3.1 Model Dasar Program Stokastik
Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program
sto-kastik. Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus
dalam penelitian ini.
3.1.1 Model Antisipatif
Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak
tergantung pada pengamatan masa datang. Perancanaan yang baik harus
memperhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak
akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.
Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala
probabilis-tik. Misalnya, tingkat keandalanαdengan 0< α≤1, dinyatakan dan kendala ditulis dalam bentuk
P{w|fj(x, w) = 0, j = 1,2, . . . , n} ≥α
Disinixadalah vector peubah keputusanmdimensi danfi :Rm×Ω→R, j = 1, . . . , n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan sepertiP{w|f0(x, w)≤ γ}, dimana f0 :Rm×Ω→R∪ {+∞} dan γ konstanta.
Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala
3.1.2 Model Adaptif
Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul
secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam
lingkungan pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua
kejadian yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai
min E[f0(x(w), w)|A]
Kendala E[f j(x(w), w)|A] = 0, j = 1,2, . . . , n x(w)∈X, hampir pasti
(3.1)
Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur. Persoalan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program deterministik berikut :
min E[f0(x,·)|A](w)
Kendala E[f j(x,·)|A](w) = 0, j = 1,2, . . . , n x∈X
(3.2)
Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama
sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif
sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling
menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.
3.1.3 Model Recourse
Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang
ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan
masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat
keputusan rekursif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa
portofo-lio ketika harga berubah (adaptasi). Persoalan program stokastik dua tahap
dengan rekursif dapat ditulis sebagai
min f(x) +E[Q(x, w)] Kendala Ax=b
x∈RM0
+
(3.3)
x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari program tak linier:
min ξ(y, w)
Kendala W(w)y=h(w)T(w)x y∈RM1
+
(3.4)
dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vek-tor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan
{T(w), W(w), h(w)|w∈Ω} adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak wdan karena itu merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sum-ber daya untuk persoalan tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vector sumber daya tahap kedua.
Secara umum model recoursedua tahap dapat di formulasikan sebagai
min f(x) +E
"
min y∈RM1
+
{ξ(y, w)|T(w)x+W(w)y=h(w)} #
Kendala Ax=b x∈RM0
+
(3.5)
Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang
eki-valen sehingga mudah terselesaikan.
3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen
Pandang model program stokastik linier berikut min g0(x,ξ)˜
s.t. gi(x,ξ)˜ 60, i= 1, . . . , m, x∈X ⊂Rn,
dengan ˜ξ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ Rk. Lebih tepat
lagi, diandaikan bahwa keluarga (family) F dari kejadian, yaitu himpunan bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F, peluang P(A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi(x,·) : Ξ →
R ∀x, i merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas.
Namun, problema (3.6) tidak well defined karena pengertian min dan
juga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusan x sebelum mengetahui realisasi dari ˜ξ. Karena itu revisi terhadap proses pemo-delan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen
untuk (3.6).
3.2.1 Proses Formulasi
Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan
recourse, untuk problema (3.6) dilakukan dengan cara berikut. Ambil
gi+(x, ξ) =
0 jika gi(x, ξ)60, gi(x, ξ) selainnya,
Kendala ke idari (3.6) dilanggar jika dan hanya jika gi+(x, ξ)>0 untuk suatu keputusanxdan realisasiξdari ˜ξ. Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse atau aktivitas tahap-kedua yi(ξ), setelah mengamati realisasi ξ, dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala - jika ada - dengan memenuhigi(x, ξ)−yi(ξ)60. Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan biaya atau penalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse) berjumlah
Q(x, ξ) = min y
( m X
i=1
qiyi(ξ)|yi(ξ)>g+i (x, ξ), i= 1,· · · , m
)
Yang menghasilkan biaya total - tahap pertamadan biaya recourse
f0(x, ξ) = g0(x, ξ) +Q(x, ξ) (3.8)
Selain (3.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum
dengan suatu recourse vektory(ξ)∈Y ⊂Rn¯, (Y himpunan polyhedral, seperti
{y|y ≥0}), suatu sembarang fixed mׯn matrix W ( matriks recourse ) dan vektor unit biaya q∈Rn¯, menghasilkan untuk (3.8) fungsi recourse
Q(x, ξ) = min y
qTy|W y>g+(x, ξ), y ∈Y (3.9)
dengan g+(x, ξ) = g+
1(x, ξ),· · · , gm+(x, ξ)
T
.
Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, gi(x, ξ) dapat dipa-hami sebagai perbedaan {permintaan}-{output} produki. Maka gi+(x, ξ)>0 berarti bahwa terdapat kekurangan dalam produki, relatif terhadap perminta-an. Dengan mengandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan,
problema (3.7) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan
produk i di pasar. Problema (3.9) dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan dengan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W. Jika dipilih W = I, m × m identitas matriks, (3.7) menjadi kasus khusus dari (3.9).
Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk
mende-finisikan fungsi recourse terhadap (3.8); misalnya,Q(x, ξ) dapat dipilih sebagai
Q(x, ξ) = min
q(y)|Hi(y)>gi+(x, ξ), i= 1,· · · , m; y∈Y ⊂R ¯
n , (3.10)
Dengan q :Rn¯ →R dan Hi :Rn¯ →R diandaikan diketahui.
Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan
memandang formulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap
de-ngan recourse
min
x∈XEξ˜f0(x, ˜
ξ) = min x∈X E˜ξ
n
g0(x,ξ) +˜ Q(x,ξ)˜o. (3.11)
Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap programrecourse
tahap-gandasebagai berikut: di samping dua keputusanxdany, harus diambil dita-hap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan denganK+1 keputusan sequensial x0, x1,· · · , xK(xτ ∈Rn¯τ), yang harus diambil pada tahapτ = 0,1,· · · , K. Ka-ta Ka-tahap dapat, Ka-tapi tidak perlu, diartikan sebagai periode waktu.
Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objectif dari (3.6) deterministik, yaitu,
g0(x, ξ) = g0(x). Pada tahap τ(τ > 1) diketahui realisasi ξ1,· · · , ξτ dari vek-tor acak ˜ξ1,· · · ,ξ˜τ dan keputusan sebelumnyax0,· · · , xτ−1, harus diputuskan terhadap xτ sehingga kendala (dengan fungsi kendala gτ)
gτ(x0,· · · , xτ, ξ1,· · · , ξτ 60)
dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat xτ, yang didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi,
dengan mengandaikan fungsi biaya qτ(xτ), pada tahap τ ≥ 1 diperoleh fungsi recourse
Qτ = (x0, x1, . . . , xτ−1, ξ1, . . . , ξτ) = min xτ
{qτ(xτ)|gτ(x0, x1, . . . , xτ−1, ξ1, . . . , ξτ)60}
Yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆxτ pada waktuτ tergan-tung pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ, yaitu,
ˆ
xτ = ˆxτ(x0,· · · , xτ−1, ξ1,· · · , ξτ), τ >1
tahap-ganda
f0(x0, ξ1,· · ·, ξK) = g0(x0) + K
X
τ=1
Eξ˜1,···,ξ˜τQτ(x0,x1,ˆ · · · ,xˆτ−1, ξ1,· · · , ξτ)
(3.12)
menghasilkan deterministik ekivalen untuk problema program stokastik tahap
ganda dengan recourse
min x0∈X
"
g0(x0) + K
X
τ=1
Eξ˜1,···,ξ˜τQτ(x0,x1,ˆ · · · ,xˆτ−1,ξ1,˜ · · · ,ξ˜τ)
#
(3.13)
Jelas merupakan generalisasi langsung dari program stochastik dua-tahap
de-ngan recourse (3.11).
3.3 Pohon Skenario
Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau
wa-laupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan
banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi
numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil
represen-tatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak.
Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data
his-toris, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap
skenario diberikan nilai probabialitas untuk merefleksikan kemungkinan
keja-diannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan
ke dalam struktur pohon.
Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang
diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari
padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan
seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu
Gambar 3.1 memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap
Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh Kt, untuk t = 1, . . . T. Buhul di setiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan kt = 1, . . . , Kt untuk semua t. Dt(k) menyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k. Misalnya dalam pohon skenario di Gambar 3.1 . D3 (1) memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1 yang merupakan dua buhul paling kiri dalam
waktu 3. Untuk setiap buhul daunk dalam tahap T, andaikanPk
t merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t=T1,− − − − − −1, pk t
diberikan oleh
pk t+1 =
X
1∈Dt+1 p1t+1
dengan p1 = 1
Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih
skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun
tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama
4.1 Beberapa Pengertian
Problem keputusan sekuensial tahap ganda muncul dalam berbagai
pe-makaian, yaitu keuangan (Carino et.al, 1998), sitem produksi (Boskma et.al,
1977), pembangkit daya (Nowak dan Romisch, 2000) dan banyak lagi.
Keti-dak pastian dari data (misalnya, harga, harga permintaan, ketersediaan),
bersama-sama dengan perubahan sekuensial data terhadap waktu, mengarah
pada model optimisasi dengan ketidakpastian sekuensial. Model demikian
dapat mengambil salah satu dari berikut : i) program stokastik tahap
gan-da (PSTG), atau ii) program dinamik stokastik (misalnya proses keputusan
Markov). Sementara program dinamik stokastik (PDS) dapat merupakan
pen-dekatan sesuai untuk situasi tertentu, kebanyakan aplikasi realistik
menghen-daki sejumlah besar peubah status yang mana sulit diakumulasi secara efesien
oleh PDS. Untuk aplikasi realistik berskala besar dengan banyak peubah status
dan kendala, PSTG memberikan alat pemodelan yang cocok. Namun,
perkem-bangan yang ada saat ini untuk PSTG adalah keterbatasan komputasinya.
Salah satu prasyarat untuk model PSTG adalah diskritisasi dari proses
sto-kastik yang menyajikan perubahan data acak. Walaupun peubah acak yang
membentuk proses ini kontinu, PSTG harus terselesaikan secara numerik dan
ini menghendaki peubah acak diskrit (nyatanya, peubah ini harus hanya
mem-punyai sejumlah hasil yang berhingga); proses diskrit ini dapat disajikan oleh
pohon skenario dan ia biasanya suatu diskritisasi dari proses kontinu atau
Terdapat pendekatan sains dan seni terhadap diskritisasi/agregasi dari
proses evolusi data. Sains muncul dalam pendekatan proses evolusi data; seni
timbul dari realisasi bahwa diskritisasi rinci mengakibatkan persoalan yang tak
mungkin secara numerik, sedangkan diskritisasi kasar mengakibatkan model
yang dapat dipertanyakan dengan memperhatikan kejadian penting.
Keseim-bangan yang tepat tidaklah mudah. Untuk pendekatan sains terhadap
pem-bentukan skenario, dapat diidentifikasi dua pendekatan terkait. Salah satunya
didasarkan pada aproksimasi statistik (misalnya penyesuaian moment/target
seperti dalam Hoyland dan Wallace, 2001), dan yang lainnya pada teori
aproksi-masi (seperti dalam Pflug (2000) dan Growe-Kuska et.al (2000)). Seperti untuk
seni pembentukan skenario, timbul cerita dalam komunitas program stokastik,
bahwa pohon skenario perlu memperhitungkan kejadian peluang kecil, biaya
tinggi (yang kadang-kadang diacu sebagai katastropik). sayangnya petunjuk
kualitatif sulit untuk dikuantifikasi dan diimplementasikan.
Dalam praktek, PSTG (misalnya P) mungkin terlalu besar walaupun diselesaikan dengan memakai algoritma terbaik pada komputer tercepat
ja-di pendekatan yang ja-diambil dalam literatur program stokastik menggantikan
problem P oleh problema lainnya ˆP, yang diformulasikan dengan menggan-tikan proses stokastik sebenarnya yang mendasariP dengan pendekatan kasar. Pandangan yang diambil dalam tulisan ini didasarkan pada pendekatan PSTG
(yang lebih halus), dinyatakan denganP oleh barisan aproksimasiPk, problem keputusan didekati bukan difokuskan secara eksklusif pada pendekatan proses
stokastik yang mendasari problema keputusan. Pandangan ini telah dilakukan
untuk program linear stokastik (PLS) dua-tahap (misal Fauendorfer dan Kall
dari ide ini untuk program stokastik linier tahap-ganda (PSLTG) belum begitu
berhasil. Sementara pendekatan ini membawa pada aproksimasi yang
konver-gen secara asimptotik, batas atas menghendaki penyelesaian PSLTG dalam
tiap iterasi, jadi mengakibatkan komputasi yang cukup ekstensif ditiap iterasi.
Sepengetahuan penulis, terdapat satu usaha lagi dalam merancang
algorit-ma pemulusan berurutan untuk PSLTG, yaitu Edirisinghe (1999). Algoritalgorit-ma
ini didasarkan pada pembentukan agregasi kendala non-antisipasi. Walaupun
metode ini tidak mengakibatkan penambahan komputasi dari metode yang
di-ajukan dalam Fauendorfer (1996), tidaklah jelas bahwa metode memberikan
jaminan asimptotik.
Dalam penelitian ini, dikaji suatu algoritma untuk menyelesaikan PSLTG
yang menggunakan beberapa alat sama seperti dalam PSL dua-tahap,
ja-di tetap mempertahankan kemampuan komputasi. Pada waktu bersamaan
pendekatan ini juga memberikan optimalitas asimptotik. Kontribusi lainnya
ialah algoritma yang diajukan memberikan realisasi operasional dari
penger-tian tentang prolongasi yang pertama kali diajukan oleh Olsen (1976). Dalam
penelitian ini, prolongasi tidak hanya memberikan basis untuk hasil
konver-gensi, tapi juga memberikan kebijakan opersai untuk memperluas
penyele-saian primal dari aproksimasi penyelepenyele-saian problem awal. Sementara
pro-longasi demikian tidak dapat menghasilkan penyelesaian layak untuk semua
skenario yang mungkin, metode ini memberikan kemungkinan pemenuhan
ke-layakan. Ini merupakan langkah penting untuk mengimplementasikan
4.2 Langkah awal
PSL merupakan paradigma ampuh untuk pengambilan keputusan
de-ngan adanya ketidakpastian. Secara matematika, andaikan terdapat indeks
waktut ∈ {1, . . . , T}dan horizon waktu yang terdiri dariT tahapan. Ketidak-pastian dimodelkan oleh ruang peluang yang difilterΞ, S, {F}Tt=1, P. Ru-ang sampel Ξ didefenisikan sebagai Ξ := Ξ1× · · · ×ΞT, dengan ΞT ⊂Rrt,r
t bi-langan bulat positif. Hasilnya adalahξ:= (ξ1, . . . , ξT)∈Ξ dan ¯ξ= (ξ1, . . . , ξt). σ-aljabar S merupakan himpunan kejadian yang diberikan nilai peluang oleh ukuran peluangP dan {F}T
t=1 adalah saringan pada S. Keputusan (recourse) pada tahap t merupakan peubah acakxt: Ξ→Rnt, dimanant bilangan bulat positip. Biaya keputusan diwaktu t merupakan peubah acak ct : Ξ → Rnt. Untuk semua t ∈ {1, . . . , T} dan semua r ∈ {1, . . . , T}, bt: Ξ →Rmt dan Atr adalah matriks berharga riel mt×nt.
Model matematika dari PSLTG dapat ditulis sebagai :
min x1,...,xT
cT
1x1+E T
P
t=2 cT
t(~ξt)xt(ξ~t) kendala A11x1 =b1
At1x1+ t
P
r=2
Atrxr(ξ~t) = bt(ξ~t) x1 >0, xt(~ξt)>0
xt∈L2(Ξ1× · · · ×ΞT,Rny) a.s. t= 2, . . . , T
Dalam formulasi ini, dapat berlaku hampiran pasti (a.s). Apabila dikatakan
sehing-ga peran yang dimainkan oleh {F}T
t=1 dimasukkan dalam model
min E
Seperti dalam Wright (1994), problema ini dinyatakan sebagai P(F,F). Pro-blem P(Fd,Fc) memakai 2 filtrasi : argumen pertama (Fd) mengatakan fil-trasi terhadap mana keputusan diambil sedangkan argumen kedua (Fc)
men-gatakan filtrasi terhadap kendala persamaan dipakai. Keputusanxdiadaptasi terhadap Fd jika x ∈ Fd. Kendala persamaan Pt
r=1
Atrxt = bt dapat dipaksa untuk diadaptasi pada filtrasi Fc dengan menggantikan kedua sisi
persama-an oleh ekspektasi bersyarat terhadap FC
t yaitu E Dikatakan bahwa filtrasiG ={Gt}
T
t=1 lebih kasar dari pada filtrasiF ={F} T
juga dapat dibentuk problema kendala terpadu P( ˆF,F):
Problema terpadu penuh P( ˆF,Fˆ) adalah
JikaF1 danF2 dua filtrasi denganF1 lebih besar dari padaF2, maka kendala
dalam P(F,F2) lebih terbatas dari pada yang dalam P(F,F1). Jadi, dengan memperhatikan nilaiP(F,F1) danP(F,F2) olehv(P(F,F1)) danv(P(F,F2)), berturut-turut terdapat
V(P(F,F1))≤v(P(F,F2)) (4.2)
Sekarang pandang suatu PSLTG dimana hanya bt acak, yaitu program stokastik hanya mempunyai ruas kanan acak, data lainnya deterministik.
Ma-ka nilai dari problema terpadu lengMa-kap P( ˆF,Fˆ) bernilai sama seperti nilai problema kendala terpadu P(F,Fˆ) (Wright, 1994). Ini mengakibatkan bah-wa jika diperhatikan mengoptimalkan PSLTG layak dengan ruas kanan acak
pada barisan filtrasi Fk ∞ vk adalah barisan naik monoton dari bilangan riel yang terbatas keatas oleh v(P(F,F))
4.3 Pohon Skenario dan Filtrasi
Apabila semua peubah acak memiliki dukungan berhingga
ketidakpas-tian yang ada dalam model tahap ganda dapat disajikan oleh pohon skenario.
Karena algoritma bekerja dengan diskritisasi, dalam bagian ini dikaitkan
kontinu dan juga diskrit. Pembicaraan dibawah ini dari Rockafellar dan R.J.B
Wets (1991).
Suatu pohon scenarioT = (N,A) merupakan pohon berakar dimana se-mua daun dengan kedalaman T. Himpunan buhul pada kedalamant dinyata-kan olehNt, jadi himpunan buhul adalahN =S
tN
t. Himpunan acak buhuln
dinyatakan oleh Ct
n. Setiap besaran (n, m) memiliki sebaran bersyarat terkait qmn dari transisi kem dengan diketahui bahwan tercapai. Jadi
P
m∈Cn
qnm = 1.
Secara alternatif pohon skenario dapat dideskripsikan dengan memakai
filtrasi dimanaσ-aljabar menyajikan informasi tersedia untuk pengambil kepu-tusan. Dengan mengandaikan ¯ξt mempunyai dukungan berhingga, σ-aljabar
Ft = σ( ¯ξt) yang dibentuk oleh ¯ξ berhingga dan juga filtrasi {F1, . . . ,FT}. Karena Ft berhingga ia dibentuk oleh partisi berhinggaBjt dari Ξ:
Ξ =
Hal yang sama benar untuk Ft+1:
Ξ =
Sifat filtrasi mengakibatkan hubungan antara 2 partisi Bt
j dan B diambil terhadap filtrasi {Ft}Tt=1, dimaksud bahwa setiap xtterukur terhadap σ-aljabar Ft terkait. Ini mengakibatkan :
Hubungan antara filtrasiF dan pohon skenario dapat dibuat eksplisit dengan
mengidentifikasi komponen Bt
i dari partisi dengan buhul terkait dari pohon skenario. Notasi :
• T = (N,A), pohon skenario merupakan pohon berakar dimana setiap
buhul n termasuk dalam tahap tn, yaitu n ∈ Ntn. Terdapat :
– n= 1 dengan t1 = 1 merupakan satu-satunya akar – buhul {n|tn=T} daun, dan
– lintasan unit dari akar n = 1 kesembarang daun n dengan tn = T adalah suatu skenario.
• S adalah komponen skenario (lintasan akar ke pohon);
• Ps peluang skenario s∈S ;
• Sn himpunan skenario yang melalui buhul n;
• p¯n= P s∈Sn
ps peluang mencapai buhul n;
• Hn⊆ N buhul sebelum atau histori dari buhul n;
• Hn pendahulu langsung atau buhul orang tua dari buhul n∈ N, n ≥2;
• Fn,s ⊆ N buhul penerus atau masa datang dari n pada skenario s;
• Fn =∪s∈SFn,s buhul penerus dari n atau masa datang darin ∈ N;
• Cn⊆ N buhul penerus langsung dari n atas anak dari n;
• B¯n ⊆Ξ himpunan skenario yang disajikan oleh buhuln;
• cn≡ctn(ξ) dan Anm≡Atntm(ξ).
Andaikan ˆF filtrasi yang berkaitan dengan pohon T. PSLTG terhadap
pohon skenarioT adalah problema terpadu penuhP( ˆF,Fˆ). Problema terpadu penuh ini merupakan program linier dan dapat ditulis sebagai :
min P
n∈N:¯pn>0
¯ pncTnxn
P
m∈Hn:¯pn>0
Anmxm+Annxn=bn xn≥0∀n: ¯pn>0
(4.6)
Dual dari pohon ini
max P
n∈N:¯pn>0
bT nun AT
nnun+ P m∈Fn:¯pn>0
AT
mnun≤p¯ncn ∀n: ¯pn>0 (4.7) Dengan menggantikan peubah dual un dengan ¯pnun dan membagi kendala ke n dengan ¯pn diperoleh problem dual berikut :
max P
n∈N:¯pn>0
¯ pnbTnπn AT
nnπn+ P m∈Fn:¯pn>0
qn,mATmnπn≤cn ∀n: ¯pn>0 (4.8)
Penyelesaian optimal dinyatakan sebagai ˆxn dan ˆπn. Versi berskala dari dual memiliki interprestasi probabilistik. Dalam bentuk ini, vektor dual ˆπn menyajikan nilai marjinal bersyarat dari sumber daya (dipersyaratkan pada
pertibaan dibuhuln). Kendala kelayakan dual menyerupai kondisi optimalitas program dinamis yang menghendaki bahwa nilai marjinal dari sumber daya
dibuhul nditambah nilai lebih untuk masa datang tidak melampaui hargacn, di buhul n.
4.4 Degenerate Subfiltrasi
Terdapat korespondensi 1-1 antara filtrasi berhingga dan pohon
{Ξ,∅}. Pohon skenario terkait disekitar pohon degenerate; ia hanya terdiri
dari satu skenario (gambar 4.1 ) Jika dipartisi Ξt tertentu menjadi dua
him-Gambar 4.1 Pohon degenerate
punan bagian Ξt
1 dan Ξt2, maka pohon baru diperoleh seperti dalam gambar 4.2 . Kedua buhul dalam tahaptmenyajikan dua himpunan bagian. Filtrasi baru
Gambar 4.2 Partisi Pertama
dinyatakan dengan Fˆˆ. Filtrasi ini adalah sedemikian hingga Fˆˆ = ˆF untuk
τ < t dan ˆˆFt = σ
Ξ1× · · · ×Ξt
1× · · · ×ΞT,Ξ1× · · · ×Ξt2× · · · ×ΞT,∅ untuk s≥t.
4.5 Prosedur Pemutahiran Pohon
Prosedur pemutahiran pohon disini merupakan suatu metode sistematis
untuk membentuk barisan subfiltrasi yang setiapnya lebih mulus dari pada
sebelumnya. Diketahui suatu pohon T, metode ini akan memberikan suatu
pohon skenario baru T+. Prosedur mengandaikan bahwa suatu buhul n telah teridentifikasi dari lintasan sampel yang diberikan pada buhul ini akan dipartisi
menjadi dua himpunan bagian untuk menghasilkan diskritisasi lebih mulus.
Langkah 1.
Andaikan m∈N sehingga m 6∈ N. Perhatikan bahwa m buhul baru;
Langkah 2.
Andaikan Tn= (An,Nn) subpohon berakar dariT dengan buhul akar n;
Langkah 3.
Andaikan Tm = (Am,Nm) menyatakan suatu pohon yang isomorphis dengan subpohonTn; mempunyai sifat graph sama seperti pohon Tn. Andaikan buhul
akar dari Tn adalahm.
4.6 Algoritma Pembentukan Skenario
Batasi hanya pada PSLTG dengan ruas kananb( ¯ξ) acak, data lainnya de-terministik. Juga, dipersyaratkan bt fungsi affine dari ¯ξ. Pohon awal mungkin degenerate atau pendekatan lainnya.
Penyelesaian terhadap problema terpadu penuh ini menghasilkan pada tiap
buhul n; (i) keputusan primal ¯xn dan (ii) vektor pengali dual ¯xn. Andaikan ¯
ξnsuatu skenario yang berkaitan dengan buhuln. diketahui keputusan primal dan pengali dual untuk tiap buhuln, andaikanBnsuatu barisan optimal untuk buhul PL berikut :
diper-oleh dari problem terpadu penuh adalah layak untuk PL ini dan PL ini layak
penuh oleh pembentukan. Dapat dipakai ¯x1,{π¯n}n∈N dan {Bn}n∈N untuk menghasilkan suatu kebijakan terhadap problem awal. Ini diperoleh dengan
memakai persamaan berikut :
x2,B(ξ) =~ B2−1(b2(~ξ2)−A21x1)ˆ (4.9)
Kebijakan ini akan disebut sebagai basis prolongasi optimal dan merupakan
estimasi dari penyelesaian optimal terhadap problema awal. Untuk setiap ¯x1 tahap pertama dan setiap scenario ~ξ, keputusan xt(ξ) dapat dihitung secara~ rekursif. Kebijakan demikian mungkin tak layak yaitu mungkin ada himpunan
dari ukuran positif pada kebijakan yang tidak memenuhi kendala
nonnegativ-itas.
Pandang buhul n dan perhatikan buhul Hn dan Fn masa datang buhul ini. Bilamana skenario ~ξ teridentifikasi secara eksplisit untuk buhul n dan andaikan xn menyatakan kebijakan terkait {xtm,(~ξ)}m∈Hn dan secara
ekspli-sit terdapat ketergantungannya pada skenario. Penyelesaian dual yang terkait
dengan semua buhul masa datang dalam Fn akan dinyatakan dengan ¯πn. De-fenisikan nilai fungsi kelebihan gn pada buhul n sebagai
gn dikatakan sebagai nilai fungsi kelebihan pada buhul n, karena koefisien hanya dari PL tadi dapat diartikan sebagai per unit harga yang
mengako-modasi estimasi nilai kelebihan yang didasarkan pada pengali dual terkait
dengan buhul n berikutnya. Penting untuk diperhatikan bahwa fungsi nilai kelebihan juga merupakan fungsi dari keseluruhan kebijakan yang menuju ke
buhul n. Jadi, ~ξ berubah terhadap ¯Bn, skenario yang disajikan oleh buhuln.
4.7 Asumsi Batas Atas dan Bawah
AndaikanUn menyatakan batas atas danLn batas bawah untuk ekspek-tasi bersyarat E[gn(ξ;~ Xn; ¯Πn)|B¯n]. Diandaikan bilamana fungsi nilai kelebi-han adalah affin pada ¯Bn, batas atas dan batas bawah sama dengan ekspektasi bersyarat ini. Batas atas baku yang dipakai dalam program stokastik
(misal-nya batas Edmundson-Madansk) memenuhi asumsi ini, sekarang didefenisikan
parameter kesenjangan yang diperlihatkan dengan δn :
δn =Un−Ln (4.13)
Peubah acak ¯πn : Ξ→Rmt didefenisikan sebagai ¯πn(ξ) = ¯~ πmbilamana~ξ∈B¯m.
Dievaluasi kebijakan saat ini untuk tiap buhul dengan mengevaluasi
pa-rameter kesenjangan δn dan juga indeks ketaklayakan. Ketaklayakan akan didasarkan pada ukuran himpunanξ dimana kebijakan melanggar batas non-negativitas. Defenisikan :
¯
ηn:= 1−P(ξ~∈Ξ|xtn,B(ξ)~ >0) (4.14)
¯
ηn tidak mudah ditentukan, namun batas atasnya lebih mudah diselesaikan. Perhitungan dari peluang ini juga difasilitasi oleh kenyataan bahwa xtn,B(~ξ)
Dalam setiap kejadian, andaikan ηn ≥ηˆn menyatakan indeks kelayakan untuk buhul n.
Sekarang algoritma pembentukan skenario (PS) dapat dituliskan sebagai
berikut :
Langkah 0.
Pilih parameter toleransi positif ε1, ε2 dan ε3, dan dipilih ε3 > ε2 buat k= 1.
Langkah 1.
Andaikan F1 = {F}T
t=1 filtrasi degenerate, dengan Ft ={Ξt,∅}. Defenisikan pohon degenerate sebagai :
• T1 = (N1,A1) terdiri dari lintasan tunggal
• S1 skenario tunggal,p1 s = 1
• p¯n
1 = 1 apabila n∈ N1
• qnm= 1 apabila n ∈ {1, . . . , T −1}, m∈Fn
• bn
1 :=E[btn]
Langkah 2. (selesaikan persoalan lengkap).
Selesaikan PSLTG yang terkait dengan pohonTk. PSLTG merupakan proble-ma terpadu lengkap. Penyelesaian dari probleproble-ma ini menghasilkan kebijakan
primal-dual
xk
j, πkm :j, m∈ Nk dan nilai optimal vk.
Langkah 3.
Langkah 4. (aturan penghentian)
Jika δn < ε1, ηn < ε2 ∀n ∈ Nk dan ε3 ≤ ε2, stop; kebijakan yang dibentuk oleh basis prolongasi optimal sesuai untuk problem awal.
Langkah 5. (reduksiε3)
Jika ¯pn< ε3 ∀n∈ Nk maka buat ε3 ←ε3/2 dan kembali kelangkah 3.
Langkah 6. (pemisahan)
Andaikan L=
n ∈ Nk|p¯ n > ε3
- Jika terdapat suatu n ∈ L, sehingga δn > ε1 maka ambil ¯n sedemikian hingga δn = maxn∈L{δn}. Gunakan prosedur pemutahiran pohon di buhul ¯n. Hasil ini dalam pohon skenario baru Tk+1. Buat k ← k+ 1 dan kembali kelangkah 2.
5.1 Beberapa Pengertian
AndaikanF dan ˆF berturut-turut fungsi sebaran kumulatif (cdf) kontinu kiri dan kontinu kanan dari peubah acak ξ, yaitu F(s) = Ps(ξ ≤ s) dan
ˆ
F(s) = Pr(ξ < s) (jelas jika ξ mempunyai fungsi kepadatan peluang (pdf) makaF = ˆF), maka (dari Louveaux dan Van der Vlerk (1993)) :
g(z) = ∞
X
h=0
(1−F(z+h)) = ∞
X
h=0
P{ξ > z+h} (5.1)
h(z) = ∞
X
h=0 ˆ
F(z−h) = ∞
X
h=0
P{ξ < z−h} (5.2)
Fungsi g dan h dihubungkan oleh transformasi elementer.
Lemma 1 Andaikan ξ suatu peubah acak. Definisikan e=−ξ, maka :
h(z) = gξ(−z), z ∈R
dimana
gξ =Eξ[e−z]+
Peubah acakξ memiliki cdfFξ(s) = 1−Fˆ(−s). Jikaξ mempunyaipdf f maka ξ mempunyai pdf fξ(s) = f(−s).
Bukti : Karena [s]− = [−s]+, s∈R, akibatnya
h(z) = Eξ[ξ−z]−=Eξ[−ξ+z]+ =Eξ[ξ+z]+ =gξ(−z), z ∈R.
Dalam mengkaji konveksitas fungsig,hdanQakan dipergunakan syarat perlu dan cukup untuk konveksitas dari suatu fungsi dalam hal derivatif
kanan-nya : suatu fungsi ϕ konveks pada selang [a, b] jika dan hanya jika derivatif kanannya ϕ tak turun pada [a, b].
Akan diperlihatkan bahwa eksistensi derivatif kanan darig, h dan ˆϕ ter-gantung pada total variasi kepadatan f dari ξ. Walaupun hanya diperlukan keberhinggaan dari deret yang tercakup akan dibuktikan batas bawah dan
batas atas.
Definisi 1 Andaikanϕ fungsi berharga riel pada himpunan bagian tak kosong I dari R. Maka kenaikan total ∆+ϕ(I), penurunan total ∆−ϕ(I) dan variasi total |∆|ϕ(I) dari ϕ pada I didefinisikan sebagai
∆+ϕ(I) = sup u
∞
P
i=1
(ϕ(ui)−ϕ(ui−1))+
∆−ϕ(I) = sup u
∞
P
i=1
(ϕ(ui)−ϕ(ui−1))−
|∆|ϕ(I) = sup u
∞
P
i=1
|ϕ(ui)−ϕ(ui−1)|
Supremum diambil pada semua himpunan bagian berhinggau={u0, u1, . . . , un} ⊂ I sehingga u0 < u1 < . . . < un. Untuk semua I ⊂ R,|∆|ϕ(I) = ∆+ϕ(I) + ∆−ϕ(I) selanjutnya dipakai notasi ∆+ϕ(I),∆−ϕ(I) dan |∆|ϕ(I) untuk kasus I =R.
Definisi 2 Suatu fungsi rielϕpadaR adalah variasi terbatas jika|∆|ϕ <+R.
Kemudian dikaji fungsi kepadatan peluang dari variaasi terbatas didasarkan
pada lemma berikut:
Juga
Pada lemma berikut, hasil tadi diterapkan pada suatu kelas fungsi kepadatan
peluang pada R dengan variasi terbatas.
Lemma 3 Andaikan untuk i = 1,2, fungsi fi : R → [0,1] memenuhi
per-merupakan pdf . Tambahan lagi, f memiliki versi kontinu kanan f+ dan versi kontinu kiri f− yang diberikan oleh :
f+(s) :=lim
t↓s f(t), s∈R
f−(s) :=lim
yang mempunyai fungsi sebaran kumulatif sama seperti f. Perlihatkan cdf ini dengan F, terdapat :
1−F(z−1)−∆−f([z−1,∞)) 6 P∞ Pdf f adalah variasi terbesar, sehingga batas seragam berikut berlaku :
1−F(z−1)− |∆|f
Karena itu f adalahpdf. Kemudian, karenaf1 dan f2 monoton, mereka mem-punyai semua limit dari kiri dan kanan, jadi f juga demikian karena f1 dan f2 tak naik dan terbatas, mereka hanya dapat mempunyai jumlah diskontinuitas
terhitung, sehingga f−(s) = f(s) = f+(s) untuk semua s ∈ R kecuali untuk himpunan ukuran 0. batas atas dalam (5.5) berakibat dari batas atas dalam
(5.3) dengan mengambil, untuk s ∈R
ϕ(s) = f(z+s) ϕ1(s) = 1−f2(z+s)
c ϕ2(s) = 1−f1(z+s)
c
ϕ1 dan ϕ2 nonnegatif, tak naik dan terintegralkan pada R, karena
Batas bawah dalam (5.5) berikut dari batas bawah dalam (5.4) dengan
mengam-bil
ϕ(s) =f(z−1 +s) ϕ1(s) = 1−f2(z−1+s)
c ϕ2(s) = 1−f1(z−1−s)
c
dengan memakai ∞
R
z
(1f1(s))ds≤
∞
R
z
(1f2(s))ds <∞.
Analog, batas atas dan bawah dalam (5.6) berasal dari (5.3) dan (5.4), dengan
mengambil, untuk s∈R
ϕ(s) =f(z−1−s) ϕ1(s) = 1−f2(z−s)
c ϕ2(s) = 1−f1(z−s)
c
Akhirnya, (5.7) dan (5.8) akibat dari (5.5) dan (5.6) dengan mengamati bahwa,
untuk semua z ∈ R,∆−f([z,∞)) 6 ∆−f dan ∆+f((−∞, z]) 6 ∆+f. Jadi, karena ∆+f−∆−f =f(∞)−f(−∞) = 0−0 = 0 dan ∆+f + ∆−f =|∆|f, terdapat ∆−f =−∆+f = (|∆|)f
2 .
5.2 Sifat konveksitas
Dibagian ini dibentangkan karakteristik daripdfdalamF sehingga fungsi g, h dan ˆQ konveks. Dapat diandaikan bersebaran kontinu, karena dari lem-ma 3 memperlihatkan bahwa jika ξ bersebaran diskrit, maka fungsi-fungsi ini berhingga dan diskontinu, jadi tak konveks. Juga untuk sebaran kontinu dari
konveksitas ξ merupakan pengecualian bukan aturan.
Lemma 4 Untuk setiap α∈[0,1), persyaratan dari g, hdan Qˆ terhadap{α+ Z} adalah konveks.
Bukti. Dengan memakai (5.2) terdapat
Dari kenyataan bahwacdfF tak naik diperoleh bukti lemma untukg. Dengan memakai (5.3) hasil sama berlaku untuk h dan ˆϕ.
Sekarang didefenisikan himpunan C ⊂ ξ fungsi kepadatan peluang se-hingga fungsi nilai ekspektasi terkait ˆQ(juga g dan h) konveks.
Definisi 3 AndaikanC menyatakan himpunanpdf dalamF sedemikian hing-ga fungsi nilai ekspektasi terkait Qˆ konveks, yaitu :
C =
Himpunan bagian yang mengandung semua kontinu - kanan elemenC dinyata-kan olehC+. Jika diketahui bahwaF konveks, jelas bahwaCdanC+himpunan konveks. Lemma berikut memberikan sifat yang dimiliki oleh semua elemen
C.
Bukti. Dari asumsi, f ∈ C jika dan hanya jika ˆQ konveks apabila peubah cacah ξ mempunyai pdf f. ¯Q(z) 6 Q(z)ˆ 6 Q(z) + maks [q¯ +, q−] berlaku un-tuk semuaz ∈R, dimana fungsi konveks ˆQmerupakan fungsi nilai ekspektasi satu dimensi dari relaksasi kontinu (5.1), yaitu ¯Q(z) = q+ ∈ (ξ−z)++q− ∈
dan n ∈Z.
¯ Q′
+(z+n) = −q+ ∞
P
h=0
f+(z+h) +q− Pn
h=−∞
f+(z+h)
= ∞
P
h=−∞
(−q+.l{
h>n}+q−.l{h6n})f+(z+h)
(5.9)
Karena f ∈F, akibatnya (lihat (5.7) dan (5.8))
S(z) = ∞
X
h=−∞
f+(z+h)
berhingga untuk semua z∈R. karena itu terdapat untuk semua n ∈Z ∞
X
h=−∞
−q+.l{
h>n}+q−.l{h6n}
f+(z+h)6(q++q−)s(z)<∞
Sehingga dengan mengambil n→ −∞ dan n → ∞dalam (5.9) diperoleh
−q+=−q+S(z) dan q−1 =q−1S(z)
MengakibatkanS(z) = 1 terbukti.
Namun perlu diperhatikan bahwa kondisi ∞
P
h=−∞
Model rancangan dasar dapat ditulis dalam bentuk
Min F(x) +dTy
Kendala f(x) +A1y=b1 (m1 baris) A2x+A3y=b2 (m2 baris) ℓ6(x, y)T 6u
Algoritma berlangsung dengan mengerjakan barisan iterasi utama, dalam mana
kendala diliniersasi pada beberapa titik barisxkdan nonlinearitas digabungkan dengan fungsi objektif berserta estimasi pengali Lagrange.
Jadi dapat ditulis ˆ
f(x, xk) = f(xk) +J(xk)(x−xk)
Sehingga sub problema berkendala linier diselesaikan pada iterasi utama ke k. Yaitu
min
x,y L(x, y, xk, λk, ρ) = F(x) +d T
y
−λT
k(f−fˆ) + 12ρ(f −f)ˆ
T(f−fˆ) kendala ∂kx+A1y∓b1+Jkxk−f(xk)
A2x+A2y=b2 ℓ6(x, y)T 6u
Fungsi objektifnya merupakan perluasan Lagrange yang dimodifikasi,
pa-rameter pinalti ρmempercepat konvergensi dari titik estimasi awal yang bera-da jauh bera-dari titik optimal. Pengali Lagrange λk diambil sebagai nilai optimal dipenyelesaian sub problema sebelumnya.
Apabila barisan iterasi utama mendekati titik optimal (diukur oleh
Metode yang diajukan menggunakan strategi kendala aktif, yang dapat
disajikan dalam bentuk
Ax=
B S N I
"xB
xS xN
#
=
" b −
bN
#
B Himpunan vektor basis S Himpunan vektor superbasis N Himpunan vektor nonbasis I Matriks satuan
Peubah nonbasisxN berada pada batasannya dan tetap disana untuk langkah ∆x berikutnya.
Jadi dapat dituliskan
BxB+SxS+N xN =b
=bN
Dengan bN adalah kombinasi batas atas dan batas bawah. Peubah superbasis bebasxS bergerak kesembarang arah dan memberikan dorongan untuk memi-nimumkan fungsi objektif.
Peubah basis xB harus mengikuti persamaan berikut :
BxB+SxS = 0
jadi ∆x dapat ditulis dalam perubahan pada peubah superbasis sebagai :
∆x=Z∆xS
dengan
Z =
"−B−1S
I 0
#
ZTg dengan
g = ∂ℓ ∂x
. Ia juga mengalikan dari kiri dan kanan matriks Hessi dari turunan
par-sial kedua untuk menghasilkan langkah seperti Newton dalam ruang tereduksi
peubah superbasis.
Implementasi dari metode memakai aproksimasi quasi-NewtonRTR ter-hadap matriks Hessi tereduksi, dimana R matriks segitiga-atas. ’Sparsity’ dalam kendala dipertahankan dengan menyimpan dan memutakhirkan
fak-torisasi LU dari matriks Basis B.
Faktorisasi ini memberikan arti bahwa Z atau B−1 tidak dinyatakan secara eksplisit. Langkah quasi-Newton ∆x dihitung dengan sikuen berikut
:
i) Selesaikan UTLT−
a = gB untuk ¯a dimana vektor gradien g dipartisi menjadi (gB, gS, gN) berkaitan dengan partisi A dan ∆x
ii) Bentukh=gS−ST¯a
iii) SelesaikanRTR∆x
S =−h
iv) Selesaikan LU∆xB =−S∆xS
ukuran himpunan superbasis bervariasi ketika algoritma pencarian
berlang-sung.
Jika batas peubah dijumpai, peubah tersebut dibuat menjadi nonbasis dan
dipindahkan dari himpunan superbasis (atau basis).
lebih peubah nonbasis dijadikan superbasis apabila elemen vektor ’reduced
cost’ terkait gN −NT¯a tak nol dan bertanda sesuai.
Bagian terdahulu adalah metode/algoritma untuk menyelesaikan
pro-gram stokastik linier dan tak linier. Dari kerangka kerja metode tersebut
dikembangkan untuk program stokastik cacah campuran.
6.1 Ide dasar
Pandang problema program stokastik cacah campuran linier (mixed
in-teger linear programming (MILP)) min P =CTx Kendala Ax≤b
x≥0
xj cacah untuk berbagaij ∈J
Komponen vektor layak basis terhadap MILP yang diselesaikan sebagai
prob-lema kontinu dapat ditulis sebagai
(xB)k =βk−αki(xN)i−. . .−αkj∗(xN)j∗−. . .−αk,n−m(xN)n−m
andaikan (xB)k peubah bernilai cacah danβk tidak bernilai cacah,βk dipartisi menjadi komponen bulat dan pecahanβk = [βk]+fkJika ingin dinaikkan (xB)k ke cacah terdekat ([β] + 1), dapat dinaikkan peubah tak basis, misalnya (xN)j∗
diatas batasannya asalkan αkj∗ yaitu salah satu elemen vector αj∗ negatif.
Ambil ∆j∗ adalah jauh gerakan peubah nonbasis (xN)j∗ sehingga nilai numerik
dan scalar (xB)k cacah, maka ∆j∗ dapat dinyatakan sebagai
∆j∗ =
1−fk
−αkj∗
peubah nonbasis lainnya tetap di nol.
Jadi setelah disubstitusi ∆j∗ untuk (xN)j∗ diperoleh (xB)k = [β] + 1.
Terlihat jelas peubah tak basis sangat berperan dalam membulatkan nilai
peubah basis terkait. Ide dasar demikian ini dipergunakan untuk
menyele-saikan secara global program stokastik cacah campuran tak linier
6.2 Algoritma dari Metode
Setelah menyelesaikan problema relaksasi dengan metode yang diajukan
terdahulu untuk program stokastik linier, prosedur pencarian penyelesaian
wilayah cacah dapat dideskripsikan sebagai berikut :
Andaikan
x= [x] +f, 06f <1
penyelesian kontinu dari problem relaksasi
langkah 1
Pilih basis i∗ infisiklitas cacah terkecil, sehingga δi∗ = min{fi,1−fi}
langkah 2
Lakukan operasi pricing, yaitu hitung vT
i∗ =ℓTi∗B−1
langkah 3
Hitung σij =viT∗aj dengan j berkaitan pada minj
n
ℓi
σij
o
I. Untuk non basis j di batas bawah
Jika σij <0 dan δi∗ =fi hitung ∆ = (1−δi∗)
−σij
Jika σij >0 dan δi∗ = 1−fi hitung ∆ = (1−δi∗)
σij
Jika σij <0 dan δi∗ = 1−fi hitung ∆ = δi∗
−σij
Jika σij >0 dan δi∗ =fi hitung ∆ = δi∗
σij
II. Untuk non basis j di batas atas
Jika σij <0 dan δi∗ = 1−fi hitung ∆ = (1−
δi∗)
Jika σij >0 dan δi∗ =fi hitung ∆ = (1−
Jika tidak pergi ke non basis atau superbasis j berikutnya (jika ada). Jadi kolomj∗ dinaikkan dari batas bawahnya atau diturunkan dari batas atasnya. Jika tidak ada pergi ke i∗ berikutnya.
langkah 4
Hitung
αj∗ =B−1aj∗
yaitu, selesaikan Bαj∗ =aj∗ untukαj∗
langkah 5
Uji kelayakan terdapat 3 kemungkinan untuk peubah basis tetap layak karena
pelepatan peubah nonbasisj∗ dari batasnya.
→ jika j∗ dibatas bawah
Gerak maksimum dari j∗ tergantung pada
Gerak maksimum dari j∗ tergantung pada
θ∗ = min(A′, B′, C′)
langkah 6
Pertukaran basis untuk ke 3 kemungkinan
1. jikaA atau A′
• xBi∗ menjadi nonbasis di batas bawah ℓi′
• xj∗ menjadi basis (menggantikan xB
i∗) • xi∗ tetap basis (tak cacah).
2. jikaB atau B′
• xBi∗ menjadi nonbasis di batas atasai′
• xj∗ menjadi basis (menggantikan xB
i∗) • xi∗ tetap basis (tak cacah).
3. jikaC atau C′
• xj∗ menjadi basis (menggantikan xi∗)
• xi∗ menjadi superbasis bernilai cacah.
Ulangi dari langkah 1
Contoh
Andaikan terdapat persoalan berikut :
Dari dua bahan mentah yaitu bahan 1 dan bahan 2, dapat dihasilkan dua
pro-duksi berbeda yaitu prod 1 dan prod 2. biaya propro-duksi perunit dari bahan
kebutuhan untuk produksi h= (hprod1, hprod2) T
dan kapasitas produksi adalah ˆbyaitu jumlah total maksimum dari bahan mentah yang dapat diproses, diberikan
dalam tabel 1.
Tabel 1 Produktivitas π (bahan i, prod j) Produk
Dengan menggunakan metode grafik, diperoleh penyelesaian
ˆ
xbahan1 = 36, xˆbahan2 = 18, γ(ˆx) = 126 (6.2)
yang merupakan penyelesaian optimal tunggal untuk persoalan diatas.
Persoalan di atas telah digambarkan oleh (6.1) dan diselesaikan oleh (6.2)
dengan persyaratan produktivitas, biaya perunit, kebutuhan dan kapasitas
(tabel 1 ) dengan data tetap dan mengetahui pembuatan keputusan dengan
perencanaan produksi. Seringkali terjadi, beberapa data-produktivitas dan
kebutuhan berubah-ubah (acak). Akibatnya keputusan perencanaan produksi
belum dapat dibuat karena nilai data tidak eksak.
Asumsikan secara statistika, diketahui bahwa :
dimana ˜ζj adalah variabel acak dimodelkan dengan menggunakan distribusi normal, ˜η1 dan ˜η2 adalah distribusi seragam dan distribusi eksponensial. De-ngan parameter :
untuk sederhananya, diasumsikan bahwa keempat variabel acak adalah saling
independen, karena variabel acak ˜ζ1,ζ2,˜ dan ˜eta2 adalah tidak terbatas, di-batasi interval kepercayaan 99% (kecualiµ). Sehingga diperoleh variabel acak realisasi
Sebagai ganti dari program linear (6.1), diberikan program linear stokastik
min (2xbahan1+ 2xbahan2)
Persoalan keputusan di atas, tidak terdefinisi karena semuanya tidak jelas
apakah ”min” dapat diperoleh sebelum realisasi (ζ1, ζ2, η1, η2) dariζ1˜, ζ2,˜ η1,˜ η2˜ diketahui.
Sebagai perbandingan, persoalan deterministik dari persoalan di atas adalah
ˆ
Penyelesaianwait and seetidak diperlukan karena rencana produksi
men-gandung ketidak pastian yang hanya memberikan informasi mengenai
kebu-tuhan dan produktivitas acak. Lebih praktisnya, dapat ditentukan rencana
produksi untuk meminimumkan jumlah biaya tahap pertama mula-mula (yaitu
produksi) dan biayarecourserata-rata sebagai ganti dari variabel acak ˜ζ1, ζ2,˜ η1˜ dan ˜η2 digunakan notasi vektor acak ˜ξ = ζ1˜, ζ2,˜ η1,˜ η2˜T. Selanjutnya, diperkenalkan untuk tiap-tiap kendala stokastik pada (3.38) sebuah variabel
recourse yi
˜
ξ, i= 1, 2.
Program stokastik pada (3.38) akan diubah menjadi program stokastik
dengan recourse, menggunakan
Jika ˜ξmempunyai distribusi diskrit berhingga{(ξi, p
i), i= 1, ..., r} dan (pi >0, ∀i) maka persoalan (6.8) menjadi program linear yang dikenal sebagai struktur
Penyelesaian persoalan (6.9) dengan memakai metode yang diajukan, diperoleh
penyelesaian ¯x
¯
x= (37.566, 22.141), γ(¯x) = 144.179, γI(¯x) = 141.556,
dimana penyelesaian dari PL (6.1) akan menghasilkan total biaya rata-rata
Program stokastik berhubungan dengan optimisasi pengambilan
kepu-tusan dengan adanya ketidakpastian dalam data problema dari suatu waktu
ke waktu berikutnya. Tipe objek kajian adalah problema optimisasi acak di
mana hasil (outcome) dari data acak tidak terungkap pada waktu berjalan,
dan keputusan yang akan dioptimalkan tidak harus mengantisipasi hasil masa
datang (non-antisipasi). Asalkan informasi probabilistik tersedia, model
ope-rasional yang sesuai untuk optimisasi dapat diformulasi sebagai program
sto-kastik tahap-ganda. Secara esensial model ini diajukan untuk menggantikan
model deterministik, dimana koefisien atau parameter yang tidak diketahui
merupakan acak dengan pengandaian sebaran peluang bebas dari peubah
ke-putusan. Namun untuk menyelesaikannya model program stokastik ini perlu
direformulasi menjadi program deterministik yang ekivalen. Skala dimensi
program deterministik akan ’meledak’ karena jumlah skenario yang demikian
besarnya. Oleh karena itu diperlukan pula teknik pembentukan skenario agar
’peledakan’ tersebut dapat dihindari.
Penelitian ini hanya terbatas untuk menyelesaikan Program Stokastik
Cacah-Campuran Tahap Ganda. Disarankan bagi peneliti lebih lanjut dalam
bidang yang terkait, antara lain, metode untuk penyelesaian Program Stokastik
Cacah-Murni Tahap Ganda, Cara Pembentukan Skenario yang efisien,
Stabil-itas Hasil Penyelesaian. Selain itu, menarik untuk dilanjutkan menyelesaikan
