkan bilangan yang dapat terbentuk dari angka-angka di atas, kita dapat membedakan dua jenis permutasi, yaitu permutasi objek-objek yang berbeda dan permutasi yang membolehkan adanya objek yang sama. Untuk menghitung banyaknya permutasi yang dapat terjadi dari masing-masing permutasi akan diuraikan di bawah ini.
1. Permutasi r Objek Berbeda
Untuk merumuskan aturan menghitung banyaknya permutasi r objek yang berbeda dari himpunan yang terdiri atas n objek, kita akan memprosesnya secara induktif.
Proses Induktif
a. Permutasi 2 objek dari 5 objek.
Perhatikan bagaimana proses menghitung banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda yang diambil dari himpunan bilangan {1, 2, 3, 4, 5}. Semua kemungkinan dari bilangan itu dapat disusun sebagai berikut:
Berdasarkan rangkaian proses pembentukan bilangan di atas dan pengertian hasil kali dua bilangan, maka kita dapat menghitung banyaknya bilangan yang terdiri atas dua angka berbeda itu sebagai berikut:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 x 4 = 20 bilangan
Kita akan menotasikan banyaknya permutasi dua angka berbeda dari lima angka-angka di atas dengan . Sehingga
b. Permutasi 3 objek dari 5 objek
Selanjutnya kita perhatikan bagaimana menentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka berbeda dari angka-angka {1, 2, 3, 4, 5}. Semua kemungkinan bilangan itu disajikan di bawah ini.
Dengan demikian, banyaknya permutasi bilangan tiga angka berbeda dari
Proses menentukan banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka berbeda di atas dapat disederhanakan dengan menyediakan 3 buah kotak
Kotak pertama diisi dengan bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan angka yang mungkin, yaitu 5 kemungkinan. Kotak kedua diisi dengan bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan angka yang mungkin setelah satu angka menempati angka pertama. Dalam hal ini terdapat 4 pilihan. Kotak ketiga diisi dengan bilangan yang menyatakan banyaknya pilihan angka yang mungkin setelah dua angka berbeda menempati angka pertama dan kedua. Dalam hal ini terdapat 3 pilihan.
5 4 3
Sehingga = 5 x 4 x 3 = 60
c. Permutasi 6 objek dari 9 objek
Dengan penyajian sederhana dari proses menentukan banyaknya bilangan seperti di atas, kita dapat menentukan banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka berbeda yang angka-angkanya diambil dari {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, yaitu
9 8 7 6 5 4
Sehingga
F aktorial
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka berbeda di atas memiliki bentuk yang menarik. Untuk itu perlu menyatakan bilangan hasil perkalian
bilangan berurutan itu dengan notasi yang sederhana. Dalam hal ini kita definisikan
9 x 8 x 7 x 6 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 dengan 9! (dibaca 9 faktorial).
Oleh karena itu, untuk bilangan asli n, maka
n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 2 x 1.
Sekarang, bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk faktorial,
d. Permutasi r objek dari n objek
Secara umum banyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang berlainan dapat dirumuskan sebagai berikut
Contoh 1
Proses Berpikir
Untuk permutasi n unsur dari n unsur yang berlainan diperoleh
Apabila permutasi ini dihitung dengan menggunakan rumus permutasi sebelumnya diperoleh
Dari sini tampak bahwa kita memperoleh bilangan 0!. Untuk menentukan nilai dari 0!, kita bandingkan kedua nilai dari di atas,
Dengan demikian, kita memperoleh bahwa nilai dari 0! = 1
Contoh 2 Terdapat 6 orang, 4 diantaranya kakak beradik dengan 2
diantaranya kembar, duduk pada 6 kursi yang berderet. Banyaknya cara mereka duduk agar adik kakak duduk berdampingan dengan posisi si kembar duduk diapit oleh saudara yang lainnya adalah . . . .
Proses Berpikir
Karena dua diantara empat bersaudara itu kembar dan posisi duduknya diapit oleh dua saudara yang lainnya, maka hanya ada 2 cara mereka duduk, yaitu
Dengan demikian, terdapat
6 x 2 = 12 cara
keenam orang itu duduk dengan posisi dua anak kembar diapit oleh dua saudara lainnya.
2. Permutasi memuat unsur yang sama
Asumsi yang digunakan di dalam permutasi r unsur dari n unsur yang dibahas di atas adalah unsur-unsur yang ada adalah berlainan. Apabila dari n unsur itu terdapat unsur yang sama, maka banyaknya permutasi r unsur dari n unsur itu tentu saja akan berbeda (lebih sedikit). Untuk menghitung banyaknya
Tempat duduk anak 1
Tempat duduk 4 bersaudara
Tempat duduk anak 2 A1
A1
A1 A2
A2
A2
S S S S
S S S S
S S S S
permutasi ini, perhatikan bagaimana menentukan banyaknya kata (tidak perlu bermakna) yang dapat disusun dari hurup-hurup pada kata
A L A M A
Misalkan terdapat x buah banyaknya susunan hurup (kata) yang berbeda. Untuk menghitung nilai x ini, kita akan membedakan ketiga hurup A pada kata
1 AAALM A1A2A3LM A1A3A2LM A2A1A3LM A2A3A1LM A3A1A2LM A3A2A1LM
2 AAAML A1A2A3ML A1A3A2ML A2A1A3ML A2A3A1ML A3A1A2ML A3A2A1ML
3 AALAM A1A2LA3M A1A3LA2M A2A1LA3M A2A3LA1M A3A1LA2M A3A2LA1M
4 AAMAL A1A2MA3L A1A3MA2L A2A1MA3L A2A3MA1L A3A1MA2L A3A2MA1L
. . . .
. . . .
. . . .
x MLAAA MLA1A2A3 MLA1A3A2 MLA2A1A3 MLA2A3A1 MLA3A1A2 MLA3A2A1
ALAMA dengan A1, A2 dan A3. Kata-kata yang akan terbentuk dengan
masing-masing kata memperhatikan hurup A yang berbeda disajikan pada tabel di atas. Berdasarkan susunan hurup-hurup di atas, apabila kita memandang ketiga hurup A itu berbeda maka untuk masing-masing susunan hurup yang terbentuk akan terdapat 6 banyaknya susuna hurup yang berbeda. Sehingga jumlah semua susunan hurup yang terbentuk adalah
⏟
x =
Dengan menggunakan gagasan yang terdapat pada illustrasi di atas, kita dapat menerapkan gagasan ini pada masalah yang lebih umum. Apabila kita memiliki n unsur dan dari n unsur itu terdapat k jenis dengan masing-masing jenis terdiri atas n1, n2, . . . , nk unsur sehingga n1 + n2 + . . . + nk = n, maka
banyaknya permutasi dari n unsur itu adalah
Contoh 4 Tentang permutasi dengan unsur yang sama
1. Banyaknya susunan huruf dari huruf pada {B, I, O, L, A} sehingga tidak ada dua huruf hidup yang berturutan adalah . . . .
2. Nomor polisi mobil-mobil di suatu negara selalu terdiri dari 4 angka. Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap, mobil yang bisa terdaftar di negara itu paling banyak ada . . . .
3. Banyaknya cara menyusun huruf-huruf pada kata MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan adalah . . . .
4. Empat pasang suami isteri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk kepada mereka ?
5. Empat pasang suami-isteri membeli karcis untuk 8 kursi sebaris pada suatu pertunjukan. Dua orang akan duduk bersebelahan hanya kalau keduanya
pasangan suami isteri atau berjenis kelamin sama. Berapa banyakkah cara menempatkan keempat pasang suami-isteri ke 8 kursi tersebut ?
6. Diantara 10 orang wakil siswa yang terdiri dari 3 perempuan dan 7 laki-laki akan dibentuk kepanitiaan yang terdiri dari 4 orang. Banyaknya susunan kepanitiaan yang dapat dibentuk jika disyaratkan paling banyak 2 perempuan dalam susunan panitia adalah . . . .
7. Suatu himpunan terdapat 4 objek yang akan ditempatkan pada 4 tempat dengan posisi yang melingkar. Berikan argumentasi proses menentukan banyaknya cara berbeda menempatkan keempat objek tersebut.
