Laporan Praktikum 2 Model Hidrodinamika

(1)

Laporan Praktikum 2

ANALISIS DAN PEMODELAN OSEANOGRAFI (ITK 628)

Model Hidrodinamika 1D sederhana dan 1D variasi topografi

Oleh

ZAN ZIBAR

C551140041 / S2-IKL

Diajukan untuk memnuhi salah satu tugas Mata Kuliah Analisis dan Pemodelan Oseanografi

SEKOLAH PASCASARJANA

DEPARTEMEN ILMU DAN TEKNOLOGI KELAUTAN

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

Model Hidrodinamika 1D sederhana dan 1D variasi topografi

1. Pendahuluan

Model matematika dapat digunakan dalam persoalan-persoalan polusi lingkungan seperti yang terjadi pada perairan, dengan disimulasikan atau diturunkan fenomena kejadiannya (Haryanto, 2008).

Hidrodinamika adalah cabang dari mekanika fluida, khususnya zat cair incompressible yang di pengaruhi oleh gaya internal dan eksternal. Dalam hidrodinamika laut gaya-gaya yang terpenting adalah gaya gravitasi, gaya gesekan, dan gaya coriolis . Dalam oseanografi, mekanika fluida digunakan berdasarkan mekanika Newton yang dimodifikasi dengan memperhitungkan turbelensi (Cahyana, 2011).

Fenomena arus, gelombang dan pasang surut merupakan bagian dari hidrodinamika laut. Parameter hidrodinamika laut ini merupakan bagian dari keseluruhan komponen oseanografi yang saling mengadakan interaksi atau saling mempengaruhi satu sama lain yang cukup kompleks. Seperti adanya fenomena pasang dan surut yang akan membangkitkan arus pasang dan surut yang akan membawa massa air bersamaan dengan arus surut (Wibisono, 2005).

Tujuan dari pembuatan model hidrodinamika dan variasi topografi satu dimensi adalah untuk menerapkan metode pemecahan numerik untuk menyelesaikan persamaan difusi satu dimensi dengan menggunakan metode eksplisit. Selain itu juga pembuatan model hidrodinamika dan variasi topografi satu dimensi adalah untuk memahami penerapan parameter model dalam kaitannya dengan stabilitas numerik.

2. Metode

2.1.Persamaan Pembangun dan Metode Deskritisasi

Persamaan pengatur fluida dapat disajikan sebagai berikut :

0 (m) konstan terhadap ruang, dan g koefisien gravitasi bumi (m/dt2).

Sistem persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan transpor Ut (m2/dt)

dimana:

Ut = u x H (3)

Persamaan (1) dan (2) bentuk transpor menjadi :

(3)

0

2.2. Deskritisasi Model

Persamaan hidrodinamika 1 dimensi dalam bentuk transpor, pada persamaan (4) dan (5) dideskritisasi secara eksplisit menjadi :







n



Deskritisasi numerik persamaan hidrodinamika 1 dimensi secara eksplisit tersebut diatas harus memenuhi kriteria stabilitas Courant-Freiderichs-Lewy (CFL) sebagai berikut :

gH x

t 

 (8)

2.3. Solusi Analitik

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan secara analitik dengan memberikan nilai elevasi secara sinusoidal sebagai berikut :



k x t



A*cos * *

   (9)

sehingga diperoleh solusi analitik kecepatan adalah :



A H



Co



k



x dx

 

t



u / * *cos * 0.5*  * (10)

atau dalam bentuk transpor adalah :



A H



Co



k



x dx

 

t



t

U  / * *cos * 0.5*  * (11)

Kedua solusi analitik tersebut diatas pada persamaan (9) dan (11) akan digunakan sebagai nilai awal dan syarat batas numerik.

2.4. Nilai Awal dan Syarat Batas 2.4.1.Nilai Awal

Pada saat awal di setiap grid secara numerik dapat dituliskan :



k x



(4)

2.4.2.Syarat Batas

Syarat batas di hilir (di grid ke-0)diberikan elevasi sebagai berikut :



t



A

n 1 _*_cos _*

0 

   (14)

Sedangkan syarat batas di hulu (di grid ke-imax) diberikan kecepatan sebagai berikut:





Kriteria Kestabilan

Kriteria kestabilan yang digunakan pada model hidrodinamika satu dimensi dan variasi topografi adalah dengan menggunakan nilai dari gravitasi (g) dan nilai kedalaman maksimum (H)

2.5. Skenario Model Amplitudo 0,1 Meter

Skenario model yang digunakan untuk model hidrodinamika satu dimensi sederhana menggunakan amplitudo 0,1 meter adalah sebagai berikut (Koropitan, 2001):

!Program Model Hidrodinamika 1-D Sederhana real seta, seta0, u, u0, ka, sigma, Co

dimension H(100), u0(100), u(100), seta0(100), seta(100) open (1,FILE='elvruang1D.txt',status='unknown')

open (2,FILE='elvwaktu1D.txt',status='unknown') open (3,FILE='arsruang1D.txt',status='unknown') open (4,FILE='arswaktu1D.txt',status='unknown') ! Variabel-variabel

L=2000 T=450 A=0.1 d=10 g=10 tmax=3*T dt=3

itermax=tmax/dt imax=40

(5)

seta0(i)=A*cos(ka*i*dx) H(i)=d+seta0(i)

enddo do j=1,jmax

u0(j)=(A/H(j))*Co*cos(ka*(j+0.5)*dx)

enddo

!Perhitungan seta dan u do k=1,itermax

!Syarat Batas

seta(1)=A*cos(sigma*k*dt)

u(jmax)=(A/H(jmax))*Co*cos(ka*L - sigma*k*dt)

do j=1,jmax-1 i=j

u(j)=u0(j)-((g*dt/dx)*(seta0(i+1)-seta0(i))) enddo

do i=2,imax j=i

seta(i)=seta0(i)-((dt*H(i)/dx)*(u(j)-u(j-1))) enddo

!================= CETAK HASIL ===========================! write (1,100) seta(5),seta(10),seta(20),seta(40)

write (3,100) u(5),u(10),u(20),u(40)

if (((k*dt).ne.(0.5*T)).and.((k*dt).ne.T).and.((k*dt).ne.(2*T)).and.((k*dt).ne.(3*T))) goto 30

write (2,100) (seta(i),i=1,imax) write (4,100) (u(j),j=1,jmax) 100 format (500f8.2)

! Transfer Variabel 30 do j=1,jmax u0(j)=u(j) enddo do i=1,imax seta0(i)=seta(i) H(i)=d+seta0(i) enddo

enddo end

Amplitudo 0,5 Meter

(6)

! Variabel-variabel L=2000

T=450 A=0.5 d=10 g=10 tmax=3*T dt=3

jmax=40 dx=L/imax pi=3.141592654 sigma=2*pi/T Co=sqrt(g*d) ka=sigma/Co !Syarat Awal do i=1,imax

enddo do j=1,jmax

enddo

!Syarat Batas

u(jmax)=(A/H(jmax))*Co*cos(ka*L - sigma*k*dt)

do j=1,jmax-1 i=j

do i=2,imax j=i

write (3,100) u(5),u(10),u(20),u(40)

(7)

u0(j)=u(j) enddo do i=1,imax seta0(i)=seta(i) H(i)=d+seta0(i) enddo

enddo end

Amplitudo 1 Meter

open (2,FILE='elvwaktu1D.txt',status='unknown') open (3,FILE='arsruang1D.txt',status='unknown') open (4,FILE='arswaktu1D.txt',status='unknown') ! Variabel-variabel

L=2000 T=450 A=1 d=10 g=10 tmax=3*T dt=3

jmax=40 dx=L/imax pi=3.141592654 sigma=2*pi/T Co=sqrt(g*d) ka=sigma/Co !Syarat Awal do i=1,imax

enddo do j=1,jmax

enddo

!Syarat Batas

(8)

do j=1,jmax-1 i=j

do i=2,imax j=i

write (3,100) u(5),u(10),u(20),u(40)

! Transfer Variabel 30 do j=1,jmax u0(j)=u(j) enddo do i=1,imax seta0(i)=seta(i) H(i)=d+seta0(i) enddo

(9)

3. Hasil dan pembahasan

Hasil

Model Hidrodinamika Sederhana dengan 3 amplitudo berbeda. Amplitudo 0,1 Meter

-0.13

Arus Terhadap Ruang

Series1

Waktu Ke

Arus Terhadap Waktu

Series1

Series2

Series3

(10)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

0 100 200 300 400 500

E

le

v

a

si

Sel Ke

Elevasi Terhadap Ruang

Series1

Series2

Series3

Series4

0.04 0.02

0.03

-0.01

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 10 20 30 40 50

E

le

v

a

si

Waktu Ke

Elevasi Waktu

Series1

Series2

Series3

(11)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0 100 200 300 400

A

ru

s

(m

/s

)

Sel Ke

Arus Terhadap Ruang

Series1

Series2

Series3

Series4

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0 10 20 30 40 50

A

ru

s

(m

/s

)

Waktu Ke

Arus Terhadap Waktu

Series1

Series2

(12)

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000

0 100 200 300 400

E

le

v

a

si

Sel Ke

Elevasi Terhadap Ruang

Series1

Series2

Series3

Series4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 10 20 30 40 50

E

le

v

a

si

Waktu Ke

Elevasi Terhadap Waktu

Series1

Series2

(13)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 50 100 150 200 250

A

ru

s

(m

/s

)

Sel Ke

Arus Terhadap Ruang

Series1

Series2

Series3

Series4

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 10 20 30 40 50

A

ru

s

(m

/s

)

Waktu Ke

Arus Terhadap Waktu

Series1

(14)

-1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200

0 50 100 150 200 250

E

le

v

a

si

Sel Ke

Elevasi Terhadap Ruang

Series1

Series2

Series3

Series4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 10 20 30 40 50

E

le

v

a

si

Waktu Ke

Elevasi Terhadap Waktu

Series1

(15)

Model hidrodinamika 1D variasi topografi (kedalaman berupa fungsi slope) Amplitudo 0,1 Meter

-2

Grafik arus terhadap Ruang

sel 5

Waktu ke

Grafik arus terhadap Waktu

0,5 T

Grafik elevasi terhadap Ruang

(16)

Waktu ke

Grafik elevasi terhadap Waktu

0,5 T

sel 5

Waktu Ke

(17)

Sel 5

Waktu Ke

Grafik elevasi terhadap Waktu

0,5 T

sel 5 sel 10

sel 20

(18)

-20

Waktu Ke

0,5 T

Sel 5

Waktu ke

Gafik elevasi terhadap Waktu

0,5T

T

(19)

-4

Arus Terhadap Ruang

5

10

20

40

Ruang

ke--4

Waktu Ke

Arus Terhadap Waktu

225

Elevasi Terhadap Ruang

5

10

20

40

Ruang

(20)

-20

5

10

20

40

Ruang

ke--20

Waktu Ke

225

ElevasiTerhadap Waktu

225

450

900

1350

W aktu

(21)

-300

5

10

20

40

Ruang

ke--1.5

Elevasi Terhadap Waktu

225

5

10

20

40

Ruang

(22)

-25

Waktu Ke

225

5

10

20

40

Ruang

ke--1.5

Waktu Ke

Elevasi Terhadap Waktu

225

450

(23)

ke-Pembahasan

Model Hidrodinamika Sederhana dengan 3 amplitudo berbeda.

Berdasakan hasil simulasi model diperolah hasil arus serta elevasi yang berbeda-beda sesuai dengan amplitudo serta topografi yang diberikan. Menurut Mac Millan (1966) Faktor gesekan dasar dapat mengurangi tunggang pasut dan menyebabkan keterlambatan fase (Phase lag) serta mengakibatkan persamaan gelombang pasut menjadi non linier semakin dangkal perairan maka semaikin besar pengaruh gesekannya.

Arus Terhadap Ruang Arus Terhadap Waktu

Elevasi Terhadap Ruang

Elevasi Terhadap waktu

0.13 0.18 0.04 0.03

-0.24 0.11 0.04 0.03

-0.15 0.2 0.04 0.02

-0.08 -0.25 0.03 0.03

-0.085 0.06 0.0375 0.0275

Hasil simulasi berdasarkan nilai yang terlihat pada tabel tersebut menunjukan adanya perbedaan nilai maksimum pada perubahan arus terhadap ruang, arus terhadap waktu, elevasi terhadap ruang dan elevasi terhadap waktu pada masing-masing amplitudo namun nilai maksimum mendekati nilai amplitudo yang diberikan. Semakin besar nilai amplitudo, arus dan elevasi yang dihasilkan semakin besar pula. Arus ruang (arus terhadap waktu) serta elevasi ruang (elevasi terhadap waktu) membentuk pola sinusoidal yang hampir sama, namun berbeda fase di tiap sel. Secara umum pola ini bergeser ke arah sumbu x saat berpindah ke sel lainnya.

-0.8 0.32 0 0.21

-1.81 0.32 0 0

-1.81 -2.73 0 0

-1.305 -0.4425 0 0.105

(24)

sinusoidal yang hampir sama, namun berbeda fase di tiap sel. Secara umum pola ini bergeser ke arah sumbu x saat berpindah ke sel lainnya.

0.11 -0.84 0 0.45

-3.62 -0.84 0 0.45

-3.62 0

-2.6875 -0.84 0 0.45

Tabel di atas juga memberikan informasi yang sama seperti pada simulasi-simulasi sebelumnya, bahwa nilai arus ruang, arus waktu, elevasi ruang dan elevasi waktu pada masing-masing amplitudo terlihat hampir sama dengan nilai maksimum mendekati nilai amplitudo yang diberikan. Semakin besar nilai amplitudo, arus dan elevasi yang dihasilkan semakin besar pula. Arus ruang (arus terhadap waktu) serta elevasi ruang (elevasi terhadap waktu) membentuk pola sinusoidal yang hampir sama, namun berbeda fase di tiap sel. Secara umum pola ini bergeser ke arah sumbu x saat berpindah ke sel lainnya.

Model hidrodinamika 1D variasi topografi (kedalaman berupa fungsi slope)

Berdasarkan hasil simulasi, terjadi perbedaan yang cukup signifikan pada saat arus dengan amplitudo yang berbeda melewati waktu dan ruang yang ditentukan. Saat amplitudo A=0.1 dan A=0.5 diperoleh hasil simulasi yang hampir sama, namun terdapat perbedaan pada nilai kecepatan arus serta elevasi. Namun pada saat amplituo A=1, grafik yang diperoleh tidak teratur, hal ini disebkan karena nilai amplitudo sudah melewati syarat batas sehingga perairan mengalami overflow.

Berdasarkan fungsi slope, diketahui bahwa semakin bertambah sel, semakin besar pula kemiringan. Dengan demikian pada sel 1 sampai 10 perairan lebih dangkal dari sel 16 dan 20. Hal ini menyebabkan arus ruang (arus terhadap waktu) baik pada amplitudo A=0.5 dan A=0.1 memiliki perbedaan pada tiap sel. Pada sel 1 sampai 10, dimana perairan masih dikategorikan dangkal, pola arus ruang tidak teratur. Dengan semakin landainya kedalaman maka turbulen arus semakin besar sehingga pada sel ke 16 dan 19 pola kecepatan arus menjadi tidak teratur.

Model hidrodinamika 1D variasi topografi di tiap sel

(25)

Pada amplitudo 0.1 meter dan 0.5 meter memiliki pola gelombang yang cenderung hampir sama baik pada arus maupun elevasi, dimana pada saat terjadi penambahan amplitudo pada kecepatan arus memiliki nilai amplitudo gelombang yang akan menjadi besar pula. Grafik yang diperoleh pada kecepatan aru yang dihasilkan masih agak berbentu sinusoidal dibandingkan dengan kurav arus dengan kedalaman berupa slope, hal ini mungkin terjadi karena topografi yang dibentuk tidak terlalu curam. Pada elevasi, perio T=0.5 selalu berpotongan dengan ketiga periode lainnya.

4. PENUTUP KESIMPULAN

Hasil praktikum yang dilakukan dapat ditarik kesimpulan bahwa penjalaran gelombang pasut dan kecepatan arus saling berkaitan dimana arus menyebakan elevasi. Secara umum dari hasil ini diperoleh pada saat simulasi diberikan topografi atau kedalaman yang berupa slope, maka arus serta elevasi yang dihasilkan akan semakin besar pula. Penentuan parameter sangat penting, khususnya untuk pengaruh kestabilan numerik.

DAFTAR PUSTAKA

Cahyana, C. 2011. Model Sebaran Panas Air Kanal Pendingin Instalasi Pembangkit Listrik ke Badan Air Laut. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Ilmu Kelautan Universitas Indonesia. Jakarta.

Haryanto B. Pebruari. 2008. Pengaruh Pemilihan Kondisi Batas, langkah Ruang, LangkahWaktu, dan Koefisien Difusi pada Model Difusi. Jurnal Aplika. Vol 8. No. 1.

Koropitan,A. 2001. MODUL PRAKTIKUMPEMODELAN OSEANOGRAFI.

ProgramStudi Oseanografi, Institut Teknologi Bandung. Bandung

Mac Millan, C. D. H. 1966. Tides. American Elsevier Publishing Company, Inc., New York

(26)