Distribusi Chi Square

(1)

A.

A. PenPengergertiatian Dn Dististribribusiusi Chi SquareChi Square

Chi

Chi squasquarere adaladalah ah pengpengujiaujian n hipohipotesis tesis mengmengenai enai perbperbandiandingangan n antaantara ra frekufrekuensiensi obse

observasrvasi i atau atau yang yang benabenar-benr-benar ar terjaterjadi di (aktu(aktual) al) dendengan gan frekufrekuensi ensi haraharapanpan. . FrekFrekuensiuensi obse

observasrvasi i adaladalah ah frekufrekuensi ensi yang nilainyyang nilainya a dipediperoleroleh h dari dari hasihasil l percpercobaaobaan n (o) (o) sedasedangkangkann fre

frekuekuensi nsi harharapapan an adaadalalah h frefrekuekuensi nsi yanyang g nilnilainainya ya dadapat pat di di hithitung ung secsecara ara teoteoritritis is (e)(e).. Di

Diststriribubusisi chi chi squasquarere tertermasmasuk uk daldalam am stastatististik tik nonnonparparameametritrik k yayaitu itu didistrstribuibusi si di di manmanaa be

besasararan-n-bebesasararan n popopupulalasi si titidadak k didikeketatahuhui. i. DeDengngan an kakata ta lalainin,, chchi i sqsquauare re tetest st tidak tidak memerlukan syarat data berdistribusi normal. Distribusi

memerlukan syarat data berdistribusi normal. Distribusi chi squarechi square sering digunakan untuk sering digunakan untuk melakukan analisis statistik di mana informasi tentang populasi atau jika asumsi-asumsi melakukan analisis statistik di mana informasi tentang populasi atau jika asumsi-asumsi yang dipersyaratkan untuk penggunaan statistik

yang dipersyaratkan untuk penggunaan statistik parametrik tidak terpenuhi.parametrik tidak terpenuhi.

B.

B. KaraKarakterkteristik istik dan Kdan Kegunaegunaan Disan Distributribusisi Chi SquareChi Square

Karakteristik dari

Karakteristik dari distribusidistribusi chi squarechi square adalah sebagai berikut adalah sebagai berikut !

!.. DDiissttrriibbuussii chi chi squasquarere hanhanya ya mememilmiliki iki sasatu tu parparameameter ter yaiyaitu tu derderajaajat t kebkebebaebasan san ataatauu deg

degree ree of of frefreedoedomm (df(df) ) dedengangan persan persamaamaann df df

=

k k

−

11 , , di di mamana na k k adadalalah ah jujumlmlahah kategori dalam percobaan"

kategori dalam percobaan" #

#.. $$iillaaii chi squarechi square selalu positif selalu positif karena merupakan karena merupakan hasil pengkuadratan"hasil pengkuadratan" %.

%. &&eerdardapat bepat beberberapa keapa kelomlompok dipok distrstribuibusisi chi squarechi square, yaitu distri, yaitu distribusibusi chi squarechi square deng denganan df'!, #, %, dan seterusnya"

df'!, #, %, dan seterusnya" .

. eentntuk kuuk kurvrva a didiststriribubusisi chi squarechi square tidatidak k diteditentukantukan n oleh banyakoleh banyaknya nya sampsampel el melamelainkainkann di

ditetentntukukan an dedengngan an babanynyakaknynya a dederarajajat t kekebebebabasasan. n. *e*emamakikin n kekecicil l ninilalai i dederarajajatt kebe

kebebasabasan, n, bentbentuk uk kurvkurvanya semakin mencenanya semakin menceng g ke ke kanakanan n dan semakin besar dan semakin besar nilanilaii dera

derajat jat kebekebebasabasan n (( nn →→ ∞∞ ), ), bebentuntuk k kurkurvanvanya ya semsemakiakin n menmendekdekati ati benbentuk tuk funfungsigsi normal.

normal.

+

+jjii chi chi squasquarere secasecara ra umum digunumum digunakan untuk mengujakan untuk menguji i dua kelompodua kelompok k data baikdata baik variabel independen maupun dependennya berbentuk kategorik atau dapat juga dikatakan variabel independen maupun dependennya berbentuk kategorik atau dapat juga dikatakan sebagai uji proporsi untuk dua peristia atau lebih sehingga datanya bersifat diskrit. Dasar sebagai uji proporsi untuk dua peristia atau lebih sehingga datanya bersifat diskrit. Dasar uji

uji chi squarechi square adalah membandingkan perbedaan frekuensi hasil observasi ( adalah membandingkan perbedaan frekuensi hasil observasi ( fofo ) dengan) dengan

frekuensi yang diharapkan (

frekuensi yang diharapkan ( fhfh ). erbedaan tersebut meyakinkan jika nilai dari). erbedaan tersebut meyakinkan jika nilai dari chi squarechi square sama atau lebih besar dari suatu nilai yang ditetapkan pada taraf signifikan tertentu (dari sama atau lebih besar dari suatu nilai yang ditetapkan pada taraf signifikan tertentu (dari tabel 

tabel ##_{). +ji}_{). +ji chi square}_{chi square dapat digunakan untuk}_{dapat digunakan untuk pengujian sebagai berikut}_{pengujian sebagai berikut} !.

(2)

#. +ntuk menguji ada tidaknya suatu hubungan di antara dua variabel ( independency test )" serta

%. +ntuk menguji kesamaan di antara sub-sub kelompok (homogenity test ). /umus umum untuk uji chi square adalah sebagai berikut

Dimana

x2 _{' 0hi s1uare}

fo _{' Frekuensi yang diobservasi} fh _{' Frekuensi yang diharapkan}

Dalam melakukan pengujian dengan menggunakan uji chi square, ada hal-hal yang harus diperhatikan, yaitu sebagai berikut

!. *ampel dipilih secara acak"

#. *emua pengamatan dilakukan dengan independen"

%. *etiap sel paling sedikit berisi frekuensi harapan sebesar ! (satu). *el-sel dengan frekuensi harapan kurang dari 2 tidak melebihi #34 dari total sel"

. esar sampel sebaiknya 5 3 (0ochran, !62).

Keterbatasan penggunaan uji chi square adalah teknik uji chi square menggunakan data yang diskrit dengan pendekatan distribusi kontinyu. Dekatnya pendekatan yang dihasilkan tergantung pada ukuran di berbagai sel dari tabel kontingensi. +ntuk menjamin pendekatan yang memadai digunakan aturan dasar 7frekuensi harapan tidak boleh terlalu kecil8 atau secara umum dengan ketentuan sebagai berikut

!. &idak boleh ada sel yang mempunyai nilai harapan lebih kecil dari ! (satu)"

#. 9umlah sel mempunyai nilai harapan lebih kecil dari 2 (lima) tidak boleh lebih dari #34.

C. Contoh Kasus Penggunaan Uji Chi Square

!. +ji Ketepatan enerapan *uatu Fungsi (Test of Goodness of Fit )

*etiap variabel dapat mempunyai bentuk fungsi (misalnya, variabel : mempunyai fungsi inomial, oisson, $ormal, dan sebagainya). Dengan mengetahui fungsi suatu variabel, ada beberapa manfaat yan diperoleh antara lain

a. Dapat memperkirakan;meramalkan nilai fungsi dari suatu variabel yang sudah diketahui"

b. Dapat menghitung nilai probabilitas terjadinya suatu variabel.

Di dalam praktik seringkali ditemui asumsi baha hasil observasi yang dilakukan (berupa nilai variabel) mengikuti suatu fungsi tertentu atau proporsi tertentu atau frekuensi tertentu. +ntuk menguji ketepatan;kecocokan suatu fungsi, dapat digunakan

(3)

pengujian chi square. Dalam pengujian ini akan dibandingkan antara frekuensi hasil observasi ( fo ) dengan frekuensi harapan ( fh ) yang biasanya dinyatakan sebagai

fungsi tertentu foi ' frekuensi hasil observasi ke-i dan fhi ' frekuensi harapan ke-i .

0ontoh kasus Dalam menyusun rencana kebutuhan anggaran belanja modal untuk 2 (lima) tahun ke depan terkait dengan pengadaan komputer, Kepala agian +mum <nspektorat 9enderal (<tjen) Kementerian Keuangan selaku pejabat pengadaan menggunakan asumsi baha masa pakai rata-rata komputer yang digunakan di <tjen adalah = tahun dengan standar deviasi !, tahun. Dengan mengambil sampel sebanyak 63 unit komputer dari >aporan ermintaan Kebutuhan Komputer tahun-tahun sebelumnya, diperoleh informasi mengenai distribusi masa pakai komputer seperti yang tampak pada tabel di baa ini. Dengan menggunakan taraf nyata 5 %, dapatkah Kepala agian +mum menarik kesimpulan baha masa pakai komputer di <tjen terdistribusi normal?

@asa akai (&ahun) Frekuensi

3- A -2 ! 2-= #2 =-A ## A-B != 5B = 9umlah 63 *olusi

a. Citung luas daerah di baah kurna normal untuk masing-masing katagori. /umus

yang dipergunakan adalah Z

=

X

−

μ σ

Di mana  : ' batas baah dan batas atas kelas.

µ ' nilai rata-rata

σ ' standar deviasi

b. Citung frekuensi yang dihrapkan dengan megkalikan luas daerah dibaah kurva normal dengan jumlah sampel. Casil yang diperoleh adalah sebagai berikut

@asa pakai (tahun) Frek. $ilai  Daerah Frekuensi yang diharapkan

3- A E -!,% 3,3A= =,BA=

-2 ! -!,% s.d. -3,A! 3,!=#2 !,=#2

2-= #2 -3,A! s.d. 3,33 3,#=!! #%,66

=-A ## 3,33 s.d. 3,A! 3,#=!! #%,66

A-B != 3,A! s.d. !,% 3,!=#2 !,A#2

(4)

&otal 63 ! 63 c. Citung nilai chi square

$ilai :#_{tabel dengan df ' k - ! ' =  ! ' 2 dan taraf nyata 2 4 diperoleh nilai !!,3A3} Co  masa pakai komputer terdistribusi normal

C!  masa pakai komputer tidak terdistribusi normal Co diterima jika :# E !!,3A3

Co dittolak jika :#≥ !!,3A3 (menerima C!)

@asa pakai (tahun) fo fh

₍

_fo

₋

_fh

₎

2

/

fh 3- A =,BA= 3,33##%=# -2 ! !,=#2 3,3#=A36 2-= #2 #%,66 3,362BA=2 =-A ## #%,66 3,362=#!! A-B != !,=#2 3,!#6#A%2 5B = =,BA= 3,!!!=3#! &otal 63 63 3,=!%!BB

Kesimpulan Karena nilai X2_{hitung sebesar 3,= ebih ke!i dari "",#$#, hipotesis} nol diterima yang berarti masa pakai komputer terdistribusi nora.

#. +ji Cubungan di antara Dua Gariabel (Independency Test )

+ji chi square untuk independensi merupakan uji kebebasan dua faktor atau uji hipotesis mengenai ada atau tidaknya hubungan antara dua faktor. 9ika tidak ada hubungan antara dua faktor itu maka dapat dikatakan baha dua faktor itu saling bebas atau independen secara statistik. Dalam pengujian independensi, hipotesis yang digunakan selalu menyatakan baha kedua faktor saling bebas; independen (tidak terikat, tidak berkaitan, tidak berhubungan). Hleh karena itu, bentuk Co  &idak ada hubungan; asosiasi antara : danI.

Dalam uji independensi, derajat kebebasan dihitung dengan rumus df

=(

R

−

1

)(

C

−

1

)

_{, di mana} R

=

∑ _{baris dalam tabel kontingensi dan} C

=

∑ kolom dalam tabel kontingensi. $ilai chi square dihitung dengan rumus umum chi square

yaitu X 2

=

∑

(

fo

−

fh

)

2

fh dengan fh

=

(

∑R

)(

∑ C

)

n dengan R

=

∑ baris dalam

tabel kontingensi dan C

=

∑ kolom dalam tabel kontingensi.

0ontoh kasus <nspektorat G<< selaku litbang dar <tjen Kemenkeu melakukan penelitian untuk memperoleh informasi apakah terdapat hubungan antara pengalaman auditor dengan ketepatan aktu penyelesaian laporan hasil audit (>CJ). <nspektorat G<< mengambil sampel sebanyak !33 orang auditor yang bertugas untuk menyususn >CJ di masing-masing tim auditnya dari seluruh +nit-+nit engaasan di <tjen Kemenkeu. Dari sampel yang diambil dapat diketahui baha !33 orang auditor tersebut terbagi menjadi

(5)

dua kelompok jabatan fungsional auditor, yaitu auditor pertama dan auditor muda. Casil penelitian <nspektorat G<< tertuang dalam tabel berikut

egalaman Juditor Ketepatan aktu penyelesaian >CJ &otal baris &epat aktu aktu lebih

Juditor @uda 22 (a) #3 (b) A2 (ab)

Juditor ertama !3 (c) !2 (d) #2 (cd)

&otalkolom =2 %2 !33

*olusi

a. &entukan nilai harapan dari setiap sel *el a

¿

(

Totalbaris

)(

Total kolom

)

Totalobservasi

¿

75 x65 100

=

48,75 *el c ' =2 - B,A2 ' !=,#2 *el b ' A2  B,A2 ' #=,#2 *el d ' %2-#=,#2 ' B,A2

b. Dari perhitungan nilai harapan setiap sel, dapat ditentukan nilai chi square melalui tabel berikut

egalaman Juditor Ketepatan aktu penyelesaian >CJ &otal baris &epat aktu aktu lebih

Juditor @uda o'22" h'B,A2 (o-h)'=,#2 :#_{' 3,B3!} o'#3" h'#=,#2 (o-h)'-=,#2 :#_{' !,BB} A2 (ab)

Juditor ertama o'!3" h'!=,#2 (o-h)'-=,#2 :#_{' #,3} o'!2" h'B,A2 (o-h)'=,#2 :#_{' ,=} #2 (cd) &otalkolom =2 %2 !33 :#_{' 3,B3! L !,BB L #,3 L ,= ' 6,!2A} c. Casil dan *impulan

α

=

0,05

df ' (/-!) M (0-!) ' (#-!)(#-!) ' ! $ilai :#_{berdasarkan tabel ' %,B!}

$ilai :#_{berdasarkan perhitungan ' 6,!2A}

Karena :# _{hasil perhitungan 5 :}# _{tabel maka Co ditolak. Dengan kata lain kedua} faktor tidak bebas ; independen satu dengan yang lain. Dengan begitu, terdapat hubungan antara pengalaman auditor dengan ketepatan aktu penyelesaian laporan hasil audit (>CJ).

%. Test of Homogenity

ada dasarnya uji homogenitas dimaksudkan untuk memperlihatkan baha dua atau lebih kelompok data sampel berasal dari populasi yang sama memiliki variansi yang sama. +ntuk uji homogenitas dengan hanya dua kelompok data, metode yang

(6)

digunakan adalah +ji Fisher. >angkah-langkah yang harus dilakukan ketika menggunakan uji fisher adalah sebagai berikut

a. &entukan taraf signifikansi (N) untuk menguji hipotesis C3 σ 1

2

' σ 2 2

(Garians ! sama dengan varians # atau homogen) C3 σ 1

2

O σ 2 2

(Garians ! tidak sama dengan varians # atau tidak homogen) Dengan kriteria pengujian

&erima C3 jika FhitungEFtabel" dan &olak C3 jika Fhitung5Ftabel.

b. @enghitung varians setiap kelompok data" c. &entukan nilai Fhitung,yaitu Fhitung '

Varians terbesar Varians terkecil

d. &entukan Ftabel untuk taraf signifikansi , dk! ' dkpembilang ' na  !, dan dk# '

dkpenyebut ' nb  !.

e. >akukan pengujian dengan membandingkan nilai Fhitung dan Ftabel.

0ontoh kasus <tjen Kemenkeu melakukan penilaian kesehatan organisasi kepada +nit-+nit Pselon # di lingkungan Kementerian Keuangan dengan menggunakan indikator Internal Control Tools, yaitu Three Lines of Defense dan Enterprise Risk anagement! .

Dalam penilaian ini, <tjen Kemenkeu ingin mencari kehomogenitasan dari variabel bebas antara penerapan Three Lines of Defense sebagai kelas eksperimen terhadap penerapan Enterprise Risk anagement sebagai kelas kontrol. Dengan mengacu pada langkah-langkah di atas maka perhitungannya adalah sebagai berikut a. @enghitung rerata (mean) dan varian kedua kelompok data

&abel Data +ji Fisher Casil enilaian Kesehatan Hrganisasi Jntar Kolom enerapan Three Lines of Defense (J!) dan enerapan Enterprise Risk anagement (J#)

$o. *ampel : J! (:-:mean)# J! : J# (:-:mean)# J#

! !33 %%,= 6! #!,=# # !33 %%,= 6! #!,=# % !33 %%,= 6! #!,=#  !33 %%,= 6! #!,=# 2 6= %,# 6! #!,=# = 6= %,# BA 3,# A 6= %,# BA 3,# B 6= %,# BA 3,# 6 6= %,# BA 3,# !3 6= %,# BA 3,# !! 6= %,# BA 3,#

(7)

!# 6= %,# BA 3,# !% 6! !3,# BA 3,# ! 6! !3,# B% !!,## !2 6! !3,# B% !!,## != 6! !3,# B% !!,## !A 6! !3,# B% !!,## !B BA 2!,B B% !!,## !6 BA 2!,B B% !!,## #3 BA 2!,B AB =6,A#

9umlah !BB %=A,# !A#A #B,22

Dari data di atas diperoleh

/erata (mean) Kelompok A1

=

X mean A1

=

∑

X _A 1

n_A₁

=

94,20

Garian data Kelompok A1

=

! A 1 2

=

∑

X A1

−

X meanA1 n_A1

−

1

=

19,33 _"

/erata (mean) Kelompok A2

=

X mean A2

=

∑

X _A₂

n_A₂

=

86,35 "

Garian data Kelompok A2

=

! A 2 2

=

∑

X A2

−

X meanA2

n_A₂

−

1

=

13,08

b. @enghitung nilai F3 atau Fhitung Fhitung ' Varians terbesar Varians terkecil

=

19,33 13,08

=

1,48 c. @enentukan Ftabel

Dengan dbpembilang ' #3  !' !6 (untuk varian terbesar) dan dbpenyebut ' #3  !' !6 (untuk varian terkecil), serta taraf signifikansi () ' 3,32 maka diperoleh F_tabel ' #,!2

d. andingkan Fhitung dengan Ftabel

Dapat diketahui baha Fhitung ' !,B E Ftabel ' #,!2. Dengan demikian C3 diterima dan disimpulkan kedua kelompok data memiliki varian yang sama atau homogen.