Penyelesaian Soal Matematika SMA

(1)

Penyelesaian Soal Matematika SMA

1. Nilai dari cos 56 sin 11−sin 56 cos 11 = ⋯

Solusi:

Dengan menggunakan rumus penjumlahan sudut,

sin 𝐴±𝐵 = sin𝐴cos𝐵± sin𝐵cos𝐴

maka,

cos 56 sin 11−sin 56 cos 11 = sin 56−11 = sin 45 = 1 2

Sehingga jawabannya adalah (E) 2. Nilai dari sin 75 cos 15−cos 75 sin 15

sin 25 sin 20−cos 25 cos 20 = ⋯

Solusi :

Dengan menggunakan rumus penjumlahan sudut,

sin 𝐴±𝐵 = sin𝐴cos𝐵± sin𝐵cos𝐴

cos 𝐴±𝐵 = cos𝐴cos𝐵 ∓sin𝐴sin𝐵

maka,

sin 75 cos 15−cos 75 sin 15 sin 25 sin 20−cos 25 cos 20 =

sin(75−15)

−(cos 25 cos 20 –sin 25 sin 20)

= sin(75−15)

−(cos(25 + 20))

= sin 60

−(cos 45)= 1

2 3

−(1₂ 2)

=− 3

2=− 6 2

Sehingga jawabannya adalah (A) 3. Diketahui sin𝐴 = 3

2 dan cos𝐵= 3

3, 𝐴 dan 𝐵 adalah sudut lancip. Nilai dari sin 𝐴 − 𝐵 =⋯

Solusi :

Kita mempunyai sin𝐴= 3

2 , sehingga cos𝐴= 1 2. Dan, kita mempunyaia cos𝐵 = 3

(2)

sin 𝐴 − 𝐵 = sin𝐴cos𝐵 −sin𝐵cos𝐴

Sehingga jawabannya adalah (C) 4. Jika nilai cos 𝑃 − 𝑄 = 148

Sehingga jawabannya adalah (A) 5. Jika tan𝐴 = 7

Sehingga jawabannya adalah (E)

(3)

tan 67,5° = sin 67,5

Sehingga jawabannya adalah (C)

8. Bentuk : sin 2𝑥 −sin 4𝑥 ekuivalen dengan …

(4)

= sin 60

10.Sebuah segitiga 𝑃𝑄𝑅 sudut-sudutnya 𝑃,𝑄, dan 𝑅 adalah sudut lancip. Jika nilai sin𝑃 =

11.Jika nilai sin 25°= 𝑝, maka nilai cos 50° =⋯

(5)

=−63 65

Sehingga jawabannya adalah (A)

13.Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶, sudut 𝐴 dan sudut 𝐵 adalah sudut lancip. Jika diketahui nilai

Sehingga jawabannya adalah (A) 14.Diketahui nilai cos𝑥= 5

Sehingga jawabannya adalah (D)

(6)

2 sin𝑥 −1 = 0

sin𝑥=1 2

𝑥= 30, 150

dan,

sin𝑥+ 1 = 0 sin𝑥=−1

𝑥= 270

Karena soal meminta pada interval 0≤ 𝑥 ≤ 𝜋, maka yang memenuhi adalah 𝜋 6, 5𝜋 6 .

Sehingga jawabannya adalah (B)

16.Bentuk tunggal dari − 3 cos 2𝑥 −sin 2𝑥 adalah … Solusi :

𝑘= 𝑎2₊𝑏2 ₌ ₍−₁₎2_{+ (}− ₃₎2 ₌ _{1 + 3 =} _{4 = 2}

𝑡𝑎𝑛𝐴= 𝑎

𝑏=

−1

− 3=

1 3

𝑡𝑎𝑛𝐴= 1

3

𝐴 = 30°

−𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 3 cos 2𝑥 =𝑘𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 − 𝐴) = 2 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 −30°)

Sehingga jawabannya adalah (E) 17.Nilai dari sin 70

°_{+sin 10}°

cos 40° =⋯

Solusi :

sin 70°+ sin 10°

cos 40° =

2 𝑠𝑖𝑛 1₂ 70 + 10 𝑐𝑜𝑠 1₂(70−10)

𝑐𝑜𝑠 40

=2 𝑠𝑖𝑛 1

2 80 𝑐𝑜𝑠 1 2(60)

𝑐𝑜𝑠 40 =

2 𝑠𝑖𝑛 1₂ 80 𝑐𝑜𝑠 1₂(60)

𝑐𝑜𝑠 40 =2 𝑠𝑖𝑛 40 𝑐𝑜𝑠 30

𝑐𝑜𝑠 40 = 2∙

1

2 3 = 3

Sehingga jawabannya adalah (E) 18.Bentuk sederhana sin 3𝑥+sin𝑥

cos 3𝑥+cos𝑥 = ⋯ Solusi :

sin 3𝑥+ sin𝑥 cos 3𝑥+ cos𝑥=

2 sin1₂ 3𝑥+𝑥 cos1₂(3𝑥 − 𝑥)

(7)

= 2 sin 1

2 4𝑥 cos 1 2(2𝑥)

2 cos1₂ 4𝑥 cos1₂(2𝑥)

= 2 sin 2𝑥cos𝑥 2 cos 2𝑥cos𝑥=

sin 2𝑥

cos 2𝑥= tan 2𝑥

Sehingga jawabannya adalah (C) 19.Nilai dari cos 20∙cos 40∙cos 80 =⋯

Solusi :

cos 80 ∙cos 40 ∙cos 20 = (cos 80 ∙cos 40) ∙cos 20

= cos 80 + 40 cos(80−40)

2 ∙cos 20

= cos 120 + cos(40)

2 ∙cos 20

= − 1

2+ cos(40)

2 ∙cos 20

= −1 4+

1

2 cos(40) ∙cos 20

=−1

4∙cos 20 + 1

2 cos40∙ cos 20

=−1

4∙cos 20 + 1 2 ∙

cos 40 + 20 cos (40−20) 2

=−1

4∙cos 20 + 1 2 ∙

cos 60 + cos (20) 2

=−1

4∙cos 20 + 1 2 ∙

1

2+ cos 20 2

=−1

4∙cos 20 + 1 2 ∙

1 4+

1

2cos 20

=−1

4∙cos 20 + 1 8+

1

4cos 20

=1 8

Sehingga jawabannya adalah (E) 20.Jika cos 𝑥+𝑦 +cos (𝑥−𝑦)

sin 𝑥+𝑦 +sin (𝑥−𝑦) = 1, maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah … Solusi :

cos 𝑥+𝑦 + cos(𝑥 − 𝑦) sin 𝑥+𝑦 + sin(𝑥 − 𝑦) = 1

(8)

cos𝑥cos𝑦 −sin𝑥sin𝑦 + cos𝑥cos𝑦+ sin𝑥sin𝑦

= sin𝑥cos𝑦+ sin𝑦cos𝑥 + (sin𝑥cos𝑦 −sin𝑦cos𝑥) 2 cos𝑥cos𝑦= 2 sin𝑥cos𝑦

sin𝑥 cos𝑥= 1 tan𝑥= 1

𝑥= 90 atau 𝑥=𝜋 2.

Sehingga jawabannya adalah (B)

21.Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶, titik 𝐴 1,2,2 ,𝐵 5,4,6 , dan 𝐶(−3,−2,4). Jika 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 masing-masing adalah vektor posisi titik-titik 𝐴,𝐵, dan 𝐶, dan vektor 𝑝= 2𝑎 − 𝑏+𝑐, maka panjang vektor 𝑝 adalah …

Solusi :

𝑝= 2𝑎 − 𝑏+𝑐 →2

1 2 2

− 54 6

+

−3

−2 4

= 2 4 4

− 54 6

+

−3

−2 4

=

2−5 + (−3) 4−4 + (−2)

4−6 + 4 =

−6

−2 2

Sehingga,

𝑝 = −62₊−₂2_{+ 2}2 ₌ _{36 + 4 + 4 =} ₄₄

Sehingga jawabannya adalah (A)

22.Diketahui jajaran genjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐴(1,3,−1), 𝐵(−1,4,1), dan 𝐶(3,5,0). Panjang vektor 𝐴𝐷 adalah …

Solusi :

D C E A B

𝐸 merupakan titik perpotongan diagonal garis 𝐴𝐶dengan 𝐵𝐷.

𝐴𝐶 =𝐴𝐵+𝐵𝐶

= 2,−1,−2 + (−4,−1,1) = (−2,−2,−1)

𝐴𝐸= 1

2∙ −2,−2,−1 = (−1,−1,− 1 2)

𝐸𝐵 =𝐸𝐴+𝐴𝐵

= 1,1,1

2 + (2,−1,−2)

= (3,−0,−3 2)

𝐸𝐵 =𝐸𝐷

Sehingga,

(9)

= −1,−1,−1

2 + 3,0,− 3 2 = 2,−1,−2

Maka panjang vektor 𝐴𝐷 = 22_{+ (}−₁₎2_{+ (}−₂₎2 ₌ _{4 + 1 + 4 =} ₉ Sehingga jawabannya adalah (D)

23.Diketahui vektor 𝑢 = 2𝑖+ 3𝑗, 𝑣= 2𝑖+ 4𝑗, dan vektor 𝑤 = 2𝑖 −3𝑗. Hasil dari 4𝑢 −

3𝑣 − 𝑤 = ⋯

Solusi :

4𝑢 − 3𝑣 − 𝑤 = 4 2 3 − 3

2 4 −

2

−3 = 8

12 − 6 12 −

2

−3 = 8

12 − 4

15 =

4

−3

∴4𝑖 −3𝑗

24.Diketahui vektor-vektor 𝑢 = 2𝑖+ 3𝑗, 𝑣= −𝑖+ 2𝑗, dan vektor 𝑥= 5𝑖+ 11𝑗. Apabila 𝑥= m𝑢 −n𝑣, maka nilai m2+ 2n adalah …

Solusi :

𝑥= m𝑢 −n𝑣 → 5

11 = m

2

3 −n − 1 2 5

11 =

2m

3m − −

n 2n

Kita selesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi sebagai berikut,

2m + n = 5 × 2 4m + 2n = 10 3m−2n = 11 × 1 3m−2n = 11

7m = 21

m = 3 2m + n = 5 → 2(3) + n = 5

6 + n = 5 n =−1

maka nilai dari m2+ 2n = (3)2+ 2 −1 = 9 + −2 = 7 Sehingga jawabannya adalah (D)

25.Diketahui vektor 𝐴𝐵 = 2𝑖+𝑘 dan vektor 𝐴𝐶 =𝑖+𝑗+ 2𝑘, dan apabila koordinat titik 𝐵(1,1,0). Maka koordinat titik 𝐶 adalah …

Solusi :

Kita mempunyai 𝐴𝐵 = 2𝑖+𝑘 dimana 𝐴𝐵 =𝐵 − 𝐴

Sehingga,

2 0 1

= 1 1 0

(10)

maka, kita peroleh koordinat titik 𝐴 adalah −

1 1

−1

atau – 𝑖+𝑗 − 𝑘. 𝐴𝐶 =𝑖+𝑗+ 2𝑘,

dengan cara yang sama seperti diatas, 𝐴𝐶

=𝐶 − 𝐴 1

1 2

=

𝑠 𝑡 𝑢 −

−1 1

−1

maka, kita peroleh koordinat titik 𝐶 adalah

0 2 1

atau 2𝑗+𝑘.

Sehingga jawabannya adalah (E).

26.Diketahui tiga buah titik 𝐴(−1,5,4), 𝐵(2,−1,−2), dan 𝐶(3,𝑥,𝑦) terletak pada satu garis lurus. Nilai dari 𝑥 − 𝑦=⋯

Solusi :

Karena titik 𝐴(−1,5,4), 𝐵(2,−1,−2), dan 𝐶(3,𝑥,𝑦) terletak pada satu garis, maka 𝑐 − 𝑎 =𝑘(𝑏 − 𝑎 )

3

𝑥 𝑦 −

−1 5 4

=𝑘 2

−1

−2

− −51 4

4

𝑥 −5

𝑦 −4

=𝑘 3

−6

maka berlaku:

4 = 3𝑘 ⟹ 𝑘= 4 3

𝑥 −5 =4

3 −6 ⇒ 𝑥 −5 = −8 ⇒ 𝑥 =−3

𝑦 −4 =4

3 −6 ⇒ 𝑦 −4 =−8 ⇒ 𝑦=−4

Sehingga nilai dari 𝑥 − 𝑦= −3—4 = 1

Sehingga jawabannya adalah (B).

27.Diketahui jajaran genjang 𝑂𝑃𝑄𝑅 dengan 𝑂(0,0,0), 𝑃(−2,−4,−2), dan 𝑅(5,−2,−1). Titik 𝑀 pada 𝑂𝑄 sehingga 𝑂𝑀:𝑀𝑄 = 1: 2. Koordinat titik 𝑀 adalah …

Solusi :

𝑂𝑄 =𝑂𝑃+𝑂𝑅

𝑂𝑀=1

3𝑂𝑄

=1

3(𝑂𝑃+𝑂𝑅)

=1

(11)

=1

3 −3,6,3 = −1,2,1

Kita peroleh 𝑂𝑀= −1,2,1 , akibatnya

𝑂𝑀=𝑂 − 𝑀 ⟹ −

1 2 1

= 0 0 0

− 𝑀

⟹ 𝑀 = 0 0 0

− −21 1

= 1

−2

−1

Sehingga jawabannya adalah (A).

28.Diketahui jajar genjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan vektor 𝑢 mewakili vektor 𝐴𝐵 dan 𝑣 mewakili vektor 𝐴𝐷. Titik 𝑂 adalah perpotongan kedua diagonal 𝐴𝐶dan 𝐵𝐷. Jika 𝐸 pada 𝐵𝐷 sehingga 𝐵𝐸:𝐸𝐷= 3: 1, maka vektor 𝑂𝐸dinyatakan dalam 𝑢 dan 𝑣 adalah … Solusi :

𝐵𝐷 =𝐵𝐴+𝐴𝐷= −𝑢+𝑣

Karena 𝐸 pada 𝐵𝐷 dan 𝐵𝐸:𝐸𝐷= 3: 1, maka

𝑂𝐸 = 1

4(−𝑢+𝑣 )

=1 4𝑣 −

1 4𝑢

Sehingga jawabannya adalah (C).

29.Diketahui titik 𝐴(2,−1,5), 𝐵(−4,2,−1), dan 𝐶 pada 𝐴𝐵 sehingga 𝐴𝐶:𝐴𝐵 = 2: 3. Koordinat titik 𝐶 adalah …

Solusi :

𝐴𝐵 = (6,−3,6)

𝐴𝐶:𝐴𝐵= 2: 3 ⟹ 𝐴𝐶 =2

3∙ 6,−3,6 = 4,−2,4

Karena 𝐴𝐶= 4,−2,4 , akibatnya

𝐴𝐶 =𝐴 − 𝐶

4

−2 4

= 2

−1 5

− 𝐶

𝐶=

2

−1 5

− −42 4

= − 2 1 1

(12)

30.Diketahui jajaran genjang 𝐴𝐵𝐶𝐷dengan 𝐴(2,3,1), 𝐵(4,5,2), dan 𝐷(2,−1,4). Apabila vektor 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 berturut-turut diwakili oleh vektor 𝑢 dan 𝑣, maka nilai 𝑢 ∙ 𝑣 adalah … Solusi :

𝐴𝐶 =𝐴𝐵+𝐴𝐷

= (−2,−2,−1) + (0,4,−3) = (−2,2,−4)

𝑢 ∙ 𝑣 = (−2,−2,−1)∙(−2,2,−4)

= ((−2)∙ −2 + (−2)∙2 + (−1)∙(−4)) = (4−4 + 4)

= 4

31.Diketahui vektor 𝑝= [2,−1,2] dan 𝑞= [4,10,−8]. Apabila vektor (𝑝+𝑛𝑞) tegak lurus dengan vektor 𝑝, maka nilai 4𝑛+ 1 =⋯

Solusi :

𝑝+𝑛𝑞=

2

−1 2

+𝑛 4 10

−8 =

2 + 4𝑛

−1 + 10𝑛 2−8𝑛

vektor (𝑝+𝑛𝑞) tegak lurus dengan vektor 𝑝, maka 𝑝+𝑛𝑞 ∙ 𝑝= 0

2 + 4𝑛

−1 + 10𝑛 2−8𝑛

∙ −21 2

= 2 + 4𝑛 ∙2 + −1 + 10𝑛 ∙ −1 + 2−8𝑛 ∙2 = 0

4 + 8𝑛+ 1−10𝑛+ 4−16𝑛= 0 −18𝑛+ 9 = 0 −18𝑛 =−9

𝑛 =1 2

Sehingga, untuk 4𝑛 −1 = 4 1

2 + 1 = 2 + 1 = 3

32.Besar sudut antara vektor 𝑎 = [1,1,2] dan 𝑏= [1,0,1] adalah … Solusi :

Sudut antara vektor 𝑎 dan :

cos𝑥= 𝑎 ∙ 𝑏

𝑎 ∙ 𝑏 =

1∙1 + 1∙0 + 2∙1

12_{+ 1}2_{+ 2}2∙ ₁2_{+ 0}2_{+ 1}2

= 3 6∙ 2=

3 12=

3 2 3=

1

2 3

Kita peroleh, cos𝑥=1

2 3 maka, 𝑥= 30°.

(13)

33.Diketahui ∆𝑃𝑄𝑅 dengan titik 𝑃(3,5,−1), 𝑄(5,1,3), dan 𝑅(1,8,5). Maka nilai sinus sudut 𝑄𝑃𝑅 adalah …

Solusi :

𝑃𝑄 = (−2,4,−4) 𝑃𝑅= (2,−3,−6)

𝑐𝑜𝑠𝑥 = −2 ∙2 + 4∙ −3 + −4 ∙(−6)

−22_{+ 4}2 _{+ (}−₄₎2∙ ₂2_{+ (}−₃₎2_{+ (}−₆₎2

=−4−12 + 24 36∙ 49 =

8 42=

4 21

Kita peroleh nilai kosinusnya 4

21, sehingga dengan mudah kita dapatkan nilai sinusnya adalah 4

21 17.

34.Diketahui 𝑎 = 𝑏 dan 𝑎+𝑏 = 𝑏 dan ∠ 𝑎,𝑏 =𝜃, maka besarnya 𝜃 adalah … Solusi :

𝑎+𝑏 2 = 𝑏 2

𝑎 2₊_𝑏2_{+ 2}_𝑎𝑏 ₌_𝑏2

karena 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 2 = 𝑏 2, maka 𝑏 2₊_𝑏2_{+ 2}_𝑎𝑏₌ _𝑏2

2 𝑏 2+ 2𝑎𝑏= 𝑏 2 −2𝑎𝑏 = 𝑏 2

𝑎𝑏 = − 𝑏

2

cos𝜃 = 𝑎 ∙ 𝑏

𝑎 ∙ 𝑏 =

− 𝑏 ₂2 𝑏 ∙ 𝑏

=− 𝑏

2

𝑏 2

cos𝜃 = −1 2

Sehingga kita peroleh 𝜃= 120 atau 𝜃= 2

3𝜋. Sehingga jawabannya adalah (D)

35.Diketahui vektor 𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑎 = 12, 𝑏 = 15 dan 𝑎+𝑏 = 24, maka nilai

𝑎 − 𝑏 = ⋯

Solusi :

𝑎 − 𝑏 2 _{= 2}_𝑎2₊_𝑏2_{− 𝑎}₊_𝑏2

= 2 122+ 152 −242 = 2 144 + 225 −576 = 2 369 −576

(14)

𝑎 − 𝑏 2 _{= 162}

𝑎 − 𝑏 = 162

36.Diketahui vektor 𝑎 = [2,1,−3] dan 𝑏= [−1,𝑥,−2] serta ∠ 𝑎,𝑏 =𝜃 = 60° maka nilai 𝑥 bulat yang memenuhi adalah …

Solusi :

cos 60° = 𝑎 ∙ 𝑏

𝑎 ∙ 𝑏 =

2∙ −1 + 1∙ 𝑥+ −3 (−2)

22_{+ 1}2₊−₃2∙ −₁2₊𝑥2₊−₂2

1 2=

𝑥+ 4

14∙ 𝑥2_{+ 5}

1 2=

𝑥+ 4

14𝑥2 _{+ 70}

14𝑥2 _{+ 70 = 2}𝑥_{+ 8}

14𝑥2+ 70 = (2𝑥+ 8)2 14𝑥2+ 70 = 4𝑥2 + 32𝑥+ 64

10𝑥2−32𝑥+ 6 = 0 → 5𝑥2−16𝑥+ 3 = 0

5𝑥 −1 𝑥 −3 = 0

kita peroleh,

5𝑥 −1 = 0 5𝑥 = 1

𝑥 =1 5

atau 𝑥 −3 = 0

𝑥 = 3

Selesaian bulat 𝑥 nya adalah 3. Sehingga jawabannya adalah (B)

37.Diketahui vektor 𝑢 = 3𝑖 − 𝑗 −2𝑘 dan 𝑣=𝑖 −2𝑗 − 𝑘, maka proyeksi scalar orthogonal vektor (2𝑢 −3𝑣) pada 𝑣 adalah …

Solusi :

2𝑢 −3𝑣 = 2 3

−1

−2

−3

1

−2

−1 =

6

−2

−4

− −36

−3 =

3 4

−1

proyeksi scalar orthogonal vektor 2𝑢 −3𝑣 pada 𝑣,

2𝑢 −3𝑣

∙ 𝑣

𝑣 =

3 4

−1

∙ −12

−1

12₊₋₂2₊₋₁2 =

3∙1 + 4∙ −2 + −1 (−1)

1 + 4 + 1

= −4

6 = −

2

(15)

38.Diketahui 𝑎 =𝑖 − 𝑗+ 2𝑘 dan 𝑏= 2𝑖 −2𝑗+𝑥𝑘 dan panjang proyeksi vektor orthogonal 𝑎 pada 𝑏 adalah 2. Maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah …

Solusi :

2 =𝑎 ∙ 𝑏

𝑏 ⟹

1

−1 2

−22

𝑥

22₊−₂2 ₊𝑥2 = 2

⟹ 2 + 2 + 2𝑥 8 +𝑥2 = 2

⟹ 4 + 2𝑥 8 +𝑥2 = 2

⟹ 2 +𝑥= 8 +𝑥2

⟹ 2 +𝑥 2 = 8 +𝑥2 ⟹ 𝑥2+ 4𝑥+ 4 = 8 +𝑥2 ⟹ 4𝑥 = 4

⟹ 𝑥= 1

39.Diketahui vektor 𝑢 =𝑖+ 2𝑗+ 3𝑘 dan 𝑣= 4𝑖 −2𝑗+𝑘, maka proyeksi vektor orthogonal vektor 𝑢 pada 𝑣 adalah …

Solusi : 𝑤 =𝑢 ∙ 𝑣

𝑣 2 ∙ 𝑣 =

1∙4 + 2∙ −2 + 3∙1

42₊−₂2_{+ 1}2 2 ∙

4

−2 1

= 3

21 2∙ 4

−2 1

= 3 21∙

4

−2 1

= 1 7∙

4

−2 1

=

4 7

−2 7

1 7

∴ 1

7(4𝑖 −2𝑗+𝑘)

40.Diketahui 𝐴(2,3,−1), 𝐵(7,1,3), dan C(8,−3,2). Vektor 𝑢 diwakili oleh 𝐴𝐵 dan 𝑣 diwakili oleh 𝐴𝐶. Proyeksi orthogonal proyeksi vektor orthogonal vektor 𝑢 pada 𝑣 adalah …

Solusi : 𝐴𝐵 =

5

−2 4

, 𝐴𝐶 = 6

(16)

𝑤 =𝑢 ∙ 𝑣

𝑣 2 ∙ 𝑣 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶

𝐴𝐶 2 ∙ 𝐴𝐶

= 5∙6 + −2 ∙ −6 + 4∙3

62₊−₆2 _{+ 3}2 2 ∙

6

−6 3

= 58

81 2∙ 6

−6 3

= 54 81∙

6

−6 3

= 2 3∙

6

−6 3

= 4

−4 2