PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN DUA TAHAP

DISERTASI

Oleh TOGI

098110014/ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

DISERTASI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh TOGI

098110014/ILMU MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2016

Nama Mahasiswa : Togi

Nomor Pokok : 098110014

Program Studi : Doktor Ilmu Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si) Promotor

(Dr. Marwan Ramli, M.Si) ((Prof. Dr. Tulus, M.Si))

Co-Promotor Co-Promotor

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 27 Januari 2016

PANITIA PENGUJI DISERTASI

Ketua : Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si.

Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si.

2. Prof. Dr. Tulus, M.Si.

3. Prof. Dr. Herman Mawengkang 4. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc.

Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul:

PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN DUA TAHAP

Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan bimbin- gan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan jelas dituliskan sumbernya.

Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di perguruan tinggi lainnya. Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.

Medan, Januari 2016 Penulis

Togi

Program stokastik merupakan suatu alat untuk perencanaan dan pengambi- lan keputusan optimal dengan adanya ketidakpastian dalam data. Tipe objek kajian adalah problem optimisasi acak dimana hasil (outcome) dari data acak tidak terungkap pada waktu berjalan, dan keputusan yang akan dioptimalkan tidak harus mengatisipasi hasil masa datang. Hal ini memberikan kaitan er- at dengan optimisasi ”real time” yang dibutuhkan untuk keputusan optimal

”disini dan sekarang” dalam lingkungan data tak pasti.

Dalam penelitian ini diajukan suatu pendekatan baru untuk memperoleh op- timisasi global model persoalan program stokastik cacah-campuran tak linier.

Penelitian memfokuskan pada persoalan stokastik dua-tahap dengan ketidak linieran terdapat dalam fungsi objektif dan kendala. Variabel ditahap pertama bernilai cacah sedangkan variabel tahap kedua campurah cacah dan kontinu.

Persoalan diformulasikan oleh representasi berbasis skenario.

Ide dasar untuk menyelesaikan persoalan program stokastik cacah - campu- ran tak linier ini adalah mentransformasikan model menjadi model ekivalen yang berbentuk program cacah-campuran tak linier deterministik. Hal ini di- mungkinkan karena ketidakpastian yang diasumsikan bersebaran diskrit, dapat dimodelkan sebagai sejumlah skenario yang berhingga. Namun, ukuran model ekivalen akan tumbuh secara cepat sebagai konsekuensi dari jumlah skenario dan jumlah horizon waktu. Agar jumlah skenario dapat dibatasi (berhingga) diperlukan teknik pembentukan skenario. Konsep ruang probabilitas terfilter digabung dengan data mining akan dipergunakan untuk pembentukan ske- nario. Sehinnga untuk memperoleh metode penyelesaian problema program cacah-campuran tak linier berskala besar dapat digunakan pendekatan kon- veksitas agar diperoleh penyelesaian optimal global.

Kata kunci: Program Stokastik tak-linier, Model Ekivalen, Pembentukan Skenario

Stochastic program is a tool for planning and optimal decision making with uncertainty in the data. Type object of study is a random optimization problem in which the results (outcomes) of random data is not revealed at run time, and the decision should be optimized not anticipate future results. This provides a close connection with the optimization of ”real time” needed for optimal decision ”here and now” in the data environment uncertain.

In this study proposes a new approach to obtaining global optimization model of problem nonlinear mixed-integer stochastic. The research focuses on to-stage stochastic problems ith lack of nonlinearity present in the objective function and constraints. The first stage is orth counting variable while the second stage variable campurah chopped and continuous. The issue is formulated by representation based scenarios.

The basic idea to resolve the probelm of nonlinear mix-integer stochastic pro- gram is to transform the model into a model equivalent in the form of mix- integer nonlinear deterministic program. This is possible because the uncer- tainty is assumed to be spread discrete, can be modeled as a finite number of scenarios. However, the size of the equivalent model will grow rapidly as a consequence of a number of scenarios and the amount of time horizon. So that the number of scenarios can be limited (finite) necessary engineering forma- tion scenarios. Filterred probability space concept combined with data mining will be used for the formation of scenarios. So that to acquire problem solving meghod program-mix minced no large-scale linear convexity approach can be used in order to obtain a global optimal solution.

Keyword: Nonlinear Stochastic Programs, Equivalent model, Scenarios Formation

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat kasih dan karunia-Nyalah penulis dapat menyelesaikan disertasi tepat pada waktunya. Disertasi ini berjudl ”Program Stokastik Cacah Cam- puran Dua Tahap” sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar doktor pada Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Dalam menyele- saikan disertasi ini penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan baik moril maupun materil dari berbagai pihak. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebe- sar0besarnya kepada:

1. Prof. Subhilhar, Ph.D. selaku Pjs. Rektor Universitas Sumatera Utara.

2. Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Doktor Ilmu Matematika.

3. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Stdi S3 Ilmu Matematika, yang dengan tulus, ikhlas dan sabar telah banyak memberi bimbingan dan dukungan referensi dalam penulisan disertasi ini.

4. Dr. Saib Suwilo, M. Sc. selaku sekretaris Program Studi S3 Ilmu Ma- tematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan juga sebagai anggota komisi penguji yang telah banyak membantu dan mengarahkan penulisan disertasi ini.

ikhlas telah memberikan bimbingan penulisan disertasi ini serta mem- beri dorongan dan semangat untuk menyelesaikan studi.

6. Dr. marwan Ramli, M.Si. selaku Co-Promotor, yang dengan ikhlas dan sabar telah banyak memberi bimbingan dan dukungan dalam penulisan disertasi ini.

7. Prof. Dr. Tulus, M.Si. selaku Co-Promotor, yang dengan ikhlas dan sabar telah banyak memberi bimbingan dan dukungan dalam penulisan disertasi ini.

8. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi S3 Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.

9. Rektor Universitas Negeri Medan, Dekan Fakultas Matematika dan Il- mu Pengetahuan Alam, Ketua Jurusan Matematika, dan Ketua Program Studi Pendidikan/Non Kependidikan Matematika, yang telah memberikan ijin belajar kepada penulis.

10. Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Doktor Ilmu Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah saling bekerjasama dan memberi dorongan dalam belajar, diskusi dna menyelesaikan tugas-tugas perkuli- ahan sehingga dapat berhasil menyelesaikan studi ini.

11. Ibu Misiani, S.Si. selaku staf Administrasi program studi Doktor Il- mu Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.

ga kepada istri tercinta Lenny Sinaga, S.Pd. dan anak-anakku tersayang Grace Nikita Panjaitan, dan Robby Yacob Panjaitan yang dengan sabar, penuh per- hatian dan kasih sayang memberikan dorongan, pengorbanan dan dukungan doa selama penulis menyelesaikan pendidikan ini. Terimakasih yang sebesar- besarnya juga penulis sampaikan kepada seluruh keluarga yang telah turut memberikan dorongan dan dukungan doa agar berhasil menyelesaikan studi ini.

Akhirnya, penulis dengan sadar mengakui bahwa disertasi ini masih jauh dari kesempurnaan, namun penulis berharap disertasi ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan peneliti-peneliti selanjutnya maupn kontribusi pada ilmu pengetahuan. Sehingga saran dan kritik yang bersifat konstruktif sanggat di- harapkan untuk kesempurnaan hasil penelitian ini.

Medan, 27 Januari 2016

Penulis,

TOGI

Togi dilahirkan di Aek Kanopan pada tanggal 6 Juni 1961 dan meru- pakan anak kedua dari delapan bersaudara dari Ayah (Alm) P. Panjaitan dan Ibu (Alm) R. Br. Aritonang. Menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri 3 Aek Kanopan pada tahun 1973, Sekolah Menengah Pertama di SMP St.

Yoseph Aek Kanopan pada tahun 1976, dan Sekolah Menengah Atas di SMA Swasta Kualuh Aek Kanopan pada tahun 1980. Kemudian melanjutkan stu- di pada Program Sarjana (S1) di Jurusan Matematika, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Keguruan dan Ilmu Pen- didikan Medan, tamat tahun 1986. Selanjutnya mengambil program pasca sarjana (S2) di Program Studi Penelititan dan Evaluasi Pendidikan, Universi- tas Negeri Yogyakarta, tamat pada tahun 2001. Sejak tahun 2009 mengikuti studi di program pasca sarjana (S3) di Program Doktor Ilmu Matematika, Universitas Sumatera Utara (USU) Medan.

Penulis menikah tanggal 27 Desember 2003, telah dikaruniai Allah Yang Maha Esa satu orang putra dan satu orang putri.

Penulis sampai dengan saat ini bekerja sebagai staf pengajar dengan pangkat asisten ahli golongan III/b Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 5

1.3 Tujuan Penelitian 6

1.4 Manfaat Penelitian 7

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 8

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK 12

3.1 Model Dasar Program Stokastik 12

3.1.1 Model Antisipatif 12

3.1.2 Model Adaptif 13

3.1.3 Model Recourse 13

3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen 14

3.2.1 Proses Formulasi 15

BAB 4 PENENTUAN SKENARIO 20

4.1 Beberapa Pengertian 20

4.2 Langkah awal 23

4.3 Pohon Skenario dan Filtrasi 25

4.4 Degenerate Subfiltrasi 28

4.5 Prosedur Pemutahiran Pohon 29

4.6 Algoritma Pembentukan Skenario 30

4.7 Asumsi Batas Atas dan Bawah 32

BAB 5 PENDEKATAN KONVEKSITAS 35

5.1 Beberapa Pengertian 35

5.2 Sifat konveksitas 39

BAB 6 METODE PENYELESAIAN 42

6.1 Ide dasar 45

6.2 Algoritma dari Metode 46

BAB 7 KESIMPULAN 53

DAFTAR PUSTAKA 54

Nomor Judul Halaman

1 Produktivitas π (bahan i, prod j) 49

Nomor Judul Halaman 3.1 memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap 19

4.1 Pohon degenerate 29

4.2 Partisi Pertama 29

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dunia saat ini dilanda oleh adanya kondisi ketidakpastian yang tinggi, namun pengambil keputusan tetap harus menentukan keputusan walau dalam kondisi yang demikian. Persoalan keputusan sering diformulasikan sebagai persoalan optimisasi, jadi dalam berbagai situasi, pengambil keputusan ingin menyelesaikan persoalan optimisasi yang tergantung pada parameter yang tak diketahui. Jika ketidakpastian ini tidak diperhitungkan dalam model penye- lesaian, keputusan yang diambil dapat berada jauh dari nilai optimal, atau bahkan tak layak.

Dalam sistem transportasi ketidakpastian ini dapat muncul pada variasi antara permintaan aktual terhadap sumber daya transportasi dan ramalan per- mintaan; perubahan acak dalam kapasitas hubungan jaringan; dan perubahan acak dalam kapasitas karena terjadinya kerusakan alat transportasi.

Program stokastik berkaitan dengan optimisasi pengambilan keputusan dengan adanya ketidakpastian dalam data problema dari suatu periode waktu ke periode waktu berikutnya. Tipe objek kajian adalah problema optimisasi acak di mana hasil (outcome) dari data acak tidak terungkap pada waktu berjalan, dan keputusan yang akan dioptimalkan tidak harus mengantisipasi hasil masa datang (non-antisipatif). Hal ini memberikan kaitan erat dengan optimisasi ’real time’ yang merupakan keputusan optimal ’di sini dan sekarang’

dalam suatu lingkungan data yang tak lengkap (atau tak pasti). Asalkan

informasi probabilistik tersedia, model oprasional yang sesuai untuk optimisasi

’real-time’ dapat diformulasi sebagai program stokastik tahap-ganda. Secara esensial model ini diajukan untuk menggantikan model deterministik, dimana koefisien atau parameter yang tidak diketahui merupakan nilai acak dengan adanya pengandaian sebaran peluang bebas dari variabel keputusan.

Program stokastik tak linier (PSTL) menyajikan suatu kelas dari per- soalan optimisasi stokastik. Model demikian ini sering muncul dalam kehidu- pan nyata. Banyak sistem di alam ini mempunyai pola model tak linier, berak- ibat diperlukan metode program tak linier untuk menentukan optimisasinya.

Faktor lain yang kelihatan sudah menjadi suatu kewajaran adalah kondisi keti- dakpastian. Boleh dikatakan sangat jarang parameter dari sistem diketahui secara tepat. Yang sering muncul adalah parameter-parameter ini diketahui dalam suatu rentang nilai atau, dalam beberapa kasus, dalam sebaran pelu- ang. Terhadap persoalan dengan adanya ketidakpastian ini metode program stokastik perlu dipakai.

Adakalanya dalam persoalan optimisasi keputusan demikian ini tercakup didalamnya variabel yang nilainya harus merupakan bilangan cacah, atau bi- ner(0 atau 1). Jadi, jika diberikan syarat cacah terhadap variabel keputusan, maka model program stokastik tak linier ini disebut sebagai program stokas- tik cacah tak linier (PSCTL). Dalam penelitian ini model program stokastik yang diteliti adalah program stokastik cacah-campuran tak linier (PSCCTL), yang berarti bahwa disamping adanya variabel yang dipersyaratkan bernilai bilangan cacah tetapi ada juga variabel yang dapat bernilai kontinu (pecahan).

Kebanyakan pemakaian dari PSCCTL berada pada bidang proses sis- tem rekayasa. Suatu review dalam bidang rekayasa proses diberikan dalam

Diwekar (2003a) dan Sahinidis (2004). Pemakaian dalam proses sintesis dari jaringan air terintegrasi (Karuppiah dan Grossmann, 2008). Pemakaian lain- nya mencakup Proses jaringan perusahaan (Rya et.al., 2004), perencanaan dan penjadwalan tugas terkait (Jung et.al., 2004; Lin et.al., 2004), aplikasi yang terkait dengan lingkungan (Diwekar, 2003b; 2005; Kreawhom dan Hirao, 2004;

Aman dan Mawengkang, 2008), aplikasi dalam bidang finansial (Bastin et.al., 2007; Mawengkang, 2007), aplikasi dalam perikanan (Albornor dan Canaler, 2006; Mawengkang, 2007) serta aplikasi dalam bidang jaringan transportasi (Liu et al., 2009). Model persoalan PSCCTL yang diajukan dalam penelitian ini dapat ditulis dalam bentuk berikut.

minx f¹(x) + Q(x) g¹(x) = 0, h¹(x) 6 0,

g¹ : R^nZ1 → R^me, h¹ : Rⁿ¹ → R^mi, x ∈ Z₊ⁿ¹.

(1.1)

dimana

Q(x) = E_ξQ(x, ξ(w)) Q(x, ξ(w)) = min

y f²(y(w), w) g²(x, y(w), w) = 0 h²(x, y(w), w) 6 0 g² : Rⁿ¹⁺ⁿ² × Ω → R^ye h² : Rⁿ¹⁺ⁿ² × Ω → R^yi y ∈ Y

(1.2)

Ω adalah ruang probabilitas yang dilengkapi dengan σ-aljabar F dan ukuran probabilitas. ξ adalah variabel acak yang ukuran probabilitasnya ada, dan f¹, f², g¹, g², h¹, h² merupakan fungsi tak linier. x menyatakan variabel tahap pertama, sedangkan y(w) menyajikan variabel tahap kedua. Himpunan Y merupakan gabungan dari dua himpunan bagian YRdan YZ, dengan YR∈ Rⁿ₊² dan YZ ∈ Z₊ⁿ². Jadi, dalam model di atas, beberapa variabel tahap kedua (yang diindeks oleh himpunan YZ) dipersyaratkan mengambil nilai cacah.

Fitur utama dari model program stokastik dua tahap adalah adanya tin- dakan recourse (peninjauan ulang). Himpunan keputusan dibagi menjadi dua kelompok. Sejumlah keputusan harus diambil sebelum parameter persoalan diketahui: keputusan ini merupakan keputusan tahap pertama dan keputusan ini diambil dalam tahap pertama. Keputusan lainnya dapat diambil setelah ketidakpastian terungkap. Keputusan recourse merupakan fungsi dari realisasi aktual parameter tak pasti dan dari keputusan tahap pertama. Sikuen dari kejadian mengkarakterisasi model sebagai model recourse.

Terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam peroalan PSC- CTL dua tahap, yaitu, konveksitas dan kontinuitas. Hal ini terutama dise- babkan oleh persyaratan cacah. Jika variabel cacah hanya ditahap pertama, sifat fungsi recourse sama seperti dalam kasus kontinu. Dalam kaus tak linier kontinu jika f, h konveks dan g affine untuk semua ξ, problemanya konveks.

Apabila persyaratan cacah muncul ditahap kedua, walaupun untuk kasus lini- er fungsi recourse umumnya tak konveks. Kesulitan dalam dimensi tergantung pada jumlah skenario.

Ekspektasi dalam (1.2) mencakup integrasi multi-dimensi. Agar per- soalan dapat teratasi, ketidakpastian biasanya dinyatakan dalam sebaran diskrit yang mendekati. Namun, kebutuhan untuk akurasi dalam pemodelan yang berakibat terjadinya peningkatan dimensi dalam program optimisasi. Hal ini menambah keterbatasan pada cara pemodelan program stokastik dan metode penyelesaiannya masih pada tahap awal.

Adanya asumsi ruang probabilitas diskrit berakibat fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai jumlah berhingga dan kendala direplikasikan untuk setiap elemen dalam Ω. Andaikan bahwa ξ mempunyai sebaran probabilitas diskrit

pada Ω = 1, . . . , S dengan P (ξ = ξ_i) = π_i. Maka problema dapat ditulis lagi dalam bentuk :

min f¹(x) + Σ^S

s=1π_sf²(x, y, ξ_s) g¹(x) = 0

h¹(x) 6 0

h²_s(x, y_s, ξ_s) = 0 ∀s = 1, · · · , S g²_s(x, y_s, ξ_s) = 0 ∀s = 1, · · · , S x ∈ Z₊ⁿ¹, y_s ∈ Y_s ∀s = 1, · · · , S g¹ : Rⁿ¹ → R^me h¹ : Rⁿ¹ → R^mi

g² : Rⁿ¹⁺ⁿ² → R^te h² : Rⁿ¹⁺ⁿ² → R^ti, s = 1, · · · S

(1.3)

dimana π_s menyatakan probabilitas bahwa skenario s terjadi. Formulasi deter- ministik ekivalen ini merupakan suatu problema program bilangan cacah tak linier berskala besar dengan n₁+ n₂s variabel dan m_e+ m_i+ t_es + t_is kendala tak linier.

Karena adanya persyaratan cacah, fungsi recourse umumnya tak konveks dan tak kontinu (lower semi-continuous). Metode Branch and Bound, yang biasa dipakai untuk menyelesaikan problema program bilangan cacah linier, tidak dapat diaplikasikan terhadap kondisi lower semi-continuous, karena akan terdapat tak berhingga sub problema yang diperlukan sehingga batas bawah dan batas atas menjadi sama. Akibatnya terminasi berhingga dari algoritma ini tidak terjamin.

1.2 Perumusan Masalah

Situasi ketidakpastian yang tinggi melanda dunia global saat ini dan diperkirakan masih akan berlangsung di masa-masa mendatang. Konseku- ensinya, problema optimisasi pengambilan keputusan mengandung parameter yang tak pasti (acak). Model optimisasi stokastik menjadi alternatif utama untuk dipakai dalam menentukan alternatif keputusan. Di lapangan sering kali dalam persoalan keputusan terdapat persyaratan cacah terhadap peubah,

misalnya dalam penjadwalan produksi, telekomunikasi, optimisasi portofolio, sehingga optimisasinya sekarang menjadi program stokastik cacah-campuran.

Model demikian ini dapat dibentuk, namun metode penyelesaiannya yang per- lu diperoleh. Penelitian untuk menentukan metode terhadap model ini boleh dikatakan masih baru. Metode yang banyak diajukan para peneliti adalah untuk PSCC dua-tahap. Metode yang ada untuk PSCC tahap-ganda hanya dapat terpakai untuk struktur tertentu dari model PSCC. Berdasarkan latar belakang permasalahan di atas, masalah dalam penelitian ini dirumuskan se- bagai berikut: Bagaimana pengembangan metode penyelesaian problema opti- masi stokastik secara umum menggunakan model PSCC tak linier dua-tahap?

1.3 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan permasalahan yang telah dirumuskan, maka tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Pengajuan suatu metode baru untuk menyelesaikan secara global Pro- gram Stokastik Cacah Campuran Tak Linier

2. Menyediakan alat untuk mendukung proses pengambilan keputusan yang mengandung ketidakpastian.

3. Memberikan kerangka dasar untuk penelitian lebih lanjut dalam bidang yang terkait, antara lain, metode untuk menyelesaikan Program Sto- kastik Cacah Murni Tahap-Ganda, Cara pembentukan Skenario yang efisien, Stabilitas hasil penyelesaian, Menyelesaikan Program Stokastik Tak-Linier.

1.4 Manfaat Penelitian

Sesuai dengan tujuan penelitian, maka hasil penelitian ini diharapkan akan memberikan manfaat, yaitu diperolehnya suatu metode untuk menye- lesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpas- tian yang sering muncul dalam berbagai, seperti bidang finansial, transportasi, perencanaan produksi, dan lain-lain

TINJAUAN PUSTAKA

Ketertarikan para peneliti dalam bidang penyelesaian program stokas- tik cacah (PSC) ini relatif baru. Klein-Haneveld, et. al., 1996) mengajukan metode penyelesaian untuk PSC dua-tahap dengan tinjau ulang (recourse) ca- cah sederhana. Karena struktur khusus dari tahap kedua, pendekatan mereka didasarkan pada pembentukan himpunan konveks fungsi nilai tahap kedua.

Laporte dan Louveaux (1993) mengusulkan pendekatan berbasis-dekomposisi untuk PSC apabila peubah tahap pertama dan kedua biner. Mereka menga- jukan pendekatan branch-and-bound dalam mana optimalitas mengiris pen- dekatan nilai fungsi tahap kedua tak konveks untuk penyelesaian biner tahap pertama yang telah diperoleh. Sen dan Higle (2003) mengembangkan algo- ritma berbasis dekomposisi untuk menyelesaikan problema PSC dua-tahap yang menekankan pada dekomposisi antara peubah cacah yang muncul dalam tahap pertama dan kedua. Sheralli dan Fraticelli (2002) telah mengkaji pen- dekatan terkait dalam mana teknik reformulasi-linierisasi dipakai di dalam skema dekomposisi.

Caroe dan R. Schultz (1999) memakai pendekatan dekomposisi skena- rio dari Rockafellar dan Wets (1991) untuk mengembangkan algoritma branch and bound menyelesaikan PSC dua-tahap. Batas bawah yang diperoleh dari dual Lagrange yang diturunkan oleh mendualkan kendala non-antisipasi. Sub- problema dual Lagrange berkaitan dengan skenario dan mencakup peubah dan kendala dari tahap pertama dan kedua. Subproblema ini lebih sulit di- selesaikan dari pada metode berbasis dekomposisi Benders. Lebih lanjut lagi,

walaupun dual Lagrange memberikan batas ketat, penyelesaiannya menghen- daki pemakaian metode subgradien dan berakibat kesulitan dalam komputasi.

Ahmed et al. (2003) juga mengajukan algoritma branch and bound untuk PSC dua-tahap dengan peubah cacah-campuran di tahap pertama dan peubah cacah-murni di tahap kedua. Mereka memakai reformulasi yang yang meng- eksploitasi struktur khusus yang muncul dari matriks tinjau-ulang tetap dalam PSCC dua-tahap. Pendekatan relaksasi Lagrange untuk menyelesaikan PSC dua-tahap diajukan oleh Takriti, et. al. (1996).

Schultz et al. (1998) mengajukan suatu skema berhingga untuk pro- gram stokastik dua-tahap dengan sebaran diskrit dan peubah tahap-kedua cacah murni. Untuk problema ini, mereka mengamati bahwa hanya nilai ca- cah dari parameter ruas kanan yang relevan. Kenyataan ini dipakai untuk mengidentifikasi hinpunan terhitung, yang disebut himpunan kandidat, dalam ruang peubah tahap-pertama yang mengandung penyelesaian optimal. Dalam bentuk dasarnya, dilakukan enumerasi lengkap dari himpunan kandidat untuk mencari penyelesaian optimal. Evaluasi suatu elemen dari himpunan menghen- daki penyelesaian subproblema cacah tahap-kedua yang berhubungan dangan semua realisasi yang mungkin dari parameter tak pasti. Jadi, enumerasi ekspli- sit semua elemen, pada umumnya, tak mungkin secara komputasi. Pencarian

’neighborhood’ layak untuk menyelesaikan PSC dua tahap telah dikembangkan oleh Erlinawaty dan Mawengkang (2006) dalam menyelesaikan model opti- misasi portofolio.

Penelitian dalam program stokastik cacah campuran (PSCC) tahap gan- da sebegitu jauh masih agak kurang. Lokketangen dan Woodruff (1993) meng- aplikasikan heuristik dalam mana algoritma lindung nilai (hedging) progresif

digabung dengan pencarian Tabu untuk menyelesaikan PSCC dengan peubah biner. Mawengkang (2002) juga mengajukan heuristik harga ambang yang mengeksploitasi struktur problema dengan adanya nilai ambang resiko (Val- ue at risk) untuk menyelesaikan PSCC dalam optimisasi finansial. Caroe dan Schultz (1999) mengusulkan relaksasi Lagrange untuk dipakai dalam algoritma branch and bound terhadap PSCC tahap ganda. Namun hasil komputasinya terbatas pada problema dua-tahap. Schultz dan Tiedemann (2003) meng- kaji sifat kontinuitas dari fungsi objektif terhadap keputusan tahap pertama dan mengintegrasi ukuran probabilitas untuk selanjutnya mereformulasi PSCC dua-tahap menjadi program bilangan cacah campuran linier apabila sebaran probabilitasnya diskrit dan berhingga. Algoritma Branch and Price diajukan oleh Lulli dan Sen (2003) untuk menyelesaikan problema PSCC tahap ganda yang memiliki struktur khusus. Huang dan Ahmed (2005) ] mengeksploitasi sub-struktur tertentu problema perencanaan kapasitas dan kemudian mengem- bangkan skema pendekatan efisien untuk menyelesaikan problema PSC tahap ganda.

Metode Pendekatan rata-rata sampel (PRS) telah diajukan oleh Ahmed dan Shapiro (2002) untuk menyelesaikan program stokastik dengan recourse cacah. Ide utama dari pendekatan PRS untuk menyelesaikan program sto- kastik adalah sebagai berikut: suatu sampel ξ¹, . . . , ξⁿ dari N realisasi vektor acak ξ(w) dibentuk dan akibatnya ekspektasi fungsi nilai E[Q(x, ξ(w))] diesti- masi oleh fungsi rata-rata sampel N⁻¹PN

n=1Q(x, ξⁿ). Aproksimasi rata-rata sampel yang diperoleh.

minx∈X

( ˆ

g_N(x) = c^Tx + N⁻¹

N

X

n=1

Q(x, ξⁿ) )

dari program stokastik kemudian diselesaikan oleh algoritma optimisasi de-

terministik. Pendekatan ini (dan variasinya) juga dikenal dengan beberapa nama lainnya seperti metode stokastik counterpart (Rubinstein dan Shapiro (1990)) dan metode optimisasi sampel lintasan (Plambeck et al. (1996) . ˆv_N dan ˆx_N, masing-masing menyatakan nilai optimal dan penyelesaian optimal problem PRS; kemudian v^∗ dan x^∗ masing-masing menyatakan nilai optimal dan penyelesaian optimal problem awal

Goyal dan Ierapetritou (2007) mengajukan metode penyelesaian untuk PSCCTL dengan menggunakan pendekatan ”simplicial”. Pendekatan mere- ka ini merupakan gabungan antara pendekatan berbasis simplicial oleh Goyal dan Ierapetritou (2004a, 2004b) dengan PRS. Pada setiap iterasi dari algo- ritma berbasis-simplicial, prosedur PRS diterapkan terhadap semua subpro- blem stokastik linier dan problema stokastik cacah campuran linier. Namum dalam pendekatan ini program stokastik tak linier harus diselesaikan yang juga bergantung pada jumlah skenario.

PROGRAM STOKASTIK

3.1 Model Dasar Program Stokastik

Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program sto- kastik. Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus dalam penelitian ini.

3.1.1 Model Antisipatif

Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak tergantung pada pengamatan masa datang. Perancanaan yang baik harus memperhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.

Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilis- tik. Misalnya, tingkat keandalan α dengan 0 < α ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis dalam bentuk

P {w|fj(x, w) = 0, j = 1, 2, . . . , n} ≥ α

Disini x adalah vector peubah keputusan m dimensi dan f_i : R^m× Ω → R, j = 1, . . . , n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan seperti P {w|f₀(x, w) ≤ γ}, dimana f₀ : R^m× Ω → R ∪ {+∞} dan γ konstanta.

Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.

3.1.2 Model Adaptif

Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua kejadian yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai

min E[f₀(x(w), w)|A]

Kendala E[f j(x(w), w)|A] = 0, j = 1, 2, . . . , n x(w) ∈ X, hampir pasti

(3.1)

Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur.

Persoalan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program deterministik berikut :

min E[f₀(x, ·)|A](w)

Kendala E[f j(x, ·)|A](w) = 0, j = 1, 2, . . . , n x ∈ X

(3.2)

Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.

3.1.3 Model Recourse

Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekursif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofo-

lio ketika harga berubah (adaptasi). Persoalan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai

min f (x) + E[Q(x, w)]

Kendala Ax = b x ∈ R^M₊⁰

(3.3) x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari program tak linier:

min ξ(y, w)

Kendala W (w)y = h(w)T (w)x y ∈ R^M₊¹

(3.4) dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vek- tor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan {T (w), W (w), h(w)|w ∈ Ω} adalah parameter model dengan dimensi tertentu.

Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sum- ber daya untuk persoalan tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vector sumber daya tahap kedua.

Secara umum model recourse dua tahap dapat di formulasikan sebagai min f (x) + E

"

min

y∈R^M1₊

{ξ(y, w)|T (w)x + W (w)y = h(w)}

#

Kendala Ax = b x ∈ R^M₊⁰

(3.5)

Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang eki- valen sehingga mudah terselesaikan.

3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen

Pandang model program stokastik linier berikut min g₀(x, ˜ξ)

s.t. g_i(x, ˜ξ) 6 0, i = 1, . . . , m, x ∈ X ⊂ Rⁿ,







(3.6)

dengan ˜ξ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ R^k. Lebih tepat lagi, diandaikan bahwa keluarga (family) F dari kejadian, yaitu himpunan bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F , peluang P (A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi g_i(x, ·) : Ξ → R ∀x, i merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas.

Namun, problema (3.6) tidak well defined karena pengertian min dan juga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusan x sebelum mengetahui realisasi dari ˜ξ. Karena itu revisi terhadap proses pemo- delan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk (3.6).

3.2.1 Proses Formulasi

Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse, untuk problema (3.6) dilakukan dengan cara berikut. Ambil

g_i⁺(x, ξ) =

 0 jika g_i(x, ξ) 6 0, g_i(x, ξ) selainnya,

Kendala ke i dari (3.6) dilanggar jika dan hanya jika g_i⁺(x, ξ) > 0 untuk suatu keputusan x dan realisasi ξ dari ˜ξ. Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse atau aktivitas tahap-kedua y_i(ξ), setelah mengamati realisasi ξ, dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala - jika ada - dengan memenuhi g_i(x, ξ)−y_i(ξ) 6 0. Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan biaya atau penalti q_i per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse) berjumlah

Q(x, ξ) = min

y

( _m X

i=1

q_iy_i(ξ)|y_i(ξ) > g⁺i (x, ξ), i = 1, · · · , m )

(3.7)

Yang menghasilkan biaya total - tahap pertama dan biaya recourse

f0(x, ξ) = g0(x, ξ) + Q(x, ξ) (3.8)

Selain (3.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ R^n¯, (Y himpunan polyhedral, seperti {y|y ≥ 0}), suatu sembarang fixed m × ¯n matrix W ( matriks recourse ) dan vektor unit biaya q ∈ R^n¯, menghasilkan untuk (3.8) fungsi recourse

Q(x, ξ) = min

y q^Ty|W y > g⁺(x, ξ), y ∈ Y

(3.9)

dengan g⁺(x, ξ) = g⁺₁(x, ξ), · · · , g_m⁺(x, ξ)
T

.

Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, g_i(x, ξ) dapat dipa- hami sebagai perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka g_i⁺(x, ξ) > 0 berarti bahwa terdapat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap perminta- an. Dengan mengandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema (3.7) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema (3.9) dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan dengan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W . Jika dipilih W = I, m × m identitas matriks, (3.7) menjadi kasus khusus dari (3.9).

Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mende- finisikan fungsi recourse terhadap (3.8); misalnya, Q(x, ξ) dapat dipilih sebagai

Q(x, ξ) = minq(y)|Hi(y) > gi⁺(x, ξ), i = 1, · · · , m; y ∈ Y ⊂ R^¯n , (3.10)

Dengan q : R^n¯ → R dan Hi : R^n¯ → R diandaikan diketahui.

Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ekspektasi biaya total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup

memandang formulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap de- ngan recourse

minx∈XEξ˜f₀(x, ˜ξ) = min

x∈XEξ˜

n

g₀(x, ˜ξ) + Q(x, ˜ξ)o

. (3.11)

Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap- ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil dita- hap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K +1 keputusan sequensial x₀, x₁, · · · , x_K(x_τ ∈ R^n¯τ), yang harus diambil pada tahap τ = 0, 1, · · · , K. Ka- ta tahap dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai periode waktu.

Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objectif dari (3.6) deterministik, yaitu, g₀(x, ξ) = g₀(x). Pada tahap τ (τ > 1) diketahui realisasi ξ1, · · · , ξ_τ dari vek- tor acak ˜ξ₁, · · · , ˜ξ_τ dan keputusan sebelumnya x₀, · · · , x_{τ −1}, harus diputuskan terhadap x_τ sehingga kendala (dengan fungsi kendala g_τ)

g_τ(x₀, · · · , x_τ, ξ₁, · · · , ξ_τ 6 0)

dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat x_τ, yang didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan mengandaikan fungsi biaya q_τ(x_τ), pada tahap τ ≥ 1 diperoleh fungsi recourse

Q_τ = (x₀, x₁, . . . , x_{τ −1}, ξ₁, . . . , ξ_τ) = min

xτ

{q_τ(x_τ)|g_τ(x₀, x₁, . . . , x_{τ −1}, ξ₁, . . . , ξ_τ) 6 0}

Yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆx_τ pada waktu τ tergan- tung pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ , yaitu,

ˆ

x_τ = ˆx_τ(x₀, · · · , x_{τ −1}, ξ₁, · · · , ξ_τ), τ > 1

Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap-

ganda

f₀(x₀, ξ₁, · · · , ξ_K) = g₀(x₀) +

K

X

τ =1

Eξ˜1,··· , ˜ξτQ_τ(x₀, ˆx₁, · · · , ˆx_{τ −1}, ξ₁, · · · , ξ_τ) (3.12) menghasilkan deterministik ekivalen untuk problema program stokastik tahap ganda dengan recourse

xmin0∈X

"

g0(x0) +

K

X

τ =1

Eξ˜1,··· , ˜ξτQτ(x0, ˆx1, · · · , ˆxτ −1, ˜ξ1, · · · , ˜ξτ)

#

(3.13) Jelas merupakan generalisasi langsung dari program stochastik dua-tahap de- ngan recourse (3.11).

3.3 Pohon Skenario

Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau wa- laupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil represen- tatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak.

Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data his- toris, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabialitas untuk merefleksikan kemungkinan keja- diannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan ke dalam struktur pohon.

Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak.

Gambar 3.1 memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap

Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh Kt, untuk t = 1, . . . T . Buhul di setiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan kt = 1, . . . , Kt untuk semua t. Dt(k) menyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k.

Misalnya dalam pohon skenario di Gambar 3.1 . D3 (1) memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1 yang merupakan dua buhul paling kiri dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun k dalam tahap T , andaikan P_t^k merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t =^{T 1}, − − − − − − 1, p^k_t diberikan oleh

p^k_t+1= X

1∈Dt+1

p¹_t+1 dengan p₁ = 1

Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk persoalan dimana banyak mengandung faktor acak.

PENENTUAN SKENARIO

4.1 Beberapa Pengertian

Problem keputusan sekuensial tahap ganda muncul dalam berbagai pe- makaian, yaitu keuangan (Carino et.al, 1998), sitem produksi (Boskma et.al, 1977), pembangkit daya (Nowak dan Romisch, 2000) dan banyak lagi. Keti- dak pastian dari data (misalnya, harga, harga permintaan, ketersediaan), bersama-sama dengan perubahan sekuensial data terhadap waktu, mengarah pada model optimisasi dengan ketidakpastian sekuensial. Model demikian dapat mengambil salah satu dari berikut : i) program stokastik tahap gan- da (PSTG), atau ii) program dinamik stokastik (misalnya proses keputusan Markov). Sementara program dinamik stokastik (PDS) dapat merupakan pen- dekatan sesuai untuk situasi tertentu, kebanyakan aplikasi realistik menghen- daki sejumlah besar peubah status yang mana sulit diakumulasi secara efesien oleh PDS. Untuk aplikasi realistik berskala besar dengan banyak peubah status dan kendala, PSTG memberikan alat pemodelan yang cocok. Namun, perkem- bangan yang ada saat ini untuk PSTG adalah keterbatasan komputasinya.

Salah satu prasyarat untuk model PSTG adalah diskritisasi dari proses sto- kastik yang menyajikan perubahan data acak. Walaupun peubah acak yang membentuk proses ini kontinu, PSTG harus terselesaikan secara numerik dan ini menghendaki peubah acak diskrit (nyatanya, peubah ini harus hanya mem- punyai sejumlah hasil yang berhingga); proses diskrit ini dapat disajikan oleh pohon skenario dan ia biasanya suatu diskritisasi dari proses kontinu atau agregasi dari proses diskrit.

Terdapat pendekatan sains dan seni terhadap diskritisasi/agregasi dari proses evolusi data. Sains muncul dalam pendekatan proses evolusi data; seni timbul dari realisasi bahwa diskritisasi rinci mengakibatkan persoalan yang tak mungkin secara numerik, sedangkan diskritisasi kasar mengakibatkan model yang dapat dipertanyakan dengan memperhatikan kejadian penting. Keseim- bangan yang tepat tidaklah mudah. Untuk pendekatan sains terhadap pem- bentukan skenario, dapat diidentifikasi dua pendekatan terkait. Salah satunya didasarkan pada aproksimasi statistik (misalnya penyesuaian moment/target seperti dalam Hoyland dan Wallace, 2001), dan yang lainnya pada teori aproksi- masi (seperti dalam Pflug (2000) dan Growe-Kuska et.al (2000)). Seperti untuk seni pembentukan skenario, timbul cerita dalam komunitas program stokastik, bahwa pohon skenario perlu memperhitungkan kejadian peluang kecil, biaya tinggi (yang kadang-kadang diacu sebagai katastropik). sayangnya petunjuk kualitatif sulit untuk dikuantifikasi dan diimplementasikan.

Dalam praktek, PSTG (misalnya P ) mungkin terlalu besar walaupun diselesaikan dengan memakai algoritma terbaik pada komputer tercepat ja- di pendekatan yang diambil dalam literatur program stokastik menggantikan problem P oleh problema lainnya ˆP , yang diformulasikan dengan menggan- tikan proses stokastik sebenarnya yang mendasari P dengan pendekatan kasar.

Pandangan yang diambil dalam tulisan ini didasarkan pada pendekatan PSTG (yang lebih halus), dinyatakan dengan P oleh barisan aproksimasi P_k, problem keputusan didekati bukan difokuskan secara eksklusif pada pendekatan proses stokastik yang mendasari problema keputusan. Pandangan ini telah dilakukan untuk program linear stokastik (PLS) dua-tahap (misal Fauendorfer dan Kall (1988) serta Edirisinghe dan Ziemba (1996), dan lain-lain). Namun perluasan

dari ide ini untuk program stokastik linier tahap-ganda (PSLTG) belum begitu berhasil. Sementara pendekatan ini membawa pada aproksimasi yang konver- gen secara asimptotik, batas atas menghendaki penyelesaian PSLTG dalam tiap iterasi, jadi mengakibatkan komputasi yang cukup ekstensif ditiap iterasi.

Sepengetahuan penulis, terdapat satu usaha lagi dalam merancang algorit- ma pemulusan berurutan untuk PSLTG, yaitu Edirisinghe (1999). Algoritma ini didasarkan pada pembentukan agregasi kendala non-antisipasi. Walaupun metode ini tidak mengakibatkan penambahan komputasi dari metode yang di- ajukan dalam Fauendorfer (1996), tidaklah jelas bahwa metode memberikan jaminan asimptotik.

Dalam penelitian ini, dikaji suatu algoritma untuk menyelesaikan PSLTG yang menggunakan beberapa alat sama seperti dalam PSL dua-tahap, ja- di tetap mempertahankan kemampuan komputasi. Pada waktu bersamaan pendekatan ini juga memberikan optimalitas asimptotik. Kontribusi lainnya ialah algoritma yang diajukan memberikan realisasi operasional dari penger- tian tentang prolongasi yang pertama kali diajukan oleh Olsen (1976). Dalam penelitian ini, prolongasi tidak hanya memberikan basis untuk hasil konver- gensi, tapi juga memberikan kebijakan opersai untuk memperluas penyele- saian primal dari aproksimasi penyelesaian problem awal. Sementara pro- longasi demikian tidak dapat menghasilkan penyelesaian layak untuk semua skenario yang mungkin, metode ini memberikan kemungkinan pemenuhan ke- layakan. Ini merupakan langkah penting untuk mengimplementasikan penye- lesaian PSLTG yang diperoleh dari aproksimasi problem awal P .

4.2 Langkah awal

PSL merupakan paradigma ampuh untuk pengambilan keputusan de- ngan adanya ketidakpastian. Secara matematika, andaikan terdapat indeks waktu t ∈ {1, . . . , T } dan horizon waktu yang terdiri dari T tahapan. Ketidak- pastian dimodelkan oleh ruang peluang yang difilter

Ξ, S, {F }^T_t=1, P . Ru- ang sampel Ξ didefenisikan sebagai Ξ := Ξ¹× · · · × Ξ^T, dengan Ξ^T ⊂ R^rt, r_tbi- langan bulat positif. Hasilnya adalah ξ := (ξ₁, . . . , ξ_T) ∈ Ξ dan ¯ξ = (ξ₁, . . . , ξ_t).

σ-aljabar S merupakan himpunan kejadian yang diberikan nilai peluang oleh ukuran peluang P dan {F }^T_t=1adalah saringan pada S. Keputusan (recourse) pada tahap t merupakan peubah acak x_t: Ξ → R^nt, dimana n_t bilangan bulat positip. Biaya keputusan diwaktu t merupakan peubah acak c_t : Ξ → R^nt. Untuk semua t ∈ {1, . . . , T } dan semua r ∈ {1, . . . , T } , b_t: Ξ → R^mt dan A_tr adalah matriks berharga riel m_t× n_t.

Model matematika dari PSLTG dapat ditulis sebagai :

x1min,...,xT

c^T₁x₁+ E

T

P

t=2

c^T_t(~ξ_t)x_t(~ξ_t) kendala A11x1 = b1

At1x1+

t

P

r=2

Atrxr(~ξt) = bt(~ξt) x₁ > 0, x_t(~ξ_t) > 0

x_t∈ L²(Ξ¹× · · · × Ξ^T, R^ny) a.s. t = 2, . . . , T

Dalam formulasi ini, dapat berlaku hampiran pasti (a.s). Apabila dikatakan bahwa suatu kebijakan x = (x₁, . . . , x_T) diambil terhadap filtrasi F = {F_t}^T_t=1, diperlihatkan dengan x ∈ F , berarti bahwa setiap x_j bersesuaian terhadap σ-aljabar F_t terkait, yaitu x_t ∈ F_t kebijakan demikian juga dikatakan nonan- tisipatif karena x_t merupakan fungsi dari (ξ₁, . . . , ξ_t) tapi bukan dari vektor acak (ξ_t+1, . . . , ξ_T). PSLTG dapat direformulasi dalam cara demikian sehing-

ga peran yang dimainkan oleh {F }^T_t=1 dimasukkan dalam model

min E

T

P

t=1

Ec^T_t|F_t x_t

kendala









 E

 _t P

r=1

A_trx_t|F_t



= E [b_t|F_t] a.s for t = 1, . . . , T x_t > 0

x = (x₁, . . . , x_T) ∈ F x_t∈ L²(Ξ, R^nt)

(4.1)

Seperti dalam Wright (1994), problema ini dinyatakan sebagai P (F , F ). Pro- blem P (F^d, F^c) memakai 2 filtrasi : argumen pertama (F^d) mengatakan fil- trasi terhadap mana keputusan diambil sedangkan argumen kedua (F^c) men- gatakan filtrasi terhadap kendala persamaan dipakai. Keputusan x diadaptasi terhadap F^d jika x ∈ F^d. Kendala persamaan

t

P

r=1

A_trx_t = b_t dapat dipaksa untuk diadaptasi pada filtrasi F^c dengan menggantikan kedua sisi persama- an oleh ekspektasi bersyarat terhadap F_t^C yaitu E

 _t P

r=1

A_trx_t|F_t^c



= E [b_t|F_t^c].

Dikatakan bahwa filtrasi G = {G_t}^T_t=1 lebih kasar dari pada filtrasi F = {F }^T_t=1 jika G_t⊂ F_t untuk setiap t ∈ {1, . . . , T }.

Andaikan ˆF lebih kasar dari pada F . Problema keputusan P ( ˆF , F ) adalah

min E

T

P

t=1

E h

c^T_t| ˆFt

i xt

kendala













 E

 _t P

r=1

A_trx_t|F_t



= E [b_t|F_t] a.s untuk t = 1, . . . , T x_t > 0

x = (x₁, . . . , x_T) ∈ ˆF x_t ∈ L²(Ξ, R^nt) juga dapat dibentuk problema kendala terpadu P ( ˆF , F ):

min E

T

P

t=1

E h

c^T_t| ˆFt

i xt

kendala









 E

 _t P

r=1

A_trx_t| ˆF_t



= Eh b_t| ˆF_ti

a.s untuk t = 1, . . . , T x_t > 0

x = (x₁, . . . , x_T) ∈ F x_t ∈ L²(Ξ, R^nt)

Problema terpadu penuh P ( ˆF , ˆF ) adalah

min E

T

P

t=1

E h

c^T_t| ˆFt

i xt

kendala













 E

 _t P

r=1

A_trx_t| ˆF_t



= Eh b_t| ˆF_ti

a.s untuk t = 1, . . . , T x_t> 0

x = (x₁, . . . , x_T) ∈ ˆF x_t∈ L²(Ξ, R^nt)

Jika F¹ dan F² dua filtrasi dengan F¹ lebih besar dari pada F², maka kendala dalam P (F , F²) lebih terbatas dari pada yang dalam P (F , F¹). Jadi, dengan memperhatikan nilai P (F , F¹) dan P (F , F²) oleh v(P (F , F¹)) dan v(P (F , F²)), berturut-turut terdapat

V (P (F , F¹)) ≤ v(P (F , F²)) (4.2)

Sekarang pandang suatu PSLTG dimana hanya b_t acak, yaitu program stokastik hanya mempunyai ruas kanan acak, data lainnya deterministik. Ma- ka nilai dari problema terpadu lengkap P ( ˆF , ˆF ) bernilai sama seperti nilai problema kendala terpadu P (F , ˆF ) (Wright, 1994). Ini mengakibatkan bah- wa jika diperhatikan mengoptimalkan PSLTG layak dengan ruas kanan acak pada barisan filtrasi F^{k ∞}

k=1 dengan F_t^k ⊆ F_t^k+1 untuk semua t ∈ (1, . . . , T ) dan andaikan nilai optimal dari P (F^k, F^k) yang dinyatakan dengan v^k, maka v^k adalah barisan naik monoton dari bilangan riel yang terbatas keatas oleh v(P (F , F ))

4.3 Pohon Skenario dan Filtrasi

Apabila semua peubah acak memiliki dukungan berhingga ketidakpas- tian yang ada dalam model tahap ganda dapat disajikan oleh pohon skenario.

Karena algoritma bekerja dengan diskritisasi, dalam bagian ini dikaitkan an- tara pohon skenario (yang dikrit) dan filtrasi, yang berlaku untuk peubah acak

kontinu dan juga diskrit. Pembicaraan dibawah ini dari Rockafellar dan R.J.B Wets (1991).

Suatu pohon scenario T = (N , A) merupakan pohon berakar dimana se- mua daun dengan kedalaman T . Himpunan buhul pada kedalaman t dinyata- kan oleh N^t, jadi himpunan buhul adalah N =S

tN^t. Himpunan acak buhul n dinyatakan oleh C_n^t. Setiap besaran (n, m) memiliki sebaran bersyarat terkait q_mn dari transisi ke m dengan diketahui bahwa n tercapai. Jadi P

m∈Cn

q_nm = 1.

Secara alternatif pohon skenario dapat dideskripsikan dengan memakai filtrasi dimana σ-aljabar menyajikan informasi tersedia untuk pengambil kepu- tusan. Dengan mengandaikan ¯ξ_t mempunyai dukungan berhingga, σ-aljabar F_t = σ( ¯ξ_t) yang dibentuk oleh ¯ξ berhingga dan juga filtrasi {F₁, . . . , F_T}.

Karena F_t berhingga ia dibentuk oleh partisi berhingga B_j^t dari Ξ:

Ξ =

kt

[

i=1

B_i^t dengan B_j^t∩ B_l^t= ∅ untuk j 6= l. (4.3)

Hal yang sama benar untuk Ft+1:

Ξ =

kt+1

[

i=1

B_i^t+1 dengan B_j^t+1∩ B_l^t+1 = ∅ untuk j 6= l. (4.4)

Sifat filtrasi mengakibatkan hubungan antara 2 partisi B_j^t dan B_j^t+1:

∀i, 1 6 i 6 kt, ∃ J_i^t+1⊆ {1, . . . , k_t+1} dengan B_i^t= [

k∈J_i^t+1

B_k^t+1 (4.5)

Perhatikan bahwa apabila dikatakan suatu kebijakan x = {x_t( ¯ξ), t = 1, . . . , T } diambil terhadap filtrasi {F_t}^T_t=1, dimaksud bahwa setiap x_tterukur terhadap σ-aljabar F_t terkait. Ini mengakibatkan :

x is F -adaptasi ⇔ x_t( ¯ξ) = konstan ∀ ¯ξ ∈ B_i^t, ∀i, t

Hubungan antara filtrasi F dan pohon skenario dapat dibuat eksplisit dengan mengidentifikasi komponen B_i^t dari partisi dengan buhul terkait dari pohon skenario. Notasi :

• T = (N , A), pohon skenario merupakan pohon berakar dimana setiap buhul n termasuk dalam tahap t_n, yaitu n ∈ N^tn.

Terdapat :

– n = 1 dengan t₁ = 1 merupakan satu-satunya akar – buhul {n|t_n= T } daun, dan

– lintasan unit dari akar n = 1 kesembarang daun n dengan t_n = T adalah suatu skenario.

• S adalah komponen skenario (lintasan akar ke pohon);

• P_s peluang skenario s ∈ S ;

• S_n himpunan skenario yang melalui buhul n;

• ¯pn= P

s∈Sn

ps peluang mencapai buhul n;

• Hn⊆ N buhul sebelum atau histori dari buhul n;

• Hn pendahulu langsung atau buhul orang tua dari buhul n ∈ N , n ≥ 2;

• F_n,s ⊆ N buhul penerus atau masa datang dari n pada skenario s;

• F_n = ∪_s∈SF_n,s buhul penerus dari n atau masa datang dari n ∈ N ;

• C_n⊆ N buhul penerus langsung dari n atas anak dari n;

• Q_n,m peluang bersyarat mencapai buhul n diketahui bahwa buhul n telah dicapai;

• ¯B_n ⊆ Ξ himpunan skenario yang disajikan oleh buhul n;

• c_n≡ c_tn(ξ) dan A_nm≡ A_tntm(ξ).

Andaikan ˆF filtrasi yang berkaitan dengan pohon T . PSLTG terhadap pohon skenario T adalah problema terpadu penuh P ( ˆF , ˆF ). Problema terpadu penuh ini merupakan program linier dan dapat ditulis sebagai :

min P

n∈N : ¯pn>0

¯ p_nc^T_nx_n P

m∈Hn: ¯pn>0

A_nmx_m+ A_nnx_n= b_n x_n≥ 0∀n : ¯p_n> 0

(4.6)

Dual dari pohon ini

max P

n∈N : ¯pn>0

b^T_nu_n A^T_nnu_n+ P

m∈Fn: ¯pn>0

A^T_mnu_n≤ ¯p_nc_n ∀n : ¯p_n> 0 (4.7) Dengan menggantikan peubah dual u_n dengan ¯p_nu_n dan membagi kendala ke n dengan ¯p_n diperoleh problem dual berikut :

max P

n∈N : ¯pn>0

¯ p_nb^T_nπ_n A^T_nnπ_n+ P

m∈Fn: ¯pn>0

q_n,mA^T_mnπ_n≤ c_n ∀n : ¯p_n> 0 (4.8)

Penyelesaian optimal dinyatakan sebagai ˆx_n dan ˆπ_n. Versi berskala dari dual memiliki interprestasi probabilistik. Dalam bentuk ini, vektor dual ˆπ_n menyajikan nilai marjinal bersyarat dari sumber daya (dipersyaratkan pada pertibaan dibuhul n). Kendala kelayakan dual menyerupai kondisi optimalitas program dinamis yang menghendaki bahwa nilai marjinal dari sumber daya dibuhul n ditambah nilai lebih untuk masa datang tidak melampaui harga c_n, di buhul n.

4.4 Degenerate Subfiltrasi

Terdapat korespondensi 1-1 antara filtrasi berhingga dan pohon skena- rio. Degenerate subfiltrasi ˆF didefenisikan hanya menyatakan bahwa ˆF_t =

{Ξ, ∅}. Pohon skenario terkait disekitar pohon degenerate; ia hanya terdiri dari satu skenario (gambar 4.1 ) Jika dipartisi Ξ^t tertentu menjadi dua him-

Gambar 4.1 Pohon degenerate

punan bagian Ξ^t₁ dan Ξ^t₂, maka pohon baru diperoleh seperti dalam gambar 4.2 . Kedua buhul dalam tahap t menyajikan dua himpunan bagian. Filtrasi baru

Gambar 4.2 Partisi Pertama

dinyatakan dengan F . Filtrasi ini adalah sedemikian hinggaˆˆ F = ˆˆˆ F untuk τ < t dan ˆˆF_t = σ Ξ¹× · · · × Ξ^t₁× · · · × Ξ^T, Ξ¹× · · · × Ξ^t₂× · · · × Ξ^T, ∅
untuk s ≥ t.

4.5 Prosedur Pemutahiran Pohon

Prosedur pemutahiran pohon disini merupakan suatu metode sistematis untuk membentuk barisan subfiltrasi yang setiapnya lebih mulus dari pada sebelumnya. Diketahui suatu pohon T , metode ini akan memberikan suatu pohon skenario baru T⁺. Prosedur mengandaikan bahwa suatu buhul n telah teridentifikasi dari lintasan sampel yang diberikan pada buhul ini akan dipartisi menjadi dua himpunan bagian untuk menghasilkan diskritisasi lebih mulus.

Prosedur :