BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Komputasi - Simulasi Kuat Medan Magnet Dekat Magnet Permanen Secara Numerik Dengan Syarat Batas Dua Dimensi Disekitar Vakum

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Komputasi

2.1.1. Metode Analitik dan metode Numerik

Persoalan yang melibatkan model matematika sering kali muncul dalam

berbagai ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau

pada bidang rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Teknik

Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika muncul dalam bentuk

yang rumit. Model yang rumit ini bisa saja diselesaikan dengan metode

analitik, tetapi membutuhkan waktu dan langkah-langkah yang panjang sekali

atau mungkin tak dapat diselesaikan karena belum ada bentuk rumus aljabar

yang baku. Bila metode analitik ini tidak lagi dapat diterapkan, maka solusi

persoalan masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik (Bobbin,

2008).

Metode numerik adalah suatu teknik penyelesaian yang diformulasikan secara

matematis dengan cara operasi hitungan atau aritmatik dan dilakukan secara

berulang-ulang dengan bantuan komputer atau secara manual. Dengan menganalisis

suatu permasalahan yang didekati dengan menggunakan metode numerik, umumnya

melibatkan angka-angka dalam jumlah banyak dam melewati proses

perhitungan panjang dan lama. Namun dengan munculnya berbagai software

komputer, masalah tersebut dapat diatasi dengan mudah. Sebuah model

matematika secara sederhana dapat didefinisikan sebagai sebuah formulasi atau

persamaan yang mengekpresikan suatu sistem atau proses dalam istilah matematika

Perbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik terletak pada

dua hal yaitu: Solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka.

Sedangkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk

fungsi matematika yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi

untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka (Munir, 2006). Perbedaan hasil antara

solusi analitik (eksak) dengan solusi numerik atau yang biasa disebut error

(kesalahan). Adanya error dalam pendekatan secara numerik dapat

diminimalisasi dengan mengambil selang interval perhitungan yang lebih kecil

(Setiawan, 2006).

2.1.2 Konsep Dasar Simulasi

Simulasi adalah proses yang diperlukan untuk operasionalisasi model untuk

meniru tingkah laku sistem yang sesungguhnya. Dengan demikian simulasi

dapat juga diartikan sebagai suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan

atau menguraikan persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh

dengan ketidakpastian, dengan atau tidak menggunakan metode tertentu dan lebih

ditekankan pada pemakaian untuk mendapatkan solusi (Djunaidi dkk, 2006).

Ini meliputi berbagai kegiatan seperti penggunaan diagram alir dan logika

komputer, serta penulisan kode komputer dan penerapan kode tersebut pada

komputer untuk menggunakan masukan dan menghasilkan keluaran yang

diinginkan. Karena pada penggunaannya modeling dan simulasi adalah proses yang

berhubungan sangat erat. Adapun langkah-langkah dalam simulasi dilakukan seperti

2.2 Landasan Teori

Induksi magnet pada magnet permanen yang menghasilkan kuat medan

magnet akan menghasilkan pemagnetan. Jika ada magnet permanen yang tak

dililitkan kawat berarus akan menimbulkan intensitas magnet dari kutub magnet

tersebut saja (sutrisno,Tan Ik Gie, 1983). Magnet dalam kasus ini dapat

dianggap berupa magnet kotak (ernpat-persegi panjang).

Induksi magnetnya bukan berasal dari arus listrik (muatan listrik)

melainkan dari arus pengangkutan yang tidak diketahui sampai sekarang muatan

magnetnya (monopol magnet) (R.R.John, F. J. Milford, R. W. Christy, 1993).

Untuk memudahkan perhitungan kuat medan magnet, maka dicoba untuk

membuat algoritmanya sehingga dihasilkan program lengkap yang

menggunakan metoda numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman

Fortran dari prinsip diferensial parsial berhingga.

Bahasa pemrograman Fortran telah lama digunakan oleh para ilmuwan

dalam memecahkan permasalahan matematis karena merupakan bahasa

pemrograman yang terstruktur. Selain itu bahasa pemrograman Fortran sangat

cocok sekali dipakai untuk kasus numerik karena hasil program sesuai seperti

yang diharapkan oleh para pemrogram.

Seperti yang disebutkan bahwa penyelesaian program berdasarkan

prinsip turunan parsial berhingga, maka perkiraan turunan (differential) tersebut

dapat digambarkan sebagai jaringan titik hitungan (pias) pada bidang XY yang

pada titik hitungan (i,j) (Bambang Atmojo,1992).

Gambar 1. Jaringan titik hitungan dalam bidang x-y (sumber: Bambang Atmojo, 1992)

2.2.1 Potensial Magnet

Semua bahan tersusun dari atom dan setiap atom terdiri dari elektron

yang bergerak. Rangkaian elektron ini yang masing-masing tertambat pada suatu

atom tunggal disebut arus atom. Tadinya arus atom akan menimbulkan induksi.

Induksi medan magnet bukan hanya berasal arus listrik ataupun kumparan

berarus dalam magnet, tapi juga berasal dari magnet permanen, yaitu suatu

bahan yang menimbulkan medan magnet walaupun tak ada arus listrik dialirkan

dari luar.

Hukum Ampere menyatakan bahwa dalam vakum, integral garis atau

jumlah garis induksi magnet total yang keluar dari suatu lintasan yang berbentuk

Gambar 2. Pentahkikan hukum rangkaian Ampere untuk geometri kawat panjang lures. (sumber: John R Reitz, Frederick J Milford, Robert W Christy, 1993)

adalah

∫

B.dl =2πrB. (2)

Nilai B terletak pada jarak r dari kawat penghantar diberikan oleh

,

dan ini merupakan garis singgung lingkaran yang berjari-jari r berpusat pada

penghantar tersebut. Dari gambar 2 dihasilkan

,

C merupakan daerah tertutup yang mengandung elemen-elemen garis dl.

Penggunaan teorema divergensi dapat diubah menjadi integral permukaan, yang

akan bernilai nol bila dipilih permukaan yang terletak diluar batas yang J-nya

tidak nol sehingga menghasilkan teorema Stoke

, 0J xB=µ

∇ (5)

J adalah rapat arus (Am-2) . Dasar hukum lain dari bentuk loop tertutup, yaitu :

0 . =

Suatu loop arus kecil menghasilkan medan B yang menyerupai medan listrik

dekat dipol listrik, sehingga sebuah moment dipol magnet dapat diidentifikasi

dengan Loop. Sebuah magnet dapat dianggap, sebagai suatu daerah yang

mengandung sejumlah besar elemen loop yang memberikan kenaikan nilai

terhadap moment dipol per volume yang dikenal sebagai megnetisasi

∑

M lim 1 atau sering disebut rapat dipol. Magnetisasi memberi saharn

terhadap B dan itu dapat dicari dari persamaan (5), sehingga

xM J

xB= + ∇

∇ µ₀ µ₀ (7)

Dari persamaan tersebut dapat dicari hubungan B dengan sebuah medan magnet

H, yaitu:

(

H M

)

B=µ₀ + (8)

Dari persamaan (4) dihasilkan H, yaitu:

,

Karena pada magnet permanen tidak mengandung arus listrik, maka

, 0 =

∇xH (11)

sehingga kita dapat mendefinisikan potensial magnet skalar φ, yaitu:

φ

−∇ =

H (12)

Dari persamaan (3) dan (5) dihasilkan

, . .H =−∇M

∇ (13)

atau bentuk dari potensial magnet skalar adalah:

M . 2 =∇

persamaan diatas disebut juga persamaan Poisson untuk potensial dan analog

dengan elektrostatik.

2.2.2 Kondisi Batas Pada Permukaan Magnet

Daerah batas yang terjadi pada magnet dan ruang hampa dimana medan

magnet dan kuat medan magnet continiu dapat digambarkan pada gambar

dibawah

Gambar 2.2 Medan magnet dekat batas antara dua medium yang menjelaskan kondisi batas pada H.

(sumber : A. D. Boardman, 1980)

Gambar 2.3 Medan magnet dekat batas antara dua medium yang menjelaskan kondisi pada batas B

Kondisi batas potensial magnet pada permukaan magnet terletak di antara

dua medium, dalam hal ini medium tersebut ialah bahan magnet dengan ruang

hampa. Diantara daerah tersebut tidak mengandung arus listrik, sehingga

persamaan baru dapat diturunkan dari persamaan (10) dan (6). Pengintegrasian

permukaan pada persamaan (10) menghasilkan

∫

H.dl=0, (14)

dan integral garis di seluruh sudut permukaan magnet, batas antara dua daerah,

yang medan magnetnya dinamakan H1 dan H2 dapat ditunjukkan pada gambar

2.2 diatas.

dh merupakan elemen panjang. Persamaan (15) menunjukkan bahwa komponen

tangensial H kontinu sepanjang batas, dinyatakan sebagai

,

n merupakan vektor satuan terhadap permukaan. Sedangkan bentuk potensial skalarnya

dan pengintegrasian sepanjang batas daerah menghasilkan

2 1 φ

φ = (18)

dengan demikian potensial kontinu sepanjang batas.

Kondisi batas kedua diturunkan dari persamaan ∇.B=0dengan menggunakan

teorema Gauss menghasilkan integral terhadap lintasan (garis)

∫

=

s

ds

B. 0 (19)

Batas permukaan magnet ditandai oleh garis putus-putus pada gambar 2.3.

,

persamaan diatas menunjukkan bahwa komponen normal B adalah kontinu. Jika

dua daerah mempunyai magnetisasi M1 dan M2, maka pensubstitusian

)

Persamaan diatas merupakan kondisi batas pada gradien φ. Hal itu dapat dilihat dari persamaan (21). Karena persamaan tersebut beranalog dengan elektrostatik,

maka bentuk ^ .n

M sesuai dengan hukum rapat dipol magnetik permukaan. Komponen normal medan magnet H tak kontinu dengan selisih komponen

magnetisasi. Akibatnya medan magnet bagian dalam magnet berlawanan arah

terhadap magnetisasi dan dikenal sebagai medan demagnetisasi.

2.2.3 Model Masalah

Masalah komputasi adalah untuk menghitung medan magnet pada daerah

dalam dan luar daerah dua dimensi magnet segiempat dengan pemecahan

persamaan (13) yang disebut juga persamaan Poisson untuk potensial magnet

skalar. M(r) adalah sebuah vektor konstan, yang dari persamaan (13) menghasilkan persamaan Laplace dua dimensi

0

Persamaan (22) menyatakan bahwa pada bagian dalam magnet dan daerah diluar

magnet ada kuat medannya kecuali di sepanjang batas daerah yang nilainya

diberi nol. Pada jarak yang jauh dari magnet, potensial akan menyerupai momen

Gambar 2.4 Skema yang menggambarkan posisi magnet dan derah diluar batas yang mempunyai medan magnet dan arah pada kuadran positive (I), (sumber : A. D. Boardman, 1980)

Jika magnet dibagi 4 kuadran, setelah itu diambil posisi magnet dan

daerah batas medan magnet pada kuadran pertama (I), maka dapatlah

dimungkinkan untuk menghitung solusi numerik persaman (22) terhadap batas

kotak dengan jarak tertentu. Hal ini berarti bahwa sama dengan

0 pada batas, sebagaimana ditunjukkan pada gambar 2.4 . Pendekatan solusi

akhir dapat dicari dengan penambahan ukuran kotak (magnet).

2.2.4 Persamaan Diferensial Terbatas (Berhingga)

pemecahan matematik yaitu turunan berhingga terhadap .

Turunan pertamanya dengan metoda maju (forward) dan mundur (backward)

serta temusat (concentric) ialah

(23.a)

(23.b)

(23.c)

(23.d)

(Sumber : Bambang Atmojo, 1992)

atau jika x diganti i dan y diganti j, maka empat persamaan diatas menjadi

(23.f)

(23.g)

(23.h)

(Sumber : Bambang Atmojo, 1992)

Turunan kedua dari sebuah fungsi tunggal variable f(x) ditabulasi sama dengan

interval x dapat dicari pendekatannya menggunakan ekspansi Tailor

(24)

dimana h adalah interval. Untuk sebuah fungsi daret dua variable f(xy) dapat di

anggap pada titik-titik di pias kuadrat dengan integer i dan j. Oleh karena itu x=

ih; y= jh (i, j=l, 2, 3 ... )

Dari persamaan (24) dapat memodifikasi persamaan Laplace menjadi persamaan

elemen terbatas tertentu. Untuk sehingga dihasilkan persamaan

(25)

Persamaan (25) yang masing-masing menunjukkan posisi pias (garis kuat

medan). Persamaan (25) dapat juga digambarkan menjadi sebuah matriks

dengan cara proses iterasi. Lima nilai pada persamaan (25)

disebut membentuk bintang (gambar 2.5). Jika empat nilai diketahui

pendekatannya, maka persamaan (25) dapat digunakan untuk mendapatkan nilai

kelima. Pada proses iterasi nilai yang kita sebut

harus ditunjukkan ke masing-masing pias (mesh). Pada batas, nilai

dapat diketahui secara tepat dari bagian luar, tapi dapat

ditentukan nilai pada bagian dalam daerah sesuai keinginan kita.

dimisalkan diberi nilai 0.5). dapat dicari dengan menggunakan

persamaan (25) ke masing-masing pias, sehingga nilai dihasilkan

(26)

Gambar 2.5 Bintang dari fungsi nilai yang dibutuhkan untuk mendekati

dititik bulat hitam (i, j). Ukuran tiap-tiap bulat hitam (pias) berukuran h. (sumber : A.D. Boardman, 1980)

Jika nilai di substitusi ke persamaan (25), sehingga bagian dalam

kurung sebelah kiri tidak bernilai 0, tapi mempunyai nilai residual yang kita

. Pada perulangan prosedur, nilai baru dapat

dihitung dari . Proses iterasi ini terus belanjut sampai nilai

tak berubah. Dari persamaan (26) nilai dapat

ditampilkan kolom per kolom dan akan terhitung sebelum

terhitung, sehingga dari persamaan (26) dihasilkan persamaan

(27) yaitu :

(27)

Satu cara yang merubah nilai potensial magnet scalar dengan

menambahkan fraksi kecil yaitu residual Rij dikenal SOR (relaksasi sukses).

menggunakan formula

(28)

adalah parameter konvergensi yang nilainya berada diantara, 1

dan 2. Pada kasus ini kita hanya menggunakan seperempat daerah magnet

batang, seperti ditunjukkan pada gambar 2.6 Formula iterasi dari persamaan (26)

dan (28) tak dapat digunakan untuk titik-titik di permukaan magnet karena.

persamaan Laplace tidak dapat digunakan atau tak kontinu (discontinue). Juga

tidak dapat digunakan pada batas daerah, karena nilainya berada pada daerah

luar magnet. Kondisi selanjutnya dapat dijelaskan dengan memperhatikan batas

OY . Untuk i=1, residualnya adalah

(29)

nilai disebut juga nilai fiktif sebab berada diluar daerah. Untuk

kondisi khusus penerapan nilai fiktif pada batas dibutuhkan untuk menghitung

dalam daerah batas.

Gambar 2.6. Sebuah gambar bulat (pias) hitam didepan permukaan magnet OACB yang merupakan seperempat daerah (kuadran I) dari gambar 2.4. (sumber: A. D. Boardman, 1980)

2.2.4.1 Daerah diluar Batas

Pada daerah ini dan tidak termasuk bagian proses iterasi.

2.2.4.2 Sumbu tegak OY

Garis Y terletak sepanjang sumbu Y (gambar 2.7). Medan pada sumbu x

negatif (y>0) merupakan pencerminan dari kuadrant pertama.

disini nilai medan fiktif adalah

(30)

Penggunaan persamaan diatas pada formula bintang untuk Ri,j menghasilkan

(31)

Gambar 2.7 Simetri garis OY menunjukkan posisi titik fiktif

(sumber: A.D. Boardman, 1980)

Gambar 2.8 Simetri garis OX menunjukkan posisi titik fiktif

(sumber: A.D. Boardman, 1980)

Gambar 2.10 Batas magnet BC (sumber: A.D. Boardman, 1980)

Nilai n’ dengan n-1. Formula ini digunakan pada j>0 dan titik O serta titik B

yang nilai -nya tidak ada.

2.2.4.3 Sumbu Simetri OX

Garis OX terletak sepanjang sumbu x. Dari simetri medan magnet H

tegak lurus dengan OY, sehingga

(32)

(33)

Persamaan (33) berarti bahwa nilai sepanjang OX adalah sama.

Lagi pula, H sepanjang OX yang gradiennya harus kontinu. Nilai

(forward difference) sebagaimana dapat dilihat pada gambar 2.8

(34)

substitusikan persamaan. (34) ke formula bintang untuk residual, formula iterasi

SOR menjadi

(35)

tergantung bagaimana titik bulat hitam di tampilkan. Ternyata persamaan ini

redundannya. Oleh karena itu, nilai adalah nol diluar batas.

2.2.4.4 Batas Magnet AC

Pada batas magnet AC nilai adalah kontinu pada batas,

sehingga secara otomatis mempunyai iterasi. Karena magnetisasi tidak tegak

adalah kontinu. Penggunaan formula turunan maju (forward

difference) menghasilkan (lihat gambar 2.9)

(36)

Pada batas ini, diluar titik C menandakan bahwa nilai potensial fiktif pada batas

BC ialah

(37)

2.2.4.5 Pada Batas Magnet BC

Sekali lagi kontinu, tapi sekarang dari persamaan (21),

gradien pada y tak kontinu (diskontinuitas) sama dengan harga mutlak M, yaitu :

Dalam bentuk turunan terbatas, persamaan (38) menjadi (lihat gambar 2.10)

(39)

oleh karena itu diluar titik C tapi didalam titik B dapat dihasilkan

(40)

2.2.4.6 Pada Titik C

Disini berlaku persamaan dari persamaan (39) dan (41) sehingga

(41)

atau (42)

Skema iterasi secara cepat diprogram untuk sebuah komputer. Ada beberapa

kriteria untuk memenuhi syarat konvergensi yang dapat diterapkan. Kriteria

Pertama, residual Rm dengan magnet terbesar dapat dihentikan sampai iterasi ke

Dengan kata lain nilai residual Rij harus lebih kecil dari Rm. Kriteria kedua

menggunakan akar kuadrat residual rata-rata (root-mean-square average

residuals) harus lebih besar Residual magnet dari. Iterasi berhenti ketika salah satu dari dua kriteria terpenuhi.

(43)

Komponen medan magnet H dihitung dalam prosedure sudut menggunakan

formula beda hingga untuk gradien:

(44)

(45)

Garis OX dan OY tidak termasuk, tapi simetri Hx=0. Pada penelitian ini juga ada

perhitungan arah (sudut) kuat medan magnet