13. Relasi Referensi & FMADM(SAW dan FSAW)

I.2 I.2

OUTLINE

• Metode FIS Sugeno

• _Pendahuluan

• _{Fuzzy Multi Atribute Decision Making}

I.4 I.4

Relasi preferensi

• Untuk melakukan agregasi terhadap preferensi para expert ke dalam grup preferensi, dibutuhkan relasi preferensi.

• Pada relasi preferensi, setiap expert menghubungkan nilai preferensi antar setiap alternatif.

• Ada 2 macam relasi preferensi yang sering digunakan, yaitu: relasi preferensi multiplikatif (multiplicative

• Relasi preferensi multiplikatif, A, pada himpunan alternatif X direpresentasikan sebagai matriks A  X X X, A = (a_ij), a_ij merupakan rasio preferensi

alternatif x_i terhadap x_j, berarti bahwa x_i a_ij kali lebih baik daripada x_j.

I.6 I.6

Relasi preferensi fuzzy

• Relasi preferensi fuzzy biasanya digunakan oleh pengambil keputusan dalam memberikan derajat preferensi alternatif x_i terhadap alternatif x_j.

• Relasi preferensi fuzzy, P, pada himpunan alternatif X adalah himpunan fuzzy dalam bentuk X X X, yang dicirikan dengan fungsi keanggotaan:

_P: X X X  [0, 1]

dengan P = (p_ij), dan p_ij = _P(x_i,x_j) _i,j = {1,2,...,n} adalah

derajat preferensi alternatif x_i terhadap alternatif x_j. Jika p_ij = ½ berarti bahwa tidak ada perbedaan antara x_i

dibutuhkan suatu properti konsistensi.

• Salah satu properti yang sering digunakan adalah transitivitas.

• Pada properti ini, disebutkan bahwa nilai preferensi yang diperoleh dengan cara membandingkan 2

alternatif secara langsung harus sama atau lebih dari nilai preferensi 2 alternatif dengan pembanding

I.8

Triangle condition p_ij + p_jk  p_ik, i,j,k

Weak transitivity Jika p_ij  0,5 dan p_jk  0,5;

maka p_ik  0,5; i,j,k

Max-min transitivity p_ik  min(p_ij, p_jk); i,j,k

Max-max transitivity p_ik  max(p_ij, p_jk); i,j,k

Restricted max-min

transitivity _{maka p}Jika pij _{ik } 0,5 dan p _{min(pij, p}jk_jk_); 0,5; _i,j,k Restricted max-max

transitivity _{maka p}Jika pij _{ik } 0,5 dan p _{max(pij, p}jk _jk); 0,5; _i,j,k Multiplicative transitivity (p_ji/p_ij).(p_kj/p_jk) = (p_ki/p_ik), i,j,k

• Format preferensi adalah:

Ok = (ok(1), ok(2), ..., ok(m))

dengan ok(.) adalah fungsi permutasi pada himpunan

indeks {1,2,...,m} dan ok(i) merepresentasikan

ranking yang diberikan oleh pengambil keputusan ek dari alternatif S_i, i=1,2,...,m.

I.10 I.10

• Format preferensi adalah: Uk = (uk

1, uk2, ..., ukm)

dengan ukm[0,1]; dengan 1 ≤ i ≤ m dan ukm adalah nilai utilitas yang diberikan oleh pengambil keputusan ek dari alternatif A

I.12 I.12

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya terhadap 4 alternatif {A₁, A₂, A₃, A₄} dengan utilitas untuk setiap alternatif, dia berikan

sebagai berikut A₁ = 0,5; A₂ = 0,7; A₃ = 0,6; dan A₄ = 0,3; maka format preferensi yang diberikan,

• Format preferensi adalah: Lk = (lk

1, lk2, ..., lkm)

dengan lk

m merepresentasikan evaluasi yang diberikan

oleh pengambil keputusan ek secara linguistik dari

I.14 I.14

• Misalkan seorang pengambil keputusan memberikan preferensinya secara linguistik terhadap 4 alternatif {A₁, A₂, A₃, A₄} masing-masing: A₁ = ”Baik”; A₂ =

”Sangat Baik”; A₃ = ”Cukup”; dan A₄ = ”Baik”; maka format preferensi yang diberikan, dinotasikan

sebagai: L1 = {“Baik”, “Sangat Baik”, “Cukup”,

• Format preferensi adalah:

dengan i_m < m. Alternatif-alternatif yang ada di ekuivalen dan mendominasi dari sisanya yang ada di A A

~



A

,

A

,

,

A



A

I.16 I.16

• Format preferensi adalah:

dengan i_m < m. dan lk

ij adalah bentuk linguistik.



 









k



im k

i k

2 i k i k

1 i k i

k

_A

_,

_l

_,

_A

_,

_l

_,

_,

_A

_,

_l

I.18 I.18

• Format ini biasanya diberikan sebagai, seorang

pengambil keputusan lebih memilih A_i daripada A_j, dst.

I.20 I.20

Fuzzy Preference Relation

• Seorang pengambil keputusan memberikan suatu matriks P = {p_ij | i,j=1,2,..,m}, dengan p_ij adalah

preferensinya terhadap 4 alternatif {A₁, A₂, A₃, A₄}, dan pengambil keputusan tersebut memberikan

preferensi:

– A₁ terhadap A₂ sebesar 3; – A₁ terhadap A₃ sebesar 5; – A₁ terhadap A₄ sebesar 2; – A₂ terhadap A₃ sebesar 5; – A₂ terhadap A₄ sebesar 3;

I.22 I.22

– maka matriks relasi preferensi fuzzy dapat diberikan sebagai berikut:



































3

/

1

7

/

1

2

/

1

3

5

/

1

5

/

1

7

5

3

/

1

2

5

3

• Pada dasarnya, format preferensi yang ada dapat

ditransformasikan ke dalam bentuk relasi preferensi fuzzy.

• Salah satu kegunaan dari transformasi ini adalah untuk melakukan penyeragaman format preferensi, apabila proses pengambilan keputusan dilakukan dalam bentuk group (Group Decision Making) yang mana setiap

I.24

I.24

Ordered vectors to fuzzy preference

relations

• Transformasi ke relasi preferensi fuzzy antara alternatif A_i dan A_j dirumuskan sebagai:

dengan ok(j) adalah posisi ranking alternatif A

j di Ok,

j=1,2,...,m

m j

i 1

; 1 m

) i ( o 1

m

) j ( o 1

2 1 p

k k

k

ij _   

  

  

 

 

pengambil keputusan dalam bentuk vektor urutan: O1 ₌

{3, 2, 4, 1}; maka format tersebut dapat

ditransformasikan ke dalam bentuk relasi preferensi fuzzy, P1, sebagai berikut

I.26

I.26

Utility vectors to fuzzy preference

relations

• Transformasi ke relasi preferensi fuzzy antara alternatif A_i dan A_j dirumuskan sebagai:

dengan uk

i adalah preferensi yang diberikan oleh ek

terhadap alternatif S_i di Uk, i=1,2,...,m

 

   

u

u

;

1

i

j

m

u

p

₂

k j 2

k i

2 k i k

ij







pengambil keputusan dalam bentuk vektor utilitas: U1 = {0,5; 0,7; 0,6; 0,3}.; maka format tersebut

I.28

I.28

Linguistic term vectors to fuzzy

preference relations

• Suatu bentuk linguistik, , diberikan sebagai bilangan fuzzy segitiga dengan derajat keanggotaan:

• Cheng (1999) mendefinisikan bentuk linguistik (u_i, _i, _i) sebagai berikut:

– Sangat Baik (Very Good) = (1; 0,8; 1)

– _{Baik (Good) = (0,75; 0,6; 0,9)} – Cukup (Fair) = (0,5; 0,3; 0,7)

I.30 I.30

• Misal diberikan 2 alternatif S_i dan S_j secara linguistik, dan .

Selanjutnya akan digunakan fungsi defuzzy Max g dan transformasi f, sebagai berikut:

• Sehingga:

pengambil keputusan dalam bentuk linguistik :

L1 = {“Baik”, “Sangat Baik”, “Cukup”, “Baik”}; maka

format tersebut dapat ditransformasikan ke dalam relasi preferensi, P1, sebagai berikut:

I.32

I.32

Selected Subsets to fuzzy preference

relations

• Relasi preferensi fuzzy antara 2 alternatif A_i dan A_j dirumuskan sebagai berikut:

m j

i 1 ; lainnya

; 5 , 0

Aˆ / A A

, Aˆ A

jika ;

1

pk i j

ij   

 

 _{ }

pengambil keputusan dalam bentuk himpunan bagian: {A₁, A₃}; maka format tersebut dapat

ditransformasikan ke dalam relasi preferensi, P1,

sebagai berikut

   

 

   

 

 

 



0 5

, 0 0

1 1

5 , 0

5 , 0 0

0

1 5

, 0 1

I.34

I.34

Fuzzy Selected Subsets to fuzzy

preference relations

• Misalkan lk

i = (ui, i, i) dan lkj = (uj, j, j); maka

relasi preferensi fuzzy antara 2 alternatif A_i dan A_j dirumuskan sebagai:

– Jika A_i dan A_j berada pada , maka:A

~









; 1 i j m

u u

u A~

, A~ f g

p ₂

j 2

i 2 i j

i k

ij   

 

– Jika A_i dan A_j keduanya tidak berada pada , maka:

– Jika A_i berada pada , sedangkan A_j tidak berada pada , maka

A

A~

A

~

m

j

i

1

;

5

,

0

p

_ijk

_

_

_

_

m

j

i

1

;

u

I.36 I.36

• Misalkan format preferensi diberikan oleh seorang pengambil keputusan dalam bentuk himpunan bagian fuzzy: {(A₁, “Baik”); (A₃, “Sangat Baik”)}; maka

format tersebut dapat ditransformasikan ke dalam relasi preferensi, P1, sebagai berikut:

I.38 I.38

Gambaran umum

• _{Misalkan terdapat himpunan X = {X1, ... , Xm} yang}

merupakan himpunan alternatif; C = {C1, ... , Cn}, adaah

himpunan kriteria.

• _{Kinerja setiap alternatif pada setiap kriteria direpresentasikan} dalam bentuk bilangan fuzzy, dan terangkum dalam matriks D, sebagai berikut:

• _{Bobot setiap kriteria yang menunjukkan pengaruh setiap} kriteria adalam sistem, juga direpresentasikan dengan

   

 

   

 



mn 2

m 1

m

n 2 21

n 1 12

11

A A

A

A A

A A

A

D



 



• Tetapkan matriks keputusan D = (A_ij), dan vektor bobot, W = (W_j); i = 1, …, m; dan j = 1, …, n.

• Hitung matriks kekuatan, S = (S_ij), sebagai berikut:









    

  







J' j

jika A

, A P

J j

jika A

, A P S

ij kj

i k

kj ij

I.40 I.40

dengan

Andaikan J adalah atribut keuntungan (benefit), dan J’ adalah atribut biaya (cost), maka:

J = {1  j  n, dan j berada pada atribut keuntungan} J’ = {1  j  n, dan j berada pada atribut biaya}

dan

J  J’ = {1, ..., n}

Perlu diingat kembali bahwa nilai:











_



_

  

 

 

 

0 A

, A jika

0

0 A

, A jika

A , A A

, A P

kj ij

F

kj ij

F kj

ij F

kj ij



A

,

B



a

1



2

a

2



a

3



b

1



2

b

2



b

3



• Hitung matriks kelemahan, I = (I_ij), sebagai berikut:









    

  





 

J' j

jika A

, A P

J j

jika A

, A P I

i k

kj ij

i k

ij kj

I.42 I.42

• Hitung indeks kekuatan terbobot fuzzy:

• Hitung indeks kelemahan terbobot fuzzy:







n

1 j

j ij

i

S

W

S

~







n 1 j

j ij

i

I

W

kelemahan terbobot fuzzy:

• Hitung indeks kelemahan, I_i, dari indeks kekuatan dan kelemahan terbobot fuzzy:

I.44 I.44

• Agregasikan indeks kekuatan dan kelemahan untuk mendapatkan indeks kinerja sebagai berikut:

• Lakukan perankingan berdasarkan indeks kinerja total, t_i, 1  i  m.

i i

i i

I

S

S

t

• Suatu basis pengetahuan untuk melakukan diagnosis penyakit, berisi sekumpulan aturan yang mendukung dalam pengambilan keputusan. Aturan tersebut diberikan oleh seorang pakar (dokter spesialis).

• Setiap aturan menunjukkan hubungan antara fitur-fitur (gejala, tanda atau ukuran) dengan kategori penyakit tertentu.

• _{Bentuk aturan ke-r (Rr) dituliskan sebagai:}

R_r: IF C_r1 AND C_r2 AND ... AND C_rn THEN A_r (d_r)

dengan C_ri adalah kriteria atau fitur-fitur ke-i yang menjadi sebab munculnya kategori penyakit A_r; sedangkan d_r merupakan certainty

I.46 I.46

• Misalkan diberikan himpunan alternatif kategori

penyakit, A = {Migren, Sakit kepala cluster, Hipertensi, Glaukoma}.

• Setiap kategori penyakit tentunya memiliki fitur-fitur

tertentu yang berkaitan dengan tingkat resiko munculnya kategori penyakit tersebut, misalkan, C = {frekuensi

sakit, lama rasa sakit, kualitas rasa sakit, nyeri di satu sisi kepala, nyeri di sekitar mata, mual & muntah}.

• Kinerja setiap alternatif pada setiap kriteria

Kategori penyakit

Fitur-fitur (gejala, tanda atau ukuran)

C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆

A₁

Sewaktu-waktu Lama Berat Hampir pasti Kadang Sering A_{2 Sering Singkat} Sangat

berat Hampir pasti Kadang Hampir tidak A_{3 Jarang Cukup Sedang Kadang} Hampir

tidak Hampir tidak A₄

Sewaktu-waktu Cukup Berat Kadang Hampir pasti Kadang

I.48 I.48

• Bilangan fuzzy pada contoh diberikan memiliki parameter sebagai berikut:

– Fitur C1: sewaktu-waktu = (0; 0,25; 0,5); jarang = (0,25; 0,5; 0,75); dan sering = (0,5; 0,75; 1).

– _{Fitur C2: singkat = (0; 0,25; 0,5); cukup = (0,25; 0,5; 0,75);}

dan lama = (0,5; 0,75; 1).

– _{Fitur C3: sedang = (0,25; 0,5; 0,75); berat = (0,5; 0,75; 0,9);}

dan sangat berat = (0,75; 0,9; 0,9).

– _{Fitur C4: kadang = (0,25; 0,5; 0,75); dan hampir pasti = (0,75;}

0,9; 0,9).

– _{Fitur C5: hampir tidak = (0,1; 0,1; 0,25); kadang = (0,25; 0,5;}

0,75); dan hampir pasti = (0,75; 0,9; 0,9).

– Fitur C6: hampir tidak = (0,1; 0,1; 0,25); kadang = (0,25; 0,5; 0,75); dan sering = (0,5; 0,75; 0,9).

keputusan.

Kategori penyakit

Fitur-fitur (gejala, tanda atau ukuran)

C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆

A₁ (0; 0,25;

0,5)

(0,5; 0,75; 1)

(0,5; 0,75; 1)

(0,75; 0,9; 0,9)

(0,25; 0,5; 0,75)

(0,5; 0,75; 0,9)

A₂ (0,5;

0,75; 1)

(0; 0,25; 0,5)

(0,75; 0,9; 0,9)

(0,75; 0,9; 0,9)

(0,25; 0,5; 0,75)

(0,1; 0,1; 0,25)

A₃ (0; 0,25;

0,5) 0,5; 0,75)(0,25; 0,5; 0,75)(0,25; 0,5; 0,75)(0,25; (0,1; 0,1; 0,25) (0,1; 0,1; 0,25)

A₄ (0; 0,25;

I.50 I.50

• Menghitung matriks kekuatan

P(A₂₁, A₃₁) dan P(A₂₁, A₄₁) juga bernilai 1.

dan seterusnya, sehingga diperoleh:

I.52 I.52

• Menghitung matriks kelemahan

I.54

dan seterusnya, sehingga diperoleh:

I.58 I.58•

Indeks kekuatan:

• Indeks kelemahan:

kekuatan dan indeks kelemahan:

9892 ,

0 2656

, 0 1281 ,

24

1281 ,

24

t_{1 }

 

8057 ,

0 0875

, 4 95

, 16

95 , 16

t_{2 }

 

0 0875

, 41 0

0

t₃  

I.60 I.60

• Resiko kategori penyakit (certainty factor) yang paling tinggi adalah:

– _{Migren (0,9892);}

– Sakit kepala cluster (0,8057); – _{Glaukoma (0,6064); dan}

Operator-operator agregasi

untuk Fuzzy Group

I.62 I.62

Fuzzy Quantifier

• Quantifier digunakan untuk merepresentasikan sejumlah item yang memenuhi suatu predikat yang diberikan.

• Pada logika klasik ada 2 quantifier yang digunakan, yaitu untuk setiap (for all), dan terdapat (there exists).

• Namun pada kenyataannya, di dunia ini banyak sekali quantifier yang sebenarnya dapat digunakan, seperti: hampir semua, sebagian besar, banyak, sebanyak

mungkin, dll.

merepresentasikan nilai-nilai yang bersifat mutlak, seperti sekitar 2 (about 2) atau lebih dari 5 (more than 5).

• Biasanya yang menggunakan ini adalah konsep pencacahan atau penjumlahan elemen.

• Zadeh mendefinisikan quantifier absolut sebagai suatu himpunan bagian fuzzy yang berisi bilangan real non negatif, +.

• Quantifier absolut dapat direpresentasikan sebagai himpunan bagian fuzzy, Q, sedemikian hingga untuk setiap r  +, derajat keanggotaan r yang terletak di

dalam Q, Q(r), menunjukkan derajat yang mana nilai r

I.64

I.64• Quantifier relatif, seperti paling (most), setidaknya

setengah (at least half), dapat direpresentasikan dengan himpunan bagian fuzzy pada interval [0, 1], yang mana untuk setiap r  [0, 1], Q(r), menunjukkan derajat

proporsi r kompatibel terhadap maksud dari quantifier

tersebut.

• Secara fungsional, quantifier relatif fuzzy, biasanya merupakan salah satu dari 3 tipe, yaitu Regular

Increasing Monotone (RIM), Regular Decreasing Monotone (RDM), atau Regular Unimodal (RUM) (Yager, 1996).

• _{RIM dicirikan dengan hubungan: Q(r1)  Q(r2) jika r1 >}

r₂. Quantifier yang digunakan pada RIM biasanya adalah ”most” dan ”at least half”.

sebagai Q(r) = r , dengan   0. Linguistic quantifer

”most” diberikan dengan parameter  = 2.

• Nilai dari fungsi ini senantiasa naik, sehingga apabila kita dihadapkan pada operator yang mana nilai bobot tinggi menunjukkan konsistensi rendah, maka dapat dimodifikasi dengan:

– pengambil keputusan diurutkan berdasarkan kriteria yang berlawanan, atau;

– menggunakan RIM dengan nilai _ < 1, misal Q(r) = r½

I.66

I.66• Menurut (Zadeh,1983), fuzzy linguistic quantifier, Q,

dapat direpresentasikan dengan pasangan (a,b) sebagai berikut:

dengan a, b, x  [0,1].

• Untuk beberapa linguistik, seperti:

– _{“At least half” = (0; 0,5)} – “Most” = (0,3; 0,8)

    



 

 





b x

; 1

b x

a ;

a b

a

x; x a 0

• Operator OWA dari suatu fungsi berdimensi n, yang berhubungan dengan himpunan bobot atau vektor bobot W = (w₁,...,w_n) dengan w_i[0,1] dan serta digunakan untuk mengagregasikan barisan nilai {p₁,...,p_n}:

I.68 I.68

• Apabila diberikan n kriteria sebagai himpunan bagian fuzzy dari himpunan alternatif X, operator OWA

digunakan untuk mengimplementasikan konsep mayoritas fuzzy pada tahap agregasi dengan menggunakan fuzzy

linguistic quantifier.

• Hal ini digunakan untuk menghitung bobot OWA,

sehingga untuk Q kriteria (atau pakar), e_k, pada alternatif x, dapat dihitung bobot-bobot OWA sebagai berikut:

• Apabila fuzzy quantifier Q digunakan untuk menghitung bobot pada OWA, maka operator , dinotasikan dengan _Q.

. n , ,

1 i

; n

1 i

Q n

i Q

w_{i }  

  

   

   

• Misalkan ada 3 pengambil keputusan (P₁, P₂, P₃), yang memberikan preferensinya dalam bentuk relasi preferensi fuzzy untuk 3 alternatif sebagai berikut:

I.70 I.70

• Apabila digunakan operator agregasi OWA dengan fuzzy linguistic quantifier “most” yang didefinisikan sebagai Q(r) = r1/2, maka vektor bobot yang bersesuaian dapat

dihitung sebagai berikut:

(IOWA)

• Operator IOWA dari suatu fungsi berdimensi n, yang berhubungan dengan himpunan bobot atau vektor bobot W = (w₁,...,w_n) dengan w_i[0,1] dan ; serta

digunakan untuk mengagregasikan argumen-argumen kedua dari barisan 2-tuples sebagai berikut:

• menjadi suatu permutasi sedemikian

hingga ; adalah nilai tertinggi pada himpunan {u₁,...,u_n}. Operator IOWA tidak hanya dapat direpresentasikan secara numeris, melainkan dapat juga direpresentasikan secara linguistik.

I.74 I.74

Contoh

• Misalkan ada 3 pengambil keputusan (P₁, P₂, P₃), yang memberikan preferensinya dalam bentuk relasi preferensi fuzzy untuk 3 alternatif sebagai berikut:

dengan menggunakan linguistic quantifier ”most”; maka akan diperoleh:

I.76

I.76

Importance Induced Ordered Weighted

Averaging

(I-IOWA)

• Operator I-IOWA merupakan operator agregasi yang melibatkan derajat kepentingan dari para pakar, yang digunakan pada

bentuk GSS heterogen.

• Derajat kepentingan dapat diinterpretasikan sebagai himpunan bagian fuzzy, _I: E  [0, 1] sedemikian hingga

• Apabila pengambil keputusan ke-k memberikan relasi

preferensi alternatif xi terhadap alternatif xj sebagai dengan

derajat kepentingan uk, maka perlu dilakukan transformasi dari

ke melalui suatu fungsi transformasi g, sebagai:

] 1 , 0 [ u

) e

( _{k k}

I  



k ij p

k ij

p

k ij

p



k



k

_g

_p

_,

_u

eksponensial g(x,y) = x , atau biasanya digunakan operator t-norm.

• Yager (1996) telah mengusulkan suatu prosedur untuk mengevaluasi Q kriteria yang penting (u_k) (atau pakar yang penting, e_k), pada alternatif x, sebagai berikut:

I.78 I.78

Contoh

• Misalkan ada 3 pengambil keputusan (P₁, P₂, P₃), yang memberikan preferensinya dalam bentuk relasi preferensi fuzzy untuk 3 alternatif sebagai berikut:

berpasangan yang menunjukkan derajat kepentingan dari 3 pengambil keputusan sebagai berikut:

  

 

  

  

50 , 0 62

, 0 25

, 0

38 , 0 50

, 0 13

, 0

75 , 0 87

, 0 50

I.80 I.80

• Sebelumnya, elemen-elemen pada setiap baris dijumlahkan terlebih dahulu:

• Sehingga I = (2,12; 1,01; 1,37).

12

,

2

75

,

0

87

,

0

5

,

0

I

₁

_

_

_

_

01

,

1

38

,

0

5

,

0

13

,

0

I

₂

_

_

_

_

37

,

1

5

,

0

62

,

0

25

,

0

(1,37); I₂ (1,01).

• Selanjutnya nilai bobot dihitung dengan menggunakan

linguistic quantifier ”most” sebagai berikut:

Weighted Averaging

(C-IOWA)

• Jika diberikan himpunan pengambil keputusan E =

{e₁, ..., e_m} yang akan memberikan preferensinya terhadap himpunan alternatif X = {x₁, ..., x_n} berupa relasi

preferensi fuzzy {P1, ..., Pm}, maka operator C-IOWA

berdimensi n, , adalah operator IOWA yang memiliki nilai urutan yang merupakan himpunan nilai indeks

konsistensi, {1-CI1, ..., 1-CIm}.

I.84 I.84

• Untuk membentuk relasi preferensi fuzzy yang konsisten, , dari relasi preferensi fuzzy yang tidak konsisten Pk,

dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

– Hitung sebagai berikut:

interval [0, 1], namun bisa jadi terletak pada interval [-a, 1+a], dengan

Sehingga diperlukan suatu fungsi transformasi yang

bersifat additive consistency, yaitu f: [-a, 1+a] → [0, 1], yang memenuhi karakteristik sebagai berikut:

– f(-1) = 0

– f(1+a) = 1

– f(x) + f(1-x) = 1; x[-a, 1+a]

– f(x) + f(y) + f(z) = 3/2, x, y, z [-a, 1+a] sedemikian

hingga x + y + z = 3/2.

Oleh karena itu, dapat diperoleh:



pˆ ;pˆ Pˆ



min

I.86 I.86

– _{Relasi preferensi fuzzy yang konsisten, diperoleh dari} Jarak antara Pk dan dapat digunakan sebagai ukuran

konsistensi matriks Pk yang diperoleh dari:

Apabila nilai 1 – C_ik semakin dekat dengan 1,

mengindikasikan bahwa informasi yang diberikan oleh pengambil keputusan ke-k, ek_{, lebih konsisten.}

P ~

) Pˆ ( f P

~



k

P ~





 

 

 



n

1 i

n

1 j

2 k ij k

ij k

k

k _{d(P ,P}~ _{) p p~}

• Misalkan kita memiliki 4 alternatif X = {x₁, x₂, x₃, x₄} dan 4 pengambil keputusan E = {e1, e2, e3, e4}, dengan relasi

preferensi sebagai berikut:

I.88 I.88

• Relasi preferensi fuzzy yang konsisten dapat diperoleh sebagai berikut:

dan

• Karena nilai minimum untuk maka perlu dilakukan transformasi, dengan:

I.90 I.90

• Selanjutnya dapat dihitung nilai CI, diperoleh CI = (0,6; 0,14; 0,73; 1,29).

• Indeks konsistensi diperoleh dari: 1 – CI = (0,4; 0,86; 0,27; 0,29)

• Apabila nilai tersebut diurutkan menjadi: (0,86; 0,4; 0,29; 0,27).

• Relasi preferensi fuzzy kolektif, diperoleh dengan

menggunakan operator Consistency Induced Ordered Weighted Averaging (C-IOWA) dengan menggunakan

I.92 I.92

• Diperoleh vektor w = (0,69; 0,14; 0,09; 0,08), dan:

• _Pendahuluan

• _{Fuzzy Multi Atribute Decision Making}

I.94 I.94

PENDAHULUAN

 Pada metode-metode MADM klasik tidak cukup

efisien untuk menyelesaikan masalah-masalah

 Salah satu cara yang dapat digunakan untuk untuk

I.96 I.96

PENDAHULUAN

 Berdasarkan tipe data yang digunakan pada setiap

kinerja alternatif-alternatifnya, FMADM dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu:

 semua data yang digunakan adalah data fuzzy;  semua data yang digunakan adalah data crisp;

 data yang digunakan merupakan campuran antara data

I.98

I.98

Simple Additive Weighting

Method (SAW)

 Metode SAW sering juga dikenal istilah metode

penjumlahan terbobot.

 Konsep dasar metode SAW adalah mencari

penjumlahan terbobot dari rating kinerja pada setiap alternatif pada semua atribut.

 Metode SAW membutuhkan proses normalisasi

matriks keputusan (X) ke suatu skala yang dapat

 _{dimana r}

ij adalah rating kinerja ternormalisasi dari

alternatif A_i pada atribut C_j; i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n.

 Nilai preferensi untuk setiap alternatif (Vi)diberikan

sebagai:

 Nilai V

i yang lebih besar mengindikasikan bahwa

(Persamaan 1)

(Persamaan 2)

  

    

(c ost ) bi a ya

a t ri but a da l a h

j

j i ka x

x Mi n r

ij ij i

ij i

ij







n

1 j

ij j

i wr

I.100 I.100

STUDI KASUS 1

Suatu perusahaan di Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY) ingin membangun sebuah gedung yang akan digunakan sebagai tempat untuk menyimpan sementara hasil

produksinya. Ada 3 lokasi yang akan menjadi alternatif, yaitu :

Keputusan, yaitu :

C₁ = jarak dengan pasar terdekat (km)

C₂ = kepadatan penduduk disekitar lokasi (orang/km2)

C₃ = jarak dari pabrik (km)

I.102 I.102

Ranting kecocokan setiap alternatif pada setiap kriteria, dinilai dengan 1 sampai 5, yaitu :

1 = Sangat buruk 2 = Buruk 3 = Cukup 4 = Baik 5 = Sangat Baik

Tabel 1. Menunjukkan ranting kecocokan dari setiap alternatif pada setiap kriteria. Sedangkan tingkat

kepentingan setiap kriteria, juga dinilai dengan 1 sampai 5, yaitu :

Alternatif pada setiap kriteria

Alternat if

Kriteria

C₁ C₂ C₃ C₄ C₅

A₁ 4 4 5 3 3 A₂ 3 3 4 2 3 A₃ 5 4 2 2 2

Karena setiap nilai yang diberikan pada

setiap alternatif di setiap kriteria

I.104 I.104

Pengambilan keputusan memberikan bobot preferensi sebagai :

W = (5, 3, 4, 4, 2)

Matriks keputusan dibentuk dari tabel kecocokan sebagai berikut :

4 4 5 3 3 X = 3 3 4 2 3

1. Lakukan Normalisasi Matrik X, berdasarkan persamaan 1

2. Matrik Ternormalisasi R

3. Proses Perangkingan berdasarkan persamaan 2 (Nilai V_i)

I.106 I.106

PENYELESAIAN DENGAN SAW

1. Lakukan Normalisasi Matrik X, berdasarkan persamaan 1

r₁₁ = 4/max{4;3;5} = 4/5 = 0.8 r₂₁ = 3/max{4;3;5} = 4/5 = 0.6 r₃₁ = 5/max{4;3;5} = 5/5 = 1 r₁₂ = 4/max{4;3;4} = 4/4 = 1

r₁₃ = 5/max{5;4;2} = 5/5 = 1 r₂₃ = 4/max{5;4;2} = 4/5 = 0.8 r₃₃ = 2/max{5;4;2} = 2/5 = 0.4 r₁₄ = 3/max{3;2;2} = 3/3 = 1

I.108 I.108

PENYELESAIAN DENGAN SAW

2. Matrik Ternormalisasi R

0.8 1 1 1 1 R = 0.6 0.75 0.8 0.6667 1

3. Proses Perangkingan berdasarkan persamaan 2 (Nilai V_i)

V1 = (5) (0.8) +(3)(1) + (4)(1)+(4)(1)+(2)(1) = 17

V2 = (5)(0.6)+(3)(0.75)+(4)(0.8)+(4)(0.6667)+(2)(1) = 13,1167 V3 = (5)(1)+(3)(1)+(4)(0.4)+(4)(0.6667)+(2)(0.6667) = 13,6

I.110 I.110

1. Tentukan Kriteria, pembobotan, alternatif 2. Tentukan Himpunan fuzzy tiap kriteria

3. Tentukan fungsi keanggotaan tiap himpunan fuzzy 4. Lakukan Normalisasi Matrik X, berdasarkan

persamaan 1

5. Matrik Ternormalisasi R

I.112 I.112

STUDI KASUS

 Suatu perusahaan ingin menginvestasikan uangnya dalam

4 pilihan, yaitu:

 A1: membeli tanah di pusat kota;

 A2: merenovasi infrastruktur teknologi informasi perusahaan;  A3: membangun gudang baru;

 A4: membeli alat transportasi pengiriman barang.

 Pemilihan alternatif tersebut didasarkan atas 3 kriteria,

yaitu:

 C1 = biaya;

setiap atribut diberikan sebagai berikut:

Alternatif

Atribut Harga/

biaya* (C₁)

Fluktuasi harga

(C₂)

Prioritas kebutuhan

(C₃) Membeli tanah

(A₁) 1 Tinggi Rendah

Infrastruktur TI

(A₂) 0,5 Rendah Tinggi Membangun gudang

I.114

I.114

STUDI KASUS

 Bobot setiap atribut atribut diberikan sebagai:

W = [Penting; Cukup; Sangat Penting]

 Pada atribut fluktuasi harga dan prioritas kebutuhan,

terbagi atas 3 bilangan fuzzy, yaitu Rendah (R), Sedang (S), dan Tinggi (T) yang dikonversikan ke bilangan crisp: R = 0,1; S = 0,5; dan T = 0,9.

 Pada bobot atribut, juga terbagi atas 3 bilangan

fuzzy, yaitu Cukup (C), Penting (P), dan Sangat

Selesaikan Kasus tersebut dengan menggunakan

Metode

a.

Klasik : SAW

b. Cerdas : Fuzzy SAW

I.116 I.116

Penyelesaian dengan SAW

 Matriks ternormalisasi R sebagai berikut:

 Hasil perankingan diperoleh: V1 = 0,975; V2 =

1,7056; V3 = 1,0903; dan V4 = 1,0556. Nilai terbesar ada pada V2 sehingga alternatif A2 (merenovasi

infrastruktur TI) adalah alternatif yang terpilih sebagai alternatif terbaik.

    

 

    

 

0,5556 0,1111

0,6667

0,5556 0,5556

0,4167

1,0000 0,1111

1,0000

0,1111 1,0000

0,5000