BAB 5 DIMENSI TIGA
A. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Kedudukan titik terhadap garis
Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka : a. Titik T teletak pada garis g, tau garis g melalui titik T b. Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak
melalui titik T
2. Kedudukan titik terhadap bidang
Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka :
a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T
b. Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T
3. Kedudukan garis terhadap garis
Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka : a. Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga
dapat terjadi:
garis g dan h berhimpit, g = h
garis g dan h berpotongan pada sebuah titik garis g dan h sejajar
b. Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan.
4. Kedudukan garis terhadap bidang
Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :
a. Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g.
b. Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H
c. Garis g sejajar dengan bidang H 5. Kedudukan bidang terhadap bidang
Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka : a. Bidang V dan bidang H berhimpit
b. Bidang V dan bidang H sejajar
c. Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau garis persekutuan.
A B H
E F
D C
G
g B
A Contoh :
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut !
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan : a. Titik yang berada pada garis DF b. Titik yang berada diluar bidang BCHE c. Garis yang sejajar dengan CF
d. Garis yang berpotongan dengan BE e. Garis yang bersilangan dengan FG f. Bidang yang sejajar dengan bidang BDG Jawab :
a. Titik D dan F b. Titik A, D, F, G c. DE
d. EA, EF, ED, EH e. AB, DC, AE, DH f. AFH
B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1. Menghitung jarak antara
titik dan garis
Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus. Jarak antara titik A dengan garis g adalah AB, karena AB tegak lurus dengan garis g.
B A
H
h g A
B
B
A H
h g
2. Menghitung jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang. Jarak titik A ke bidang H adalah AB, karena garis AB tegak lurus dengan bidang H
3. Menghitung jarak antara 2 garis
a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak
b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.
Jarak antara garis g dan h adalah AB, karena AB
¿
g dan h.
c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.
Jarak antara garis g dan h adalah AB karena AB tegak lurus g dan h
A
A H
g
B H
A H
4. Menghitung jarak antara garis dan bidang
Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang. Jarak antara garis g dan bidang H adalah AB, karena AB tegak lurus g dan bidang H.
5. Jarak antara dua bidang
Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.
Jarak antara bidang G dan H adalah AB.
C. PROYEKSI
B A
H
D C
A B
T
O
Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai berikut :
a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H
b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi titik A pada bidang H adalah B.
2. Proyeksi garis pada bidang
Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.
Basic concept :
a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang itu berupa titik.
b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis yang sejajar dengan garis yang diproyeksikan.
Contoh :
Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm.
Hitunglah panjang proyeksi : a. TB pada bidang ABCD b. TB pada bidang TAC
a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD = BO
2 2
1 1
BO AC AB BC
2 2
1 25 25 1 50 5 2 cm
2 2 2
b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO
2 2 25
TO TB BO 64 2 103 1 206 cm
2 2
D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG 1. Sudut antara dua garis berpotongan
Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip. Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah .
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.
3. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang. Sudut antara garis dan bidang
58
A
h
g
H
H
g1
g
A B H
E F
D C
G
adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu. Garis g menembus bidang H dititik A. Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1. Sudut antara garis g dengan bidang H adalah sudut yang dibentuk garis g dengan g1.
4. Sudut antara bidang dengan bidang
Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan.
Untuk menentukannya sebagai berikut : a. Tentukan garis potong kedua bidang
b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang
c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.
d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi
Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H). Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h yaitu .
D. Metode supertrik pada kubus menghitung jarak Pada kubus dengan panjang rusuk R, maka berlaku :
59 G, H g
G
Jarak titik sudut ke diagonal sisi :
R 6
2
Jarak titik sudut ke diagonal ruang : R
6 3
Jarak C ke BDG (dekat) = R
3 3
Jarak C ke AFH (jauh) = 2R
3 3
Jarak E ke BDG (jauh) = 2R 3
3
Jarak E ke AFH ( dekat) = R
3 3
Jarak bidang ACH ke BEG (dekat) = R
3 3
Jarak bidang ACH ke AFC (jauh) = 2R
3 3
PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2011
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke diagonal ruang AG adalah…
A. 4 6 cm D. 4 2 cm
B. 4 5 cm E. 4 cm
C. 4 3 cm
Pembahasan :
Perhatikan gambar berikut :
Cara 1 : Basic concept
Karena M adalah titik tengah rusuk EH, maka segitiga AMG merupakan segitiga sama kaki.
Panjang AM = MG = EM2EA2 8242 80 4 5 Rusuk AG = diagonal ruang = R 3 8 3
Maka diperoleh :
2 2 2 1 2MT AM AG 4 5 4 3
2
80 48 32 4 2 cm
Cara 2 : metode supertrik
Jika diketahui kubus dengan rusuk R, dimana titik M di tengah – tengah suatu rusuk, dan ditanyakan jarak titik
M ke diagonal ruang =
R 2
2
Jadi, karena R pada soal = 8 maka jarak M ke diagonal
AG =
R 8
2 2 4 2 cm
2 2
Jawaban:D 2. UN 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis CF adalah…
A. 6 3 cm D. 3 3 cm
B. 6 2 cm E. 3 2 cm
C. 3 6 cm
Pembahasan :
Perhatikan gambar berikut !
CF = diagonal sisi Metode supertrik :
Jarak titik A ke diagonal sisi CF :
R 6 6 6 3 6 cm
2 2
Jawaban:C 3. UN 2012
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BDG adalah…
A. 1
3 cm
3 D.
8 3 cm 3
B. 2
3 cm
3 E.
16 3 cm 3
C. 4
3 cm 3
Pembahasan :
Metode supertrik :
Jarak titik E ke bidang BDG = jauh =
2R 3 2.8 3 16 3 3 3 3 cm
Jawaban:E 4. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah…
A. 8 5 cm D. 6 2 cm
B. 6 5 cm E. 6 cm
C. 6 3 cm Pembahasan :
Perhatikan gambar berikut !
Metode supertrik :
Jarak titik P ke diagonal HB =
R 12
2 2 6 2 cm
2 2
Jawaban:D 5. UN 2012
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah . Nilai sin =…
A.
1 2
2 D.
2 2 3
B.
1 3
2 E.
3 3 4
C. 1
3 3
Pembahasan :
Perhatikan gambar berikut !
Cara 1 : basic concept
Dari gambar diperoleh bahwa : Panjang AE = 4 cm
2
2 2 21
PanjangEP diagonal sisi 2
Cara 2 : metode supertrik
Mencari sudut
antara rusuk dengan bidang segitiga dekat : Kosinus sudut antara garis CG dan bidang BDG adalah…A.
Lihat gambar berikut !
Metode supertrik :
Mencari sudut
antara rusuk dengan bidang segitiga dekat : 7. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara garis TC dan bidang ABC adalah…Metode supertrik :
Pada prisma segitiga dengan panjang rusuknya sama, sudut antara rusuk tegak dan bidang alas misalnya , maka berlaku :
1
PAKET SOAL LATIHAN
1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan AB = 4 cm. Jika titik P adalah perpotongan AC dan BD, maka panjang EP =…
A. 2 6 cm D. 5 6 cm
B. 3 6 cm E. 6 6 cm
C. 4 6 cm
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke diagonal sisi AH adalah…
A. 3 2 cm D. 6 2 cm
B. 3 3 cm E. 6 3 cm
C. 3 6 cm
3. Diketahui limas T.ABCD dengan panjang semua rusuknya sama yaitu 12 cm. Jarak titik T ke bidang alas ABCD adalah…
A. 3 2 cm D. 4 6 cm
B. 3 3 cm E. 6 6 cm
C. 4 2 cm
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak antara bidang ACH dan bidang AFC adalah…
A.
a 3cm
3 D.
2a 6cm 3
B.
a 6cm
3 E.
4a 3cm 3
C.
2a 3cm 3
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke diagonal ruang AG adalah…
A. 2 2 cm D. 5 2 cm
B. 3 2 cm E. 6 2 cm
C. 4 2 cm
6. Diketahui limas beraturan T.ABCD, semua panjang rusuknya sama. Sudut antara TC dan bidang ABCD adalah…
A. 150 D. 600
B. 300 E. 750
C. 450
8. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara garis TC dan bidang ABC
9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Nilai kosinus sudut antara garis CH dan bidang BDHF
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika adalah sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan bidang ABCD. Maka tan =…
A. 2 D. 2 3
B. 3 E. 3 2
C. 2 2
