PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION DALAM STRATEGI DOMINAN LINA YASMINA MAHBUBAH

(1)

PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION

DALAM STRATEGI DOMINAN

LINA YASMINA MAHBUBAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penerapan Socially

Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan adalah sebenarnya karya saya

dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2013

Lina Yasmina Mahbubah

(4)

ABSTRAK

LINA YASMINA MAHBUBAH. Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan. Dibimbing oleh SISWANDI dan RETNO BUDIARTI.

Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah membuat keputusan. Alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan satu sama lain saat pengambilan keputusan. Hubungan yang mungkin terbentuk saat membandingkan dua alternatif yaitu hubungan preference dan indifference.

Socially optimal choice function (SOCF) ialah analisis yang menggabungkan

beberapa preferensi atau kepentingan individu untuk mendapatkan keputusan kolektif. Tujuan karya ilmiah ini ialah menerapkan SOCF dalam strategi dominan. Ada sekumpulan n mahasiswa yang melamar beasiswa. Setiap mahasiswa memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu beasiswa per mahasiswa, sehingga jumlah pelamar beasiswa, pembimbing dan beasiswa sama. Urutan peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari seluruh pembimbing. True ranking sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh pembimbing. Preferensi pembimbing dipengaruhi oleh true ranking. Hasil SOCF yang optimal ialah beasiswa yang diterima sesuai dengan true ranking. Telah dibuktikan jika n =3 maka SOCF tidak dapat diimplemetasikan dalam strategi dominan.

Kata kunci: preferensi, SOCF, strategi dominan, true ranking

ABSTRACT

LINA YASMINA MAHBUBAH. Application of Socially Optimal Choice Function in Dominant Strategies. Supervised by SISWANDI and RETNO BUDIARTI.

Unavoidable problems by any person are making a decision. There are alternative option that can be compared one to the others in making a decision. Relationship that may be established when comparing two alternatives is namely preference and indifference relations. Socially optimal choice function (SOCF) is analysis to combine some individual preferences or interests to get a collective decision. The purpose of this manuscript is to apply the SOCF in dominant strategies. Supposed n students apply for scholarship. Each student has different supervisors and there is one scholarship per student. So the number of applicants, supervisors and scholarships is similiar. The ranking of students will be determined by a jury consist of all supervisors. True ranking of students has been determined by all supervisors. Supervisors’s preference is influenced by true ranking. The outcome of SOCF is the accepted scholarship appropriate by true ranking. It has been proven that if n = 3 then the SOCF cannot be implemented in dominant strategies.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENERAPAN SOCIALLY OPTIMAL CHOICE FUNCTION

DALAM STRATEGI DOMINAN

LINA YASMINA MAHBUBAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

(6)

(7)

Judul Skripsi : Penerapan Socially Optimal Choice Function dalam Strategi Dominan

Nama : Lina Yasmina Mahbubah

NIM : G54070035 Disetujui oleh Drs Siswandi, MSi Pembimbing I Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II Diketahui oleh

Dr Dra Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Keluargaku tersayang : Bapak dan Mamah (terima kasih atas kasih sayang, kesabaran, kepercayaan, dukungan dan doa yang tiada henti-hentinya), kakakku Mba Sovi dan Mas Fauzi (terima kasih atas kasih sayang, motivasi, dukungan serta doanya) dan adik-adikku Husna, Maya dan Nabila (terima kasih atas motivasi, dukungan dan doanya).

2. Drs Siswandi, MSi dan Ir Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan bantuan selama penulisan karya ilmiah ini).

3. Teduh Wulandari Masoed, MSi selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi dan sarannya).

4. Hari Agung, MSi selaku dosen Departemen Ilmu Komputer (terima kasih atas ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, bantuan dan sarannya). 5. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu

yang telah diberikan).

6. Seluruh staf Departemen Matematika (terima kasih atas motivasi dan bantuannya).

7. Teman-teman Matematika angkatan 44 (terima kasih atas semangat, motivasi dan kebersamaannya).

8. Teman-teman seperjuangan : Jubed, Rodiah, Dian, Aslimah, Yulinda, Nohi, Mb Sri, Age, Kokom, Destia, Aini, Pita, Endang, Mb Eva, Dewi, Ovi, Ita, Siska, Devina (terima kasih atas semangat, motivasi, dukungan, inspirasi dan kebersamaannya).

9. Adik-adik kelasku : Tika, Orin, Indah, Ifah, Fathia, Nada, Fikri, Tudrika, Opi, Afifah, Maryam, Biti dan Yuyun (terima kasih atas semangat, dukungan dan kebersamaannya)

Penulis menyadari bahwa penulisan karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan, oleh karena itu dibutuhkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.

Bogor, Agustus 2013

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 LANDASAN TEORI 2 PEMBAHASAN 5

Implementasi dalam Strategi Dominan 7

SIMPULAN 11

Simpulan 11

DAFTAR PUSTAKA 11

LAMPIRAN 12

(10)

DAFTAR TABEL

1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan

N={a,b,c} 6

2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan

N={a,b,c} 8

3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan

N={a,b,c} 8

4 Bagian yang relevan dari mekanisme 𝛤_𝐷 9

DAFTAR LAMPIRAN

1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan

N={a,b,c,d} 12

2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan

N={a,b,c,d} 16

3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan

N={a,b,c,d} 20

4 Fungsi preferensi bagi agen d yang moderately selfish dengan

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Permasalahan yang tidak mungkin dihindari oleh setiap orang adalah membuat keputusan, diantaranya adalah membuat keputusan untuk memilih sekolah, mencari pekerjaan, membeli barang, memilih pakaian dan lain-lain. Dalam pengambilan keputusan, alternatif pilihan yang ada dapat dibandingkan satu sama lain. Hubungan yang mungkin terbentuk saat membandingkan dua alternatif yaitu hubungan preference dan indifference. Dua alternatif disebut memiliki hubungan preference jika salah satu dari dua alternatif tersebut memiliki nilai yang lebih dari alternatif lainnya. Alternatif pilihan disebut indifference jika dua alternatif tersebut setara atau sama dengan alasan tertentu.

Socially optimal choice function merupakan analisis yang menggabungkan

beberapa preferensi individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk mendapatkan keputusan kolektif. Beberapa agen memutuskan masalah kepentingan kolektif. Agen merupakan sekumpulan orang atau berupa organisasi yang membuat pilihan diantara satu atau beberapa objek. Objek dalam social

choice function disebut alternatif dan kumpulan alternatif diasumsikan sebagai

himpunan. Permasalahan social choice muncul ketika sekumpulan agen diminta memilih satu pilihan dari himpunan alternatif.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstuksi dari karya ilmiah Amoros et al. (2002) yang berjudul “The Scholarship Assignment Problem”. Karya ilmiah ini membahas sistem penetapan urutan beasiswa. Penetapan urutan beasiswa memiliki tujuan sosial. Tujuan sosial yang digunakan adalah untuk menetapkan beasiswa pertama diberikan kepada mahasiswa terbaik pertama, beasiswa terbaik kedua kepada mahasiswa terbaik kedua dan seterusnya. Asumsi yang digunakan adalah setiap mahasiswa memiliki pembimbing yang berbeda dan ada satu beasiswa per mahasiswa, sehingga jumlah mahasiswa, pembimbing dan beasiswa sama. Urutan peringkat beasiswa akan ditetapkan oleh juri yang terdiri dari seluruh pembimbing. Hasil urutan peringkat penerima beasiswa (true ranking) sudah ditentukan dan diketahui oleh seluruh pembimbing. Preferensi pembimbing dipengaruhi oleh true ranking.

Karya ilmiah ini mencoba membuat prosedur agar beasiswa yang diterima sesuai dengan true ranking meskipun pembimbing mendahulukan mahasiwa yang lebih disukai untuk mendapatkan beasiswa terbaik. Karya ilmiah ini ini fokus pada masalah implementasi khusus dengan karakteristik sebagai berikut :

1. Himpunan alternatif adalah himpunan suluruh kemugkinan peringkat (permutasi) yang diberikan oleh kumpulan agen. Setiap peringkat diartikan sebagai penyerahan beasiswa.

2. Aturan pilihan sosial adalah hasil pemetaan himpunan peringkat/ranking. Dalam hal ini disebut aturan fungsi pilihan sosial yang optimal/ socially

optimal choice function (SOCF).

3. True ranking diamati oleh semua penentu. Himpunan semua penentu disebut dengan himpunan agen.

(12)

2

(1) Setiap pembimbing ingin perwakilan mahasiswanya mendapatkan beasiswa yang paling baik.

(2) Setiap pembimbing menginginkan sisa beasiswa lainnya diberikan sesuai dengan true ranking.

Mekanisme yang digunakan untuk penerapan SOCF yaitu mekanisme dalam strategi dominan.

Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah menerapkan socially optimal

choice function dalam strategi dominan.

LANDASAN TEORI

Dalam menyelesaikan karya ilmiah ini digunakan beberapa definisi sebagai berikut.

Definisi 1(Himpunan Ganda Cartesian)

Misalkan 𝑋 himpunan sembarang. Himpunan ganda Cartesian pada 𝑋 didefinisikan sebagai 𝑋 × 𝑋= { 𝑥, 𝑦 : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋}.

(Kurtz 1992) Definisi 2 (Relasi)

Misalkan 𝑋 himpunan sembarang. Relasi 𝑅 pada 𝑋 didefinisikan sebagai himpunan bagian dari himpunan ganda Cartesian 𝑋 × 𝑋 , ditulis 𝑅 ⊆ 𝑋 × 𝑋.

(Kurtz 1992) Definisi 3 (Relasi preferensi)

Misalkan 𝑋 himpunan sembarang. Relasi 𝑅 ∶ 𝑋 → 𝑋 , didefinisikan strict

preference merupakan sebuah relasi ≻ ∶ 𝑥 ≻ 𝑦 ↔ 𝑥 ≽ 𝑦 bukan 𝑦 ≽ 𝑥. Relasi ≽

memenuhi tiga kondisi :

 Complete : ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, jika 𝑥 ≽ 𝑦 atau 𝑦 ≽ 𝑥 atau keduanya,  Transitive : ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, jika 𝑥 ≽ 𝑦 dan 𝑦 ≽ 𝑧 maka 𝑥 ≽ 𝑧,  Reflexive : ∀𝑥 ∈ 𝑋, x ≽ x.

(Crosetto 2009) Definisi 4 (Preferensi agen yang selfish)

Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar beasiswa, Π merupakan himpunan seluruh kemungkinan peringkat mahasiswa di

N, 𝜋 ∈ Π dan 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝛲_𝑖𝜋 merupakan posisi mahasiswa i dalam peringkat 𝜋. Misalkan ℜ menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas 𝛱 yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive.

(13)

3 Sebuah fungsi preferensi dari agen i yaitu, ≽_i : Π → ℜ dengan agen bersikap

selfish jika ∀π_t∈ Π dan ∀π, 𝜋 ∈ 𝛱 dengan 𝛲_𝑖𝜋 < 𝛲_𝑖𝜋 maka 𝜋 ≻_𝑖𝜋𝑡 𝜋 .

(Amoros et.al 2002) Definisi 5 (Preferensi agen yang unprejudiced)

Sebuah fungsi preferensi dari agen i, yaitu ≽_i : Π → ℜ. Suatu agen didefinisikan bersikap unprejudiced dengan agen lain jika ∀𝜋_𝑡∈ 𝛱, dan ∀𝜋, 𝜋 ∈ 𝛱, memenuhi tiga kondisi berikut :

(1) 𝜋 ≠ 𝜋 , (2) 𝑖 ∈ 𝑁 𝜋, 𝜋 = 𝑖 ∈ 𝑁 ∶ 𝛲_𝑖𝜋 _{= 𝛲} 𝑖𝜋 , (3) ∀𝑗, 𝑘 ∉ 𝑁 𝜋, 𝜋 , jika 𝛲_𝑗𝜋𝑡 < 𝛲_𝑘𝜋𝑡 maka 𝛲_𝑗𝜋 < 𝛲_𝑘𝜋, sehingga 𝜋 ≻_𝑖𝜋𝑡 _𝜋_. (Amoros et.al 2002) Definisi 6 (Total linear order)

Misalkan himpunan individu, 𝑀 = 1, … , 𝑚 . Setiap individu memiliki total

linear preorder di himpunan alternatif yang feasible, 𝐴 = {1, … , 𝑝} sehingga

individu tesebut dapat menentukan pilihan mereka. Himpunan linear preorder 𝐴 dinotasikan sebagai 𝐿 𝐴 . Sebuah total linear preorder untuk agen i, ≻𝑖∈ 𝐿(𝐴)

merupakan antisymmetric, transitive dan total, yaitu ∀𝑖 ∈ 𝑀: , ≻𝑖 memenuhi :

(1) antisymmetric : ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ∶ jika 𝑎 ≻_𝑖 𝑏 dan 𝑏 ≻_𝑖 𝑎 maka 𝑎 = 𝑏, (2) transitive : ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴: jika 𝑎 ≻_𝑖 𝑏 dan 𝑏 ≻_𝑖 𝑐 maka 𝑎 ≻_𝑖 𝑐 , (3) total : ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 ≻_𝑖 𝑏 atau 𝑏 ≻_𝑖 𝑎.

(Lindeneg 2001) Definisi 7 (Preference profil)

Sebuah preference profil ≻₁, … , ≻_𝑚 yaitu pemetaan dari 𝑀 ke 𝐿(𝐴)𝑀. (Lindeneg 2001) Definisi 8 (Social welfare function)

Social welfare function adalah sebuah pemetaan 𝑤 ∶ 𝐿(𝐴)𝑀 ↷ 𝐿(𝐴) dengan

𝑤 ≻1, … , ≻𝑚 = ≻𝑠𝑤𝑓∈ 𝐿(𝐴) merupakan kumpulan preferensi ke dalam total linear preorder 𝐴.

(Lindeneg 2001) Definisi 9 (Social choice function)

Social choice function merupakan analisis yang menggabungkan preferensi

individu dan kepentingan atau kesejahteraan untuk mendapatkan keputusan kolektif. Misalkan 𝑋 suatu himpunan, 𝑥 ∈ 𝑋, sebuah social choice function adalah aturan 𝑓 ∶ 𝐿(𝑋)𝑀 ↷ 𝑋 yang memetakan elemen 𝑓 ≻₁, … , ≻_𝑚 ∈ 𝑋 ke beberapa preferensi individu dalam 𝐿(𝑋)𝑀_.

(14)

4

Definisi 10 (Mekanisme)

Sebuah mekanisme Γ merupakan pasangan berurut 𝑆, 𝑔 , dengan 𝑆 = ×𝑖𝜖𝑁 𝑆𝑖 adalah rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i, dan 𝑔 ∶ 𝑆 ⟶ 𝛱

adalah fungsi hasil.

(Amoros et.al 2002) Definisi 11 (Strategi Dominan)

Strategi dominan adalah sebuah strategi terbaik yang terlepas dari strategi yang dipilih orang lain.

(Salvatore 2006) Definisi 12 (State of the world)

Misalkan Ϝ_𝑚𝑠 menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately

selfish. Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan ≽∈ Ϝ_{𝑚𝑠 .}𝑛 State of the world adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati

oleh seluruh agen, dinotasikan (≽, 𝜋_𝑡) ∈ Ϝ_𝑚𝑠𝑛 × 𝛱. Misalkan 𝜉_𝑚𝑠 adalah kelas dari state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat beberapa state of the world (≽, 𝜋_𝑡) ∈ 𝜉_𝑚𝑠 sehingga ≽𝜋𝑡_{sesuai dengan relasi} preferensi.

(Amoros et.al 2002) Definisi 13 (Implementasi SOCF dalam strategi dominan)

Sebuah mekanisme 𝛤 dan sebuah state of the world ≽, 𝜋_𝑡 ∈ 𝜉_𝑚𝑠, dengan 𝐷 𝛤, ≽𝜋𝑡 menunjukkan himpunan strategi dominan yang mengimplementasikan SOCF dari 𝛤 ≽, 𝜋_𝑡 .

(Amoros et.al 2002) Definisi 14 (Mekanisme yang memenuhi kesetimbangan strategi dominan)

Misalkan 𝛤 = 𝑆, 𝑔 merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa 𝑠 ∈ 𝑆 merupakan kesetimbangan strategi dominan dari 𝛤 yang memenuhi state of

the world ≽, 𝜋_𝑡 ∈ 𝜉_𝑚𝑠 jika ∀𝑖 ∈ 𝑁, 𝑠 _𝑖 ∈ 𝑆_𝑖 dan 𝑠_−𝑖 ∈ 𝑆_−𝑖 maka 𝑔(𝑠𝑖, 𝑠 −𝑖) ≽_𝑖𝜋𝑡 𝑔(𝑠 𝑖, 𝑠 −𝑖).

(15)

5

PEMBAHASAN

Misalkan N merupakan himpunan dari n mahasiswa yang melamar beasiswa. Alternatif sosial 𝜋 merupakan peringkat penerima beasiswa dari unsur N , Misalkan Π merupakan himpunan semua kemungkinan peringkat penerima beasiswa dalam N. Untuk semua 𝜋 ∈ Π dan 𝑖 ∈ 𝑁, didefinisikan 𝛲_𝑖𝜋 sebagai posisi siswa 𝑖 dalam peringkat 𝜋.

Setiap siswa 𝑖 ∈ 𝑁 memiliki pembimbing yang berbeda. Peringkat beasiswa diputuskan oleh kumpulan pembimbing mahasiswa. Agen 𝑖 menunjukkan mahasiswa 𝑖 dan pembimbingnya. Asumsi yang digunakan bahwa terdapat true ranking mahasiswa, 𝜋_𝑡 ∈ 𝛱 , yang diketahui oleh semua agen. Alternatif sosial yang optimal adalah pemberian beasiswa kepada mahasiswa diterima sesuai dengan true ranking. Untuk mendapatkan penerimaan beasiswa dengan socially optimal choice function (SOCF), keputusan tersebut dibuat oleh agen.

Sebuah mekanisme 𝛤 merupakan pasangan berurut 𝑆, 𝑔 , dengan 𝑆 = ×_𝑖𝜖𝑁 𝑆_𝑖 adalah daftar rekomendasi urutan penerima beasiswa dari agen i (untuk tiap agen merekomendasikan satu), dan 𝑔 ∶ 𝑆 ⟶ 𝛱 adalah fungsi hasil. Daftar rekomendasi dinyatakan dengan 𝑠 ∈ 𝑆. Untuk semua agen 𝑖 ∈ 𝑁 dan semua daftar rekomendasi 𝑠 ∈ 𝑆 , misalkan 𝑠_𝑖 menyatakan rekomendasi dari agen 𝑖 dan

𝑠_−𝑖 ∈ 𝑆_−𝑖 =×_{𝑗 ∈𝑁\{𝑖}}𝑆_𝑗merupakan semua rekomendasi dari agen selain agen 𝑖.

Misalkan ℜ menyatakan kelas dari relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas 𝛱 yang memenuhi sifat complete, transitive dan reflexive. Setiap agen 𝑖 ∈ 𝑁 mempunyai fungsi preferensi ≽_𝑖 : 𝛱 → ℜ, yang masing-masing berhubungan dengan true ranking 𝜋𝑡 ∈ 𝛱. Relasi preferensi ≽_𝑖𝜋𝑡∈ ℜ, dengan

≻_𝑖𝜋𝑡_{menyatakan relasi strict preferensi yang berkaitan dengan}_≽

𝑖

𝜋𝑡 _{. Sebagai} contoh misalkan 𝑁 = 𝑎, 𝑏 maka 𝛱 = 𝑎, 𝑏 , 𝑏, 𝑎 . Sebuah fungsi relasi yang mungkin untuk agen a adalah 𝑎, 𝑏 ≻_𝑎𝜋𝑡_{𝑏, 𝑎 jika 𝜋}

𝑡 = 𝑎, 𝑏 dan

𝑏, 𝑎 ≻_𝑎𝜋𝑡 _{𝑎, 𝑏 jika 𝜋}

𝑡 = 𝑏, 𝑎 .

Ada dua asumsi yang digunakan untuk fungsi preferensi bagi agen. Asumsi pertama bahwa agen bersikap selfish dalam penetapan urutan beasiswa, yaitu ketika membandingkan dua hasil urutan penerimaan beasiswa, tiap agen memilih salah satu, sehingga agen tersebut berada dalam posisi lebih baik. Oleh karena itu, didefinisikan agen i mempunyai fungsi preferensi, ≽𝑖 : 𝛱 → ℜ dengan agen

bersikap selfish jika ∀𝜋_𝑡 ∈ 𝛱 dan ∀𝜋, 𝜋 ∈ 𝛱dengan 𝛲_𝑖𝜋 _{< 𝛲}

𝑖𝜋 , maka 𝜋 ≻𝑖 𝜋𝑡 _𝜋. Asumsi kedua, jika diberikan posisi yang sudah ditentukan untuk suatu agen, seluruh agen harus dibuat sedekat mungkin dengan true ranking, yaitu dengan mendefinisikan 𝑁 𝜋, 𝜋 = 𝑖 ∈ 𝑁 ∶ 𝛲_𝑖𝜋 = 𝛲_𝑖𝜋 . 𝑁 𝜋, 𝜋 adalah himpunan agen yang mendapat posisi yang sama dalam peringkat 𝜋 dan 𝜋 . Misalkan agen i mempunyai fungsi preferensi, ≽_𝑖: 𝛱 → ℜ dan didefinisikan agen bersikap

unprejudiced dengan agen lain, jika ∀𝜋_𝑡 ∈ 𝛱, dan ∀𝜋, 𝜋 ∈ 𝛱 , memenuhi tiga

kondisi berikut : 1. 𝜋 ≠ 𝜋 ,

2. 𝑖 ∈ 𝑁 𝜋, 𝜋 = 𝑖 ∈ 𝑁 ∶ 𝛲_𝑖𝜋 = 𝛲_𝑖𝜋 ,

(16)

6

sehingga 𝜋 ≻_𝑖𝜋𝑡 _𝜋_.

Fungsi preferensi bersifat moderately selfish ketika memenuhi dua asumsi di atas yaitu preferensi yang selfish dan unprejudiced. Untuk memperjelas akan diberikan contoh.

Contoh 1 : Misalkan 𝑁 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Himpunan peringkat yang mungkin adalah sebagai berikut :

Andaikan fungsi preferensi agen d adalah ≽_𝑑: 𝛱 → ℜ merupakan moderately

selfish, lebih lengkap dapat dilihat pada tabel di Lampiran 4. Agen d bersikap selfish ditunjukkan dengan 𝑐, 𝑑, 𝑏, 𝑎 ≻_𝑑𝜋𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑐 , pada Lampiran 4 kolom

kedua (𝜋_𝑡 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) ) baris kedua belas 𝑐, 𝑑, 𝑏, 𝑎 dan baris ketiga belas 𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑐 . Begitu pula untuk baris pertama 𝑑, 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan baris kedua 𝑑, 𝑎, 𝑐, 𝑏 memenuhi kondisi selfish. Dapat diperhatikan juga untuk kolom- kolom lain dengan 𝜋𝑡 yang berbeda.

Agen d juga memiliki preferensi yang unprejudiced. Misalkan 𝜋_𝑡 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), 𝜋 = 𝑏, 𝑑, 𝑐, 𝑎 dan 𝜋 = 𝑐, 𝑑, 𝑏, 𝑎 . Agen d memenuhi tiga kondisi preferensi yang unprejudiced. Pertama 𝜋 ≠ 𝜋 , kedua ada 𝑖 ∈ 𝑁 𝜋, 𝜋 = 𝑖 ∈ 𝑁 ∶ 𝛲_𝑖𝜋 _{= 𝛲}

𝑖𝜋 yaitu 𝑁 𝜋, 𝜋 = {𝑎, 𝑑} dan ketiga ∀𝑏, 𝑐 ∉ 𝑁 𝜋, 𝜋 , jika

𝛲_𝑏𝜋𝑡 _{< 𝛲}

𝑐𝜋𝑡 maka 𝛲𝑏𝜋 < 𝛲𝑐𝜋, memenuhi 𝜋 ≻𝑑𝜋𝑡 𝜋 . Posisi b < c dalam 𝜋𝑡 dan 𝜋

sehingga 𝑏, 𝑑, 𝑐, 𝑎 ≻_𝑑𝜋𝑡 _{(𝑐, 𝑑, 𝑏, 𝑎). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak} cukup kuat menetapkan 𝑐, 𝑑, 𝑎, 𝑏 ≻_𝑑𝜋𝑡 _{(𝑏, 𝑑, 𝑐, 𝑎) atau 𝑏, 𝑑, 𝑐, 𝑎 ≻}

𝑑

𝜋𝑡 _{(𝑐, 𝑑, 𝑎, 𝑏)} karena urutan posisi 𝑎 dan 𝑑 berbeda. Fungsi preferensi bagi agen a, b dan c yang

moderately selfish dengan N={a,b,c,d} dapat dilihat pada Lampiran 1, Lampiran

2 dan Lampiran 3.

Moderate selfishness merupakan pembatas yang jelas pada domain/daerah

fungsi preferensi yang dapat diterima. Untuk kasus tiga agen terdapat fungsi preferensi yang unik bagi tiap agen yang memenuhi kondisi ini.

Contoh 2 : Misalkan N = {a,b,c}. Himpunan urutan peringkat yang mungkin adalah Π= {(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)}. Tabel 1 menunjukkan fungsi preferensi terhadap agen a yang bersifat moderate selfishness. Tiap kolom menggambarkan strict preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang berbeda.

Tabel 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c}

≽_𝑎(𝑎,𝑏,𝑐) ≽_𝑎(𝑏,𝑎,𝑐) ≽_𝑎(𝑏,𝑐,𝑎) ≽_𝑎(𝑎,𝑐,𝑏) ≽_𝑎(𝑐,𝑎,𝑏) ≽_𝑎(𝑐,𝑏,𝑎)

(a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b)

(a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c)

(b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b)

(c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c)

(b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a)

(c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a)

Π = {(a,b,c,d), (a,b,d,c), (a,c,b,d), (a,c,d,b), (a,d,b,c), (a,d,c,b), (b,c,d,a),

(b,c,a,d), (b,d,a,c), (b,d,c,a), (b,a,d,c), (b,a,c,d), (c,d,a,b), (c,d,b,a), (c,a,b,d), (c,a,d,b), (c,b,a,d), (c,b,d,a), (d,a,b,c), (d,a,c,b), (d,b,a,c), (d,b,c,a), (d,c,a,b), (d,c,b,a)}.

(17)

7 Dapat dilihat Tabel 1, untuk kolom pertama (𝜋_𝑡 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)), baris pertama dan kedua (a,b,c) dan (a,c,b), agen a memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish akibatnya 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≻_𝑎𝜋𝑡 _{𝑎, 𝑐, 𝑏 . Begitu pula di baris} ketiga dan keempat, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish yaitu 𝑏, 𝑎, 𝑐 ≻_𝑎𝜋𝑡 _{𝑐, 𝑎, 𝑏 . Selanjutnya baris} kelima dan keenam, agen a juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish akibatnya 𝑏, 𝑐, 𝑎 ≻_𝑎𝜋𝑡 _{(𝑐, 𝑏, 𝑎) . Begitupun} seterusnya untuk kolom kedua dan ketiga.

Untuk kolom keempat (𝜋_𝑡 = (𝑎, 𝑐, 𝑏)), baris pertama dan kedua (a,c,b) dan (a,b,c) agen a selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish akibatnya 𝑎, 𝑐, 𝑏 ≻_𝑎𝜋𝑡 _{𝑎, 𝑏, 𝑐 . Begitu pula di baris ketiga dan keempat, agen a} juga memenuhi kondisi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately

selfish yaitu 𝑐, 𝑎, 𝑏 ≻_𝑎𝜋𝑡 𝑏, 𝑎, 𝑐 . Selanjutnya baris kelima dan keenam, agen a

juga memenuhi selfish dan unprejudiced sehingga memenuhi moderately selfish yaitu 𝑐, 𝑏, 𝑎 ≻_𝑎𝜋𝑡 _{(𝑏, 𝑐, 𝑎). Akan tetapi, kondisi moderately selfish tidak cukup} kuat untuk menetapkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≻_𝑎𝜋𝑡 _{𝑐, 𝑎, 𝑏 atau 𝑏, 𝑎, 𝑐 ≻}

𝑎

𝜋𝑡 _{𝑐, 𝑏, 𝑎 karena} posisi a dan b berbeda.

Misalkan Ϝ𝑚𝑠 menunjukkan kelas fungsi preferensi yang moderately selfish.

Profil dalam fungsi preferensi dinotasikan dengan ≽∈ Ϝ_{𝑚𝑠 .}𝑛 State of the world

adalah daftar fungsi-fungsi preferensi dan urutan true ranking yang diamati oleh seluruh agen, dinotasikan (≽, 𝜋_𝑡) ∈ Ϝ_𝑚𝑠𝑛 × 𝛱. Misalkan 𝜉_𝑚𝑠 adalah kelas dari

state of the world. Profil relasi preferensi dapat diterima, jika terdapat beberapa state of the world (≽, 𝜋_𝑡) ∈ 𝜉_𝑚𝑠 sehingga ≽𝜋𝑡_{sesuai dengan relasi preferensi.} Selanjutnya himpunan profil relasi preferensi yang dapat diterima dinotasikan dengan R.

Jika diberikan state of the world dan mekanisme maka agen-agen harus membuat keputusan tentang rekomendasi urutan penerima beasiswa. Hal ini mengikuti standar prosedur teori implementasi melalui konsep kesetimbangan dalam teori game. Contoh 1 dan contoh 2 di atas mengikuti konsep tersebut.

Pada karya ilmiah ini kesetimbangan strategi dominan yang akan dibahas. Misalkan 𝛤 = 𝑆, 𝑔 merupakan sebuah mekanisme. Dikatakan bahwa 𝑠 ∈ 𝑆 merupakan kesetimbangan strategi dominan dari 𝛤 yang memenuhi state of the

world ≽, 𝜋_𝑡 ∈ 𝜉_𝑚𝑠 jika ∀𝑖 ∈ 𝑁, 𝑠 _𝑖 ∈ 𝑆_𝑖 dan 𝑠 _−𝑖 ∈ 𝑆_−𝑖 maka 𝑔(𝑠_𝑖, 𝑠 _−𝑖) ≽_𝑖𝜋𝑡 _𝑔(𝑠

𝑖, 𝑠 −𝑖) . Selanjutnya kesetimbangan tersebut dilambangkan

dengan 𝐷 𝛤, ≽𝜋𝑡 .

Selanjutnya untuk mengimplementasikan SOCF dinotasikan fungsi 𝛷 ∶ 𝜉_𝑚𝑠 → 𝛱 yang menghubungkan state of the world dari penerima beasiswa sesuai dengan true ranking, yaitu ∀(≽, 𝜋_𝑡 ) ∈ 𝜉_𝑚𝑠 berlaku 𝛷 ≽, 𝜋_𝑡 = 𝜋_𝑡 . Sebuah mekanisme 𝛤 = 𝑆, 𝑔 mengimplementasikan SOCF pada kesetimbangan strategi dominan yaitu jika ∀ ≽, 𝜋_𝑡 ∈ 𝜉_𝑚𝑠 maka 𝑔 𝐷 𝛤, ≽𝜋𝑡 = 𝜋

𝑡 .

Implementasi dalam Strategi Dominan

Implementasi dalam strategi dominan diasumsikan dengan n ≥ 3. Seperti yang telah dibahas sebelumnya bahwa moderate selfishness merupakan pembatas yang jelas dalam domain preferensi. Dalam contoh 2, ketika tidak ada pembatas daerah maka terdapat 6! = 720 relasi preferensi yang berbeda-beda atas Π, hanya

(18)

8

dua dari keseluruhan kemungkinan relasi preferensi, yang sesuai dengan kondisi

moderate selfishness untuk agen a yaitu ≽_𝑎 𝑎,𝑏,𝑐 = ≽_𝑎 𝑏,𝑎,𝑐 = ≽_𝑎 𝑏,𝑐,𝑎 dan

≽_𝑎 𝑎,𝑐,𝑏 = ≽_𝑎 𝑐,𝑎,𝑏 = ≽_𝑎 𝑐,𝑏,𝑎 , sebagaimana yang terdapat pada Tabel 1.

Teorema

Jika n = 3 maka SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan.

Bukti :

Kondisi moderate selfish bagi agen a sebagaimana sebelumnya pada Tabel 1, untuk kondisi moderate selfish bagi agen b dan c dapat dilihat di Tabel 2 dan Tabel 3 berikut. Tiap kolom pada Tabel 2 dan Tabel 3 menggambarkan strict preferensi yang berkaitan dengan true ranking yang berbeda.

Tabel 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c}

≽_𝑏(𝑏,𝑎,𝑐) ≽_𝑏(𝑎,𝑏,𝑐) ≽_𝑏(𝑎,𝑐,𝑏) ≽_𝑏(𝑏,𝑐,𝑎) ≽_𝑏(𝑐,𝑏,𝑎) ≽_𝑏(𝑐,𝑎,𝑏)

(b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a)

(b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c)

(a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a)

(c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c)

(a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b)

(c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b)

Tabel 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan N={a,b,c}

≽_𝑐(𝑐,𝑎,𝑏) ≽_𝑐(𝑎,𝑐,𝑏) ≽_𝑐(𝑎,𝑏,𝑐) ≽_𝑐(𝑐,𝑏,𝑎) ≽_𝑐(𝑏,𝑐,𝑎) ≽_𝑐(𝑏,𝑎,𝑐)

(c,a,b) (c,a,b) (c,a,b) (c,b,a) (c,b,a) (c,b,a)

(c,b,a) (c,b,a) (c,b,a) (c,a,b) (c,a,b) (c,a,b)

(a,c,b) (a,c,b) (a,c,b) (b,c,a) (b,c,a) (b,c,a)

(b,c,a) (b,c,a) (b,c,a) (a,c,b) (a,c,b) (a,c,b)

(a,b,c) (a,b,c) (a,b,c) (b,a,c) (b,a,c) (b,a,c)

(b,a,c) (b,a,c) (b,a,c) (a,b,c) (a,b,c) (a,b,c)

Misalkan N = {a,b,c}. Andaikan ≽𝑎 , ≽𝑏 , ≽𝑐∈ 𝜉𝑚𝑠 menjadi fungsi

preferensi yang moderate selfish bagi agen a, b dan c berturut-turut. Ada dua relasi preferensi yang sesuai dengan moderate selfishness bagi agen a, b, dan c yaitu :

Himpunan profil yang dapat diterima dari relasi-relasi preferensi tidak memiliki struktur hasil kali Cartesian, karena ditentukan dengan true ranking (misalnya ≽𝑎 1, ≽𝑏 2, ≽𝑐 1∈ ℜ, tetapi (≽𝑎 1, ≽𝑏 2, ≽𝑐 1) ∉ 𝑅 ). ℜ merupakan kelas dari

relasi-relasi preferensi yang didefinisikan atas Π yang memenuhi sifat complete,

transitive dan reflexive dan R adalah himpunan profil relasi preferensi yang dapat

diterima.

untuk agen a : ≽𝑎 1≡ ≽𝑎 𝑎,𝑏,𝑐 = ≽𝑎 𝑏,𝑎,𝑐 = ≽𝑎 𝑏,𝑐,𝑎 dan ≽𝑎 2≡ ≽𝑎 𝑎,𝑐,𝑏 = ≽𝑎 𝑐,𝑎,𝑏 = ≽𝑎 𝑐,𝑏,𝑎 , untuk agen b : ≽_𝑏1≡≽_𝑏 𝑏,𝑎,𝑐 = ≽_𝑏 𝑎,𝑏,𝑐 = ≽_𝑏 𝑎,𝑐,𝑏 dan ≽_𝑏2≡ ≽_𝑏 𝑏,𝑐,𝑎 = ≽_𝑏 𝑐,𝑏,𝑎 =≽_𝑏(𝑐,𝑎,𝑏), untuk agen c : ≽𝑐 1≡ ≽𝑐 𝑐,𝑎,𝑏 = ≽𝑐 𝑎,𝑐,𝑏 = ≽𝑐 𝑎,𝑏,𝑐 dan ≽𝑐 2≡ ≽𝑐 𝑐,𝑏,𝑎 = ≽𝑐 𝑏,𝑐.,𝑎 = ≽𝑐 𝑏,𝑎,𝑐 .

(19)

9 Andaikan didefinisikan terdapat sebuah mekanisme 𝛤_𝐷 = 𝑆, 𝑔 yang mengimplementasikan 𝛷 dalam strategi dominan. Misalkan 𝑠_𝑖1 ∈ 𝑆_𝑖 merupakan strategi dominan untuk agen i maka relasi preferensi bagi i adalah ≽_𝑖1_{, begitu pula}

untuk 𝑠_𝑖2 ∈ 𝑆_𝑖 maka relasi preferensi bagi i adalah ≽_𝑖2 . Selanjutnya, 𝛤_𝐷 mengimplementasikan 𝛷 dalam strategi dominan, bagian yang relevan pada 𝛤_𝐷 ditunjukkan dalam Tabel 4.

Tabel 4 Bagian yang relevan dari mekanisme 𝛤_𝐷

Pemain b dan c 𝑠_𝑏1_𝑠

𝑐1 𝑠𝑏2𝑠𝑐1 𝑠𝑏1𝑠𝑐2 𝑠𝑏2𝑠𝑐2

Pemain a 𝑠_𝑎1 (a,b,c) ? (b,a,c) (b,c,a)

𝑠_𝑎2 _(a,c,b) _(c,a,b) _? _(c,b,a)

Dapat dilihat bahwa (𝑠_𝑎1_{, 𝑠}

𝑏1, 𝑠𝑐1) ∈ 𝑆 bersesuaian dengan profil relasi preferensi

(≽_𝑎1_{, ≽} 𝑏

1_{, ≽}

𝑐

1_{) ∈ ℜ}𝑛_{sehingga dapat ditulis sebagai berikut :}

𝑠_𝑎1_{= ≽} 𝑎 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑐,𝑎) 𝑠_𝑏1_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑐,𝑏) 𝑠_𝑐1_{= ≽} 𝑐 (𝑐,𝑎,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑐,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑏,𝑐)

sehingga bagian yang relevan untuk 𝑠_𝑎1_{, 𝑠}

𝑏1, 𝑠𝑐1 adalah (a,b,c). Begitu pula untuk

𝑠_𝑎2_{, 𝑠}

𝑏1, 𝑠𝑐1 bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽𝑎 2, ≽𝑏 1, ≽𝑐 1sehingga dapat

ditulis sebagai berikut : 𝑠_𝑎2_{= ≽} 𝑎 (𝑎,𝑐,𝑏)_{= ≽} 𝑎 (𝑐,𝑎,𝑏)_{= ≽} 𝑎 (𝑐,𝑏,𝑎) 𝑠_𝑏1_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑐,𝑏) 𝑠_𝑐1_{= ≽} 𝑐 (𝑐,𝑎,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑐,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑏,𝑐)

sehingga bagian yang relevan untuk 𝑠_𝑎2, 𝑠_𝑏1, 𝑠_𝑐1 adalah (a,c,b). Kemudian untuk 𝑠_𝑎2_{, 𝑠}

𝑏2, 𝑠𝑐1 bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽𝑎 2, ≽𝑏 2, ≽𝑐 1, sehingga dapat

ditulis sebagai berikut : 𝑠_𝑎2_{= ≽} 𝑎 (𝑎,𝑐,𝑏)_{= ≽} 𝑎 (𝑐,𝑎,𝑏)_{= ≽} 𝑎 (𝑐,𝑏,𝑎) 𝑠_𝑏2_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑐,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑏,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑎,𝑏) 𝑠_𝑐1_{= ≽} 𝑐 (𝑐,𝑎,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑐,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑏,𝑐)

sehingga bagian yang relevan untuk 𝑠_𝑎2_{, 𝑠}

𝑏2, 𝑠𝑐1 adalah (c,a,b). Kemudian untuk

𝑠_𝑎1_{, 𝑠} 𝑏 1_{, 𝑠}

𝑐2 bersesuaian dengan profil relasi preferensi ≽1𝑎 , ≽1𝑏 , ≽𝑐 2, sehingga dapat

ditulis sebagai berikut : 𝑠_𝑎1_{= ≽} 𝑎 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑐,𝑎) 𝑠_𝑏1_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑐,𝑏) 𝑠_𝑐2_{= ≽} 𝑐 (𝑐,𝑏,𝑎)_{= ≽} 𝑐 (𝑏,𝑐,𝑎)_{= ≽} 𝑐 (𝑏,𝑎,𝑐)

sehingga bagian yang relevan untuk 𝑠_𝑎1, 𝑠_𝑏1, 𝑠_𝑐2 adalah (b,a,c). Kemudian untuk 𝑠_𝑎1_{, 𝑠}

𝑏2, 𝑠𝑐2 bersesuaian dengan profil preferensi ≽1𝑎 , ≽𝑏 2, ≽𝑐 2, sehingga dapat ditulis

sebgai berikut : 𝑠_𝑎1_{= ≽} 𝑎 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑐,𝑎) 𝑠_𝑏2_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑐,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑏,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑎,𝑏) 𝑠𝑐2 = ≽𝑐(𝑐,𝑏,𝑎) = ≽𝑐(𝑏,𝑐,𝑎) = ≽𝑐(𝑏,𝑎,𝑐)

(20)

10

sehingga bagian yang relevan untuk 𝑠_𝑎1, 𝑠_𝑏2, 𝑠_𝑐2 adalah (b,c,a). Selanjutnya untuk 𝑠𝑎2, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐2 bersesuaian dengan profil preferensi ≽𝑎 2, ≽𝑏 2, ≽𝑐 2, sehingga dapat ditulis

sebagai berikut : 𝑠_𝑎2_{= ≽} 𝑎 (𝑎,𝑐,𝑏)_{= ≽} 𝑎 (𝑐,𝑎,𝑏)_{= ≽} 𝑎 (𝑐,𝑏,𝑎) 𝑠_𝑏2_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑐,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑏,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑎,𝑏) 𝑠𝑐2 = ≽𝑐(𝑐,𝑏,𝑎) = ≽𝑐(𝑏,𝑐,𝑎) = ≽𝑐(𝑏,𝑎,𝑐)

sehingga bagian yang relevan untuk 𝑠_𝑎2, 𝑠_𝑏2, 𝑠_𝑐2 adalah (c,b,a). Profil strategi (𝑠_𝑎1, 𝑠_𝑏2, 𝑠_𝑐1) ∈ 𝑆 yang bersesuaian dengan profil preferensi (≽_𝑎1, ≽_𝑏2, ≽_𝑐1) ∈ ℜ𝑛 dapat ditulis sebagai berikut :

𝑠_𝑎1_{= ≽} 𝑎 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑎 (𝑏,𝑐,𝑎) 𝑠_𝑏2_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑐,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑏,𝑎)_{= ≽} 𝑏 (𝑐,𝑎,𝑏) 𝑠_𝑐1_{= ≽} 𝑐 (𝑐,𝑎,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑐,𝑏)_{= ≽} 𝑐 (𝑎,𝑏,𝑐)

dapat terlihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk 𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐1. Begitu pula

untuk 𝑠_𝑎2, 𝑠_𝑏1, 𝑠_𝑐2 yang bersesuaian dengan profil preferensi ≽_𝑎2, ≽_𝑏1, ≽_𝑐2 , dapat ditulis sebagai berikut :

𝑠𝑎2 = ≽𝑎 (𝑎,𝑐,𝑏) = ≽𝑎 (𝑐,𝑎,𝑏) = ≽𝑎 (𝑐,𝑏,𝑎) 𝑠_𝑏1_{= ≽} 𝑏 (𝑏,𝑎,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑏,𝑐)_{= ≽} 𝑏 (𝑎,𝑐,𝑏) 𝑠_𝑐2_{= ≽} 𝑐 (𝑐,𝑏,𝑎)_{= ≽} 𝑐 (𝑏,𝑐,𝑎)_{= ≽} 𝑐 (𝑏,𝑎,𝑐)

dapat dilihat bahwa tidak ada bagian yang relevan untuk 𝑠_𝑎2, 𝑠_𝑏1, 𝑠_𝑐2, sehingga mekanisme tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan.

Profil strategi (𝑠_𝑎1, 𝑠_𝑏2, 𝑠_𝑐1) ∈ 𝑆 dan (𝑠_𝑎2, 𝑠_𝑏1, 𝑠_𝑐2) ∈ 𝑆 masing-masing bersesuaian dengan profil relasi preferensi (≽_𝑎1, ≽_𝑏2, ≽_𝑐1) ∈ ℜ𝑛 dan (≽_𝑎2, ≽_𝑏1, ≽_𝑐2) ∈ ℜ𝑛. Akan tetapi, profil tersebut tidak bersesuaian dengan beberapa kemungkinan true ranking, yaitu (≽a 1, ≽b 2, ≽c 1)∉ R dan (≽𝑎 2, ≽1𝑏 , ≽𝑐 2) ∉

𝑅. Untuk 𝑔(𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐1) dapat diperinci dengan pernyataan berikut :

Pernyataan 1. Dapat dilihat bahwa 𝑠_𝑎2_{, 𝑠}

𝑏2, 𝑠𝑐1 ∈ 𝐷 𝛤𝐷, ≽ 𝑐,𝑎,𝑏

dan 𝑔 (𝑠_𝑎2, 𝑠_𝑏2, 𝑠_𝑐1) = 𝑐, 𝑎, 𝑏 , sehingga 𝑔 (𝑠_𝑎1, 𝑠_𝑏2, 𝑠_𝑐1) ∉ 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑎, 𝑐, 𝑏 ; selain itu, 𝑔 (𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐1) ≻(𝑐,𝑎,𝑏)𝑎 𝑔 (𝑠𝑎2, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐1) , hal tersebut kontradiksi.

Pernyataan 2. Dapat dilihat bahwa 𝑠_𝑎1_{, 𝑠}

𝑏1, 𝑠𝑐1 ∈ 𝐷 𝛤𝐷, ≽ 𝑎,𝑏,𝑐 dan

𝑔(𝑠_𝑎1_{, 𝑠} 𝑏 1_{, 𝑠}

𝑐1) = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , sehingga 𝑔 (𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐1) ∉ 𝑏, 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐, 𝑎 ; selain itu,

𝑔 (𝑠_𝑎1_{, 𝑠}

𝑏2, 𝑠𝑐1) ≻𝑏

(𝑎,𝑏,𝑐)_{𝑔 (𝑠}

𝑎1, 𝑠𝑏1, 𝑠𝑐1) , hal tersebut kontradiksi.

Pernyataan 3. Dapat dilihat bahwa 𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐2 ∈ 𝐷 𝛤𝐷, ≽ 𝑏,𝑐,𝑎 dan

𝑔 (𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐2) = 𝑏, 𝑐, 𝑎 , sehingga 𝑔 (𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐1) ∉ 𝑐, 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑏, 𝑎 ; selain itu,

𝑔 (𝑠_𝑎1_{, 𝑠}

𝑏2, 𝑠𝑐1) ≻𝑐(𝑏,𝑐,𝑎)𝑔 (𝑠𝑎1, 𝑠𝑏2, 𝑠𝑐2) , hal tersebut kontradiksi.

Pernyataan 1, 2, dan 3 menunjukkan hasil fungsi yang kontradiksi dengan definisi.

(21)

11

SIMPULAN

Simpulan

SOCF merupakan salah satu cara yang digunakan untuk membuat prosedur urutan penerima beasiswa. SOCF tidak dapat diimplementasikan dalam strategi dominan, jika n = 3.

DAFTAR PUSTAKA

Amoros P, Luis C, Benardo M. 2002. The Scholarship Assignment Problem.

Games and Economic Behavior 38: 1-18.

Crosetto P. 2009. Preference, W.A.R.P, Consumer Choice [Internet]. [diunduh 2013 Feb 5]. Tersedia pada: http://paolocrosetto.files.wordpress.com/2010/10/ pset1_solution_handout.pdf.

Lindeneg K. 2001. Social Choice and Game Theory in Allocation Mechanism. [Internet]. [diunduh 2012 Apr 17]. Tersedia pada: http://www.econ.ku.dk/ Research/Publications/Forskningsregister/Lindenegnote.pdf.

Kurtz DC. 1992. Foundations of Abstract Mathematics. New York (US): Mac Graw Hill.

Salvatore D. 2006. Schaum’s Outlines : Mikroekonomi. Ed ke-4. Sitompul R dan Munandar H, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Schaum’s

(22)

12

Lampiran 1 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan

N={a,b,c,d}

≽_𝑎(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ≽_𝑎(𝑏,𝑎,𝑐,𝑑) ≽_𝑎(𝑏,𝑐,𝑎,𝑑) ≽_𝑎(𝑏,𝑐,𝑑,𝑎)

(a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d)

(a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c)

(a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d)

(a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b)

(a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c)

(a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b)

(b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d)

(b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c)

(c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d)

(c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b)

(d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c)

(d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b)

(b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d)

(b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c)

(c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d)

(c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b)

(d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c)

(d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b)

(b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a)

(b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a)

(c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a)

(c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a)

(d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a)

(d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a)

≽_𝑎(𝑎,𝑏,𝑑,𝑐) ≽_𝑎(𝑏,𝑎,𝑑,𝑐) ≽_𝑎(𝑏,𝑎,𝑑,𝑐) ≽_𝑎(𝑏,𝑎,𝑑,𝑐)

(23)

13

Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}

(lanjutan)

≽_𝑎(𝑎,𝑐,𝑏,𝑑) ≽_𝑎(𝑐,𝑎,𝑏,𝑑) ≽_𝑎(𝑐,𝑏,𝑎,𝑑) ≽_𝑎(𝑐,𝑏,𝑑,𝑎)

≽_𝑎(𝑎,𝑐,𝑑,𝑏) ≽_𝑎(𝑐,𝑑,𝑎,𝑏) ≽_𝑎(𝑐,𝑑,𝑏,𝑎) ≽_𝑎(𝑐,𝑎,𝑑,𝑏)

(24)

14

Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}

(lanjutan)

≽_𝑎(𝑎,𝑑,𝑏,𝑐) ≽_𝑎(𝑑,𝑎,𝑏,𝑐) ≽_𝑎(𝑑,𝑏,𝑎𝑐 ) ≽_𝑎(𝑑,𝑏,𝑐,𝑎)

(d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d)

(25)

15 Fungsi preferensi bagi agen a yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}

(lanjutan)

≽_𝑎(𝑎,𝑑,𝑐,𝑏) ≽_𝑎(𝑑,𝑎,𝑐𝑏 ) ≽_𝑎(𝑑,𝑐,𝑎,𝑏) ≽_𝑎(𝑑,𝑐,𝑏,𝑎)

(a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a)

(26)

16

Lampiran 2 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan

N={a,b,c,d}

≽_𝑏(𝑏,𝑎,𝑑,𝑐) ≽_𝑏(𝑎,𝑏,𝑑,𝑐) ≽_𝑏(𝑎,𝑑,𝑏,𝑐) ≽_𝑏(𝑎,𝑑,𝑐,𝑏)

(b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b)

≽_𝑏(𝑏,𝑑,𝑐,𝑎) ≽_𝑏(𝑑,𝑏,𝑐,𝑎) ≽_𝑏(𝑑,𝑐,𝑎,𝑏) ≽_𝑑(𝑑,𝑐,𝑏,𝑎)

(b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a)

(27)

17 (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c)

(a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b)

Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}

(lanjutan)

≽_𝑐(𝑐,𝑎,𝑏,𝑑) ≽_𝑐(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ≽_𝑐(𝑎,𝑏,𝑑,𝑐) ≽_𝑐(𝑎,𝑐,𝑏,𝑑)

(c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a)

≽_𝑏(𝑏,𝑐,𝑎,𝑑) ≽_𝑏(𝑐,𝑎,𝑏,𝑑) ≽_𝑏(𝑐,𝑎,𝑑,𝑏) ≽_𝑏(𝑐,𝑏,𝑎,𝑑)

(b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d)

(28)

18

(c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b)

Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}

(lanjutan)

≽_𝑏(𝑏,𝑑,𝑎,𝑐) ≽_𝑏(𝑑,𝑎,𝑏,𝑐) ≽_𝑏(𝑑,𝑎,𝑐,𝑏) ≽_𝑏(𝑑,𝑏,𝑎,𝑐)

(b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d) (d,c,a,d)

(29)

19 Fungsi preferensi bagi agen b yang moderately selfish dengan N={a,b,c,d}

(Lanjutan)

≽_𝑏(𝑏,𝑑,𝑐,𝑎) ≽_𝑏(𝑑,𝑏,𝑐,𝑎) ≽_𝑏(𝑑,𝑐,𝑎,𝑏) ≽_𝑑(𝑑,𝑐,𝑏,𝑎)

(b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (d,b,a,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b)

(30)

20

Lampiran 3 Fungsi preferensi bagi agen c yang moderately selfish dengan

N={a,b,c,d}

≽_𝑐(𝑐,𝑎,𝑏,𝑑) ≽_𝑐(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) ≽_𝑐(𝑎,𝑏,𝑑,𝑐) ≽_𝑐(𝑎,𝑐,𝑏,𝑑)

(c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,b,d,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (a,d,b,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,a,d,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (b,d,a,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,a,b,c) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a) (d,b,c,a)

≽_𝑐(𝑐,𝑎,𝑑,𝑏) ≽_𝑐(𝑎,𝑑,𝑏,𝑐) ≽_𝑐(𝑎,𝑑,𝑐,𝑏) ≽_𝑐(𝑎,𝑐,𝑑,𝑏)

(c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,d,b) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,a,b,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,a,d) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,b,d,a) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,a,b) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (c,d,b,a) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,d,b) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (a,c,b,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,a,d) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (b,c,d,a) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,a,b) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (d,c,b,a) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,d,c,b) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (a,b,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,a,c,d) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (b,d,c,a) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b) (d,a,c,b)