Bab 3 Bagian 3 - Volume

(1)

Bab 3

Bagian 3

(2)

INTRODUCTION

•

Bola lam

pu di samping dapat

dipandan

g sebagai benda putar

jika kurv

a di atasnya diputar

menurut

garis horisontal.

•

Pada po

kok bahasan ini akan

dipelaja

ri juga penggunaan

integral

untuk menghitung volume

(3)

Suatu daerah jika di putar mengelilingi

garis tertentu sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar. Kegiatan

pokok dalam menghitung volume

benda putar dengan integral adalah:

1. Partisi

,

2. Aproksimasi

,

3. Jumlahkan

,

4. Ambil limitnya

5. Nyatakan dalam integral tentu.

(4)

Dalam menentukan volume benda putar yang harus

diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi

jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka

metode yang digunakan untuk menentukan volume

benda putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram 2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y

0 x

y

x

0

x

1 2

-2

-1

y

(5)

Metode Cakram

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan

volume mentimun dengan

memotong-motongnya sehingga tiap potongan

(6)

Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari

r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V  r2_{h atau} _V   _f(x)2_x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam integral

diperoleh:

V    f(x)2 _x

V = lim   f(x)2 _x

dx

x

f

a





0

2

)]

(

[

v



x

h=x x

x y

0 x

y

x a

) (x f

(7)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 _{+ 1, sumbu x, sumbu y, garis} _{x = 2} _{diputar mengelilingi}

sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar,

jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan

dalam bentuk integral.

y

2

x

1 2_

x

x

1 2_ x y

1

y

h=x

x

1 2_

x r

x

(8)

y

h=x

x x 1 2_ x r

V  r2_h

V  (x2 _{+ 1)}2 _x

V   (x2 _{+ 1)}2 _x

V = lim  (x2 _{+ 1)}2 _x

dx x

V  2 

0 2 2 ) 1 (  dx x x

V  2   0

2 4 ₂ ₁₎

(







2

0 3 3 2 5 5

1 _x _x _x

V    

  1511 3 16 5

32 ₂ ₀₎ ₁₃

(    



(9)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 8.

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

2

y

y 2

x y 

x y

y

x y

h=y y

y r

(10)

V  r2_h

V  (y)2 _y

V   y y

V = lim  y y

dy

y V 



2

0







2

0 2 2 1 _y

V 



) 0 4 (₂1 



V

x y

h=y y

y r

2

dy

y V 



2

0



2



(11)

(12)

Metode Cincin

Metode cincin yang digunakan

dalam menentukan volume benda

putar dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang

bombay dengan

memotong-motongnya yang potongannya

(13)

Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di

samping, yaitu V=



(R

2

–

r

2

)h

h

r

R

(14)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar

mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.

2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk integral.

4 y

y = 2x

2 2

x y 

x x

x

x2 2x

y

x

(15)

y

x 4

y

y = 2x

2 2 x y  x x x r=x2 R=2x

V  (R2 – _r2_{) h}

V   [ (2x)2 –_(x2₎2 _]_x

V   (4x2 – _x4₎_x

V    (4x2 – _x4₎_x

V = lim   (4x2 – _x4₎_x

dx x

x V  2 

0 4 2 ₎ 4 ( 





2

0 5 5 1 3 3

4 _x _x

V 





(16)

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti menentukan

(17)

r

r

h

2r

(18)

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 _{, garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.}

Contoh 10.

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral.

0

x

1 2

x x

2

x y 

x2 y

1 2 3 4

(19)

0 x 1 2 x x 2 x y  x2 y 1 2 3 4

r = x x

h = x2

0 x 1 2 1 2 y 1 2 3 4

V  2rhx

V  2(x)(x2₎_x

V   2x3_x

V = lim  2x3_x

dx x

V   2

0 3

2





2

0

4 4 1

2 x

V 



8



(20)

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi

secara

horisontal

dan

sebuah

partisi

diputar

mengelilingi

sumbu

y,

maka

partisi

tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut

dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

0 x 1 2 -2 -1 y 1 2 3 4

V  (R2 – _r2₎_y

V  (4 - x2₎_y V   (4 – y)y V = lim  (4 – y)y



y



dx V   

4

0

4







4

0

2 2 1

4y y

V   

 ) 8 16 (   V



8  V 0 x 1 2 x 2 x y  y 1 2 3 4 y r=x

(21)

Exercise

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk

integral sebagai ....

0 X

Y _y__x2

(22)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Soal 1. dx x  2 0 2 dy y  4 0 dx x  4 0 2 dx x   2 0 2 ) 4 ( dx x   4 0 2 ) 4 ( A B C D E 0 X

Y _y__x2

2 4

x

x

4 - x2

 L  (4 – x2₎_x

L   (4 – x2₎_x

L = lim  (4 – x2₎_x

dx

x

)

4

(

L

2 0 2 





( Jawaban D )

(23)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

0 X

Y

2

(24)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

0 X

Y

2

4 x y  

2 -2

x

x

 L  (4 – x2₎_x

L   (4 – x2₎_x

L = lim  (4 – x2₎_x

dx

x

)

4

(

L

2 2 2  





( Jawaban E )





2

2 3 3 1

4

L  x  x _

) 8 ( ) 8 (

L ₃8

3

8   

(25)

Latihan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

8 satuan luas

0 X

Y

2

8 x y  

(26)

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 3.

5 satuan luas

8 satuan luas

0 X

Y

2

8 x y  

x y 2

2

 L  (8 – x2_-2x)_x

dx

x

2

)

8

(

L

2 0 2 





_{( Jawaban D )}

3 1

9

L

3 28







2

0 2 3 3 1

8

L



x



x



x

4

16

(27)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

(28)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 _{dan garis x + y = 2 adalah}…. A B C D E Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

( Jawaban B )

 L  [(2 – y ) – y2 _] _y

dy x y ) 2 ( L 1 2 2    

 ₄_,₅

2 9 L  





1

2 3 3 1 2 2 1 2 L   

 y y y

) 2 4 ( ) 2 (

L ₃8

3 1 2

1     

  0 X Y 2 y x  y x 2

-2 1

(29)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A

B

C

D

E

Soal 5.





4

0

x

dx

v







4

0 2

dx

x

v







4

0

2

x

dx

v









2

0

)

16

(

2

y

dy

v







2

0

dy

y

v



0 X

Y

X y 

(30)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y

sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral

yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A B C D E Soal 5.   4 0 dx x v    4 0 2 _dx x v    4 0

2 x x dx

v     2 0 ) 16 (

2 y dy

v    2 0 dy y v  0 X Y X y  4 2

( Jawaban D )

 V 2xx x

(31)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.

4satuan volum

6 satuan volum

12satuan volum

15satuan volum

0 X

Y

X y 

(32)

Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X

sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.

12satuan volum

0 X

Y

X y 

4 2

( Jawaban C )

 V  (x)2 _x



 4

0

V



xdx

 

4 0 2 2 1

V 



x



8 V 