BAB 5 MODEL HIDRODINAMIKA TIGA DIMENSI

Berdasarkan hasil percobaan yang dilakukan untuk sampel yang diambil dari perairan pantai Semarang, diperoleh tegangan geser kritis erosi untuk lama masa konsolidasi dua hari, rata-rata adalah: 0.8093 N/m². Pada Tabel 4.2. diperlihatkan hasil perhitungan dari tiga belas kali percobaan.

Tabel. 4.2. Tegangan geser kritis erosi sedimen kohesif

No Kecepatan aliran V (m/dt)

Tinggi fluida (cm)

Lebar saluran (cm)

Keliling basah (cm)

Bilangan Raynold (Ry)

Friction factor (f)

Tegangan geser kritis

ce(N/m²) 1 0,519316 5,5 8,5 19,5 48824,54 0,02101 0,725821 2 0,525757 5,5 8,5 19,5 49430,11 0,02095 0,741812 3 0,533789 5,5 8,5 19,5 50185,33 0,02087 0,761734 4 0,559235 5,5 8,5 19,5 52577,63 0,02066 0,827674 5 0,545794 5,5 8,5 19,5 51313,97 0,02077 0,792565 6 0,611747 5,5 8,5 19,5 57514,69 0,02025 0,970755 7 0,582387 5,5 8,5 19,5 54754,32 0,02047 0,889368 8 0,515192 5,5 8,5 19,5 48436,86 0,02104 0,715360 9 0,530671 5,5 8,5 19,5 49892,15 0,02090 0,753942 10 0,584314 5,5 8,5 19,5 54935,46 0,02046 0,894825 11 0,593254 5,5 8,5 19,5 55776,05 0,02039 0,919263 12 0,541425 5,5 8,5 19,5 50903,24 0,02081 0,781430 13 0,527676 5,5 8,5 19,5 49610,60 0,02093 0,746526

Rata-rata 0,809313

BAB 5

MODEL HIDRODINAMIKA TIGA DIMENSI

Model hidrodinamika yang disajikan dalam bab ini adalah model hidrodinamika tiga dimensi Princeton Ocean Model (POM) yang diterapkan pada perairan Pantai Semarang. Kajian terhadap arus pada perairan pantai Semarang dipisahkan atas dua bagian utama, yakni: pertama, arus yang dibangkitkan oleh pasang surut, dan pasut digabung angin yang ditujukan sebagai bagian dari verifikasi model dan kedua, sirkulasi arus yang dibangkitkan oleh angin.

Seperti yang sudah dinyatakan di atas bahwa model sirkulasi arus yang diterapkan dalam penelitian ini adalah model hidrodinamika Princeton Ocean Model (POM) yang sedang dikembangkan oleh Mellor dan kawan-kawan dari Universitas Princeton USA.

Penerapan model POM pada perairan pantai Semarang, terlebih dahulu dilakukan pengujian model POM terhadap beberapa syarat batas terbuka. Untuk domain model yang sederhana (misalnya saluran sederhana), penerapan syarat batas terbuka gravity-wave radiation; explicit (GWE), syarat batas terbuka gradien (GRD) dan syarat batas Orlanski Radiation Implisit (ORI).

Secara ringkas tahapan dari kegiatan penelitian model hidrodinamika tiga dimensi disajikan dalam bentuk diagram alir pada Gambar 5.1.

Prinsip-prinsip dasar dari model POM adalah sebagai berikut (Mellor,1998):

 Mengandung sub-model turbulensi tertutup untuk memberikan koefisien percampuran vertikal.

 Koordinat vertikalnya menggunakan model koordinat sigma yang diskalakan terhadap kedalaman kolom air.

 Grid horizontal dimungkinkan untuk menggunakan koordinat kurvalinier orthogonal dan menerapkan pembaganan “Arakawa C”.

 Diferensial horizontal dari model dalam diskritisasinya menggunakan skema eksplisit , sedangkan differensial

66 66

vertikalnya menggunakan skema implisit.

Digunakannya skema implisit untuk diferensial vertikal bertujuan untuk mengeliminasi keterbatasan yang disebabkan oleh langkah waktu dalam perhitungannya, sehingga dengan demikian dimungkinkan untuk menggunakan resolusi vertikal yang lebih halus pada lapisan batas permukaan dan dasar.

 Model memiliki permukaan bebas dan menggunakan metode pemisahan langkah waktu. Dalam perhitungan model dipisahkan menjadi dua bagian langkah waktu, yakni eksternal dan internal. Bagian model eksternal dari model adalah dua-dimensi dan menggunakan langkah waktu pendek berdasarkan pada kondisi CFL (Courant Friedrichs Levy) dan laju gelombang eksternal. Model internal adalah tiga-dimensi dan menggunakan langkah waktu panjang bergantung pada kondisi CFL dan laju gelombang internal.

 Dalam model secara lengkap kondisi thermodinamik juga telah diimplementasikan.

Gambar 5.1. Diagram alir penelitian pengembangan model hidrodinamika tiga dimensi

Mulai

Penelitian Lapangan Uji Sensitivitas

HidrodinamikaPOM Verifikasi HidrodinamikaPOM

Syarat batas Kedalaman

perairan Koefisien

gesekan dasar

Model Lain Data

lapangan

Pengembangan Model Untuk Perairan Pantai

Semarang

Analisa

Selesai

vertikalnya menggunakan skema implisit.

Digunakannya skema implisit untuk diferensial vertikal bertujuan untuk mengeliminasi keterbatasan yang disebabkan oleh langkah waktu dalam perhitungannya, sehingga dengan demikian dimungkinkan untuk menggunakan resolusi vertikal yang lebih halus pada lapisan batas permukaan dan dasar.

 Model memiliki permukaan bebas dan menggunakan metode pemisahan langkah waktu. Dalam perhitungan model dipisahkan menjadi dua bagian langkah waktu, yakni eksternal dan internal. Bagian model eksternal dari model adalah dua-dimensi dan menggunakan langkah waktu pendek berdasarkan pada kondisi CFL (Courant Friedrichs Levy) dan laju gelombang eksternal. Model internal adalah tiga-dimensi dan menggunakan langkah waktu panjang bergantung pada kondisi CFL dan laju gelombang internal.

 Dalam model secara lengkap kondisi thermodinamik juga telah diimplementasikan.

Gambar 5.1. Diagram alir penelitian pengembangan model hidrodinamika tiga dimensi

Mulai

Penelitian Lapangan Uji Sensitivitas

HidrodinamikaPOM Verifikasi HidrodinamikaPOM

Syarat batas Kedalaman

perairan Koefisien

gesekan dasar

Model Lain Data

lapangan

Pengembangan Model Untuk Perairan Pantai

Semarang

Analisa

Selesai

Sub-model turbulen tertutup merupakan salah satu komponen yang juga dimasukkan ke dalam model (Mellor,1973) dan secara signifikan telah dikembangkan dalam kolaborasinya dengan Tesuji Yamada (Mellor dan Yamada,1974; Mellor dan Yamada,1982). Model turbulen tertutup Mellor-Yamada dikembangkan berdasarkan pada hipotesis turbulen dari Rotta dan Kolmogorov yang diperluas untuk kasus aliran berstratifikasi.

Dalam penerapan model di perairan Semarang, data elevasi dan kecepatan arus yang digunakan sebagai masukan dan verifikasi model adalah data lapangan.

5.1. Persamaan Dasar Arus

Sistim koordinat  yang diperlihatkan pada Gambar 5.2 dipakai dalam model POM sebagai dasar untuk menurunkan persamaan pengatur gerakan hidrodinamika dan angkutan aliran.

Gambar 5.2. Sistim koordinat . (Sumber: Mellor, 1998.)

Transformasi koordinat dari koordinat kartesian menjadi koordinat sigma adalah sebagai berikut:

x* = x , y* = y ,  

  

 z

H , t* = t (5.1) dimana :

x,y,z = koordinat Cartesian,





 H

D ,

H(x,y) = topografi dasar perairan,

_{( , , )x y t} = elevasi muka air, x^*, y^*, , t^* = koordinat sigma.

68 68

Koordinat sigma () memiliki kisaran dari  = 0 pada z  (permukaan perairan) hingga  = -1 pada z = -H (dasar perairan).

Melalui konversi kekoordinat  tersebut selanjutnya persamaan kontinuitas, persamaan momentum, persamaan keadaan dan persamaan konveksi-difusi dapat dinyatakan sebagai berikut (Mellor, 1998):















 DU

x

DV

y t

   0 (5.2)













 





 





 





 



UD t

U D x

UVD y

U fVD gD t

gD

x D D

x d

o

       









2 2 0 ' ' '

' '

 















K D

U F

M x

(5.3)













 





 





 





 



VD t

UVD x

V D y

V fUD gD y

gD

y D D

y d

o

       

 



2 2 0



' ' '

' '

 















K D

U F

M y

(5.4)













 













 TD

t

TUD x

TVD y

T K

D

T F R

z

H T

    





 

(5.5)













 











SD t

SUD x

SVD y

S K

D

S F

H S

    







(5.6)

























q D t

Uq D x

Vq D y

q K

D q

2 2 2 2 q 2

    

 



 

 

  

 













  

2 ^{2 2} 2 2 ³

1

K D

U V g K Dq

B l F

M

o H q







 





~

(5.7)

Koordinat sigma () memiliki kisaran dari  = 0 pada z  (permukaan perairan) hingga  = -1 pada z = -H (dasar perairan).

Melalui konversi kekoordinat  tersebut selanjutnya persamaan kontinuitas, persamaan momentum, persamaan keadaan dan persamaan konveksi-difusi dapat dinyatakan sebagai berikut (Mellor, 1998):















 DU

x

DV

y t

   0 (5.2)













 





 





 





 



UD t

U D x

UVD y

U fVD gD t

gD

x D D

x d

o

       









2 2 0 ' ' '

' '

 















K D

U F

M x

(5.3)













 





 





 





 



VD t

UVD x

V D y

V fUD gD y

gD

y D D

y d

o

       

 



2 2 0



' ' '

' '

 















K D

U F

M y

(5.4)













 













 TD

t

TUD x

TVD y

T K

D

T F R

z

H T

    





 

(5.5)













 











SD t

SUD x

SVD y

S K

D

S F

H S

    







(5.6)

























q D t

Uq D x

Vq D y

q K

D q

2 2 2 2 q 2

    

 



 

 

  

 













  

2 ^{2 2} 2 2 ³

1

K D

U V g K Dq

B l F

M

o H q







 





~

(5.7)

dan persamaan model turbulen:

























q lD t

Uq lD x

Vq lD y

q l s

K D

q l

2 2 2 2 q 2

    

 



 

 

  

 

















 

  E l K

D

U V E g K W F

M

o H l

1

2 2

3







 



^{~ ~}

(5.8) Dalam persamaan (5.2) ^ merupakan transpormasi kecepatan vertikal, secara fisik merupakan komponen arah normal terhadap permukaan  . Dalam koordinat kartesian kecepatan vertikal tersebut adalah:

t t D y

y V D x x U D

W 























  

 



 





 



 





(5.9) Pada persamaan (5.3) dan (5.4) suku viskositas dan difusi horizontal dinyatakan dengan:

   

F x H

y H

x   xx  xy

  

  (5.10)

   

F x H

y H

y   xy  yy

  

  (5.11)

dimana :

 

xx AM U

2 x ; (5.12)

  





xy yx AM U 

y V

    x

 

; (5.13)

 

yy AM V

2 y (5.14)

Kemudian juga bila  bisa mewakili T,S,q² atau q²l maka:

   

F x Hq

y Hq

x y









  (5.15)

dimana :

q A

x  Hx

 ^{; (5.16)}

q A

y  H y

 (5.17)

70 70 5.2. Gelombang Permukaan

Gelombang permukaan ini lebih sering dikatakan sebagai gelombang angin, dimana secara umum dicirikan oleh tinggi gelombang signifikan H , perioda gelombang signifikan _s T , dan _s panjang gelombang signifikan L . Ketiganya didefenisikan sebagai _s rata-rata tinggi, perioda dan panjang gelombang dari sepertiga tinggi gelombang yang lebih tinggi (Rivera, 1997).

Tinggi gelombang signifikan H menurut CERC (1984) dan _s Bouws (1986) dapat ditentukan berdasarkan hubungan empirisnya dengan angin, yakni :































 



 







 















 



 



  _0,75

2 42 , 0 75 2

, 0 2 2

0,53 tanh

0,0125 tanh

53 , 0 283 tanh

, 0

W gh W

gF W

gh g

Hs W

(5.18) Dengan kaitannya dengan angin, perioda gelombang signifikan dapat ditentukan berdasarkan hubungan berikut :































 



 







 















 



 



  _0,375

2 25 , 0 375 2

, 0 2

0,833 tanh

0,077 tanh

833 , 0 54 tanh

, 7

W gh W

gF W

gh g

T_s W

(5.19) dimana F adalah jarak efektif angin W periode tertentu (fecth).

Sedangkan panjang gelombang siginifikan dapat ditentukan berdasarkan hubungan eksplisit yang diberikan oleh Fenton dan McKee (1990) berikut:

3 / 2 2 / 2 3

2 / tanh

2 













 



  h g

T L gT

s s s



 (5.20)

Persamaan-persamaan gelombang permukaan ini akan digunakan dalam menentukan tegangan geser dasar yang disebabkan oleh gelombang yang akan digunakan pada perhitungan transpor sedimen pada bab berikutnya.

5.2. Gelombang Permukaan

Gelombang permukaan ini lebih sering dikatakan sebagai gelombang angin, dimana secara umum dicirikan oleh tinggi gelombang signifikan H , perioda gelombang signifikan _s T , dan _s panjang gelombang signifikan L . Ketiganya didefenisikan sebagai _s rata-rata tinggi, perioda dan panjang gelombang dari sepertiga tinggi gelombang yang lebih tinggi (Rivera, 1997).

Tinggi gelombang signifikan H menurut CERC (1984) dan _s Bouws (1986) dapat ditentukan berdasarkan hubungan empirisnya dengan angin, yakni :































 



 







 















 



 



  _0,75

2 42 , 0 75 2

, 0 2 2

0,53 tanh

0,0125 tanh

53 , 0 283 tanh

, 0

W gh W

gF W

gh g

Hs W

(5.18) Dengan kaitannya dengan angin, perioda gelombang signifikan dapat ditentukan berdasarkan hubungan berikut :































 



 







 















 



 



  _0,375

2 25 , 0 375 2

, 0 2

0,833 tanh

0,077 tanh

833 , 0 54 tanh

, 7

W gh W

gF W

gh g

T_s W

(5.19) dimana F adalah jarak efektif angin W periode tertentu (fecth).

Sedangkan panjang gelombang siginifikan dapat ditentukan berdasarkan hubungan eksplisit yang diberikan oleh Fenton dan McKee (1990) berikut:

3 / 2 2 / 2 3

2 / tanh

2 













 



  h g

T L gT

s s s



 (5.20)

Persamaan-persamaan gelombang permukaan ini akan digunakan dalam menentukan tegangan geser dasar yang disebabkan oleh gelombang yang akan digunakan pada perhitungan transpor sedimen pada bab berikutnya.

5.3. Nilai Awal dan Syarat Batas

Nilai awal dan kondisi batas termasuk dua faktor utama yang perlu diperhatikan dalam sebuah model, karena kedua faktor tersebut akan mempengaruhi keakuratan hasil perhitungan.

Akan tetapi, satu dari sekian banyak permasalahan yang sulit dalam pemodelan hidrodinamika secara numerik adalah dalam menentukan syarat batas terbuka. Oleh karena itu, untuk mengatasi hal tersebut beberapa penelitian telah melakukan dengan berbagai bentuk variasi formulasi syarat batas terbuka (Arnold, 1987).

Pentingnya syarat batas tersebut karena sangat menentukan keberhasilan pemodelan numerik. Dimana suatu model numerik akan dapat dikembangkan dan digunakan secara efisien untuk meneliti domain model regional dan pantai sangat ditentukan oleh keberhasilan dalam pemberian syarat batas terbuka yang sempurna (Marchesiello et al., 2001).

Tahapan simulasi model yang dijelaskan dalam buku ini dilakukan atas dua tahapan ukuran model, yang disebut masing- masing model besar dengan ukuran grid 500x500 m dan model kecil dengan ukuran grid 50x50 m. Diskritisasi daerah model disajikan dalam Gambar 5.3

Gambar 5.3. Diskritisasi daerah model (sumber. Suprijo, 1999)

72 72

5.3.1. Nilai Awal dan Syarat Batas Horizontal Model Besar Saat awal simulasi model dilakukan kondisi perairan yang ditinjau dianggap dalam keadaan tenang, yakni tanpa gangguan.

u = v = w =  = 0 (5.21)

dalam bentuk numerik dapat dinyatakan sebagai berikut:

0







 _i,j,k^o _i,j,k^o _i,j,k^o

i,j,ko v w ζ

u (5.22)

Kecepatan aliran tegak lurus terhadap batas tertutup dapat diasumsikan sama dengan nol, dengan demikian pada batas tertutup tersebut dapat kita gunakan pendekatan “syarat batas semi-slip”

sebagai berikut : n 0





(5.23)

Berbeda dengan syarat batas tertutup, penentuan syarat batas terbuka lebih sulit. Syarat batas terbuka untuk model besar ini digunakan syarat batas berikut:

a. Syarat batas elevasi () : ς

η  (5.24)

dimana :  merupakan nilai elevasi yang diperoleh dari hasil pengamatan di lapangan (data). Syarat batas elevasi ini digunakan untuk mencari nilai elevasi pada batas terbuka sebelah Utara dari model.

b. Syarat batas Gravity-wave radiation : Explicit (GWE):

0



 





x t

 

 (5.25)

bentuk nemurik dari persamaan GWE adalah :



n Bⁿ



n B n B

B 1 1

 







 ^    , (5.26) dimana :

x c t



 

 _,

gh c 

dimana: g = percepatan gravitasi, h = kedalaman perairan, t = langkah waktu dan x = lebar grid horisontal.

5.3.2. Syarat Batas Horizontal Uji Model dan Model Kecil Sama dengan syarat batas model besar, untuk uji model dan model kecil juga diasumsikan bahwa kecepatan aliran normal

5.3.1. Nilai Awal dan Syarat Batas Horizontal Model Besar Saat awal simulasi model dilakukan kondisi perairan yang ditinjau dianggap dalam keadaan tenang, yakni tanpa gangguan.

u = v = w =  = 0 (5.21)

dalam bentuk numerik dapat dinyatakan sebagai berikut:

0







 _i,j,k^o _i,j,k^o _i,j,k^o

i,j,ko v w ζ

u (5.22)

Kecepatan aliran tegak lurus terhadap batas tertutup dapat diasumsikan sama dengan nol, dengan demikian pada batas tertutup tersebut dapat kita gunakan pendekatan “syarat batas semi-slip”

sebagai berikut : n 0





(5.23)

Berbeda dengan syarat batas tertutup, penentuan syarat batas terbuka lebih sulit. Syarat batas terbuka untuk model besar ini digunakan syarat batas berikut:

a. Syarat batas elevasi () : ς

η  (5.24)

dimana :  merupakan nilai elevasi yang diperoleh dari hasil pengamatan di lapangan (data). Syarat batas elevasi ini digunakan untuk mencari nilai elevasi pada batas terbuka sebelah Utara dari model.

b. Syarat batas Gravity-wave radiation : Explicit (GWE):

0



 





x t

 

 (5.25)

bentuk nemurik dari persamaan GWE adalah :



n Bⁿ



n B n B

B 1 1

 







 ^    , (5.26) dimana :

x c t



 

 _,

gh c 

dimana: g = percepatan gravitasi, h = kedalaman perairan, t = langkah waktu dan x = lebar grid horisontal.

5.3.2. Syarat Batas Horizontal Uji Model dan Model Kecil Sama dengan syarat batas model besar, untuk uji model dan model kecil juga diasumsikan bahwa kecepatan aliran normal

terhadap batas tertutup (darat) adalah nol (syarat batas semi-slip) , maka secara matematis dapat dinyatakan sebagai :

n 0





(5.27)

Untuk batas terbuka horisontal yang digunakan dalam uji model dan model kecil dibagi atas dua bagian, yakni syarat batas untuk elevasi dan syarat batas kecepatan sebagai berikut :

a. Syarat batas terbuka elevasi () :

Untuk uji model, syarat batas elevasi diterapkan dalam bentuk suatu persamaan, sedangkan untuk model kecil diambil dari hasil simulasi model besar, yakni :

ς

η  , (5.28)

dimana :  merupakan nilai elevasi yang diperoleh dari hasil model besar. Karena ukuran grid model besar lebih besar dari grid model kecil, maka penerapan elevasi yang diperoleh dari model besar tersebut harus dilakukan interpolasi.

b. Syarat batas terbuka kecepatan:

Perhitungan batas terbuka untuk uji model dan horisontal dalam model kecil ini digunakan beberapa pendekatan perumusan syarat batas, yakni:

Syarat batas gradient (GRD) : ,

0

 





x (5.29)

bentuk numerik dari persamaan GRD adalah :

11

1 

  

ⁿ_B ⁿ_B

Syarat batas Gravity-wave radiation: Explicit (GWE):

0

 

 





x t

 

 (5.30)

bentuk nemurik dari persamaan GWE adalah :



n Bⁿ



n B n B

B 1 1

 







 ^    ,

dimana : x c t



 

 _,

gh c 

Syarat batas Orlanski Radiation Implicit (ORI) sebagai berikut:

0

 

 





x t

 

 , (5.31)

74 74

bentuk nemurik dari persamaan ORI adalah :

 



  

 





_B^n1  _B^n11 2 _Bⁿ_1 /1 , dimana :

















 



 _ ^ _ ^

0 C jika 0

C 2 1 C 0 jika C

1 C jika 1

L

1 2 1 1 1

11 11 L

L L

L

Bn Bn

Bn

Bn Bn









 

   



  ,

Penggunaan perumusan perhitungan batas terbuka kecepatan untuk model kecil dipilih berdasarkan hasil analisa dari pengujian model.

5.3.3. Syarat Batas Vertikal

Kondisi batas vertikal untuk persamaan (5.2) adalah:



 

0 

 

1 0_,0 (5.32) Kondisi batas untuk persamaan (5.3) dan (5.4) adalah:

   



0 , 0



, 0

,     



 











 



 ^{wu wv}

V U D K_M

,0 (5.33) dimana sisi sebelah kanan dari persamaan (5.33) merupakan nilai masukan dari fluk momentum turbulen permukaan (komponen gesekan berlawanan dalam tandanya). Sehingga persamaan (5.33) dapat ditulis dalam bentuk berikut :

x

M U

D

K 

 ^_^

 







 (5.34a)

M V y

D

K 

^_^

 







 (5.34b)

dimana :

H W W W

C_{D x x y}

x

2 2 

  _(5.35)

H W W W

C_{D y x y}

y

2 2 

  _(5.36)

 



^{0,630,66 2  2}



^103

 _{x y}

D W W

C (5.37)

dan untuk syarat batas dasar :

  

,



, 1

,  ²  ^{2 1/2} 



 











 



 ^{C U V U V}

V U D K

M z

(5.38)

bentuk nemurik dari persamaan ORI adalah :

 



  

 





_B^n1  _B^n11 2 _Bⁿ_1 /1 , dimana :

















 



 _ ^ _ ^

0 C jika 0

C 2 1 C 0 jika C

1 C jika 1

L

1 2 1 1 1

11 11 L

L L

L

Bn Bn

Bn

Bn Bn









 

   



  ,

Penggunaan perumusan perhitungan batas terbuka kecepatan untuk model kecil dipilih berdasarkan hasil analisa dari pengujian model.

5.3.3. Syarat Batas Vertikal

Kondisi batas vertikal untuk persamaan (5.2) adalah:



 

0 

 

1 0_,0 (5.32) Kondisi batas untuk persamaan (5.3) dan (5.4) adalah:

   



0 , 0



, 0

,      



 











 



 ^{wu wv}

V U D K_M

,0 (5.33) dimana sisi sebelah kanan dari persamaan (5.33) merupakan nilai masukan dari fluk momentum turbulen permukaan (komponen gesekan berlawanan dalam tandanya). Sehingga persamaan (5.33) dapat ditulis dalam bentuk berikut :

x

M U

D

K 

 ^_^

 







 (5.34a)

M V y

D

K 

^_^

 







 (5.34b)

dimana :

H W W W

C_{D x x y}

x

2 2 

  _(5.35)

H W W W

C_{D y x y}

y

2 2 

  _(5.36)

 



^{0,630,66 2  2}



^103

 _{x y}

D W W

C (5.37)

dan untuk syarat batas dasar :

  

,



, 1

,  ²  ^{2 1/2} 



 











 



 ^{C U V U V}

V U D K

M z

(5.38)

harga Cz dapat diperoleh melalui beberapa pendekatan:

 

 

 













 



0025 . 0 / ,

1

ln ₁ ²

2 o kb

z H z

MAX k

C  ^(5.39)

3 / 1

n2

H

C_z  g (5.40)



log148



²

32 1

C_z  H (5.41) dimana: k = 0,4 adalah konstanta von Karman dan zo adalah parameter kekasaran, n = koefisien meaning, g = gravitasi.

Persamaan (5.39) s/d (5.41) digunakan untuk uji sensitifitas model, seperti akan disajikan dalam sub bagian uji sensitifitas model.

Syarat batas untuk persamaan (5.5) dan (5.6) adalah:

 



0



,

,  



 











 



 ^w

S T D K_M

 0 (permukaan) (5.42) ,

0 , 



 















 S T D K_M

 1 _(dasar) (5.43) Syarat batas untuk persamaan (5.7) dan (5.8) adalah:

   



q² 0,q²l 0







B₁^2/3u²

^{ }

0,0



(5.44)

   



q² 1,q²l 1







B₁^2/3u_²

 

1,0



(5.45) dimana B1 salah satu konstanta turbulen tertutup dan u adalah 

gesekan kecepatan pada puncak atau dasar.

5.4. Persamaan Integrasi Vertikal

Persamaan pembangun dinamika sirkulasi perairan pantai, mengandung gelombang gravitasi eksternal yang bergerak cepat dan gelombang gravitasi internal yang bergerak lambat. Pemisahan ini diperlukan sekali dalam hubungannya dengan penghematan pemakaian komputer yakni melalui pemisahan persamaan integrasi secara vertikal (mode eksternal) dari persamaan struktur vertikal (mode internal). Teknik ini dikenal sebagai “splitting mode”

(Simons, 1974; Madala and Piacsek, 1977) membolehkan perhitungan elevasi permukaan bebas dengan mengorbankan sedikit waktu komputasi dengan menyelesaikan transpor kecepatan secara terpisah dari perhitungan tiga dimensi kecepatan dan sifat termodinamika.

76 76

Transpor kecepatan, persamaan mode eksternal didapatkan dengan pengintegrasian persamaan mode internal terhadap kedalaman. Dengan cara demikian dapat mengeliminasi seluruh struktur vertikal. Selanjutnya melalui mengintegrasikan persamaan (5.2) dari  = -1 sampai  = 0 dan menggunakan kondisi batas pers. (5.35) dan pers. (5.36), sebuah persamaan untuk elevasi permukaan dapat ditulis sebagai berikut (Mellor, 1998):

0

 











y D V x

D U t

 , (5.46)

Setelah diintegrasikan, persamaan momentum (5.3) dan (5.4), menjadi:

 

 

 



 0 1

2 ~







 

 



 









 wu wu

gD x D V f y F

D V U x

D U t

D U

x



+  



 



 ^{ D} _x ^D_x ^{d d}

G gD ^{o o}

o

x ' ' ' '

 

1 













 

(5.47)

 

 

 



 0 1

2 ~







 

 



 









 wu wu

gD y D U f y F

D V x

D V U t

D

V y 

+  



 



 ^ y ^{d d}

D D y

G gD ^{o o}

o

y ' ' ' '

 

1 



 















 

(5.48)

Obverbars menandakan integrasi kecepatan secara vertikal seperti:

d



1

 ^oU

U (5.49)

Komponen gesekan angin adalah u

 

0  dan v

 

0 , dan komponen gesekan dasar adalah:

 



 1

 u dan v

 

1 . Kuantitas F~_xdan F~_y didefenisikan menurut:















 















 



 











 

x V y A U y H x

A U x H

F~_x 2 ^{M M} (5.50)















 















 



 











 

x V y A U y H y

A V y H

F~_y 2 ^{M M} (5.51)

Transpor kecepatan, persamaan mode eksternal didapatkan dengan pengintegrasian persamaan mode internal terhadap kedalaman. Dengan cara demikian dapat mengeliminasi seluruh struktur vertikal. Selanjutnya melalui mengintegrasikan persamaan (5.2) dari  = -1 sampai  = 0 dan menggunakan kondisi batas pers. (5.35) dan pers. (5.36), sebuah persamaan untuk elevasi permukaan dapat ditulis sebagai berikut (Mellor, 1998):

0

 











y D V x

D U t

 , (5.46)

Setelah diintegrasikan, persamaan momentum (5.3) dan (5.4), menjadi:

 

 

 



 0 1

2 ~







 

 



 









 wu wu

gD x D V f y F

D V U x

D U t

D U

x



+  



 



 ^{ D} _x ^D_x ^{d d}

G gD ^{o o}

o

x ' ' ' '

 

1 













 

(5.47)

 

 

 



 0 1

2 ~







 

 



 









 wu wu

gD y D U f y F

D V x

D V U t

D

V y 

+  



 



 ^ y ^{d d}

D D y

G gD ^{o o}

o

y ' ' ' '

 

1 



 















 

(5.48)

Obverbars menandakan integrasi kecepatan secara vertikal seperti:

d



1

 ^oU

U (5.49)

Komponen gesekan angin adalah u

 

0  dan v

 

0 , dan komponen gesekan dasar adalah:

 



 1

 u dan v

 

1 . Kuantitas F~_xdan F~_y didefenisikan menurut:















 















 



 











 

x V y A U y H x

A U x H

F~_x 2 ^{M M} (5.50)















 















 



 











 

x V y A U y H y

A V y H

F~_y 2 ^{M M} (5.51)

Suku dispersi didefenisikan menurut:

x x

x F

y D UV x

D F U

y D V U x

D

G U 









 





 ²

2 ~ (5.52)

y y

y F

y D U x

D F UV

y D V x

D V

G U 









 





 ²

2 ~ (5.53)

Jika AM konstan dalam arah vertikal , maka suku “F” dan (5.52) dan (5.53) diabaikan. Bagaimanapun, kita menghitung variabel vertikal yang mungkin dalam difusi horizontal; termasuk kasus jika tipe difusi Smagorinsky digunakan. Seluruh suku pada sisi kanan dari (5.47) dan (5.48) dievaluasi pada masing-masing langkah waktu internal dan dipertahankan konstan seluruh jumlah langkah waktu eksternal .

5.5. Perhitungan Mode Tiga Dimensi (Internal)

Dalam perhitungan mode tiga dimensi (internal), variabelnya dipisahkan ke dalam dua langkah waktu, yakni: langkah waktu difusi vertikal dan langkah waktu adveksi ditambah difusi horizontal. Penyelesaian numerik dari suku bentuk pertama (difusi vertikal) adalah dengan cara implisit. Hal ini bertujuan untuk mengakomodasi spasi vertikal yang kecil dekat dasar.

Sedangkan suku yang terakhir (adveksi ditambah difusi horizontal) diselesaikan secara eksplisit. Untuk ilustrasi penyelesaian tersebut di atas, diambil contoh penyelesaian persamaan berikut:

   





 

 



 











 



 

 K T R

T D Dif T T Adv

DT

1 H (5.54)

Adv(T) dan Dif(T) menyatakan suku adveksi dan difusi horizontal. Penyelesaiannya dilakukan dalam dua langkah waktu.

Bagian Adveksi dan difusi horizontal didefrensialkan menurut:

   

¹

1 1 1

2

~   

  



 ^{n n} _{n n}

n AdvT Dif T

t T D T

D (5.55)

Bagian difusi vertikal didefrensialkan menurut:





 

 



 











 



 ^







 K T R

t D T D T

D ⁿ

n H n

n

n 1

1 1

1

1 1

2

~ (5.56)

Akibat pembaganan diferensial waktu secara “leap frog”, akan timbul penyimpang secara perlahan. Untuk mengatasi

78 78

permasalahan tersebut, maka penyelesaiannya diperhalus pada masing-masing langkah waktu melalui penerapan filter Asselin (1972), yakni berdasarkan persamaan berikut:



¹ 2 ¹



2



  



 ^{n n n}

s T T T T

T 

(5.57) dimana Ts adalah penyelesaian yang telah diperhalus, digunakan 

= 0.05. Teknik ini mengintrodusir sedikit peredaman pada solusi dengan teknik langkah Euler-bacward atau forward.

5.6. Susunan Grid

Susunan grid (staggered grid) untuk mode eksternal diperlihatkan dalam Gambar.5.3, sedangkan Gambar.5.4 untuk grid internal. Operator advektif dalam persamaan (5.2) sampai (5.8) dan (5.46) sampai (5.48) digambarkan dalam pengertian volume terbatas; seperti persamaan (5.5) atau, operator Adv dalam (5.55), dapat ditulis:

       



 

 ^



 





AdvtT h_xh_{y x} Dh_yUT _y Dh_xVT h_xh_y T

(5.58) DhyUT menggambarkan transpor T dan  menyatakan diferensial x

dalam kuantitas ini melalui bidang berlawanan dari elemen volume.

Diferensial kecepatan diselesaikan dalam langkah serupa akan tetapi ditambahkan suku Coriolis dan lengkungan.

 

y y

^

x

^

x y

^{ }

x y x

y

xh Dh DhUV h h U fVDh h

h U

Adv( )     ~

 



 



(5.59) dimana:

   

y x

y x y

x y x

h h

h U h

h h

f V 



~

(5.60)

Persamaan (5.60) merupakan suku kurva.

Gambar 5.4. Grid mode eksternal Dua-Dimensi. Sumber: Mellor,1988.

VA(I,J+1)

VA(I,J)

UA(I,J) UA(I+1,J)

X

Y (I,J)

permasalahan tersebut, maka penyelesaiannya diperhalus pada masing-masing langkah waktu melalui penerapan filter Asselin (1972), yakni berdasarkan persamaan berikut:



¹ 2 ¹



2



  



 ^{n n n}

s T T T T

T 

(5.57) dimana Ts adalah penyelesaian yang telah diperhalus, digunakan 

= 0.05. Teknik ini mengintrodusir sedikit peredaman pada solusi dengan teknik langkah Euler-bacward atau forward.

5.6. Susunan Grid

Susunan grid (staggered grid) untuk mode eksternal diperlihatkan dalam Gambar.5.3, sedangkan Gambar.5.4 untuk grid internal. Operator advektif dalam persamaan (5.2) sampai (5.8) dan (5.46) sampai (5.48) digambarkan dalam pengertian volume terbatas; seperti persamaan (5.5) atau, operator Adv dalam (5.55), dapat ditulis:

       



 

 ^



 





AdvtT h_xh_{y x} Dh_yUT _y Dh_xVT h_xh_y T

(5.58) DhyUT menggambarkan transpor T dan  menyatakan diferensial x

dalam kuantitas ini melalui bidang berlawanan dari elemen volume.

Diferensial kecepatan diselesaikan dalam langkah serupa akan tetapi ditambahkan suku Coriolis dan lengkungan.

 

y y

^

x

^

x y

^{ }

x y x

y

xh Dh DhUV h h U fVDh h

h U

Adv( )     ~

 



 



(5.59) dimana:

   

y x

y x y

x y x

h h

h U h

h h

f V 



~

(5.60)

Persamaan (5.60) merupakan suku kurva.

Gambar 5.4. Grid mode eksternal Dua-Dimensi. Sumber: Mellor,1988.

VA(I,J+1)

VA(I,J)

UA(I,J) UA(I+1,J)

X

Y (I,J)

Gambar 5.5. Grid mode internal tiga-dimensi. Q mewakili KM, KH, Q2, atau Q2L. T mewakili T, S, atau RHO. Sumber: Mellor,1988.

5.7. Pembatasan Langkah Waktu

Untuk model POM ini, langkah waktu yang digunakan dibagi atas dua langkah waktu, yakni langkah waktu eksternal dan langkah waktu internal. Pada perhitungan persamaan integrasi secara vertikal (mode eksternal), langkah waktu dibatasi berdasarkan syarat stabilitas komputasi Courant-Friedrichs-Levy (CFL):

2 / 1 2 2

1 1 1

y C x

t

t

E ^  ^

 (5.61)

dimana Ct = 2(gH)^1/2 + Umax; Umax adalah kecepatan maksimum.

Kriteria langkah waktu untuk mode internal adalah:

2 / 1 2 2

1 1 1

y C x

t

T

I ^  ^

 (5.62)

dimana: CT = 2C + Umax; C adalah kecepatan gelombang gravitasi internal maximum umumnya berorde 2 m/dt, dan Umax adalah kecepatan advektif maksimum. Untuk kondisi perairan pantai khusus perbandingan langkah waktunya adalah

, /

/ t DTI DTE

t_I  _E 

 selalu memiliki faktor dari 50-80 atau lebih

V(I,J+1,K)

V(I,J,K)

U(I,J,K) U(I+1,J,K)

X

Y T(I,J,

K) T(I,J,K) Q(I,J,K)

Tampak mendatar

W(I,J+1,K)

W(I,J,K )

U(I,J,K) U(I+1,J,K)

X

Y T(I,J,K)

Q(I,J,K+1)

Q(I,J,K+1) Z(K)

ZZ(K) Z(K+1) Tampak vertikal